资源简介

(共78张PPT)
2.1.2
一元二次方程的解集
及其根与系数的关系
第二章　 §2.1　等式
<<<
1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.
3.理解一元二次方程根与系数的关系.
学习目标
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.
导 语
如果设正方形的边长为x步，则有AF=DB=20+x+14=x+34.
根据△ABF∽△DBE可知=从而AF·DB=AB·DE，因此(x+34)=20×1 775，
整理得x2+34x-71 000=0.你会解这个方程吗？
根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE=1 775.你能求出邑方的边长吗？
一、配方法求一元二次方程的解集
二、一元二次方程判别式的应用
课时对点练
三、一元二次方程根与系数的关系
随堂演练
内容索引
配方法求一元二次方程的解集
一
形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是 ，一次项是 ， 是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
ax2
bx
c
提示　可以通过配方法求解.方程x2-8x-20=0可化为(x-4)2=36，开方得x-4=6或x-4=-6，即x=10或x=-2.
对于方程x2-8x-20=0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？
问题1
一元二次方程的解法
直接开平方法 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边 ，转化为两个一元一次方程，形如(x-k)2=t(t<0)的方程，解集为____
配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过 化成(x-k)2=
t(t≥0)的形式，再用 求解
因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个_________的乘积，即可化成a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1= ，x2=____
开平方

配方
直接开平方法
一次因式
-m
-n
用配方法求下列一元二次方程的解集：
(1)x2+4x-1=0；
例 1
∵x2+4x-1=0，∴x2+4x=1，
∴x2+4x+4=1+4，∴(x+2)2=5，
∴x=-2±∴x1=-2+x2=-2-.
∴原一元二次方程的解集是{-2+-2-}.
解
(2)4x2+8x+1=0.
移项，得4x2+8x=-1.
二次项系数化为1，得x2+2x=-
配方，得x2+2x+12=12-即(x+1)2=.
∴x+1=±.
∴x1=-1+x2=-1-
∴原一元二次方程的解集是.
解
用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项：把常数项移到方程的右边.
(2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数.
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式.
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程.
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
反
思
感
悟
用配方法解方程2x2-5+x=0.
跟踪训练 1
移项，得2x2+x=5.
二次项系数化为1，得x2+x=.
配方，得x2+x+=+.
∴=.∴x+=±.
∴x1=x2=
∴原一元二次方程的解集是.
解
二
一元二次方程判别式的应用
提示　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为=所以当b2-4ac≥0时，开方得x=.
应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，你会有怎样的发现呢？
问题2
提示　当b2-4ac>0时与不等，方程有两个不等实根；当b2-4ac=0时，两根相等，方程有两等根；当b2-4ac<0时，方程无实根.
b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0对方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数有怎样的影响呢？
问题3
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x= 求解.
2.式子Δ=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.
判别式与根的情况为：
Δ=b2-4ac 根的情况
b2-4ac>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根，方程的解
集为________________________
b2-4ac=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 ，方程的解集
为________
b2-4ac<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，方程的解集为____
两个不相等
两个相等的实数根
无实数根

判断下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0；
例 2
因为该方程的根的判别式Δ=32-4×1×3=-3<0，所以方程没有实数根.
解
(2)x2-ax-1=0；
因为该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0，所以方程有两个不相等的实数根，
x1=x2=.
解
(3)x2-ax+(a-1)=0.
因为该方程的根的判别式
Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2，
①当a=2时，Δ=0，所以方程有两个相等的实数根，x1=x2=1；
②当a≠2时，Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根，x1=1，x2=a-1.
解
(1)一元二次方程的根的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系.
(2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这一隐含条件，否则容易出错.
反
思
感
悟
已知关于x的一元二次方程3x2-2x+k=0，根据下列条件，分别求出k的取值范围.
(1)方程有两个不相等的实数根；
跟踪训练 2
Δ=(-2)2-4×3k=4(1-3k).
因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1-3k)>0，所以k<.
