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2.1.3　方程组的解集
学习目标　1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题.
导语
我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，且x，y，z为自然数，则当z=81时，我们如何求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题.
一、一次方程组的解集
问题1　如果有一方程组为
那么适合方程①吗？适合方程②吗？
提示　均适合，并且{(x，y)|x=8，y=11}为两方程解集的交集.
问题2　如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？
提示　可以通过消元法求解.三元一次方程组也可以通过消元法求解.
知识梳理
方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集
方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法
注意点：
(1)消元法包括加减消元法和代入消元法.
(2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”.
(3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
例1　求下列方程组的解集：
(1)　　(2)
解　(1)已知
由①得x=2y+1，③
把③代入②，得2y+1+3y=6，
解得y=1.把y=1代入③得x=3，
所以原方程组的解为
所以原方程组的解集为{(3，1)}.
(2)已知方程组
①+②，得5x-z=14.
①+③，得4x+3z=15.
解方程组得
把x=3，z=1代入③，得y=8.
所以原方程组的解集为{(3，8，1)}.
反思感悟　(1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法.
(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数.
跟踪训练1　求方程组的解集.
解　已知方程组
①-②×2，得5y-3z=8，④
③-②，得3y-3z=6，⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得
把y=1，z=-1代入②，得x=2，
所以原方程组的解集为{(2，1，-1)}.
二、二元二次方程组的解集
角度1　“二·一”型的二元二次方程组
例2　(课本例1)求方程组的解集.
解　将②代入①，整理得x2+x-2=0，
解得x=1或x=-2.
利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1.
所以原方程组的解集为{(1，2)，(-2，-1)}.
例2　解方程组
解　已知方程组
方法一　由②得x=2y+5，③
将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4.
整理，得3y2+10y+7=0.解得y1=-y2=-1.
把y1=-代入③，得x1=
把y2=-1代入③，得x2=3.
所以原方程组的解是或
所以原方程组的解集为.
方法二　由①得(x+y)2=4，
即x+y=2或x+y=-2.
原方程组转化为或
解得或
所以原方程组的解集为.
反思感悟　这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”.如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解.
跟踪训练2　解方程组
解　已知
由方程②，得y=1-x，③
把方程③代入方程①，得x2+(1-x)2=1.
整理，得x2-x=0.解得x1=0，x2=1.
把x1=0代入方程③，得y1=1；
把x2=1代入方程③，得y2=0.
原方程组的解是或
即其解集为{(0，1)，(1，0)}.
角度2　“二·二”型的二元二次方程组
例3　(课本例2)求方程组的解集.
解　由①-②，整理得x+2y-3=0.③
由③解得x=3-2y.代入①，并整理，得
5y2-12y+7=0，解得y=1或y=.
利用③可知，y=1时，x=1；y=时，x=.
因此，原方程组的解集为.
例3　求方程组的解集.
解　　已知方程组
由①得x2-y2-5(x+y)=0 (x+y)(x-y)-5(x+y)=0 (x+y)(x-y-5)=0，
∴x+y=0或x-y-5=0，
∴ 原方程组可化为两个方程组
或
解这两个方程组，
得原方程组的解集是{(-1，-6)，(6，1)，(-)，(-)}.
反思感悟　解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”.
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组.
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组.
跟踪训练3　解方程组
解　方程组可化为
即为或
或或
解得或或或
所以原方程组的解集为
.
三、二元一次方程组的应用
例4　某商场开展促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？
解　(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得
解得
所以打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.
(2)80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3 640(元).
所以打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元.
反思感悟　用二元一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系.
(2)设元：用字母表示题目中的未知数.
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组.
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值.
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
跟踪训练4　水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
解　(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得
解得
所以需甲车型8辆，乙车型10辆.
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得
消去z得5x+2y=40，x=8-y，
因为x，y是正整数，且不大于16，得y=5，10，
由z是正整数，解得或
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
1.知识清单：
(1)求一次方程组的解集.
(2)求二元二次方程组的解集.
