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1.1.3　集合的基本运算
第1课时　交集与并集
学习目标　1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
导语
两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算.如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题.
一、交集的概念及应用
问题1　观察下列各个集合，集合C与集合A，B之间有什么关系？
(1)A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
(2)A={x|x是立德中学今年在校的女同学}，
B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}，
C={x|x是立德中学今年在校的高一年级的女同学}.
提示　集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.
知识梳理
1.交集
2.交集的运算性质
(1)A∩B=B∩A.
(2)A∩A=A.
(3)A∩ = ∩A= .
(4)如果A B，则A∩B=A，反之也成立.
注意点：
(1)A∩B仍是一个集合.
(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B= .
例1　(1)设集合M={m∈Z|-3A.{0，1} B.{-1，0，1}
C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2}
答案　B
解析　易知M={-2，-1，0，1}，N={-1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N={-1，0，1}.
(2)设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
答案　A
解析　在数轴上表示出集合A和B，如图所示.由交集的定义知，A∩B={x|0≤x≤2}.
反思感悟　求集合A∩B的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解.
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
跟踪训练1　(1)在如图所示的维恩图中，若A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为(　　)
A.{x|0B.{x|1C.{x|0≤x≤1或x≥2}
D.{x|0≤x≤1或x>2}
答案　B
解析　由题图可知，阴影部分表示的集合是A∩B，因为A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，所以A∩B={x|1(2)已知A={(x，y)|x+y=3}，B={(x，y)|x-y=1}，则A∩B等于(　　)
A.{2，1} B.{x=2，y=1}
C.{(2，1)} D.(2，1)
答案　C
解析　A∩B=={(2，1)}.
二、并集的概念及应用
问题2　观察下列各个集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.
提示　集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
知识梳理
1.并集
2.并集的运算性质
(1)A∪B=B∪A.
(2)A∪A=A.
(3)A∪ = ∪A=A.
(4)如果A B，则A∪B=B，反之也成立.
注意点：
(1)A∪B仍是一个集合.
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：
①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性.
例2　(1)已知集合A={x|x2=3x}，B={-1，1，2，3}，则A∪B等于(　　)
A.{3} B.{-1，0，1，2}
C.{-1，0，1，2，3} D.{-1，1，2，3}
答案　C
解析　∵集合A={x|x2=3x}={0，3}，B={-1，1，2，3}，∴A∪B={-1，0，1，2，3}.
(2)(多选)已知集合M={x|-35}，则M∪N等于(　　)
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5C.(-∞，-5)∪(-3，+∞)
D.(-5，5)
答案　AC
解析　在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N={x|x<-5或x>-3}=(-∞，-5)∪(-3，+∞).
反思感悟　求集合M∪N的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解.
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
跟踪训练2　(多选)点集A={(x，y)|x<0}，B={(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　BCD
解析　由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限.
三、根据并集与交集运算求参
例3　已知集合A={x|-2解　因为A∪B=B，所以A B，
所以解得-4≤m≤-
故实数m的取值范围为.
延伸探究1　若将本例的条件“A∪B=B”改为“A∩B= ”，则实数m的取值范围为　　　　　　.
答案　{m|m≤-9或m≥1}
解析　因为A∩B= ，所以2m+1≥m+7或或所以m≥6或m≤-9或1≤m<6.故实数m的取值范围为{m|m≤-9或m≥1}.
延伸探究2　若将本例的条件“A∪B=B”改为“A∩B=B”，求实数m的取值范围.
解　因为A∩B=B，所以B A.
当B= 时，2m+1≥m+7，
所以m≥6，满足A∩B=B；
当B≠ 时，有无解.
故实数m的取值范围是{m|m≥6}.
反思感悟　利用集合间的关系求参数的一般步骤
(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系.
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围.
(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围.
跟踪训练3　已知集合A={x|-2-2}，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
答案　[-3，3)
解析　由题意，集合A={x|-2集合B={x|x≥1-a}，
若A∪B={x|x>-2}，则-2<1-a≤4，解得-3≤a<3.
1.知识清单：
(1)交集、并集的概念及运算.
(2)交集、并集运算的性质.
(3)求参数值或范围.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.
1.若集合A={x|0A.{x|0C.{x|0答案　C
解析　∵A={x|0∴A∩B={x|02.已知集合M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A.{0，1} B.{0}
C.{-1，2，3} D.{-1，0，1，2，3}
答案　D
解析　由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，故M∪P={-1，0，1，2，3}.
3.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x|-1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(　　)
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{x|-1≤x≤5}
答案　B
解析　(A∪B)∩C={1，2，4，6}∩C={1，2，4}.
4.设集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a等于(　　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
答案　B
解析　因为集合A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2}，B={x|2x+a≤0}=
又因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a=1，所以a=-2.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.设集合M={-1，0，2}，N={-1，1}，则M∪N等于(　　)
A.{0，2} B.{-1，1，2}
C.{-1，0，1，2} D.{-1，0，2}
答案　C
解析　集合M={-1，0，2}，N={-1，1}，所以M∪N={-1，0，1，2}.
2.设集合A={(x，y)|x-2y=1}，B={(x，y)|x+y=2}，则A∩B等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由得
所以A∩B=.
3.设集合A={0，1，2，5}，B={1，3，4}，C={x|1≤x≤4}，则(A∩C)∪B等于(　　)
A.{1} B.{1，3}
C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}
答案　D
解析　∵A∩C={1，2}，∴(A∩C)∪B={1，2，3，4}.
4.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.交集的元素个数一定比参与运算的任何一个集合的元素个数少
B.若A∪B=A，则B中的每一个元素都在集合A中
C.A∩B=C∩B，则A=C
D.两集合均不为空集，则两集合的并集不可能为空集
答案　BD
解析　由A∩A=A可知，A错误；若A∪B=A，可得集合B是集合A的子集，B正确；当交集都是空集时，集合A与C不一定相等，C错误；两集合均不为空集，则两集合的并集不可能为空集，D正确.