解
(2)方程有两个相等的实数根.
因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ=0，即4(1-3k)=0，所以k=.
解
一元二次方程根与系数的关系
三
提示　由x1=
x2=知，x1+x2=+=-x1x2=
×=.
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？
问题4
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=____，
x1x2=____.
-
(1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2-4ac≥0.
(2)应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
①(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1；
+=(x1x2≠0)；
③|x1-x2|=；
④+=(x1+x2)2-2x1x2.
注 意 点
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(课本例2)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
(1)+；
例 3
由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-x1x2=-2.
由上有+=(x1+x2)2-2x1x2=-2×(-2)=.
解
(2)|x1-x2|.
因为(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×(-2)=
所以|x1-x2|==.
解
已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1，x2，求下列各式的值.
(1)+；
例 3
方程x2-3x-1=0的判别式Δ=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13>0，
则x1+x2=3，x1x2=-1.
+===-3.
解
(2)|x1-x2|；
|x1-x2|====.
解
(3)+.
+=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=3×[32-3×(-1)]=36.
解
应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：
(1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式.
(2)应用时，要熟记根与系数的关系公式.
(3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提.
反
思
感
悟
已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.
(1)求k的取值范围；
跟踪训练 3
因为关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根，所以Δ≥0，
即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0，解得k≤
即k的取值范围为.
解
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足+=11，求k的值.
由题意知x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1，
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3.
因为+=11，所以2k2-6k+3=11，即k2-3k-4=0，
解得k=4或k=-1，因为k≤所以k=-1.
解
1.知识清单：
(1)配方法求一元二次方程的解集.
(2)一元二次方程判别式的应用.
(3)一元二次方程根与系数的关系.
2.方法归纳：配方法、公式法.
3.常见误区：忽视对二次项系数的讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.方程4(1-x)2=1的解集是
A. B.
C. D.
√
由方程4(1-x)2=1可得方程(x-1)2=解得x=或x=即方程的解集为.
解析
1
2
3
4
2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为=
D.3y2-4y-2=0化为=
√
x2+8x+9=0配方应为(x+4)2=7.
解析
1
2
3
4
3.已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是
A.3 B.1 C.-1 D.-3
√
∵α，β是方程x2+x-2=0的两个实数根，
∴α+β=-1，αβ=-2，∴α+β-αβ=-1+2=1.
解析
1
2
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4
4.已知关于x的方程x2-5mx+4=0有两个相等的实数根，则实数m的取值集
合为　　　　　　.
因为关于x的方程x2-5mx+4=0有两个相等的实数根，
所以Δ=(-5m)2-4×1×4=0，即25m2-16=0，解得m=±.
所以实数m的取值集合为.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B A B AB A BD 1　4
题号 8 11 12 13 14 　15
答案 (0，+∞) C B D 6 　A
对一对
答案
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答案
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(1)令y=x2≥0，
得y2-3y+2=0，
∴y=1或y=2，
即x2=1或x2=2，
∴x=±1或x=±.
∴原方程的解集为{--1，1}.
9.
答案
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(2)令y=≥0，得y2+2y-1=0，
∴y=-1+或y=-1-(舍).
从而=-1+
即x=3-2
∴原方程的解集为{3-2}.
9.
答案
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(3)令x2-x=t，得t2-t-2=0，
∴t=-1或t=2，
即x2-x+1=0， ①
或x2-x-2=0， ②
对①，Δ=-3<0，无实数解；
对②，易得x=-1或x=2，故原方程的解集为{-1，2}.
10.
答案
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由根与系数的关系，得
(1)+==-.
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=.
(3)+=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)=.
16.
答案
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∵Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k(k≠0)，
Δ≥0，∴k<0，
由根与系数的关系得，x1+x2=1，x1x2=.
(1)由(2x1-x2)(x1-2x2)=得
2(x1+x2)2-9x1x2=2-9×=
∴k=-.
16.
答案
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(2)+-2=-2=-2=-4=-4=-.
