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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第九讲 一元二次方程章末小结
知识点梳理
知识点1：一元二次方程定义及一般形式
概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
要点诠释：
1）只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）整式方程。
知识点2：解一元二次方程（重点）
方法一：直接开平方法（最基础的解法）
概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
要点诠释：
1)若b0，方程有两个实数根。
（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根）
2)若b<0，方程无解。
方法二：配方法（最基础的解法）
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
要点诠释：
1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
方法三：公式法（常用解法）
一元二次方程 根的判别式：
方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点
方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点
方程无实根的图像与轴没有交点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
最后求出x1，x2
方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
求解
要点诠释：
右化零，左分解，两因式，各求解
知识点3：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
要点诠释：
1)韦达定理仅适用于二次方程，且必须是方程有根，与一元一次方程无关 ，即一元二次方程ax2+bx+c=0中，⊿≥0，且a≠0
2)计算时需注意符号和系数的对应关系，避免混淆.
知识点4： 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
要点诠释：
一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
题型1一元二次方程定义及一般形式
【例1】．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
针对训练1
1．关于的方程是一元二次方程，求的值．
2．已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
3．已知m是方程的根，求代数式的值．
4．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？
题型2 一元二次方程的解法
【例2】．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
(2)
针对训练2
2．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围．
4．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学：或∴或 乙同学：，，∵∴此方程无实数根
(1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
(2)请选择合适的方法解一元二次方程．
5．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值．
题型3一元二次方程根与系数的关系
【例3】．已知关于的一元二次方程的两个根是和．
(1)当时，求的值；
(2)若该方程的两个实数根，满足，求的值．
针对训练3
1．阅读材料：如果一元二次方程的两个实数根分别是、，那么，．借助该材料完成下列各题：
(1)若、是方程的两个实数根，______；______；
(2)若、是方程的两个实数根，______；______；
(3)若、是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
2．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
3．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
4．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：
5．阅读下列材料，完成相应任务．
十六世纪的法国数学家弗朗索瓦 韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．
(1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____．
(2)已知关于的方程有两个实数根．
①求的取值范围．
②若此方程的两根分别为，，且，求的值．
题型4 一元二次方程的应用
【例4】．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
针对训练4
1．某电子产品店紧跟科技潮流，计划购进一批智能手环和智能手表进行销售，以满足大众的健康管理需求．首次购进智能手环和智能手表共200个．每个智能手环进价为50元，售价定为80元；每个智能手表进价为200元，售价定为300元．
(1)若所有智能手环和智能手表全部售空，要求总利润不低于13000元，则该店最多可购进智能手环多少个？
(2)第二次购进时，因市场需求旺盛，该店决定共购进400个商品，进价不变．其中智能手环的进货量在（1）的最大值基础上增加个，售价提高元．而智能手表在运输过程中有损坏无法销售，售价保持不变．最终第二批商品全部售完后总利润为26700元，求的值．
2．【观察思考】
【规律发现】
用含的代数式填空：
（1）第个图案中， “△”有 个；
（2）第个图案中， “ ”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “ ”有个；，第个图案中， “○”有 个；
【规律应用】
（3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值．
3．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
4．赓续长江文脉，共创时代华章，首届长江文化艺术季于9月14日晚在湖北省武汉市隆重开幕．某店铺购进了一批包含湖北特色美食的礼盒，进货价和销售价如下表
“热干面”礼盒 “武昌鱼”礼盒
进货价/（元/盒） 25 45
销售价/（元/盒） 35 60
(1)店铺购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒共80盒，且进货总价不高于2900元．若进货后全部售出，则分别购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
(2)店铺为了能尽快售完“热干面”礼盒，打算降价促销．若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“热干面”礼盒平均每天的利润为84元？
5．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
(1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
能力提升 创新拓展
1．如图：为平行四边形，的长分别为方程的两根，，．
(1)如图1，求点D的坐标．
(2)如图2，动点P从O出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P运动时间为t，连接，请你用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围．