5.已知集合A={1，3}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于(　　)
A.0或 B.0或3
C.1或3 D.1或3或0
答案　B
解析　∵集合A=B=且A∩B=
∴B A，
∴m=3或m=
解得m=3或m=0或m=1，
由元素的互异性得m=1不符合题意，舍去，
则m=3或m=0.
6.集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C (A∪B)，②C (A∩B)，则满足条件的集合C的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　设A={a，b}，B={b，c}，由①知C {a，b，c}，由②知{b} C，所以C中必有元素b，故集合C的个数为22=4.
7.(5分)已知集合A=B={x∈Z|x≤2}，则A∩B=　　　　.
答案　{0，1，2}
解析　因为A=B={x∈Z|x≤2}，所以A∩B=
所以A∩B={0，1，2}.
8.(5分)已知集合A={x|x答案　[2，+∞)
解析　因为A∩B=B，所以B A，又A=B=所以k≥2.
9.(10分)已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B，A∪B；(5分)
(2)若C∪A=A，求实数a的取值范围.(5分)
解　(1)A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A，所以C A，所以a-1≥3，即a≥4.故实数a的取值范围为{a|a≥4}.
10.(11分)设A={x|3(1)当a=2时，求A∩B；(4分)
(2)若A∩B= ，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)当a=2时，B=
则A∩B=.
(2)当B= 时，A∩B= ，
则a-1≥4，所以a≥5，
当B≠ 时，易知A∩B= 不成立，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥5}.
11.已知集合A={(x，y)|x，y∈N+，y≥x}，B={(x，y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　C
解析　满足x，y∈N+，y≥x，且x+y=8的有序实数对(x，y)有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个，故A∩B中元素的个数为4.
12.已知集合A={x|ax-1=0}，B={x∈N+|2≤x<5}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当a=0时，A= ，此时A∪B=B，符合题意.
当a≠0时，集合A={x|ax-1=0}=.
又∵B={x∈N+|2≤x<5}={2，3，4}，且A∪B=B，
∴a=或a=或a=.
则实数a的所有值构成的集合是.
13.(5分)设集合M={x|-4答案　{t|t≤3}
解析　由M∩N=N，
得N M.
故当N= ，即t+2≥2t-1，
即t≤3时，M∩N=N成立；
当N≠ 时，由数轴得无解.
综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}.
14.(5分)设集合A={-1，0}，B={x∈N|0≤x答案　8
解析　因为集合B={x∈N|0≤x又A={-1，0}，所以A∩B={0}，A∪B={-1，0，1}.
又A*B={(x，y)|x∈(A∩B)，y∈(A∪B)}，所以A*B={(0，-1)，(0，0)，(0，1)}，
所以A*B的子集有23=8(个).
15.(多选)已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}，若集合A中元素的个数为有限个，则将其个数记为card(A)，则下列说法正确的是(　　)
A.若card(A)=2，则card(A∪B)=4
B.若card(A)=1，则card(A∪B)=3
C.若card(A∪B)=3，则A∩B=
D.若card(A∪B)=4，则A∩B=
答案　BD
解析　集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}={1，3}，对于A，若card(A)=2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误；对于B，若card(A)=1，则A={2}，A∪B={1，2，3}，所以card(A∪B)=3，故B正确；对于C，若card(A∪B)=3，则A∩B可能为 ，{1}，{3}，故C错误；对于D，若card(A∪B)=4，则A={2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B= ，故D正确.
16.(12分)设集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2-2x-3=0}.
(1)若A∩B=A∪B，求实数a的值；(5分)
(2)若A∩B≠ 且A∩C= ，求实数a的值.(7分)
解　(1)由题可得B={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
由A∩B=A∪B，得A=B.
从而2，3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的两个根，
即解得a=5.
(2)因为B={2，3}，C={x|x2-2x-3=0}={-1，3}.
因为A∩B≠ ，又A∩C= ，所以2∈A，
所以4-2a+a2-19=0，即a2-2a-15=0，
解得a=5或a=-3.
当a=5时，A={2，3}，
则A∩C≠ ，不符合题意；
当a=-3时，A={-5，2}，
则A∩B={2}且A∩C= ，
故a=-3符合题意.
综上，实数a的值为-3.(共66张PPT)
第2课时
补　集
第一章　 1.1.3　集合的基本运算
<<<
1.了解全集的含义及其符号表示.
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.
3.会用维恩图、数轴进行集合的运算.
学习目标
相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集.
导 语
一、全集与补集
二、交、并、补的综合运算
课时对点练
三、与补集有关的参数的范围问题
随堂演练
内容索引
全集与补集
一
提示　集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B= ，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.
若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？
问题
1.全集
(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
(2)记法：全集通常用 表示.
U
2.补集
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中 的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作_____，读作：_______________
符号语言 UA=______________
图形语言
不属于A
UA
A在U中的补集
{x|x∈U且x A}
3.补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A，有
(1)A∪( UA)= .
(2)A∩( UA)= .
(3) U( UA)= .
U

A
(1)“全集”是一个相对的概念，它是依据具体的问题确定的.
(2)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同.
(3) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
注 意 点
<<<
　(1)已知全集为R，集合A={x|x<1或x≥5}，则 RA=　　　　　 .
例 1
{x|1≤x<5}
在数轴上画出集合A，
由数轴，得 RA={x|1≤x<5}.
解析
(2)设U={x|-5≤x<-2或2{-5，-4，3，4}
{-5，-4，5}
方法一　由题意得U={-5，-4，-3，3，4，5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3，5}，
所以 UA={-5，-4，3，4}， UB={-5，-4，5}.
方法二　可用维恩图表示.
