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1.1.1　集合及其表示方法
学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合的基本属性解决一些简单的问题.2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.4.能正确使用区间表示数集.
导语
在日常生活中，同学们经常听到“集合”一词.比如体育课上，体育老师常常在开始的时候说“集合”，现代汉语解释为“许多分散的人或物聚集在一起”.在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，今天我们来进一步了解集合的有关知识.
一、集合的含义与元素的特点
问题1　下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？
(1)1~10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有的正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根.
提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等.
问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？
提示　都能构成集合.(1)中的元素是：2，4，6，8，10；(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)中的元素是：正方形；(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；(5)中的元素是：1，2.
知识梳理
1.集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母A，B，C，…表示.
2.元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示.
3.集合元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是确定的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.
4.给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B.
例1　(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是(　　)
A.中国古代四大发明
B.周长为10 cm的三角形
C.方程x2+2x-3=0的实数根
D.地球上的小河流
答案　ABC
解析　对于A，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；对于B，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；对于C，方程x2+2x-3=0的实数根为-3和1，能构成集合；对于D，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合.
(2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　　.
答案　a≠±1
解析　由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1.
延伸探究1　在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　　　.
答案　±2
解析　由题意得a2=4，a=±2，符合题意.
延伸探究2　在例1(2)中增加条件“a是集合A的元素”，求实数a的值.
解　由题意可知，a=1或a2=a.
①若a=1，则a2=1，这与a2≠1相矛盾，
故a≠1.
②若a2=a，则a=0或a=1(舍去)，当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上，实数a的值为0.
反思感悟　(1)判断一组对象能构成集合的条件
①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；
②任何两个对象都是不同的；
③对元素出现的顺序没有要求.
(2)判断两个集合相等的注意点
要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
(3)利用集合相等求参时，已知元素是突破口.
二、元素与集合的关系
1.元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于A
不属于 如果a不是集合A的元素 a A a不属于A
2.集合的分类
集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.不含任何元素的集合称为空集，记作 .
3.几种常见的数集
名称 自然数集 (或非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N+或N* Z Q R
例2　(1)(多选)下列关系中正确的为(　　)
A.∈Q B.-1 N
C.π R D.|-4|∈Z
答案　BD
解析　∵是无理数，∴ Q，故A错误；-1 N，故B正确；∵π是实数，∴π∈R，故C错误；∵|-4|=4是整数，∴|-4|∈Z，故D正确.
(2)给出下列说法：①0∈ ；②如果a，b∈Z，则a-b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈Z，则-a N.其中正确的是　　　　.(填序号)
答案　②
解析　0 ，①错误；②正确；③是无限集，错误；当a=0时，-a=0∈N，④错误.
反思感悟　判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
跟踪训练1　(1)设不等式3-2x<0的解组成的集合为M，下列关系中正确的是(　　)
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
答案　B
解析　当x=0时，3-2x=3>0，所以0 M；当x=2时，3-2x=-1<0，所以2∈M.
(2)下列结论中，不正确的是(　　)
A.若a∈N，则-a N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈Z，则a2∈N
答案　A
解析　A中，当a=0时，显然不成立.
三、集合的表示方法
角度1　列举法
问题3　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示　这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出.
知识梳理
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.
注意点：
(1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序.
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{　}”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号.
(3)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等字眼.
例3　用列举法表示下列集合：
(1)大于2且小于10的所有整数组成的集合；
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合C.
解　(1)设大于2且小于10的所有整数组成的集合为A，那么A={3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2+x=0的所有实数根组成的集合为B，那么B={-1，0}.
(3)由解得
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1，4)，
所以C={(1，4)}.
反思感悟　用列举法表示集合的三步曲：
第一步：求出集合的元素；
第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
第三步：用大括号括起来.
角度2　描述法
问题4　你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？
提示　不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}.
问题5　仿照上面的例子，你能表示偶数集吗？
提示　{x∈Z|x=2k，k∈Z}.
知识梳理
1.一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.
2.集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
注意点：
(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x=2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的.
(4)所有描述的内容都要写在大括号内，如“{x∈Z|x=2m}，m∈N+”不符合要求，应将“m∈N+”写进“{　}”中，即{x∈Z|x=2m，m∈N+}.
(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
例4　用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合A；
(2)所有被3除余1的整数组成的集合B；
(3)使y=有意义的实数x组成的集合C；
(4)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解集D.
解　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合A={(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}.