∴k+1=±1，k+1=±2，k+1=±4.
∴k=0或k=-2或k=1或k=-3或k=3或k=-5.
∵k<0，∴实数k的整数值为-2或-3或-5.
基础巩固
1.下列结论正确的是
A.若x2=4，则x=2
B.若x2-5xy-6y2=0(xy≠0)，则=6或=-1
C.方程x(2x-1)=2x-1的解集为{1}
D.方程=0的解集为{1，2}
√
答案
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对于A，由x2=4，得x=±2，故错误；
对于B，∵xy≠0，∴方程两边同除以y2，
得-5-6=0，∴=6或=-1，故正确；
对于C，方程可化为(2x-1)(x-1)=0，则解集为故错误；
对于D，当x=1时方程无意义，故错误.
解析
2.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为
A.-1 B.1
C.-2或2 D.-3或1
√
答案
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原一元二次方程可化为x2+(a+1)x=0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ=(a+1)2=0，解得a=-1.
解析
3.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为
A.5 B.-1 C.2 D.-5
√
设方程的另一个根为x0，
则-2+x0=-3，
即x0=-1.
解析
答案
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4.(多选)关于x的方程mx2-4x-m+5=0，以下说法正确的是
A.当m=0时，方程只有一个实数根
B.当m=1时，方程有两个相等的实数根
C.当m=-1时，方程没有实数根
D.当m=2时，方程有两个不相等的实数根
√
答案
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当m=0时，方程化为-4x+5=0，解得x=
此时方程只有一个实数根，故A正确；
当m=1时，方程化为x2-4x+4=0，
因为Δ=(-4)2-4×1×4=0，
所以此时方程有两个相等的实数根，故B正确；
当m=-1时，方程化为-x2-4x+6=0，即x2+4x-6=0，
因为Δ=42-4×1×(-6)=40>0，
所以此时方程有两个不相等的实数根，故C错误；
解析
答案
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当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0，
因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，
所以此时方程无实数根，故D错误.
解析
5.若m，n满足m2+3m-5=0，n2+3n-5=0，且m≠n，则+的值为
A. B.- C.- D.
√
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由题意可得m，n满足x2+3x-5=0，且m≠n，所以m，n是方程x2+3x-5=0的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得m+n=-3，mn=-5，
故+==.
解析
6.(多选)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和为45，则a的值可能为
A.-9 B.-5 C.5 D.9
√
√
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设方程的两根为x1，x2，由题意，得+=45，
所以(x1+x2)2-2x1x2=45.
因为x1+x2=a，x1x2=2a，所以a2-2×2a=45.
解得a=-5或a=9.
又因为Δ=a2-8a，
当a=-5时，Δ>0，此时方程有两个实数根，满足题意；
当a=9时，Δ>0，此时方程有两个实数根，满足题意，
综上，a的值可能为-5或9.
解析
7.将方程x2-2x=3化为(x-m)2=n的形式，则m=　　　，n=　　　.
x2-2x=3，配方得x2-2x+1=4，
即(x-1)2=4，
所以m=1，n=4.
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答案
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8.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两根异号，则实数m的取值范围是　　　　 .
设方程的两个实数根为x1，x2，则
∴m>0，∴m∈(0，+∞).
解析
答案
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(0，+∞)
9.求下列方程的解集.
(1)x4-3x2+2=0；
令y=x2≥0，
得y2-3y+2=0，
∴y=1或y=2，
即x2=1或x2=2，
∴x=±1或x=±.
∴原方程的解集为{--1，1}.
解
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(2)x+2-1=0；
令y=≥0，
得y2+2y-1=0，
∴y=-1+或y=-1-(舍).
从而=-1+
即x=3-2
∴原方程的解集为{3-2}.
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(3)(x2-x)2-(x2-x)-2=0.
