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2024版北师大数学八年级数学上册
第 一 章 勾 股 定 理
第3课 勾股定理的应用
1.经历分析问题-建立模型一解决问题的过程，将现实问题
转为勾股定理数学模型，提高自己利用有限工具解决复杂
测量问题的能力，体会古代数学智慧与现在科技的贯通.
2.尝试辨析几何问题中的隐藏条件.
学习目标
作业设计
反思总结
当 当 一 测
巩固拓展
教师示范
协作破冰
问题构建
情境启航
教学设计的基本环节：
情境启航
亲爱的同学们，经过前面课程的学习，我们已经知道了勾股定理及 其逆定理，今天我们接到了三个“几何侦查团”的任务，帮助求助 者破解难题，你要挑战吗
一把卷尺定垂直
神秘折叠算长度
古题新作测水深
问题构建 一把卷尺定垂直
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底 边AB.李叔叔随身带了卷尺，
问题1:如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗
D
现实情境：地板砖边缘垂直问题
数学问题：直角判定问题
实际操作：测量线段长度
A
C
B
问题构建 一把卷尺定垂直
(2)李叔叔测得边AD 长30cm,边AB 长40cm,点B,D 之间的距离 是50cm.边AD垂直于边AB 吗
D
解：因为 AD=30cm,AB=40cm,BD=50cm
在△ABD中，AD +AB =BD
所以△ABD是直角三角形，BD 是斜边.
所以∠DAB=90°
所以AD⊥AB.
A
借助勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，进而验证 直角或两条直线的垂直关系.
C
B
问题构建 一把卷尺定垂直
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm 那么他能检验边AD 是否垂直于边AB吗
问题2:由于刻度尺长度小于砖的边长，不
方便直接测量，思考解决问题的本质是什么
验证直角
追问：你有怎样的思路
构造边长小于20cm 的直角三角形
解：因为 AE=3cm,AF=4cm,EF=5cm
在△AEF中，AE +AF =EF
所以△AEF 是直角三角形，EF 是斜边 所以∠ EAF=90°,AE⊥AF.
的刻度尺， D
F
C
协作破冰 神秘折叠算长度
正方形纸片ABCD的边长为8cm, 点E是边AD的中点，将这个正方 形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G, 交边CD于点
F. 你能求出DF的长吗
问题3:阅读文本你得到了哪些信息 产生了哪 些结论
追问1:你会选择哪个直角三角形解决问题 理由是什么
△DEF, 包含所求线段DF
E
B
点E是边AD的中点
正方形纸片翻折
AE=DE=4cm
FE=FC
C
协作破冰 神秘折叠算长度
正方形纸片ABCD的边长为8cm, 点E是边AD的中点，将这个正方 形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G, 交边CD于点
F. 你能求出DF的长吗 E
追问2:在直角三角形DEF中，计算DF长度你遇到
怎样的问题
只知道DE的长度，DF和EF长度都不知道
追问3:能否借助转化思想解决问题
EF 可以转化为 CF,CF+DF=8
追问4:解决未知量的问题，你的方法是什么
方程思想 B
C
F. 你能求出DF的长吗
解：∵点E是AD的中点，AD=8cm
由折叠可得：EF=CF
设DF=x, 则 CF=(8-x)cm
∴EF=(8-x)cm
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
DE +DF =EF
因此，DF的长为3cm.
协作破冰 神秘折叠算长度
正方形纸片ABCD的边长为8cm, 点E是边AD的中点，将这个正方 形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G, 交边CD于点
：x (8-x)
x

解得
4 +
A
G
B
D
F
C
E
小明提示：
延长FE,BA交于点M … …
你能根据小明的提示画出对应的图形
问题4:在解决DF长度 以后，小明进行了深 度反思，经过研究，
教师示范 神秘折叠算长度
教师示范 神秘折叠算长度
问题5:观察图形，添加辅助线之后，你发现哪些 可能成立的新结论
△DEF≌△AEM
折 叠 →轴对称
BD//CF
MG=MF=10cm,
AG=7cm,BG=1cm
ME=FE=5cm,
AM=DF=3cm
∠MFG=∠CFG
∠MGF=∠CFG
∠MGF=∠MFG
E D
F
C
M
A
G B
对比项 模型
结论
直角三角形 勾股定理
方程思想
全等三角形 中点+平行线
辅助线
等腰三角形 角平分线+平行线
转化思想
教师示范
方法总结与反思
巩固拓展 古题新作测水深
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适 与岸齐.问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1 丈 的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水 面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端 恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长 度各是多少
问题6:阅读文本，能得到哪些线段的长度
AB=1尺，AC=5 尺，OC=OB
巩固拓展 古题新作测水深
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB 为 (x+1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OA +AC =0C
x+1=12+1=13
因 此 ，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
解决上述问题时使用了方程思想.
5： 1 +1)
解得
x +
巩固拓展
勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)阅读文本，分析已知量、未知量间的关系；
(2)寻找或构造直角三角形；
(3 )勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题并反思结果的合理性 实际问题 转化 数学问题
解决 建模
勾股定理 方程 直角三角形
当堂检测
1.若要将一块不能弯曲的正方形(厚度忽略不计)搬进室
内，需要通过一扇如图所示的高为2m, 宽为1m 的门，
以下边长的木块中哪块可以通过此门( C )
2m
A.2.8m B.2.5m
C.2.2 m D. 以上答案都不对
本题比较大小需要实用线段的平方比较.
1m
当堂检测
2.如图，在三角形纸片ABC 中，AB =8,BC=6,AC=10,
折叠三角形纸片ABC, 使点A 与BC 的中点D 重合，折
痕为MN, 求BN的长.
可 知△ ABC是直角三角形，∠B=90° . 先求得BD的长，
由折叠的性质可知AN=DN, 设BN=x,
则AN=DN=8-x, 在Rt△DBN 中 ，
由勾股定理列出关于x的方程求解即可.
【思路点拨】由△ABC的三边长满足勾股定理
A
解：∵在△ABC中 ，
AB=8,BC=6,AC=10,
∴AB +BC =AC .
A
∴∠B=90°.
∵D 为BC 的中点，
∴BD=CD=3.
设BN=x, 则AN=DN=8-x.
在Rt△BDN 中，由勾股定理，得
M
N
C
D
B
当堂检测
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是
一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，
也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题.
(8-x) =x +3 , 解得
故BN的 长
A
M
N
C
D
B
当堂检测
当堂检测
3. 如图，有一台环卫车沿公路AB由 点A向 点B行驶，已知点C 为一所学校，且点C与直线AB上两点A,B 的距离分别为
150 m和200 m, 且AB=250m, 环卫车周围130m 以 内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗 为什么
当堂检测
解：学校C会受噪声影响.
理由如下：过点C作CD⊥AB 于点D.
∵AC=150m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC +BC =AB .
∴∠ACB=90°.
AB
∵环卫车周围130m 以内为受噪声影响区域，
∴学校C 会受噪声影响.
当堂检测
(2)若环卫车的行驶速度为50m/min, 环卫车的噪声影响该学校持
反思总结
1.借助勾股定理解决实际问题的一般步骤什么
2.本节课使用了哪些数学思想方法
3.回顾本章学习过的知识，尝试制作思维导图
作业设计
一、基础巩固作业
P14-15 习题1.31,2,3
二、素养类作业 P15第4题.
作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错.

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