(2)因为被3除余1的整数可表示为3n+1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数组成的集合B={x|x=3n+1，n∈Z}.
(3)要使y=有意义，
则x2+x-6≠0.
由x2+x-6=0，得x1=2，x2=-3.
所以使y=有意义的实数x组成的集合C={x|x≠2且x≠-3，x∈R}.
(4)由(x-2)2+(y+3)2=0，解得x=2，y=-3.
所以方程的解集D={(x，y)|x=2，y=-3}.
反思感悟　利用描述法表示集合的注意点
(1)写清楚该集合的代表元素.例如，集合{(x，y)|x=2，y=3}写成{x，y|x=2，y=3}是错误的.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x=2k，k∈Z}.
跟踪训练2　选择适当方法表示下列集合：
(1)由小于8的所有自然数组成的集合A；
(2)自然数的平方组成的集合B；
(3)方程组的解组成的集合C；
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D.
解　(1)列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}，
描述法A={x∈N|x<8}.
(2)描述法B={x|x=n2，n∈N}.
(3)列举法C={(2，1)}，
描述法C=.
(4)描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}.
四、区间及其表示
1.设a，b是两个实数，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“-∞”表示“负无穷大”，则实数集R可表示为区间(-∞，+∞).
集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x区间 [a，+∞) (a，+∞) (-∞，a] (-∞，a)
注意点：
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆.
(2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立.
(3)a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.
(4)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
(5)∞是一个符号，而不是一个数.
例5　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥-1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|-1解　(1){x|x≥-1}=[-1，+∞).
(2){x|x<0}=(-∞，0).
(3){x|-1反思感悟　用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
跟踪训练3　(1)(课本例2)用区间表示不等式2x->x的所有解组成的集合A.
解　由2x->x可知x>，所以A=.
跟踪训练3　(1)不等式2x+3≤0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　不等式2x+3≤0的所有解组成的集合为表示成区间为.
(2)已知区间(a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，6)
解析　由题意可知a+1<7，解得a<6，
所以实数a的取值范围是(-∞，6).
1.知识清单：
(1)集合的含义与元素的特点.
(2)元素与集合的关系.
(3)集合的表示方法.
(4)区间及其表示.
2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.
3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略互异性的判断；列举法与描述法的乱用.
1.区间(0，1]等于(　　)
A.{0，1} B.{(0，1]}
C.{x|0答案　C
2.(多选)下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有质数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.面积为16 cm2的正方形
答案　BD
解析　A中“难题”的标准不确定，因此不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；D中面积为16 cm2的正方形具有确定性，能构成集合.
3.下列集合的表示方法正确的是(　　)
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
答案　D
解析　A中应是xy<0；B中不符合描述法的规范格式，应为{x|x<5}；C中的“{　}”与“全体”意思重复.
4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A=B，则实数x=　　　　，y=　　　　.
答案　1　0
解析　由题意得或
解得或又当x=y=0时，不满足集合元素的互异性，所以x=1，y=0.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1.把集合{x|x2-4=0}用列举法表示为(　　)
A.{x=-2，x=2} B.{x|x=-2，或x=2}
C.{x2-4=0} D.{-2，2}
答案　D
解析　根据题意，由x2-4=0解得x=-2或x=2，用列举法表示为{-2，2}.
2.下列关系中，正确的是(　　)
A.-∈Z B.π R
C.|-|∈Q D.2∈N
答案　D
解析　因为Z是整数集，故- Z，所以A错误；
因为R是实数集，故π∈R，所以B错误；
因为Q是有理数集，故|-|= Q，所以C错误；
因为N是自然数集，故2∈N，所以D正确.
3.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.菱形
答案　C
解析　由题意，集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a，b，c，d四个元素互不相等，以四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，结合选项，只可能为梯形.
4.已知集合M={x|x>1，x∈N}，则(　　)
A.0∈M B.π∈M C.∈M D.2∈M
答案　D
解析　由集合M={x|x>1，x∈N}知0 M，故A错误；π M，故B错误； M，故C错误；2∈M，故D正确.
5.下列集合相等的是(　　)
A.M={(3，2)}，N={(2，3)}
B.M={2，3}，N={3，2}
C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}
D.M={2，3}，N={(2，3)}
答案　B
解析　选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不相等；选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N={y|x+y=1}=R，故集合M与N不相等；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不相等；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知集合M与N相等.