令x2-x=t，得t2-t-2=0，
∴t=-1或t=2，
即x2-x+1=0， ①
或x2-x-2=0， ②
对①，Δ=-3<0，无实数解；
对②，易得x=-1或x=2，故原方程的解集为{-1，2}.
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10.设x1，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)+；
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由根与系数的关系，得
+==-.
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(2)(x1-x2)2；
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(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=.
解
(3)+.
+=(x1+x2)(-x1x2+)
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)=.
解
11.若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则+的值是
A. B.- C.- D.
√
综合运用
答案
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∵α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，
∴α+β=-αβ=-3，
∴+====-.
解析
12.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，1}，则关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是
A.{1，3} B.{-1，3}
C. {2，3} D.{3}
√
答案
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∵关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，1}，
∴方程m(x+a-2)2+n=0可变形为m[(x-2)+a]2+n=0，
此方程中x-2=-3或x-2=1，解得x=-1或x=3.
∴关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是{-1，3}.
解析
13.已知p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根，其中a，b∈R，则(ap2-bp+4a)(aq2-bq+4a)的值
A.仅与a有关
B.仅与b有关
C.与a，b均有关
D.是与a，b无关的定值
答案
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因为p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根，
所以由根与系数的关系得pq=4，
又ap2-(b+2)p+4a=0，所以ap2-bp+4a=2p，
同理aq2-bq+4a=2q，
所以=4pq=16.
解析
14.对于任意实数a，b，定义：a◆b=a2+ab+b2.若方程(x◆2)-5=0的两根记为m，n，则m2+n2=　　　　.
答案
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∵(x◆2)-5=x2+2x+4-5=x2+2x-1，
∴m，n为方程x2+2x-1=0的两个根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=6.
解析
6
15.设x2-px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，则数对(p，q)组成的集合M的真子集的个数是
A.7 B.8 C.15 D.16
拓广探究
√
答案
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根据题意得，α+β=p， ①
αβ=q， ②
α2+β2=p， ③
α2β2=q， ④
由②④可得α2β2-αβ=0，解得αβ=1或αβ=0，即q=1或q=0.
由①②③可得α2+β2=-2αβ=p2-2q=p，即p2-p=2q.
当q=0时，p2-p=0，解得p=0或p=1，
即把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
解析
答案
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当q=1时，p2-p-2=0，解得p=-1或p=2，即
把它们代入原方程的判别式中可知不符合题意，舍去.
所以数对组成的集合M的元素个数是3，
所以数对组成的集合M的真子集的个数是23-1=7.
解析
答案
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16.已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
答案
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∵Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k(k≠0)，
Δ≥0，∴k<0，
由根与系数的关系得，x1+x2=1，x1x2=.
由(2x1-x2)(x1-2x2)=得2(x1+x2)2-9x1x2=2-9×=
∴k=-.
解
(2)求使+-2的值为整数的实数k的整数值.
+-2=-2=-2=-4=-4=-.
∴k+1=±1，k+1=±2，k+1=±4.
∴k=0或k=-2或k=1或k=-3或k=3或k=-5.
∵k<0，∴实数k的整数值为-2或-3或-5.
解
答案
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第二章　 §2.1　等式
<<<2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标　1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系.
导语
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.
根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE=1 775.你能求出邑方的边长吗？
如果设正方形的边长为x步，则有AF=DB=20+x+14=x+34.
根据△ABF∽△DBE可知=从而AF·DB=AB·DE，因此(x+34)=20×1 775，
整理得x2+34x-71 000=0.你会解这个方程吗？
一、配方法求一元二次方程的解集
形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
问题1　 对于方程x2-8x-20=0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？
提示　可以通过配方法求解.方程x2-8x-20=0可化为(x-4)2=36，开方得x-4=6或x-4=-6，即x=10或x=-2.
知识梳理　 一元二次方程的解法
直接开 平方法 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程，形如(x-k)2=t(t<0)的方程，解集为
配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x-k)2=t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
因式 分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1=-m，x2=-n
例1　用配方法求下列一元二次方程的解集：
(1)x2+4x-1=0；
(2)4x2+8x+1=0.