则 UA={-5，-4，3，4}，
UB={-5，-4，5}.
解析
求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含.
反
思
感
悟
已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， UA={2，4，6}， UB ={1，4，6}，则集合B=　　　　　　　.
跟踪训练
{2，3，5，7}
方法一(定义法)
因为A={1，3，5，7}， UA={2，4，6}，
所以U={1，2，3，4，5，6，7}.
又 UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.
方法二(维恩图法)
满足题意的维恩图如图所示.
由图可知B={2，3，5，7}.
解析
二
交、并、补的综合运算
(1)(课本例4)已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x2≤7}，B= {x∈U|0<2x≤7}，求 UA， UB，( UA)∪( UB)， U(A∩B).
例 2
不难看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3}.
因此 UA={3，4，5，6，7}， UB={0，4，5，6，7}，
( UA)∪( UB)={0，3，4，5，6，7}，
U(A∩B)={0，3，4，5，6，7}.
解
(2)(课本例5)已知A=(-1，+∞)，B=(-∞，2]，求 RA， RB.
在数轴上表示出A和B，如图所示.
由图可知 RA=(-∞，-1]， RB=(2，+∞).
解
已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1例 2
将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，
因为A={x|-4≤x<2}，B={x|-1所以A∩B={x|-13}.
又P=
所以( UB)∪P=.
又 UP=
所以(A∩B)∩( UP)={x|0解
(变问法)在本例的条件下，求( UA)∩( UP).
延伸探究 1
画出数轴，如图所示，
观察数轴可知( UA)∩( UP)=.
解
(变条件)将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U=P，A，B不变，求A∪( UB).
延伸探究 2
画出数轴，如图所示，
观察数轴可知A∪( UB)={x|x<2或3解
(1)解决集合交、并、补运算的技巧
①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解.
②如果所给集合是无限集，则常借助数轴进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
(2)重要结论：设集合U为全集，A，B为U的子集，则有① U(A∩B)=( UA)∪( UB)，简记为“交之补等于补之并”.
② U(A∪B)=( UA)∩( UB)，简记为“并之补等于补之交”.
反
思
感
悟
与补集有关的参数的范围问题
三
设集合A={x|x+m≥0}，B={x|-2例 3
由已知，得A={x|x≥-m}，
所以 UA={x|x<-m}，
因为B={x|-2所以-m≤-2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
解
将本例的条件“( UA)∩B= ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
延伸探究 3
由已知，得A={x|x≥-m}，
所以 UA={x|x<-m}，
又B={x|-2所以-m>-2，解得m<2.
所以实数m的取值范围是{m|m<2}.
解
将本例的条件“( UA)∩B= ”改为“( UB)∪A=R”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
延伸探究 4
由已知，得A={x|x≥-m}，
UB={x|x≤-2或x≥4}.
又( UB)∪A=R，所以-m≤-2，解得m≥2.
所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
解
由集合的补集求解参数范围的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数范围问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解.
(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数范围问题时，一般利用数轴分析法求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)全集和补集的概念及运算.
(2)交、并、补集的混合运算.
(3)与补集有关的参数范围的求解.
2.方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合.
3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，则 UA等于
A.{1，2，3，4，5} B.{1，5}
C.{2，3，4} D.以上都不对
√
因为U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，所以 UA={1，5}.
解析
1
2
3
4
2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则 A(A∩B)等于
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
√
因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，
所以B={1，4，9，16，25，81}，
则A∩B={1，4，9}， A(A∩B)={2，3，5} .
解析
1
2
3
4
3.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩( IM)= ，则M∪N等于
A.M B.N C.I D.
√
如图，因为N∩( IM)= ，且M，N不相等，所以N　M，所以M∪N=M.
解析
1
2
3
4
4.已知全集U=R，集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|mx+1=0}，B∩( UA)= ，则
实数m的值为　　　　　　.
A={x|x2-x-2=0}={-1，2}，B∩( UA)= 等价于B A.当m=0时，B= A；当m≠0时，B=
∴-=-1或-=2，即m=1或m=-.
综上，实数m的值为0或1或-.
解析
0或1或-
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C B ABC B {1，2，5} 题号 8 11 12 13 14 15
答案 [-2，+∞) B AD 9　8　10 AD
对一对
答案
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把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示，
由图可得 UA={x|x≤-2或3≤x≤4}， UB={x|x<-3或2A∪B={x|-3≤x<3}，
故A∩B={x|-2( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩( UB)={x|2 U(A∪B)={x|x<-3或3≤x≤4}.
10.
答案
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若B= ，则a+1>2a-1，则a<2，
此时 UB=R，∴A UB，满足条件；
若B≠ ，则a+1≤2a-1，即a≥2，
此时 UB={x|x2a-1}，
∵A UB，∴或
解得a>4.
综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
16.
答案
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(1)当a=-时，集合A=B={x|-1≤x≤3}，
则 RB={x|x<-1或x>3}，
所以A∩( RB)={x|-2(2)若选择①，由A∪B=B可得A B，
因为A={x|2a-1当A= 时，A B成立，
则2a-1≥a+1，解得a≥2；
16.
答案
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16
当A≠ 时，由A B可得
解得0≤a<2.
综上，实数a的取值范围是{a|a≥0}.
若选择②，由A (A∩B)可得A B，下同选择①.
若选择③，因为A={x|2a-1当A= 时，A∩B= 成立，
16.
答案
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则2a-1≥a+1，解得a≥2；
当A≠ 时，由A∩B= 可得
或解得a<-2.
综上，实数a的取值范围是{a|a<-2或a≥2}.
基础巩固
1.设全集U={x∈N+|x<9}，集合A={3，4，5，6}，则 UA等于
A.{1，2，3，8} B.{1，2，7，8}
C.{0，1，2，7} D.{0，1，2，7，8}
√
因为U={x∈N+|x<9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5，6}，所以 UA={1，2，7，8}.