6.(多选)已知集合A={1，x，x2+3}，若4∈A，则x等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.4
答案　AD
解析　因为4∈A，所以x=4或x2+3=4，则x=4或x=-1或x=1，
而x=1时不满足集合中元素的互异性，
故x=4或x=-1.
7.(5分)若区间[2，a]的长度不超过5，则实数a的取值范围用区间表示为　　　　.
答案　(2，7]
解析　由题意可知所以2即实数a的取值范围是(2，7].
8.(5分)已知集合A={2，3，4，5，6}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则集合B中元素的个数为　　　.
答案　6
解析　因为x∈A，y∈A，x-y∈A，所以当x=4时，y=2；当x=5时，y=2或3；当x=6时，y=2或3或4.则B={(4，2)，(5，2)，(5，3)，(6，2)，(6，3)，(6，4)}，所以集合B中元素的个数为6.
9.(10分)用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集；(2分)
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(2分)
(3)不等式x-2>6的解构成的集合；(2分)
(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(2分)
(5)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合.(2分)
解　(1){0，-1}.
(2){x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
(5)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.
10.(11分)(1)设集合B=.
①试判断元素1，2与集合B的关系；(4分)
②用列举法表示集合B；(3分)
(2)已知集合A={x|x2-ax+b=0}，若A={2，3}，求a，b的值.(4分)
解　(1)①当x=1时=2∈N.
当x=2时= N.∴1∈B，2 B.
②∵∈N，x∈N，∴2+x只能取2，3，6，
∴x只能取0，1，4.∴B={0，1，4}.
(2)由A={2，3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2，3，由根与系数的关系，得因此a=5，b=6.
11.关于x的方程ax2+x+a=0的解集有且只有一个元素，则a等于(　　)
A.±或0 B.±
C. D.-
答案　A
解析　当a=0时，方程为x+0=0，解得x=0，满足题意；当a≠0时，有即解得a=±.
12.已知集合A={1，2，4}，集合B=则集合B中元素之和为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为集合A={1，2，4}，
所以集合B==
所以集合B中元素之和为.
13.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
答案　D
解析　由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误.
14.(5分)已知x，y，z为非零实数，代数式+++的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　　.
答案　3
解析　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个.
15.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M={(a，b)|a※b=16}中的元素个数是(　　)
A.18 B.17 C.16 D.15
答案　B
解析　因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，9+7=16，10+6=16，11+5=16，12+4=16，13+3=16，14+2=16，15+1=16，1×16=16，16×1=16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个.
16.(13分)已知集合A={x|x=3n+1，n∈Z}，B={x|x=3n+2，n∈Z}，M={x|x=6n+3，n∈Z}.
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立？(5分)
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a+b=m？证明你的结论.(8分)
解　(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z)，
令a=3k+1(k∈Z)，b=3k+2(k∈Z)，则m=a+b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立.
(2)设a=3k+1，b=3l+2，k，l∈Z，
则a+b=3(k+l)+3，k，l∈Z.
当k+l=2p(p∈Z)时，a+b=6p+3∈M，此时存在m∈M，使a+b=m成立；当k+l=2p+1(p∈Z)时，a+b=6p+6 M，
此时不存在m∈M，使a+b=m成立.
故对于任意a∈A，b∈B，
不一定存在m∈M，使a+b=m.(共89张PPT)
1.1.1
集合及其表示方法
§1.1　集合
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1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合的基本属性解决一些简单的问题.
2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.
3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
4.能正确使用区间表示数集.
学习目标
在日常生活中，同学们经常听到“集合”一词.比如体育课上，体育老师常常在开始的时候说“集合”，现代汉语解释为“许多分散的人或物聚集在一起”.在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，今天我们来进一步了解集合的有关知识.
导 语
一、集合的含义与元素的特点
二、元素与集合的关系
课时对点练
三、集合的表示方法
随堂演练
内容索引
四、区间及其表示
集合的含义与元素的特点
一
提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等.
下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？
(1)1~10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有的正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根.
问题1
提示　都能构成集合.(1)中的元素是：2，4，6，8，10；
(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；
(3)中的元素是：正方形；
(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；
(5)中的元素是：1，2.
问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？
问题2
1.集合：把一些能够 、 对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母 表示.
2.元素：组成集合的 都是这个集合的元素，通常用英文小写字母 表示.
确定的
不同的
A，B，C，…
每个对象
a，b，c，…
3.集合元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是 的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是 的.
