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第五单元　万有引力与宇宙航行
(75分钟　100分)
考情分析
高考对接点 开普勒行星运动三定律、万有引力定律，万有引力定律在航天方面的应用、曲线运动
单元疑难点 万有引力定律的应用
滚动知识点 曲线运动的速度和合力、运动的合成与分解、平抛运动
典型情境题 1、2、3、4、5、6、8、9、13、14
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.家用洗衣机脱水示意图如图，衣服紧贴在匀速转动的圆筒内壁上，则提供衣服做圆周运动的向心力的力是
A.弹力 B.摩擦力
C.重力 D.衣服与圆筒内壁的粘力
2.墨子号是我国研制的首颗空间量子科学实验卫星，它具有传输高效的特点，构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系，如图所示。假设量子卫星轨道在赤道平面内，它的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，P是静置于地球赤道上某处的物体，则下列结论正确的是
A.地球同步卫星的向心力小于量子卫星的向心力
B.地球同步卫星的向心加速度大于量子卫星的向心加速度
C.物体P的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度
D.量子卫星的角速度大于物体P的角速度
3.我国嫦娥七号计划2026年前后发射，它的主要任务是开展月球南极的环境与资源勘查。嫦娥七号“奔月”的示意图如图所示，嫦娥七号卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于嫦娥七号的“奔月”过程，下列说法正确的是
A.嫦娥七号发射时的速度必须大于第二宇宙速度
B.嫦娥七号经过P点时，必须加速才能进入地月转移轨道
C.在地月转移轨道上，月球对嫦娥七号的万有引力大于地球对嫦娥七号的万有引力
D.在不同的绕月轨道上，相同时间内卫星与月心连线扫过的面积相同
4.2023年10月31日，神舟十六号乘组成功返回地面，在返回之前，航天员手持高清相机，给中国空间站拍摄高清全身照。已知中国空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响。下列说法正确的是
A.航天员在空间站中可以用弹簧测力计测量砝码重力
B.空间站离地面的高度h=
C.空间站的线速度大小为
D.地球的平均密度为
5.2023年10月26日，神舟十七号飞船成功发射，空间站的运行轨道可以近似看作圆形轨道Ⅰ，椭圆轨道Ⅱ为神舟十七号飞船与空间站对接前神舟十七号飞船的运行轨道，两轨道相切于P点，Q点为椭圆轨道Ⅱ上的近地点。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，空间站的运行周期与地球自转周期之比为1∶16。下列描述正确的是
A.空间站在轨道Ⅰ上的运行速度大于
B.空间站的轨道半径和地球同步卫星的轨道半径之比为1∶
C.神舟十七号飞船在轨道Ⅱ上经过P点时与在轨道Ⅰ上经过P点时的速度相同
D.神舟十七号飞船在轨道Ⅱ上由Q点向P点运动时处于超重状态
6.我国的天链一号是地球同步轨道数据中继卫星，可为载人航天器及中、低轨道卫星提供数据中继服务。天链一号a、赤道平面内的低轨道卫星b和地球的位置关系示意图如图，O为地心。已知地球相对卫星a、b的张角分别为θ1和θ2(θ2图中未标出)，卫星a的运行周期是b的8倍。已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的运行周期为T，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星a通讯的盲区，信号传输时间可忽略。将运行过程中，两卫星相距最近时称为两卫星“相遇”。则下列分析正确的是
A.卫星a离地面的高度是卫星b离地面高度的4倍
B.sin θ2=4sin θ1
C.卫星b每次在与卫星a通迅的盲区运行的时间为
D.卫星a和b相邻两次“相遇”的时间间隔为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