解　 (1)∵x2+4x-1=0，∴x2+4x=1，
∴x2+4x+4=1+4，∴(x+2)2=5，
∴x=-2±∴x1=-2+x2=-2-.
∴原一元二次方程的解集是{-2+-2-}.
(2)移项，得4x2+8x=-1.
二次项系数化为1，得x2+2x=-
配方，得x2+2x+12=12-即(x+1)2=.
∴x+1=±.
∴x1=-1+x2=-1-
∴原一元二次方程的解集是.
反思感悟　用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项：把常数项移到方程的右边.
(2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数.
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式.
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程.
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
跟踪训练1　用配方法解方程2x2-5+x=0.
解　移项，得2x2+x=5.
二次项系数化为1，得x2+x=.
配方，得x2+x+=+.
∴=.∴x+=±.
∴x1=x2=
∴原一元二次方程的解集是
.
二、一元二次方程判别式的应用
问题2　应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，你会有怎样的发现呢？
提示　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为=所以当b2-4ac≥0时，开方得x=.
问题3　b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0对方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数有怎样的影响呢？
提示　当b2-4ac>0时与不等，方程有两个不等实根；当b2-4ac=0时，两根相等，方程有两等根；当b2-4ac<0时，方程无实根.
知识梳理
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x=求解.
2.式子Δ=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.
判别式与根的情况为：
Δ=b2-4ac 根的情况
b2-4ac>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，方程的解集为
b2-4ac=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，方程的解集为
b2-4ac<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根，方程的解集为
例2　判断下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0；
(2)x2-ax-1=0；
(3)x2-ax+(a-1)=0.
解　(1)因为该方程的根的判别式Δ=32-4×1×3=-3<0，所以方程没有实数根.
(2)因为该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0，所以方程有两个不相等的实数根，
x1=x2=.
(3)因为该方程的根的判别式
Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2，
①当a=2时，Δ=0，所以方程有两个相等的实数根，x1=x2=1；
②当a≠2时，Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根，x1=1，x2=a-1.
反思感悟　(1)一元二次方程的根的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系.
(2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这一隐含条件，否则容易出错.
跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程3x2-2x+k=0，根据下列条件，分别求出k的取值范围.
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根.
解　Δ=(-2)2-4×3k=4(1-3k).
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1-3k)>0，所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ=0，即4(1-3k)=0，所以k=.
三、一元二次方程根与系数的关系
问题4　当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？
提示　由x1=
x2=知，x1+x2=+=-x1x2=×=.
知识梳理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=-x1x2=.
注意点：
(1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2-4ac≥0.
(2)应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
①(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1；
+=(x1x2≠0)；
③|x1-x2|=；
④+=(x1+x2)2-2x1x2.
例3　(课本例2)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
(1)+；　　　　(2)|x1-x2|.
解　由一元二次方程根与系数的关系，得
x1+x2=-x1x2=-2.
(1)由上有+=(x1+x2)2-2x1x2
=-2×(-2)=.
(2)因为(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×(-2)=
所以|x1-x2|==.
例3　已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1，x2，求下列各式的值.
(1)+；
(2)|x1-x2|；
(3)+.
解　方程x2-3x-1=0的判别式Δ=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13>0，
则x1+x2=3，x1x2=-1.
(1)+===-3.
(2)|x1-x2|====.
(3)+=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=3×[32-3×(-1)]=36.
反思感悟　应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：
(1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式.
(2)应用时，要熟记根与系数的关系公式.
(3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提.
跟踪训练3　已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足+=11，求k的值.
解　(1)因为关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根，所以Δ≥0，即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0，解得k≤即k的取值范围为.
(2)由题意知x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1，
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3.
因为+=11，所以2k2-6k+3=11，即k2-3k-4=0，
解得k=4或k=-1，因为k≤所以k=-1.
1.知识清单：
(1)配方法求一元二次方程的解集.