(3)无序性：集合中的元素可以 .
4.给定两个集合A和B，如果组成它们的元素 ，就称这两个集合相等，记作 .
确定
不同
任意排列
完全相同
A=B
　(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是
A.中国古代四大发明
B.周长为10 cm的三角形
C.方程x2+2x-3=0的实数根
D.地球上的小河流
√
例 1
对于A，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；
对于B，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；
对于C，方程x2+2x-3=0的实数根为-3和1，能构成集合；
对于D，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合.
解析
√
√
(2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　.
a≠±1
由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1.
解析
在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　.
延伸探究 1
由题意得a2=4，a=±2，符合题意.
解析
±2
在例1(2)中增加条件“a是集合A的元素”，求实数a的值.
延伸探究 2
由题意可知，a=1或a2=a.
①若a=1，则a2=1，这与a2≠1相矛盾，
故a≠1.
②若a2=a，则a=0或a=1(舍去)，当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上，实数a的值为0.
解
(1)判断一组对象能构成集合的条件
①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；
②任何两个对象都是不同的；
③对元素出现的顺序没有要求.
(2)判断两个集合相等的注意点
要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
(3)利用集合相等求参时，已知元素是突破口.
反
思
感
悟
二
元素与集合的关系
1.元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 _____ a属于A
不属于 如果a不是集合A的元素 ____ a不属于A
a∈A
a A
2.集合的分类
集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为_______，含有无限个元素的集合称为 . 任何元素的集合称为空集，记作 .
有限集
无限集
不含

3.几种常见的数集
名称 自然数集 (或非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ ________ ____ ____ ____
N
N+或N*
Z
Q
R
(1)(多选)下列关系中正确的为
A.∈Q B.-1 N
C.π R D.|-4|∈Z
√
例 2
√
∵是无理数，∴ Q，故A错误；
-1 N，故B正确；
∵π是实数，∴π∈R，故C错误；
∵|-4|=4是整数，∴|-4|∈Z，故D正确.
解析
(2)给出下列说法：①0∈ ；②如果a，b∈Z，则a-b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈Z，则-a N.其中正确的是　　.(填序号)
②
0 ，①错误；②正确；
③是无限集，错误；
当a=0时，-a=0∈N，④错误.
解析
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
反
思
感
悟
(1)设不等式3-2x<0的解组成的集合为M，下列关系中正确的是
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
跟踪训练 1
当x=0时，3-2x=3>0，所以0 M；当x=2时，3-2x=-1<0，所以2∈M.
解析
√
(2)下列结论中，不正确的是
A.若a∈N，则-a N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈Z，则a2∈N
A中，当a=0时，显然不成立.
解析
√
集合的表示方法
三
角度1　列举法
提示　这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出.
用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
问题3
把集合中的元素 出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在____
______内，以此来表示集合的方法称为列举法.
一一列举
大
括号
(1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序.
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{　}”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号.
(3)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等字眼.
注 意 点
<<<
　用列举法表示下列集合：
(1)大于2且小于10的所有整数组成的集合；
例 3
设大于2且小于10的所有整数组成的集合为A，那么A={3，4，5，6，7，8，9}.
解
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合；
设方程x2+x=0的所有实数根组成的集合为B，那么B={-1，0}.
解
(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合C.
由
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1，4)，
所以C={(1，4)}.
解
用列举法表示集合的三步曲：
第一步：求出集合的元素；
第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
第三步：用大括号括起来.
反
思
感
悟
角度2　描述法
提示　不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}.
你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？
问题4
提示　{x∈Z|x=2k，k∈Z}.
仿照上面的例子，你能表示偶数集吗？
问题5
1.一般地，如果属于集合A的 元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都 这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.
2.集合A可以用它的特征性质p(x)表示为 的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
任意一个
不具有
{x|p(x)}
(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x=2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的.
(4)所有描述的内容都要写在大括号内，如“{x∈Z|x=2m}，m∈N+”不符合要求，应将“m∈N+”写进“{　}”中，即{x∈Z|x=2m，m∈N+}.
(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
注 意 点
<<<
　用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合A；
例 4
因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合A={(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}.
解
(2)所有被3除余1的整数组成的集合B；
因为被3除余1的整数可表示为3n+1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数组成的集合B={x|x=3n+1，n∈Z}.
解
(3)使y=有意义的实数x组成的集合C；
要使y=有意义，
则x2+x-6≠0.