7.假想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，航天员可通过竖直的“太空电梯”缓慢直通太空站。图乙中，r为航天员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为仅在地球引力作用下航天员产生的加速度大小与r的关系；直线B为航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。当航天员乘坐“太空电梯”缓慢升空时，下列说法正确的是
甲　　　　 　　　　　乙
A.随着r增大，航天员的角速度减小
B.r0等于地球同步卫星的轨道半径
C.航天员在r=R处的线速度大小等于第一宇宙速度
D.随着r增大，航天员对“太空电梯”的压力减小
8.搭载神舟十七号载人飞船的长征二号火箭发射后约10分钟箭船分离，飞船先在较低的过渡轨道上运行，然后载人飞船短暂喷气，离开过渡轨道与空间站组合体完成自主快速交会对接，从开始喷气到对接成功历时约6.5小时。忽略空气阻力，以下说法正确的是
A.在火箭加速上升过程中，火箭所受的重力与喷出的气体对火箭的作用力是一对相互作用力
B.在火箭加速上升过程中，飞船内的航天员所受重力与椅子对航天员的支持力是一对平衡力
C.为了对接成功，飞船应在过渡轨道上向后喷出气体做离心运动
D.若成功对接后组合体仍在空间站原来的轨道上运行，组合体的加速度大小与原空间站的加速度大小相同
9.1772年，科学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体(如太阳和地球)所在空间的某一平面上有5个特殊点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示)，若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球引力的作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。人们称这些点为拉格朗日点。若向L1、L2、L3、L4、L5五点上各发射一颗质量相同的卫星，进行深空探测，下列说法正确的是
A.五颗卫星绕太阳运动的角速度大小相等
B.L2处的卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度
C.L1处的卫星所受地球和太阳的引力的大小相等
D.L2处的卫星比L1处的卫星所受太阳和地球引力的合力大
10.如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN以角速度ω1匀速转动时，小球相对PQ杆静止。若金属框改为以角速度ω2(ω2>ω1)匀速转动，则小球相对于PQ杆静止时，与金属框以角速度ω1匀速转动时相比
A.弹簧弹力的大小一定不变
B.小球的高度一定降低
C.小球所受的合力一定变大
D.小球对杆的压力一定变大
三、非选择题：本题共5小题，共56分。
11.(7分)某同学利用如图所示的实验装置测量物体运动的加速度。将遮光条安装在滑块上，用天平测出遮光条和滑块的总质量M=120 g，槽码和挂钩的总质量m=30 g。实验时，将滑块系在绕过定滑轮悬挂有槽码的细线上，并保持细线水平。滑块由静止释放，数字计时器记录下遮光条通过光电门1和2的遮光时间Δt1和Δt2，以及这两次开始遮光的时间间隔Δt。用游标卡尺测出遮光条的宽度d，计算出滑块经过两光电门速度的变化量Δv。
(1)实验前打开气泵，待气流稳定后调节气垫导轨，直至气垫导轨上的滑块能在较长时间内保持静止，其目的是　　　　　　　　　　　　　　　　。
(2)多次改变光电门2的位置进行测量，得到Δt和Δv的数据如下表，请根据表中数据，在方格纸上作出Δv-Δt图线，并由图像求出滑块的加速度大小为　　　　m/s2(结果保留三位有效数字)。
Δt/s 0.721 0.790 0.856 0.913 0.968 1.020
Δv/(m·s-1) 1.38 1.52 1.70 1.75 1.86 1.96
(3)查得当地的重力加速度g=9.80 m/s2，由牛顿第二定律，Δv-Δt图线斜率的理论值为　　　　m/s2。
12.(9分)某未知星球表面空气极其稀薄，在该星球上用如图甲所示的实验装置研究平抛运动。
①斜槽末端口N与被吸引在电磁铁上的小球Q离地面的高度均为H，实验装置后面有紧挨着实验装置竖直放置的坐标纸，实验时，当小球P从斜槽末端飞出与挡片相碰，电路立即断开使电磁铁释放小球Q，发现两小球同时落地(两小球在空中未相撞)，改变H的大小，重复实验，小球P、Q均同时落地。
②对小球P某一次平抛运动过程采用频闪照相机连续拍摄。在小球做平抛运动过程中，拍下了以坐标纸为背景的多张照片，如图乙所示。a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔为0.1 s，不考虑星球自转的影响。