(3)在（2）条件下连接，是否存在t值，使为以为腰的等腰三角形？如果存在请求出t的值；如果不存在请说明理由．
2．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
3．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第九讲 一元二次方程章末小结（解析版）
知识点梳理
知识点1：一元二次方程定义及一般形式
概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
要点诠释：
1）只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）整式方程。
知识点2：解一元二次方程（重点）
方法一：直接开平方法（最基础的解法）
概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
要点诠释：
1)若b0，方程有两个实数根。
（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根）
2)若b<0，方程无解。
方法二：配方法（最基础的解法）
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
要点诠释：
1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
方法三：公式法（常用解法）
一元二次方程 根的判别式：
方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点
方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点
方程无实根的图像与轴没有交点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
最后求出x1，x2
方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
求解
要点诠释：
右化零，左分解，两因式，各求解
知识点3：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
要点诠释：
1)韦达定理仅适用于二次方程，且必须是方程有根，与一元一次方程无关 ，即一元二次方程ax2+bx+c=0中，⊿≥0，且a≠0
2)计算时需注意符号和系数的对应关系，避免混淆.
知识点4： 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
要点诠释：
一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
题型1一元二次方程定义及一般形式
【例1】．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
【答案】(1)存在，时；时
(2)存在，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．
【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程，
当时，解得，此时程为，解得；
当时，解得，此时方程为，解得．
当时，方程无解；
（2）存在．
根据一元二次方程的定义可得，解得．
【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
针对训练1
1．关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为．
2．已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：，
．
当时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：，
．
当时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m.
3．已知m是方程的根，求代数式的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
根据方程解的定义得到，再将进行化简代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴
．
4．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程，
∴，
∴．
5．已知a、b、c是的三条边长，若为关于x的一元二次方程的根．是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明．
【答案】是等腰三角形，但不是等边三角形，证明见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解的定义，等边三角形和等腰三角形的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可得到是等腰三角形，但不是等边三角形．
【详解】解：是等腰三角形，但不是等边三角形，证明如下：
∵为关于x的一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，即，
∴是等腰三角形，但不是等边三角形．
题型2 一元二次方程的解法
【例2】．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．
（1）根据根的判别式解答即可；．
（2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可．
【详解】（1）证明：∵
．
∴该方程有两个实数根．
（2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下：
由求根公式，得：，
即，，
∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数，
∴必为正整数，
∴或，
即当或时，该方程的两个实数根均为正整数．
针对训练2
1．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，．
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：开平方，得，
∴，．
（2）解：配方，得，
即，
开平方，得，
∴，．
2．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵
∵
∴
解得：，
∵方程只有一个根小于0，
∴，
解得：．
3．用适当的方法解方程：．
【答案】
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法并根据方程的特点灵活选择是关键．利用公式法进行解方程即可．
【详解】解：
，
，
，
．
4．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学：或∴或 乙同学：，，∵∴此方程无实数根
(1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
(2)请选择合适的方法解一元二次方程．
【答案】(1)不正确；不正确
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）甲同学解题过程中，方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；乙同学解题过程中，，而不是；
（2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可．
【详解】（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下：
甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；