由x2+x-6=0，得x1=2，x2=-3.
所以使y=有意义的实数x组成的集合C={x|x≠2且x≠-3，x∈R}.
解
(4)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解集D.
由(x-2)2+(y+3)2=0，解得x=2，y=-3.
所以方程的解集D={(x，y)|x=2，y=-3}.
解
利用描述法表示集合的注意点
(1)写清楚该集合的代表元素.例如，集合{(x，y)|x=2，y=3}写成{x，y|x=2，y=3}是错误的.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x=2k，k∈Z}.
反
思
感
悟
选择适当方法表示下列集合：
(1)由小于8的所有自然数组成的集合A；
跟踪训练 2
列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}，
描述法A={x∈N|x<8}.
解
(2)自然数的平方组成的集合B；
描述法B={x|x=n2，n∈N}.
解
(3)方程组的解组成的集合C；
列举法C={(2，1)}，
描述法C=.
解
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D.
描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}.
解
区间及其表示
四
1.设a，b是两个实数，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“-∞”表示“负无穷大”，则实数集R可表示为区间(-∞，+∞).
集合 {x|x≥a} _______ {x|x≤a} {x|x区间 ________ (a，+∞) (-∞，a] ________
{x|x>a}
[a，+∞)
(-∞，a)
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆.
(2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立.
(3)a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.
(4)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
(5)∞是一个符号，而不是一个数.
注 意 点
<<<
把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥-1}；
例 5
{x|x≥-1}=[-1，+∞).
解
(2){x|x<0}；
{x|x<0}=(-∞，0).
解
(3){x|-1{x|-1解
用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
反
思
感
悟
　(1)(课本例2)用区间表示不等式2x->x的所有解组成的集合A.
跟踪训练 3
由2x->x可知x>，所以A=.
解
(1)不等式2x+3≤0的所有解组成的集合表示成区间是
A. B.
C. D.
跟踪训练 3
不等式2x+3≤0的所有解组成的集合为表示成区间为.
解析
√
(2)已知区间(a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　 .
由题意可知a+1<7，解得a<6，
所以实数a的取值范围是(-∞，6).
解析
(-∞，6)
1.知识清单：
(1)集合的含义与元素的特点.
(2)元素与集合的关系.
(3)集合的表示方法.
(4)区间及其表示.
2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.
3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略互异性的判断；列举法与描述法的乱用.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.区间(0，1]等于
A.{0，1} B.{(0，1]}
C.{x|0√
2.(多选)下列各组对象可以组成集合的是
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有质数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.面积为16 cm2的正方形
√
A中“难题”的标准不确定，因此不能构成集合；
B能构成集合；
C中“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；
D中面积为16 cm2的正方形具有确定性，能构成集合.
解析
√
1
2
3
4
1
2
3
4
3.下列集合的表示方法正确的是
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
√
A中应是xy<0；
B中不符合描述法的规范格式，应为{x|x<5}；
C中的“{　}”与“全体”意思重复.
解析
1
2
3
4
4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A=B，则实数x=　　　，y=　　　.
由题意得
解得
又当x=y=0时，不满足集合元素的互异性，所以x=1，y=0.
解析
1
0
课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D D C D B AD (2，7]
题号 8 11 12 13 14 　15 答案 6 A B D 3 　B
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1){0，-1}.
(2){x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
(5)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)①当x=1时=2∈N.
当x=2时= N.
∴1∈B，2 B.
②∵∈N，x∈N，
∴2+x只能取2，3，6，∴x只能取0，1，4.
∴B={0，1，4}.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)由A={2，3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2，3，由根与系数的关系，得因此a=5，b=6.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z)，
令a=3k+1(k∈Z)，b=3k+2(k∈Z)，则m=a+b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立.
(2)设a=3k+1，b=3l+2，k，l∈Z，
则a+b=3(k+l)+3，k，l∈Z.
当k+l=2p(p∈Z)时，a+b=6p+3∈M，此时存在m∈M，使a+b=m成立；
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当k+l=2p+1(p∈Z)时，a+b=6p+6 M，
此时不存在m∈M，使a+b=m成立.
故对于任意a∈A，b∈B，
不一定存在m∈M，使a+b=m.