解析
答案
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2.已知全集U={x∈N+|x≤5}，A={0，1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩( UB)等于
A. B.{1} C.{1，2} D.{2，3}
√
答案
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由题可知，U={x∈N+|x≤5}={1，2，3，4，5}，所以 UB={1，4}，所以A∩( UB)={1}.
解析
3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则( RS)∪T等于
A.{x|-2C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
√
因为S={x|x>-2}，所以 RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以( RS) ∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.
解析
答案
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16
4.图中的阴影部分表示的集合是
A.A∩( UB)
B.B∩( UA)
C. U(A∩B)
D. U(A∪B)
√
由维恩图可知，阴影部分的元素属于B但不属于A，所以用集合表示为B∩( UA).
解析
答案
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5.(多选)已知集合A，B均为全集U={1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)= {4}，B={1，2}，则下列说法正确的是
A.A∪B={1，2，3}
B.集合A有4个
C.A∩( UB)={3}
D.( UA)∩( UB)={3，4}
√
答案
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√
√
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∵ U(A∪B)={4}，U={1，2，3，4}，∴A∪B={1，2，3}，故A正确；
又B={1，2}，∴A={1，3}或A={2，3}或A={1，2，3}或A={3}，故B正确；
∵B={1，2}，∴ UB={3，4}，∴A∩( UB)={3}，故C正确；
∵( UA)∩( UB)= U(A∪B)={4}，故D错误.
解析
6.已知全集U={3，a2-3a-2，2}，A={3，|a-1|}， UA={-2}，则实数a等于
A.0 B.3 C.1 D.2
√
答案
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因为A∪( UA)=U，
所以{3，-2，|a-1|}={3，a2-3a-2，2}，
从而
解得a=3.
解析
7.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则 U(A∩B)=　　　　　　.
A∩B={3，4}，所以 U(A∩B)={1，2，5}.
解析
答案
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{1，2，5}
8.已知M={x|x<-2或x≥3}，N={x|x-a≤0}，若N∩( RM)≠ (R为实数集)，则实数a的取值范围是　　　　　 .
答案
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[-2，+∞)
由题意，得N={x|x≤a}， RM={x|-2≤x<3}，借助数轴可得a≥-2.
解析
9.已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|-2答案
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把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示，由图可得 UA={x|x≤-2或3≤x≤4}， UB={x|x<-3或2故A∩B={x|-2( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩( UB)={x|2解
10.已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且A UB，求实数a的取值范围.
答案
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若B= ，则a+1>2a-1，则a<2，
此时 UB=R，∴A UB，满足条件；
若B≠ ，则a+1≤2a-1，即a≥2，
此时 UB={x|x2a-1}，
∵A UB，∴
解得a>4.
综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
解
11.已知集合A={x|x<-3或x>1}，B={x|x≤-4或x>a}，若A∩( RB)中恰好含有2个整数，则
A.3C.3√
综合运用
答案
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根据题意，知a>-4，
则 RB={x|-4又A={x|x<-3或x>1}，
∴A∩( RB)={x|-4∵A∩( RB)中恰好含有2个整数，
∴3≤a<4.
解析
12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T ={2}，( US)∩T={4}，( US)∩( UT)={1，5}，则有
A.3∈S B.3∈ US C.3∈T D.3∈ UT
√
答案
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√
因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又( US)∩T={4}，所以4 S，4∈T，又( US)∩( UT)={1，5}，所以 U(S∪T)={1，5}，所以1，5 (S∪T)，3∈(S∪T)，3 (S∩T)，若3∈T，则3 S，3∈( US)∩T，与( US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3 T，3∈ UT.
解析
13.某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中a=　　　；b=　　　；c=　　　.
答案
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由题意得
则
解析
14.已知集合S={x|0∩A={x|8答案
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当B= 时，2a-1≤a，得a≤1，
此时 SB=S，( SB)∩A=S∩A={x|8当B≠ 时，2a-1>a，得a>1，
因为S={x|0所以 SB={x|0因为( SB)∩A={x|8所以当B≠ 时，1综上所述，实数a的取值范围是.
解析
15.(多选)设集合M={m|m=5k-2，k∈Z}，N={n|n=10k+8，k∈Z}，则
A.M∪N=M B.M∩N=
C.( ZM)∪N=Z D.( ZM) ( ZN)
拓广探究
√
√
答案
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∵n=10k+8=5×2k+5×2-2=5(2k+2)-2，
由k∈Z，则2k+2∈Z，
即N中的元素都是M中的元素，有N M；
而对于集合M，当k=1时，m=3，
故3∈M，但3 N，∴N　M，
则M∪N=M，A正确；
M∩N=N，B错误；
由N　M，有( ZM)　( ZN)，又( ZN)∪N=Z，
∴( ZM)∪N≠Z，C错误，D正确.
解析
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16.在①A∪B=B；②A (A∩B)；③A∩B= 这三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并求解下列问题.
已知集合A={x|2a-1(1)当a=-时，求A∩( RB)；
答案
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当a=-时，集合A=B={x|-1≤x≤3}，
则 RB={x|x<-1或x>3}，
所以A∩( RB)={x|-2解
(2)若　　　　，求实数a的取值范围.
答案
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若选择①，由A∪B=B可得A B，
因为A={x|2a-1当A= 时，A B成立，则2a-1≥a+1，
解得a≥2；
当A≠ 时，由A B可得
解得0≤a<2.
综上，实数a的取值范围是{a|a≥0}.
解
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若选择②，由A (A∩B)可得A B，下同选择①.
若选择③，因为A={x|2a-1当A= 时，A∩B= 成立，则2a-1≥a+1，解得a≥2；
当A≠ 时，由A∩B= 可得
或解得a<-2.