甲　　　　　　　　　　　　　　　乙
(1)(多选)关于①中实验条件，下列说法正确的是　　　　(填正确答案标号)。
A.斜槽末端切线必须水平
B.小球P可以从斜槽上不同的位置无初速度释放
C.斜槽必须光滑
D.小球P每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放
(2)由以上及图乙信息可以算出小球在b点时的速度大小为　　　　 m/s(结果保留两位有效数字)。
(3)若地球表面的重力加速度大小g地=10 m/s2，则该星球表面的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比g星∶g地=　　　　；若该星球的半径与地球半径之比R星∶R地=1∶4，则该星球的质量与地球的质量之比M星∶M地=　　　　。
13.(10分)空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆的长为L，如图甲所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点沿逆时针方向做半径为2L的匀速圆周运动，经时间t运动圆周后到A点。(空间站中各物体均处于完全失重状态)
(1)若货物的质量为m，求货物绕O点做匀速圆周运动时所需的向心力大小Fn。
(2)在机械臂作用下，货物、空间站和地心的位置如图乙所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站的轨道半径为r，货物与空间站的距离为d，忽略空间站与货物间的引力，机械臂对空间站的作用力不影响空间站的运动，已知货物受到地球的引力大小为F1。求货物所受机械臂的作用力大小F2。
甲　　　　　　　　　乙
14.(14分)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。若球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，不计球体外恒星之间的引力，用r表示恒星到星系中心的距离，已知引力常量为G。
(1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
(3)科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r变化的关系图像，如图所示，根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围(r>R)均匀分布着一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质之间有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r=nR(n>1)内暗物质的质量M'。
15.(16分)如图所示，长R=0.2 m的轻绳一端系在O点，另一端系一个小物块(可看成质点)，小物块的质量m=1 kg，物块以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，其右边有一倾角为θ的传送带正在以v0=9 m/s的速率顺时针转动，传送带顶端与小物块做圆周运动的轨迹最低点的高度差Δh=0.45 m，忽略传送带圆弧部分的大小。小物块自最高点以v1=2 m/s的初速度开始沿逆时针方向做圆周运动，在经过圆周最低点时绳恰好断裂，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。
(1)求绳子所能承受的拉力大小的范围。
(2)小物块从最低点飞出做平抛运动，刚好从传送带顶端与传送带相切进入传送带。
①求传送带的倾角θ的正切值。
②若传送带的长度L=8.5 m，小物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求小物块从传送带顶端运动到底端的时间t。
参考答案
1.A
【解析】物体做匀速圆周运动，合力指向圆心。分析可知，衣服受重力、向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，其中重力G与静摩擦力f平衡，支持力N提供向心力，A项正确。
2.D