(2)一元二次方程判别式的应用.
(3)一元二次方程根与系数的关系.
2.方法归纳：配方法、公式法.
3.常见误区：忽视对二次项系数的讨论.
1.方程4(1-x)2=1的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由方程4(1-x)2=1可得方程(x-1)2=解得x=或x=即方程的解集为.
2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　)
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为=
D.3y2-4y-2=0化为=
答案　B
解析　x2+8x+9=0配方应为(x+4)2=7.
3.已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是(　　)
A.3 B.1 C.-1 D.-3
答案　B
解析　∵α，β是方程x2+x-2=0的两个实数根，
∴α+β=-1，αβ=-2，∴α+β-αβ=-1+2=1.
4.已知关于x的方程x2-5mx+4=0有两个相等的实数根，则实数m的取值集合为　　　　　　　　.
答案　
解析　因为关于x的方程x2-5mx+4=0有两个相等的实数根，所以Δ=(-5m)2-4×1×4=0，即25m2-16=0，解得m=±.所以实数m的取值集合为.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.下列结论正确的是(　　)
A.若x2=4，则x=2
B.若x2-5xy-6y2=0(xy≠0)，则=6或=-1
C.方程x(2x-1)=2x-1的解集为{1}
D.方程=0的解集为{1，2}
答案　B
解析　对于A，由x2=4，得x=±2，故错误；
对于B，∵xy≠0，∴方程两边同除以y2，
得-5-6=0，
∴=6或=-1，故正确；
对于C，方程可化为(2x-1)(x-1)=0，则解集为故错误；
对于D，当x=1时方程无意义，故错误.
2.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)
A.-1 B.1
C.-2或2 D.-3或1
答案　A
解析　原一元二次方程可化为x2+(a+1)x=0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ=(a+1)2=0，解得a=-1.
3.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为(　　)
A.5 B.-1 C.2 D.-5
答案　B
解析　设方程的另一个根为x0，
则-2+x0=-3，
即x0=-1.
4.(多选)关于x的方程mx2-4x-m+5=0，以下说法正确的是(　　)
A.当m=0时，方程只有一个实数根
B.当m=1时，方程有两个相等的实数根
C.当m=-1时，方程没有实数根
D.当m=2时，方程有两个不相等的实数根
答案　AB
解析　当m=0时，方程化为-4x+5=0，
解得x=
此时方程只有一个实数根，故A正确；
当m=1时，方程化为x2-4x+4=0，
因为Δ=(-4)2-4×1×4=0，
所以此时方程有两个相等的实数根，故B正确；
当m=-1时，
方程化为-x2-4x+6=0，即x2+4x-6=0，
因为Δ=42-4×1×(-6)=40>0，
所以此时方程有两个不相等的实数根，故C错误；
当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0，
因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，
所以此时方程无实数根，故D错误.
5.若m，n满足m2+3m-5=0，n2+3n-5=0，且m≠n，则+的值为(　　)
A. B.- C.- D.
答案　A
解析　由题意可得m，n满足x2+3x-5=0，且m≠n，所以m，n是方程x2+3x-5=0的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得m+n=-3，mn=-5，
故+==.
6.(多选)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)
A.-9 B.-5 C.5 D.9
答案　BD
解析　设方程的两根为x1，x2，
由题意，得+=45，
所以(x1+x2)2-2x1x2=45.
因为x1+x2=a，x1x2=2a，
所以a2-2×2a=45.
解得a=-5或a=9.
又因为Δ=a2-8a，
当a=-5时，Δ>0，此时方程有两个实数根，满足题意；
当a=9时，Δ>0，此时方程有两个实数根，满足题意，
综上，a的值可能为-5或9.
7.(5分)将方程x2-2x=3化为(x-m)2=n的形式，则m=　　　　，n=　　　　.
答案　1　4
解析　x2-2x=3，配方得x2-2x+1=4，
即(x-1)2=4，
所以m=1，n=4.