综上，实数a的取值范围是{a|a<-2或a≥2}.
解
第一章　 1.1.3　集合的基本运算
<<<第2课时　补　集
学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用维恩图、数轴进行集合的运算.
导语
相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集.
一、全集与补集
问题　若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？
提示　集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B= ，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.
知识梳理
1.全集
(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
(2)记法：全集通常用U表示.
2.补集
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作 UA，读作：A在U中的补集
符号语言 UA={x|x∈U且x A}
图形语言
3.补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A，有
(1)A∪( UA)=U.
(2)A∩( UA)= .
(3) U( UA)=A.
注意点：
(1)“全集”是一个相对的概念，它是依据具体的问题确定的.
(2)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同.
(3) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
例1　(1)已知全集为R，集合A={x|x<1或x≥5}，则 RA=　　　　　　　　.
答案　{x|1≤x<5}
解析　在数轴上画出集合A，
由数轴，得 RA={x|1≤x<5}.
(2)设U={x|-5≤x<-2或2答案　{-5，-4，3，4}　{-5，-4，5}
解析　方法一　由题意得U={-5，-4，-3，3，4，5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3，5}，
所以 UA={-5，-4，3，4}， UB={-5，-4，5}.
方法二　可用维恩图表示.
则 UA={-5，-4，3，4}，
UB={-5，-4，5}.
反思感悟　求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含.
跟踪训练　已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， UA={2，4，6}， UB={1，4，6}，则集合B=　　　　　　　.
答案　{2，3，5，7}
解析　方法一(定义法)
因为A={1，3，5，7}， UA={2，4，6}，所以U={1，2，3，4，5，6，7}.
又 UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.
方法二(维恩图法)
满足题意的维恩图如图所示.
由图可知B={2，3，5，7}.
二、交、并、补的综合运算
例2　(1)(课本例4)已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x2≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}，求 UA， UB，( UA)∪( UB)， U(A∩B).
解　不难看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3}.
因此 UA={3，4，5，6，7}， UB={0，4，5，6，7}，
( UA)∪( UB)={0，3，4，5，6，7}，
U(A∩B)={0，3，4，5，6，7}.
(2)(课本例5)已知A=(-1，+∞)，B=(-∞，2]，求 RA， RB.
解　在数轴上表示出A和B，如图所示.
由图可知 RA=(-∞，-1]， RB=(2，+∞).
例2　已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，
因为A={x|-4≤x<2}，B={x|-1所以A∩B={x|-13}.
又P=
所以( UB)∪P=.
又 UP=
所以(A∩B)∩( UP)={x|0延伸探究1　(变问法)在本例的条件下，求( UA)∩( UP).
解　画出数轴，如图所示，
观察数轴可知( UA)∩( UP)=.
延伸探究2　(变条件)将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U=P，A，B不变，求A∪( UB).
解　画出数轴，如图所示，
观察数轴可知A∪( UB)={x|x<2或3反思感悟　(1)解决集合交、并、补运算的技巧
①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解.
②如果所给集合是无限集，则常借助数轴进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
(2)重要结论：设集合U为全集，A，B为U的子集，则有① U(A∩B)=( UA)∪( UB)，简记为“交之补等于补之并”.
② U(A∪B)=( UA)∩( UB)，简记为“并之补等于补之交”.
三、与补集有关的参数的范围问题
例3　设集合A={x|x+m≥0}，B={x|-2解　由已知，得A={x|x≥-m}，
所以 UA={x|x<-m}，
因为B={x|-2所以-m≤-2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
延伸探究3　将本例的条件“( UA)∩B= ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　由已知，得A={x|x≥-m}，
所以 UA={x|x<-m}，
又B={x|-2所以-m>-2，解得m<2.
所以实数m的取值范围是{m|m<2}.
延伸探究4　将本例的条件“( UA)∩B= ”改为“( UB)∪A=R”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　由已知，得A={x|x≥-m}，
UB={x|x≤-2或x≥4}.
又( UB)∪A=R，所以-m≤-2，解得m≥2.
所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
反思感悟　由集合的补集求解参数范围的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数范围问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解.
(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数范围问题时，一般利用数轴分析法求解.
1.知识清单：
(1)全集和补集的概念及运算.
(2)交、并、补集的混合运算.
(3)与补集有关的参数范围的求解.
2.方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合.
3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍.
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，则 UA等于(　　)
A.{1，2，3，4，5} B.{1，5}
C.{2，3，4} D.以上都不对
答案　B
解析　因为U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，所以 UA={1，5}.
2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则 A(A∩B)等于(　　)
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
答案　D
解析　因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，
所以B={1，4，9，16，25，81}，
则A∩B={1，4，9}， A(A∩B)={2，3，5} .
3.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩( IM)= ，则M∪N等于(　　)
A.M B.N C.I D.
答案　A
解析　如图，因为N∩( IM)= ，且M，N不相等，所以NM，所以M∪N=M.
4.已知全集U=R，集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|mx+1=0}，B∩( UA)= ，则实数m的值为　　　　　　.
答案　0或1或-
解析　A={x|x2-x-2=0}={-1，2}，B∩( UA)= 等价于B A.当m=0时，B= A；当m≠0时，B=
∴-=-1或-=2，即m=1或m=-.
综上，实数m的值为0或1或-.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.设全集U={x∈N+|x<9}，集合A={3，4，5，6}，则 UA等于(　　)
A.{1，2，3，8} B.{1，2，7，8}
C.{0，1，2，7} D.{0，1，2，7，8}
答案　B
解析　因为U={x∈N+|x<9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5，6}，所以 UA={1，2，7，8}.
2.已知全集U={x∈N+|x≤5}，A={0，1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩( UB)等于(　　)
A. B.{1} C.{1，2} D.{2，3}
答案　B
解析　由题可知，U={x∈N+|x≤5}={1，2，3，4，5}，所以 UB={1，4}，所以A∩( UB)={1}.