【解析】因为不知道卫星的质量，故不能判断两种卫星的向心力大小的关系，A项错误；卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G=ma，故卫星的加速度大小a=，得地球同步卫星的加速度小于量子卫星的加速度，B项错误；物体P与地球同步卫星的周期相同，两者的角速度大小相同，而物体P的运动半径较小，由a=ω2r知，物体P的向心加速度较小，C项错误；物体P的角速度与地球同步卫星的角速度大小相等，先比较量子卫星和地球同步卫星的角速度，根据G=mω2r，可得ω=，则量子卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度，故量子卫星的角速度大于物体P的角速度，D项正确。
3.B
【解析】嫦娥七号发射后没有脱离地球引力的范围，所以其发射速度小于第二宇宙速度，A项错误；嫦娥七号经过P点时必须加速做离心运动，才能进入地月转移轨道，B项正确；嫦娥七号靠近地球时地球对它的万有引力远大于月球对它的万有引力，因为嫦娥七号加速后做离心运动才远离地球，在地月转移轨道上有两万有引力大小相等的点，经过该点后，嫦娥七号才在月球的万有引力作用下“奔向”月球，C项错误；根据开普勒第二定律，在同一绕月轨道上，相同时间内卫星与月心连线扫过的面积相同，在不同的绕月轨道上开普勒第二定律不适用，故D项错误。
4.C
【解析】在空间站中，物体处于完全失重状态，不能用弹簧测力计测量砝码的重力，A项错误；地球表面的重力加速度为g，对地球表面的物体，则有G=m'g，可得GM=gR2，对空间站中的航天员，由万有引力提供向心力，可得F引=G=m(R+h)，解得h=-R，空间站的线速度的大小v==，B项错误、C项正确；由GM=gR2、ρ=、V=πR3，解得ρ=，D项错误。
5.B
【解析】根据万有引力提供向心力，有G=m，且GM=gR2，可知空间站在轨道Ⅰ上的运行速度v=<，A项错误；根据开普勒第三定律，有=，可得空间站的轨道半径和地球同步卫星的轨道半径之比==，B项正确；神舟十七号飞船若要从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ，需要在P点点火加速，C项错误；神舟十七号飞船在轨道Ⅱ上由Q点向P点运动时只受到万有引力的作用，处于失重状态，D项错误。
6.C
【解析】由开普勒第三定律得=，又Ta=8Tb，可得ra=4rb，即R+ha=4(R+hb)，故A项错误；由题意可知sin=，sin=，ra=4rb，解得sin=4sin，B项错误；如图所示，若卫星a在图示位置，则图中弧线AB之间的区域为两卫星的通讯盲区，由数学知识可得∠AOB=θ1+θ2，设卫星b在与卫星a通迅的盲区运行的时间为t，则有t-t=θ1+θ2，Ta=8Tb=T，解得t=，C项正确；设卫星a、b相邻两次“相遇”的时间间隔为t'，则有t'-t'=2π，Ta=8Tb=T，解得t'=，故D项错误。
7.BD
【解析】“太空电梯”相对地面静止，故其角速度与地球自转的角速度相同，保持不变，A项错误；当r=r0时，航天员仅在地球引力作用下产生的加速度大小正好等于航天员做圆周运动的向心加速度大小，即地球对航天员的万有引力提供航天员做圆周运动的向心力，此时航天员的角速度跟地球自转的角速度一致，即r0等于地球同步卫星的轨道半径，故B项正确；r=R时，航天员在地面上，除了受到地球的万有引力还受到地面的支持力，其线速度远小于第一宇宙速度，故C项错误；航天员乘坐“太空电梯”在某位置时，由牛顿第二定律可得G-FN=mω2r，FN为“太空电梯”对航天员的支持力，有FN=G-mω2r，显然，FN随着r的增大而减小，故航天员对“太空电梯”的压力随r的增大而减小，故D项正确。
8.CD
【解析】在火箭加速上升过程中，火箭所受重力的施力物体是地球，喷出的气体对火箭的作用力的施力物体是喷出的气体，两个力不是一对相互作用力，A项错误；火箭加速上升时，航天员也加速上升，B项错误；为了对接成功，飞船要向高轨道运行，应该向后喷出气体使飞船做离心运动，C项正确；组合体在原来空间站的轨道上运行，由a=知，组合体的加速度大小与原空间站的加速度大小相同，D项正确。
9.AD
【解析】由题知五个点处的卫星与地球同步绕太阳做匀速圆周运动，所以运动周期相同，则角速度相等，A项正确；由向心加速度公式a=ω2r知，L2处的卫星与地球的角速度相同，但轨道半径大于地球的轨道半径，则卫星的向心加速度较大，B项错误；L1处的卫星受到太阳与地球的引力的合力提供它做圆周运动的向心力，所以两个力的合力应该指向太阳，故两个力大小不相等，C项错误；由向心力公式F=mrω2，两个卫星的角速度大小、质量均相等，但L2处的卫星的轨道半径较大，所以D项正确。
10.AC
