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浙教版2025-2026学年七年级上数学第3章 实数 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各数中是无理数的是（　　）
A．2 B． C． D．
2．25的平方根是（　　）
A．5 B．－5 C．±5 D．±25
3．在，，，四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．1 D．
4． 的算术平方根的倒数是（　　）
A． B． C． D．±
5．下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2
C．3 D．没有平方根
6．如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
7．已知，若，则的值（　　）
A．86.2 B． C． D．
8．已知 ， ， ， .若n为整数且 ，则n的值为（　　）
A．43 B．44 C．45 D．46
9．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
10．设 p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，是无理数，有下列四个数：①p12+q12；②（p2+q2）2；③（p3+q3）q3；④p4（p4+q4）.其中必为无理数的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 的立方根是　 　.
12．一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为　 　的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）．
13．通过估算比较大小： 　 　(填“>”“<”或“=”).
14．已知一个正数b的两个平方根分别是a和a-4，则b-a的算术平方根为　 　.
15．若a 是最大的负整数，b 的算术平方根是 ，m与n 互为倒数，则. 的值为　 　.
16．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数， 记 . 例如： . 则 的值为　 　. 计算 　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧
整数：{ }
负分数：{ }
无理数：{ }
18．计算：
（1） . （2） .
.
19．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）．
（1）求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长；
（2）求方格（图）中阴影正方形的边长．
20．已知一个正数m的平方根分别为2n+1和4-3n.
（1）求 m 的值.
（2）若 则a+b+c的平方根是多少
21．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）填空：的整数部分是　 　，的小数部分是　 　．
（2）若，其中是整数，且，求的平方根．
22．阅读材料：
现规定分别用[x]和表示实数的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]=3，小数部分是<3.14>=0.14；实数 的整数部分是，把它的整数部分减去，就得到了它的小数部分，即 ，就是 的小数部分，所以 <>=.
根据上述材料，解答下面的问题：
（1）[]=　 　，<>=　 　，[]=　 　，<≥　 　.
（2）若 <>=a，[]=b，求 a+b-的立方根.
23．阅读下面文字，然后回答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以 的小数部分我们不可能全部写出来，由于 的整数部分是1，将 减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此 的小数部分可用 表示.
由此我们得到一个结论：如果 其中x是整数，且0请解答下列问题：
（1） 如果 其中a 是整数，且0（2） 如果 其中c 是整数，且0（3）已知 其中m 是整数，且024．如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y-）x的值．
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
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浙教版2025-2026学年七年级上数学第3章 实数 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各数中是无理数的是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】2是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，
故答案为：D．
2．25的平方根是（　　）
A．5 B．－5 C．±5 D．±25
【答案】C
【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根是±5，用符号表示为：.
故答案为：C.
3．在，，，四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】∵ ∴在，，，四个数中，最小的数是，
故答案为：B．
4． 的算术平方根的倒数是（　　）
A． B． C． D．±
【答案】C
【解析】 =4，∴4算术平方根等于2，∴ 的算术平方根的倒数是.
故答案为：C.
5．下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2
C．3 D．没有平方根
【答案】D
【解析】A、4的平方根是±2，A错误；
B、8的立方根是2，B错误；
C、3，C错误；
D、负数没有平方根，D正确；
故答案为：D.
6．如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】根据题意得：，，
∵，，
∴，
解得：，
故应选：C．
7．已知，若，则的值（　　）
A．86.2 B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴.
故答案为：C.
8．已知 ， ， ， .若n为整数且 ，则n的值为（　　）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，即
.
∵ ，n为整数.
∴ .
故答案为：B.
9．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵直径为单位1的圆的周长为π，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
即，
∴A点表示的数是-π．
故选：D．
10．设 p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，是无理数，有下列四个数：①p12+q12；②（p2+q2）2；③（p3+q3）q3；④p4（p4+q4）.其中必为无理数的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】①当 则p12+q12=3，是有理数；
②当 时， 是有理数；
③当 时， 是有理数；
④无论取何值，原式都是无理数.
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 的立方根是　 　.
【答案】4
【解析】=64 ∴的立方根为=4.
故答案为：4
12．一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为　 　的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）．
【答案】
【解析】设立方体的棱长为，
则，
∴，
∴，
∴立方体棱长为，
故答案为：．
13．通过估算比较大小： 　 　(填“>”“<”或“=”).
【答案】>
【解析】∵＞2，
∴+1＞3，
∴＞，
即＞，
故答案为：> .
14．已知一个正数b的两个平方根分别是a和a-4，则b-a的算术平方根为　 　.
【答案】
【解析】∵一个正数b的两个平方根分别是a和(a-4)，
∴a+a-4=0，
解得：a=2
∴b= 4，
∴b-a = 2，
∴(b-a)的算术平方根为；
故答案为：.