3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则( RS)∪T等于(　　)
A.{x|-2C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
答案　C
解析　因为S={x|x>-2}，所以 RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以( RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.
4.图中的阴影部分表示的集合是(　　)
A.A∩( UB)
B.B∩( UA)
C. U(A∩B)
D. U(A∪B)
答案　B
解析　由维恩图可知，阴影部分的元素属于B但不属于A，所以用集合表示为B∩( UA).
5.(多选)已知集合A，B均为全集U={1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)={4}，B={1，2}，则下列说法正确的是(　　)
A.A∪B={1，2，3}
B.集合A有4个
C.A∩( UB)={3}
D.( UA)∩( UB)={3，4}
答案　ABC
解析　∵ U(A∪B)={4}，U={1，2，3，4}，∴A∪B={1，2，3}，故A正确；
又B={1，2}，∴A={1，3}或A={2，3}或A={1，2，3}或A={3}，故B正确；
∵B={1，2}，∴ UB={3，4}，∴A∩( UB)={3}，故C正确；
∵( UA)∩( UB)= U(A∪B)={4}，故D错误.
6.已知全集U={3，a2-3a-2，2}，A={3，|a-1|}， UA={-2}，则实数a等于(　　)
A.0 B.3 C.1 D.2
答案　B
解析　因为A∪( UA)=U，
所以{3，-2，|a-1|}={3，a2-3a-2，2}，
从而
解得a=3.
7.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则 U(A∩B)=　　　　　　.
答案　{1，2，5}
解析　A∩B={3，4}，所以 U(A∩B)={1，2，5}.
8.(5分)已知M={x|x<-2或x≥3}，N={x|x-a≤0}，若N∩( RM)≠ (R为实数集)，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
答案　[-2，+∞)
解析　由题意，得N={x|x≤a}， RM={x|-2≤x<3}，借助数轴可得a≥-2.
9.(10分)已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|-2解　把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示，由图可得 UA={x|x≤-2或3≤x≤4}， UB={x|x<-3或2故A∩B={x|-2( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩( UB)={x|210.(10分)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且A UB，求实数a的取值范围.
解　若B= ，则a+1>2a-1，则a<2，
此时 UB=R，∴A UB，满足条件；
若B≠ ，则a+1≤2a-1，即a≥2，
此时 UB={x|x2a-1}，
∵A UB，∴或
解得a>4.
综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
11.已知集合A={x|x<-3或x>1}，B={x|x≤-4或x>a}，若A∩( RB)中恰好含有2个整数，则(　　)
A.3C.3答案　B
解析　根据题意，知a>-4，
则 RB={x|-4又A={x|x<-3或x>1}，
∴A∩( RB)={x|-4∵A∩( RB)中恰好含有2个整数，
∴3≤a<4.
12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，( US)∩T={4}，( US)∩( UT)={1，5}，则有(　　)
A.3∈S B.3∈ US C.3∈T D.3∈ UT
答案　AD
解析　因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又( US)∩T={4}，所以4 S，4∈T，又( US)∩( UT)={1，5}，所以 U(S∪T)={1，5}，所以1，5 (S∪T)，3∈(S∪T)，3 (S∩T)，若3∈T，则3 S，3∈( US)∩T，与( US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3 T，3∈ UT.
13.(5分)某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中a=　　　　　；b=　　　　　；c=　　　　　.
答案　9　8　10
解析　由题意得
则解得
14.(5分)已知集合S={x|0答案　
解析　当B= 时，2a-1≤a，得a≤1，
此时 SB=S，( SB)∩A=S∩A={x|8当B≠ 时，2a-1>a，得a>1，
因为S={x|0所以 SB={x|0因为( SB)∩A={x|8所以2a-1≤8，得a≤
所以当B≠ 时，1综上所述，实数a的取值范围是.
15.(多选)设集合M={m|m=5k-2，k∈Z}，N={n|n=10k+8，k∈Z}，则(　　)
A.M∪N=M B.M∩N=
C.( ZM)∪N=Z D.( ZM) ( ZN)
答案　AD
解析　∵n=10k+8=5×2k+5×2-2=5(2k+2)-2，
由k∈Z，则2k+2∈Z，
即N中的元素都是M中的元素，有N M；
而对于集合M，当k=1时，m=3，
故3∈M，但3 N，∴NM，
则M∪N=M，A正确；
M∩N=N，B错误；
由NM，有( ZM)( ZN)，
又( ZN)∪N=Z，
∴( ZM)∪N≠Z，C错误，D正确.
16.(12分)在①A∪B=B；②A (A∩B)；③A∩B= 这三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并求解下列问题.
已知集合A={x|2a-1(1)当a=-时，求A∩( RB)；(5分)
(2)若　　　　，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)当a=-时，集合A=B={x|-1≤x≤3}，
则 RB={x|x<-1或x>3}，
所以A∩( RB)={x|-2(2)若选择①，由A∪B=B可得A B，
因为A={x|2a-1当A= 时，A B成立，则2a-1≥a+1，
解得a≥2；
当A≠ 时，由A B可得
解得0≤a<2.
综上，实数a的取值范围是{a|a≥0}.
若选择②，由A (A∩B)可得A B，下同选择①.
若选择③，因为A={x|2a-1当A= 时，A∩B= 成立，则2a-1≥a+1，
解得a≥2；
当A≠ 时，由A∩B= 可得
或解得a<-2.
综上，实数a的取值范围是{a|a<-2或a≥2}.(共68张PPT)
第1课时
交集与并集
第一章　 1.1.3　集合的基本运算
<<<
1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.
2.能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习目标
两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算.如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题.
导 语
一、交集的概念及应用
二、并集的概念及应用
课时对点练
三、根据并集与交集运算求参
随堂演练
内容索引
交集的概念及应用
一
提示　集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.