乙同学的解题过程中，而不是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
5．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或6或15
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
（1）计算方程的判别式得出即可证明结论；
（2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数．
设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
设方程的两个根为，．
，．
方程的求根公式为．
，则．
因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数．
设（k为整数），则．
当（m，n为整数，且），两式相减得，．
，
，
，
，
m，n，k均为整数，且p为非负整数，
，
当时，，此时．
当，，（舍负），
当，时， ，，（舍负），
其它情况不合题意，
综上，的值为0或6或15．
题型3一元二次方程根与系数的关系
【例3】．已知关于的一元二次方程的两个根是和．
(1)当时，求的值；
(2)若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程的方法和根与系数的关系是解题的关键．
（1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可；
（2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：当时，原方程为，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∴
；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得 ．
针对训练3
1．阅读材料：如果一元二次方程的两个实数根分别是、，那么，．借助该材料完成下列各题：
(1)若、是方程的两个实数根，______；______；
(2)若、是方程的两个实数根，______；______；
(3)若、是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】(1)4，；
(2)2，12；
(3)．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（1）直接根据根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系求出，，然后根据分式的加法和完全平方公式的变形求解即可；
（3）首先由根与系数的关系得出，，然后根据完全平方公式变形求出求的值，最后检验即可．
【详解】（1）解：、是方程的两个实数根，
，，
故答案为：4，；
（2）解：、是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：2，12；
（3）解：、是关于的方程的两个实数根，
，，
又∵，
，即，
解得，或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
．
2．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，负整数指数幂等知识，由一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入计算负整数指数幂即可．
【详解】解：由根与系数的关系可知：，
∴，
∴
3．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，解不等式即可得出答案；
（2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
4．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
（1）根据题意可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，再证明，根据（1）所证明的结论可得，则，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵实数m、n满足，，且，
∴实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴的值恒为正数；
（2）证明：由（1）可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即．
5．阅读下列材料，完成相应任务．
十六世纪的法国数学家弗朗索瓦 韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．
(1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____．
(2)已知关于的方程有两个实数根．
①求的取值范围．
②若此方程的两根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②．
【分析】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知、是一元二次方程的两根时，是解题的关键．
（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
（2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；②根据一元二次方程根与系数的关系用m表示出和，然后得到关于m的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为、，
∴．
故答案为：．
（2）解：①∵关于x的方程有两个实数根，
∴，解得：；
②∵关于x的方程的两根分别为α，β，
∴，
∵，
∴，即，解得，
由①知，
∴．
题型4 一元二次方程的应用
【例4】．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
【答案】（1）40；（2）；（3）
【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）由储物位置的底面尺寸判断即可；
（2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可；
（3）根据面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；；
故答案为：40；
（2）设裁去小长方形的宽为，长为，
则，
解得：（舍去），；
则体积为；
（3）由题意可得阴影部分的长为，
储物盒的底面长为，
则需要裁出的正方形为图中③，④两块，
裁出的正方形的边长为，
底面的宽为，
．
答：储物盒的底面积为．
针对训练4
1．某电子产品店紧跟科技潮流，计划购进一批智能手环和智能手表进行销售，以满足大众的健康管理需求．首次购进智能手环和智能手表共200个．每个智能手环进价为50元，售价定为80元；每个智能手表进价为200元，售价定为300元．
(1)若所有智能手环和智能手表全部售空，要求总利润不低于13000元，则该店最多可购进智能手环多少个？
(2)第二次购进时，因市场需求旺盛，该店决定共购进400个商品，进价不变．其中智能手环的进货量在（1）的最大值基础上增加个，售价提高元．而智能手表在运输过程中有损坏无法销售，售价保持不变．最终第二批商品全部售完后总利润为26700元，求的值．
【答案】(1)100个
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设该店购进智能手环x个，则购进智能手表个，根据总利润不低于13000元列出不等式求解即可；
（2）根据题意可得智能手环的数量为个，每个的利润为元，则智能手表的数量为个，据此分别求出智能手环和智能手表的利润，再根据总利润为26700元列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设该店购进智能手环x个，则购进智能手表个，