基础巩固
1.把集合{x|x2-4=0}用列举法表示为
A.{x=-2，x=2} B.{x|x=-2，或x=2}
C.{x2-4=0} D.{-2，2}
√
根据题意，由x2-4=0解得x=-2或x=2，用列举法表示为{-2，2}.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.下列关系中，正确的是
A.-∈Z B.π R
C.|-|∈Q D.2∈N
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为Z是整数集，故- Z，所以A错误；
因为R是实数集，故π∈R，所以B错误；
因为Q是有理数集，故|-|= Q，所以C错误；
因为N是自然数集，故2∈N，所以D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.菱形
√
由题意，集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a，b，c，d四个元素互不相等，以四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，结合选项，只可能为梯形.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知集合M={x|x>1，x∈N}，则
A.0∈M B.π∈M C.∈M D.2∈M
√
由集合M={x|x>1，x∈N}知0 M，故A错误；
π M，故B错误；
M，故C错误；
2∈M，故D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.下列集合相等的是
A.M={(3，2)}，N={(2，3)}
B.M={2，3}，N={3，2}
C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}
D.M={2，3}，N={(2，3)}
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
16
选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不相等；
选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N={y|x+y=1}=R，故集合M与N不相等；
选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不相等；
对于选项B，由集合中元素的无序性，可知集合M与N相等.
解析
6.(多选)已知集合A={1，x，x2+3}，若4∈A，则x等于
A.-1 B.0 C.1 D.4
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为4∈A，所以x=4或x2+3=4，则x=4或x=-1或x=1，
而x=1时不满足集合中元素的互异性，
故x=4或x=-1.
解析
7.若区间[2，a]的长度不超过5，则实数a的取值范围用区间表示为　　　.
由题意可知所以2即实数a的取值范围是(2，7].
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2，7]
8.已知集合A={2，3，4，5，6}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则集合B中元素的个数为　　　.
因为x∈A，y∈A，x-y∈A，所以当x=4时，y=2；当x=5时，y=2或3；
当x=6时，y=2或3或4.则B={(4，2)，(5，2)，(5，3)，(6，2)，(6，3)，(6，4)}，所以集合B中元素的个数为6.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
6
9.用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集；
{0，-1}.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
{x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
解
(3)不等式x-2>6的解构成的集合；
{x|x>8}.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；
{1，2，3，4，5，6}.
解
(5)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合.
由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
10.(1)设集合B=.
①试判断元素1，2与集合B的关系；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
当x=1时=2∈N.
当x=2时= N.∴1∈B，2 B.
解
②用列举法表示集合B；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
∵∈N，x∈N，∴2+x只能取2，3，6，
∴x只能取0，1，4.∴B={0，1，4}.
解
(2)已知集合A={x|x2-ax+b=0}，若A={2，3}，求a，b的值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由A={2，3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2，3，由根与系数的关系，
得因此a=5，b=6.
解
11.关于x的方程ax2+x+a=0的解集有且只有一个元素，则a等于
A.±或0 B.±
C. D.-
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当a=0时，方程为x+0=0，解得x=0，满足题意；
当a≠0时，有解得a=±.
解析
12.已知集合A={1，2，4}，集合B=则集合B中元素之和为
A. B. C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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因为集合A={1，2，4}，
所以集合B==
所以集合B中元素之和为.
解析
13.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
答案
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√
答案
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由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；
因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；
因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；
因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误.
解析
14.已知x，y，z为非零实数，代数式+++的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　.
答案
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针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个.
解析
3
15.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M={(a，b)|a※b=16}中的元素个数是
A.18 B.17 C.16 D.15
拓广探究
√
答案
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因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，9+7=16，10+6=16，11+5=16，12+4=16，13+3=16，14+2=16，15+1=16，1×16=16，16×1=16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个.
解析
16.已知集合A={x|x=3n+1，n∈Z}，B={x|x=3n+2，n∈Z}，M={x|x=6n+3，n∈Z}.
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立？
答案
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设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z)，
令a=3k+1(k∈Z)，b=3k+2(k∈Z)，则m=a+b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立.
解
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a+b=m？证明你的结论.
答案
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设a=3k+1，b=3l+2，k，l∈Z，
则a+b=3(k+l)+3，k，l∈Z.
当k+l=2p(p∈Z)时，a+b=6p+3∈M，此时存在m∈M，使a+b=m成立；当k+l=2p+1(p∈Z)时，a+b=6p+6 M，
此时不存在m∈M，使a+b=m成立.
故对于任意a∈A，b∈B，
不一定存在m∈M，使a+b=m.
解
§1.1　集合
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