观察下列各个集合，集合C与集合A，B之间有什么关系？
(1)A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
(2)A={x|x是立德中学今年在校的女同学}，
B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}，
C={x|x是立德中学今年在校的高一年级的女同学}.
问题1
1.交集
既属于A又属于B
A和B
A∩B
2.交集的运算性质
(1)A∩B= .
(2)A∩A= .
(3)A∩ = ∩A= .
(4)如果A B，则A∩B= ，反之也成立.
B∩A
A
A
(1)A∩B仍是一个集合.
(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B= .
注 意 点
<<<
(1)设集合M={m∈Z|-3A.{0，1} B.{-1，0，1}
C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2}
√
例 1
易知M={-2，-1，0，1}，N={-1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N={-1，0，1}.
解析
(2)设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B等于
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
√
在数轴上表示出集合A和B，如图所示.
由交集的定义知，A∩B={x|0≤x≤2}.
解析
求集合A∩B的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解.
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
反
思
感
悟
　(1)在如图所示的维恩图中，若A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为
A.{x|0B.{x|1C.{x|0≤x≤1或x≥2}
D.{x|0≤x≤1或x>2}
跟踪训练 1
√
由题图可知，阴影部分表示的集合是A∩B，因为A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，所以A∩B={x|1解析
(2)已知A={(x，y)|x+y=3}，B={(x，y)|x-y=1}，则A∩B等于
A.{2，1} B.{x=2，y=1}
C.{(2，1)} D.(2，1)
√
A∩B=={(2，1)}.
解析
二
并集的概念及应用
提示　集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
观察下列各个集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.
问题2
1.并集
A∪B
2.并集的运算性质
(1)A∪B= .
(2)A∪A= .
(3)A∪ = ∪A= .
(4)如果A B，则A∪B= ，反之也成立.
B∪A
A
A
B
(1)A∪B仍是一个集合.
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：
①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性.
注 意 点
<<<
　(1)已知集合A={x|x2=3x}，B={-1，1，2，3}，则A∪B等于
A.{3} B.{-1，0，1，2}
C.{-1，0，1，2，3} D.{-1，1，2，3}
√
例 2
∵集合A={x|x2=3x}={0，3}，B={-1，1，2，3}，
∴A∪B={-1，0，1，2，3}.
解析
(2)(多选)已知集合M={x|-35}，则M∪N等于
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5C.(-∞，-5)∪(-3，+∞)
D.(-5，5)
√
√
在数轴上表示集合M，N，如图所示，
解析
则M∪N={x|x<-5或x>-3}=(-∞，-5)∪(-3，+∞).
求集合M∪N的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解.
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
反
思
感
悟
(多选)点集A={(x，y)|x<0}，B={(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
跟踪训练 2
由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限.
解析
√
√
√
根据并集与交集运算求参
三
已知集合A={x|-2例 3
因为A∪B=B，所以A B，
所以解得-4≤m≤-
故实数m的取值范围为.
解
若将本例的条件“A∪B=B”改为“A∩B= ”，则实数m的取值范围为　　　　 　　.
延伸探究 1
因为A∩B= ，
所以2m+1≥m+7或
所以m≥6或m≤-9或1≤m<6.
故实数m的取值范围为{m|m≤-9或m≥1}.
解析
{m|m≤-9或m≥1}
若将本例的条件“A∪B=B”改为“A∩B=B”，求实数m的取值范围.
延伸探究 2
因为A∩B=B，所以B A.
当B= 时，2m+1≥m+7，
所以m≥6，满足A∩B=B；
当B≠ 时，有无解.
故实数m的取值范围是{m|m≥6}.
解
利用集合间的关系求参数的一般步骤
(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系.
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围.
(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围.
反
思
感
悟
已知集合A={x|-2{x|x>-2}，则实数a的取值范围为　　　　　.
跟踪训练 3
由题意，集合A={x|-2集合B={x|x≥1-a}，
若A∪B={x|x>-2}，则-2<1-a≤4，解得-3≤a<3.
解析
[-3，3)
1.知识清单：
(1)交集、并集的概念及运算.
(2)交集、并集运算的性质.
(3)求参数值或范围.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若集合A={x|0A.{x|0C.{x|0√
∵A={x|0∴A∩B={x|0解析
1
2
3
4
2.已知集合M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是
A.{0，1} B.{0}
C.{-1，2，3} D.{-1，0，1，2，3}
√
由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.
因为M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，故M∪P={-1，0，1，2，3}.
解析
1
2
3
4
3.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x|-1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{x|-1≤x≤5}
√
(A∪B)∩C={1，2，4，6}∩C={1，2，4}.
解析
1
2
3
4
4.设集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a等于
A.-4 B.-2 C.2 D.4
因为集合A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2}，B={x|2x+a≤0}=
又因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a=1，所以a=-2.
解析
√
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C D BD B D {0，1，2} 题号 8 11 12 13 14 15
答案 [2，+∞) C D {t|t≤3} 8 BD
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}={x|3≤x≤7}，
A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A，所以C A，所以a-1≥3，即a≥4.
故实数a的取值范围为{a|a≥4}.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)当a=2时，
B=
则A∩B=.
(2)当B= 时，A∩B= ，
则a-1≥4，所以a≥5，
当B≠ 时，易知A∩B= 不成立，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥5}.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)由题可得B={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
由A∩B=A∪B，得A=B.
从而2，3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的两个根，
即解得a=5.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)因为B={2，3}，
C={x|x2-2x-3=0}={-1，3}.
因为A∩B≠ ，又A∩C= ，
所以2∈A，所以4-2a+a2-19=0，
即a2-2a-15=0，
解得a=5或a=-3.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当a=5时，A={2，3}，
则A∩C≠ ，不符合题意；
当a=-3时，A={-5，2}，
则A∩B={2}且A∩C= ，
故a=-3符合题意.