【解析】设弹簧的劲度系数为k，形变量为x，弹簧与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ间的距离为L，对小球受力分析有kxcos θ=mg，水平方向有kxsin θ±FN=mω2L，显然，改变金属框转动的角速度时，弹簧的长度不变，即小球的高度不变，A项正确、B项错误；两种情况下小球均做匀速圆周运动，其合力提供小球做圆周运动的向心力，即F合=mω2L，则当金属框转动的角速度增大时，小球所受的合力一定变大，C项正确；PQ杆对小球的弹力可能指向圆周运动的圆心，也可能背离圆心，故金属框转动的角速度变大时，杆对小球的弹力可能变大也可能变小，则小球对杆的压力可能变大也可能变小，D项错误。
11.(1)将气垫导轨调至水平　(2分)
(2)见解析　(2分)　1.94　(1分)
(3)1.96　(2分)
【解析】(1)实验前打开气泵，待气流稳定后调节气垫导轨，直至看到气垫导轨上的滑块能在短时间内保持静止，其目的是将气垫导轨调至水平。
(2)将表格中数据在坐标系中描点作图，如图所示。滑块的加速度大小a== m/s2=1.94 m/s2。
(3)由牛顿第二定律，可得mg=(M+m)，故Δv-Δt图线斜率的理论值k==×9.80 m/s2=1.96 m/s2。
12.(1)AB　(3分)
(2)0.28　(2分)
(3)1∶5　(2分)　1∶80　(2分)
【解析】(1)为使小球从斜槽末端飞出时初速度方向水平，斜槽末端切线必须水平，故A项正确；这个实验只验证小球做平抛运动时在竖直方向的运动是自由落体运动，与水平初速度无关，所以小球可以从斜槽上不同的位置无初速度释放，故B项正确、D项错误；斜槽是否光滑，对实验没有影响，故C项错误。
(2)竖直方向上满足连续相等时间通过的位移之比为1∶3∶5，可知a点是小球的抛出点。水平初速度v0== m/s=0.20 m/s，小球经过b点时竖直方向的速度vby== m/s=0.20 m/s，小球经过b点时的速度vb== m/s≈0.28 m/s。
(3)小球经过b点时竖直方向下落的高度为1 cm，由hb=g星t2，t=0.1 s，解得g星=2.0 m/s2，则g星∶g地=1∶5；由g=，得==。
13.解：(1)货物绕O点做匀速圆周运动，则有
Fn=mω2×2L　(1分)
ω=　(1分)
解得Fn=。　(2分)
(2)设空间站和货物绕地球运动的角速度为ω0，空间站的质量为m'，地球对空间站的万有引力提供向心力，有
G=m'r　(1分)
货物在地球的万有引力F1和机械臂的作用力F2的作用下做匀速圆周运动，则
F1-F2= m(r-d)　(2分)
F1=G　(1分)
联立解得F2=F1-F1。　(2分)
14.解：(1)由万有引力定律和向心力公式有
G=m　(2分)
解得v=。　(1分)
(2)在r≤R内部，物质的质量M0=·πr3=M　(2分)
由万有引力定律和向心力公式有
G=m　(2分)
解得v=r。　(1分)
(3)对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
G=m　(2分)
对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
G=m　(2分)
解得M'=(n-1)M。　(2分)
15.解：(1)小物块在最高点时的速度v1=2 m/s。设小物块经过最低点时的速度大小为v2，绳对物块的拉力大小为F1，则
m+mg×2R=m　(2分)
解得v2=4 m/s
F1-mg=m　(1分)
联立解得F1=90 N　(1分)
则绳子所能承受的拉力大小F<90 N。　(1分)
(2)①设物块运动至传送带顶端时的竖直分速度大小为vy，根据运动学公式有
=2gΔh，解得vy=3 m/s　(1分)
小物块的水平速度vx=v2=4 m/s
故tan θ==0.75。　(1分)
②小物块运动至传送带顶端时的速度大小v==5 m/s　(1分)
小物块运动到传送带上后做匀加速运动，在与传送带共速前，小物块的加速度大小
a1==8 m/s2　(1分)
小物块与传送带达到共速所需时间t1==0.5 s　(1分)
共速过程中小物块的位移大小x1=t1=3.5 m　(1分)
共速后小物块的加速度大小a2==4 m/s2　(1分)
由匀变速运动规律有
x2=v0t2+a2，x2=L-x1　(2分)
解得t2=0.5 s　(1分)
所求总时间t=t1+t2=1 s。　(1分)

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