由题意得，，
解得，
∴x的最大值为100，
答：该店最多可购进智能手环100个；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去）．
2．【观察思考】
【规律发现】
用含的代数式填空：
（1）第个图案中， “△”有 个；
（2）第个图案中， “ ”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “ ”有个；，第个图案中， “○”有 个；
【规律应用】
（3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，熟练根据题意得出图形的规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第个图案中有个“△”，
第个图案中有个“△”，
第个图案中有个“△”，
第个图案中有个“△”，
，
∴第个图案中有个“△”，
故答案为：；
（2）第个图案中， “○”有个，
第个图案中， “○”有个，
第个图案中， “○”有个，
，
第个图案中， “○”有，
故答案为：；
（3）由（1）（2）得：第个图案中，“△”和“○”的数量之和为：，
则，
即，
解得：或（舍去，不符合题意），
故．
3．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
【答案】(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，
根据题意可得：，
解得：
答：生产线至少加工小时；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：的值为．
4．赓续长江文脉，共创时代华章，首届长江文化艺术季于9月14日晚在湖北省武汉市隆重开幕．某店铺购进了一批包含湖北特色美食的礼盒，进货价和销售价如下表
“热干面”礼盒 “武昌鱼”礼盒
进货价/（元/盒） 25 45
销售价/（元/盒） 35 60
(1)店铺购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒共80盒，且进货总价不高于2900元．若进货后全部售出，则分别购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
(2)店铺为了能尽快售完“热干面”礼盒，打算降价促销．若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“热干面”礼盒平均每天的利润为84元？
【答案】(1)购进“热干面”盒，购进“武昌鱼”盒时，有最大利润，最大利润为元
(2)“热干面”销售价定为每盒元，能使“热干面”平均每天销售利润为84元
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用是解题的关键．
（1）设购进件“热干面”x盒，则“武昌鱼”为盒，利用总价单价数量，结合总价不超过2900元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，计算再次购进的两款纪念品全部售出后获得的总利润，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（2）设“热干面”销售价定为每盒元，利用平均每天销售“热干面”获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设分别购进“热干面”x盒，则“武昌鱼”为盒，
，
解得：，
设利润为元，
利润为：，
∵，
∴随x的增大而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴购进“热干面”盒，购进“武昌鱼”盒时，有最大利润，最大利润为元；
（2）解：设“热干面”销售价定为每盒元，
，
解得：，，
∵为尽快售完，
∴，
答：“热干面”销售价定为每盒元，能使“热干面”平均每天销售利润为84元．
5．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
(1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
【答案】(1)
(2)场地的宽为8米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可；
（2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可
【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
，
设矩形空地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：，不合题意，舍去；
当时，的长为：，符合题意．
米．
答：场地的宽为8米．
能力提升 创新拓展
1．如图：为平行四边形，的长分别为方程的两根，，．
(1)如图1，求点D的坐标．
(2)如图2，动点P从O出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P运动时间为t，连接，请你用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围．
(3)在（2）条件下连接，是否存在t值，使为以为腰的等腰三角形？如果存在请求出t的值；如果不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，t的值为或
【分析】（1）解一元二次方程求出，进而求出，再求出，进而求出，再根据平行四边形的性质即求出点坐标；
（2）过点D作轴于点H，过点P作轴于点G，则，，由（1）知，得到，求出，根据题意得，根据，推出，由平行四边形的性质结合三角形外角的性质可得，求出，根据，即可解答；
（3）由（2）知，，求出，，；分，，两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：解方程，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为平行四边形，
∴，，
∴，
（2）解：过点D作轴于点H，过点P作轴于点G，则，，
∵，
∴，
∴，
根据题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在，t的值为或时，为以为腰的等腰三角形，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，延长交于点Q，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
如图，当时，
则，即，
解得：或（舍去）；
综上，t的值为或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，解一元二次方程及应用，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键：
（1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上：或；
（2）∵方程有两个实根，，
∴，
∴，
解得：或，
当，方程化为：，
∴，满足条件；
当，方程化为：，此时，舍去；
故；
（3）∵方程有两个实根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
当时，原方程化为：，
此时，满足题意，
∴．
3．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．
（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，
∵，
∴方程都有两个不相等的实数根，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴也为整数，
∵m为整数，
∴或，
∴整数m所有可能的值为，，，．
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