8.(5分)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两根异号，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　(0，+∞)
解析　设方程的两个实数根为x1，x2，则
∴m>0，∴m∈(0，+∞).
9.(10分)求下列方程的解集.
(1)x4-3x2+2=0；(3分)
(2)x+2-1=0；(3分)
(3)(x2-x)2-(x2-x)-2=0.(4分)
解　(1)令y=x2≥0，
得y2-3y+2=0，
∴y=1或y=2，
即x2=1或x2=2，
∴x=±1或x=±.
∴原方程的解集为{--1，1}.
(2)令y=≥0，
得y2+2y-1=0，
∴y=-1+或y=-1-(舍).
从而=-1+
即x=3-2
∴原方程的解集为{3-2}.
(3)令x2-x=t，得t2-t-2=0，
∴t=-1或t=2，
即x2-x+1=0，①
或x2-x-2=0，②
对①，Δ=-3<0，无实数解；
对②，易得x=-1或x=2，故原方程的解集为{-1，2}.
10.(11分)设x1，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)+；(4分)
(2)(x1-x2)2；(3分)
(3)+.(4分)
解　由根与系数的关系，得
(1)+==-.
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=.
(3)+=(x1+x2)(-x1x2+)
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)=.
11.若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则+的值是(　　)
A. B.- C.- D.
答案　C
解析　∵α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，
∴α+β=-αβ=-3，
∴+==
==-.
12.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，1}，则关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是(　　)
A.{1，3} B.{-1，3}
C. {2，3} D.{3}
答案　B
解析　∵关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，1}，
∴方程m(x+a-2)2+n=0可变形为
m[(x-2)+a]2+n=0，
此方程中x-2=-3或x-2=1，解得x=-1或x=3.
∴关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是{-1，3}.
13.已知p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根，其中a，b∈R，则(ap2-bp+4a)(aq2-bq+4a)的值(　　)
A.仅与a有关
B.仅与b有关
C.与a，b均有关
D.是与a，b无关的定值
答案　D
解析　因为p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根，
所以由根与系数的关系得pq=4，
又ap2-(b+2)p+4a=0，所以ap2-bp+4a=2p，
同理aq2-bq+4a=2q，
所以=4pq=16.
14.(5分)对于任意实数a，b，定义：a◆b=a2+ab+b2.若方程(x◆2)-5=0的两根记为m，n，则m2+n2=　　　　.
答案　6
解析　∵(x◆2)-5=x2+2x+4-5=x2+2x-1，
∴m，n为方程x2+2x-1=0的两个根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=6.
15.设x2-px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，则数对(p，q)组成的集合M的真子集的个数是(　　)
A.7 B.8 C.15 D.16
答案　A
解析　根据题意得，α+β=p，①
αβ=q，②
α2+β2=p，③
α2β2=q，④
由②④可得α2β2-αβ=0，解得αβ=1或αβ=0，即q=1或q=0.
由①②③可得α2+β2=-2αβ=p2-2q=p，即p2-p=2q.
当q=0时，p2-p=0，解得p=0或p=1，
即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当q=1时，p2-p-2=0，解得p=-1或p=2，即或
把它们代入原方程的判别式中可知不符合题意，舍去.
所以数对组成的集合M的元素个数是3，
所以数对组成的集合M的真子集的个数是23-1=7.
16.(12分)已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；(5分)
(2)求使+-2的值为整数的实数k的整数值.(7分)
解　∵Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k(k≠0)，
Δ≥0，∴k<0，
由根与系数的关系得，x1+x2=1，x1x2=.
(1)由(2x1-x2)(x1-2x2)=得
2(x1+x2)2-9x1x2=2-9×=
∴k=-.
(2)+-2=-2=-2=-4=-4=-.
∴k+1=±1，k+1=±2，k+1=±4.
∴k=0或k=-2或k=1或k=-3或k=3或k=-5.
∵k<0，∴实数k的整数值为-2或-3或-5.

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