15．若a 是最大的负整数，b 的算术平方根是 ，m与n 互为倒数，则. 的值为　 　.
【答案】-2022
【解析】∵ a是最大的负整数，
∴a=-1；
∵b的算术平方根是 ，
∴b=3，
∵m与n互为倒数，
∴mn=1，
∴.
故答案为：-2022 .
16．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数， 记 . 例如： . 则 的值为　 　.
计算 　 　.
【答案】88；2024
【解析】因为2024#表示不大2024的最大完全平方数，且442=1936＜2024＜2025=452，
所以2024△=2024-2024#=2024-1936=88；
因为1#=1，
所以1△=1-1#=0，=1；
因为2#=1，
所以2△=2-2#=0，=1；
因为3#=1，
所以3△=3-3#=2，=1；
因为4#=4，
所以4△=4-4#=0，=2；
因为5#=4，
所以5△=5-5#=1，=2；
因为6#=4，
所以6△=6-6# =2，=2；
因为7#=4，
所以7=7△-7#=3，=2；
因为8#=4，
所以8△=8-8#=4，=2；
……；
因为2024#=1936，
所以2024△=2024-2024#=88，=44；
分母的规律是从1开始到44；
分子的规律从0开始，到分数的值为2结束，
所以
=
=
=3+5+7+9+...+89=（3+89）×44÷2
=2024；
故答案为：88；2024.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧
整数：{ }
负分数：{ }
无理数：{ }
【答案】解：整数：{③④⑤}
负分数：{②⑦⑧}
无理数：{①⑥}
18．计算：
（1） .
（2） .
（3）.
【答案】（1）解：原式 =-8+15-2=5
（2）解：原式=4-(-4)÷2=4+2=6
（3）解：原式=-1+2÷(-2)+6-3=-1+（-1）+6-3=1
19．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）．
（1）求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长；
（2）求方格（图）中阴影正方形的边长．
【答案】（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为：
，
所以，阴影正方形边长为；
（2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为：
，
所以，阴影正方形边长为．
【解析】【分析】（）利用割补法求出阴影面积，再利用求算术平方根解题；
（）利用割补法求出阴影面积，再利用求算术平方根解题；
（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为：
，
所以，阴影正方形边长为；
（2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为：
，
所以，阴影正方形边长为．
20．已知一个正数m的平方根分别为2n+1和4-3n.
（1）求 m 的值.
（2）若 则a+b+c的平方根是多少
【答案】（1）解：∵正数m的平方根互为相反数，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，， ，
∴，，，
∴，
∴的平方根是．
21．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）填空：的整数部分是　 　，的小数部分是　 　．
（2）若，其中是整数，且，求的平方根．
【答案】（1）5；
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴待求式的平方根为
【解析】（1）∵
∴
∴的整数部分是5，的小数部分是，
故答案为：5，.
22．阅读材料：
现规定分别用[x]和表示实数的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]=3，小数部分是<3.14>=0.14；实数 的整数部分是，把它的整数部分减去，就得到了它的小数部分，即 ，就是 的小数部分，所以 <>=.
根据上述材料，解答下面的问题：
（1）[]=　 　，<>=　 　，[]=　 　，<≥　 　.
（2）若 <>=a，[]=b，求 a+b-的立方根.
【答案】（1）；；；
（2）解：
的整数部分是2，小数部分是
的整数部分是10.
的立方根为2.
【解析】【解答】（1）解：，，
，，，，
故答案为：1，，3，；
23．阅读下面文字，然后回答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以 的小数部分我们不可能全部写出来，由于 的整数部分是1，将 减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此 的小数部分可用 表示.
由此我们得到一个结论：如果 其中x是整数，且0请解答下列问题：
（1） 如果 其中a 是整数，且0（2） 如果 其中c 是整数，且0（3）已知 其中m 是整数，且0【答案】（1）2；
（2）-3；
（3）解：
【解析】（1）·
∴的整数部分是2，即
（2）
24．如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y-）x的值．
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
【答案】（1）解： 正方形ABCD的面积为：16-4××1×3=10；
该正方形的边长为：；
∵9＜10＜16，
∴，
∴这个值在3与4之间；
（2）解：∵，
∴x=3，y=-3，
∴（y-）3=（-3-）=（-3）3=-27；
（3）解：①∵AB=AP=，
∴点P离开原点得距离为：，
又∵点P在原点得右边，
∴点P表示的数为：1+；
②不存在，理由如下：
假设存在正整数n，则nx+1=2023，
n=2022
=，
∵n为正整数，
∴可得为有理数， 而为无理数，
∴上式等号不成立，即不存在正整数n.
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