综上，实数a的值为-3.
基础巩固
1.设集合M={-1，0，2}，N={-1，1}，则M∪N等于
A.{0，2} B.{-1，1，2}
C.{-1，0，1，2} D.{-1，0，2}
√
集合M={-1，0，2}，N={-1，1}，所以M∪N={-1，0，1，2}.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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9
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14
15
16
2.设集合A={(x，y)|x-2y=1}，B={(x，y)|x+y=2}，则A∩B等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
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14
15
16
由
所以A∩B=.
解析
3.设集合A={0，1，2，5}，B={1，3，4}，C={x|1≤x≤4}，则(A∩C)∪B等于
A.{1} B.{1，3}
C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}
√
∵A∩C={1，2}，∴(A∩C)∪B={1，2，3，4}.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)下列说法中正确的是
A.交集的元素个数一定比参与运算的任何一个集合的元素个数少
B.若A∪B=A，则B中的每一个元素都在集合A中
C.A∩B=C∩B，则A=C
D.两集合均不为空集，则两集合的并集不可能为空集
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由A∩A=A可知，A错误；
若A∪B=A，可得集合B是集合A的子集，B正确；
当交集都是空集时，集合A与C不一定相等，C错误；
两集合均不为空集，则两集合的并集不可能为空集，D正确.
解析
5.已知集合A={1，3}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于
A.0或 B.0或3
C.1或3 D.1或3或0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵集合A=B=且A∩B=
∴B A，
∴m=3或m=
解得m=3或m=0或m=1，
由元素的互异性得m=1不符合题意，舍去，
则m=3或m=0.
解析
6.集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C (A∪B)，②C (A∩B)，则满足条件的集合C的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
答案
1
2
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设A={a，b}，B={b，c}，由①知C {a，b，c}，由②知{b} C，所以C中必有元素b，故集合C的个数为22=4.
解析
7.已知集合A=B={x∈Z|x≤2}，则A∩B=　　　 　.
因为A=B={x∈Z|x≤2}，
所以A∩B=
所以A∩B={0，1，2}.
解析
答案
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{0，1，2}
8.已知集合A={x|x因为A∩B=B，所以B A，又A=B=所以k≥2.
解析
答案
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[2，+∞)
9.已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B，A∪B；
A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}={x|3≤x≤7}，
A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}.
解
答案
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(2)若C∪A=A，求实数a的取值范围.
因为C∪A=A，所以C A，所以a-1≥3，即a≥4.
故实数a的取值范围为{a|a≥4}.
解
答案
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10.设A={x|3(1)当a=2时，求A∩B；
答案
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当a=2时，B=
则A∩B=.
解
(2)若A∩B= ，求实数a的取值范围.
答案
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当B= 时，A∩B= ，
则a-1≥4，所以a≥5，
当B≠ 时，易知A∩B= 不成立，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥5}.
解
11.已知集合A={(x，y)|x，y∈N+，y≥x}，B={(x，y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为
A.2 B.3 C.4 D.6
√
综合运用
答案
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满足x，y∈N+，y≥x，且x+y=8的有序实数对(x，y)有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个，故A∩B中元素的个数为4.
解析
12.已知集合A={x|ax-1=0}，B={x∈N+|2≤x<5}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是
A. B.
C. D.
√
答案
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当a=0时，A= ，此时A∪B=B，符合题意.
当a≠0时，集合A={x|ax-1=0}=.
又∵B={x∈N+|2≤x<5}={2，3，4}，且A∪B=B，
∴a=或a=或a=.
则实数a的所有值构成的集合是.
解析
13.设集合M={x|-4答案
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{t|t≤3}
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由M∩N=N，
得N M.
故当N= ，即t+2≥2t-1，
即t≤3时，M∩N=N成立；
当N≠ 时，由数轴得无解.
综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}.
解析
14.设集合A={-1，0}，B={x∈N|0≤x答案
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因为集合B={x∈N|0≤x又A={-1，0}，所以A∩B={0}，A∪B={-1，0，1}.
又A*B={(x，y)|x∈(A∩B)，y∈(A∪B)}，
所以A*B={(0，-1)，(0，0)，(0，1)}，
所以A*B的子集有23=8(个).
解析
8
15.(多选)已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}，若集合A中元素的个数为有限个，则将其个数记为card(A)，则下列说法正确的是
A.若card(A)=2，则card(A∪B)=4
B.若card(A)=1，则card(A∪B)=3
C.若card(A∪B)=3，则A∩B=
D.若card(A∪B)=4，则A∩B=
拓广探究
√
√
答案
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集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}={1，3}，对于A，若card(A)=2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误；
对于B，若card(A)=1，则A={2}，A∪B={1，2，3}，所以card(A∪B)=3，故B正确；
对于C，若card(A∪B)=3，则A∩B可能为 ，{1}，{3}，故C错误；
对于D，若card(A∪B)=4，则A={2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B= ，故D正确.
解析
16.设集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2-2x-3=0}.
(1)若A∩B=A∪B，求实数a的值；
答案
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由题可得B={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
由A∩B=A∪B，得A=B.
从而2，3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的两个根，
即解得a=5.
解
(2)若A∩B≠ 且A∩C= ，求实数a的值.
答案
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因为B={2，3}，C={x|x2-2x-3=0}={-1，3}.
因为A∩B≠ ，又A∩C= ，所以2∈A，
所以4-2a+a2-19=0，即a2-2a-15=0，解得a=5或a=-3.
当a=5时，A={2，3}，则A∩C≠ ，不符合题意；
当a=-3时，A={-5，2}，则A∩B={2}且A∩C= ，
故a=-3符合题意.
综上，实数a的值为-3.
解
第一章　 1.1.3　集合的基本运算
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