(3)一次方程组的实际应用.
2.方法归纳：代入消元法、加减消元法.
3.常见误区：消元不恰当造成运算烦琐.
1.方程组的解集是(　　)
A. B.
C.{(3，-2)} D.{(-2，3)}
答案　C
解析　已知
由②-①，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=1，解得y=-2，所以原方程组的解为即其解集为{(3，-2)}.
2.三元一次方程组的解集为(　　)
A.{(-2，4，3)} B.{(1，3，2)}
C.{(-1，4，3)} D.{(1，2，3)}
答案　D
解析　已知
由①+②得x-z=-2，④
由③和④组成一个二元一次方程组解得把x=1代入①得1-y=-1，解得y=2，所以原方程组的解是即其解集为{(1，2，3)}.
3.方程组的解集为　　　　.
答案　{(-2，-1)，(1，2)}
解析　∵∴-x2+3=x+1，
∴x2+x-2=0，∴(x+2)(x-1)=0，
∴x=1或x=-2，分别代入y=x+1可得或
∴方程组的解集为{(-2，-1)，(1，2)}.
4.已知方程x+3y=5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是　　　　.
答案　x-4y=0(答案不唯一)
解析　设所写出的二元一次方程为y=kx+b(k≠0).把(4，1)代入y=kx+b，得1=4k+b，
令b=0，则k=
∴这个方程可以是y=x，即x-4y=0.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.若方程组的解集是{(1，-1)}，则a，b为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　将x=1，y=-1代入方程组，
可解得a=1，b=0.
2.求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取(　　)
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
答案　B
解析　根据系数特点，先消去y最简便.
3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据组数×每组7人=总人数-3人，得方程7y=x-3；
根据组数×每组8人=总人数+5人，得方程8y=x+5.列方程组为
4.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为(　　)
A.a=-3，b=-14 B.a=3，b=-7
C.a=-1，b=9 D.a=-3，b=14
答案　A
解析　检验满足==的只有a=-3，b=-14.
5.(多选)方程组的解集的子集有(　　)
A.{(3，5)，(-1，-3)} B.{(2，6)}
C.{(-1，-3)} D.{2，6}
答案　AC
解析　
由①得y=2x-1，代入②得
3x2-2x-(2x-1)2=-4，整理得x2-2x-3=0，
解得或
故方程组的解集为{(3，5)，(-1，-3)}.
6.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k的取值为(　　)
A.3 B.-3 C.-4 D.4
答案　D
解析　由得
代入y=kx-9得-1=2k-9，解得k=4.
7.(5分)三元一次方程组的解集是　　　　.
答案　{(1，-1，-2)}
解析　已知
由①+②，得2x+4y=-2，即x+2y=-1，④
由②×3+③，得3x+11y=-8，⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得把y=-1代入②中，得z=-2.
故方程组的解是
8.(5分)已知A={(x，y)|x2+4y2-4=0}，B={(x，y)|x-2y-2=0}，则A∩B=　　　　　　.
答案　{(2，0)，(0，-1)}
解析　已知
由②得x=2y+2，③
把③代入①，整理得8y2+8y=0，
即y(y+1)=0，解得y1=0，y2=-1，
把y1=0代入③，得x1=2，
把y2=-1代入③，得x2=0，
所以原方程组的解是或
即其解集是{(2，0)，(0，-1)}.
即A∩B={(2，0)，(0，-1)}.
9.(10分)已知是二元一次方程组的解，求的值.
解　把代入二元一次方程组
得解得
所以原式===4.
10.(11分)善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③，将方程①代入③得2×3+y=5，∴y=-1，将y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组(5分)
(2)已知x，y满足方程组求整式x2+4y2+xy的值.(6分)
解　(1)由题知方程组为
将方程②变形为9x-6y+2y=19，
即3(3x-2y)+2y=19，③
将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2；将y=2代入①得x=3，∴方程组的解为
(2)由题知方程组为
由①得3(x2+4y2)=47+2xy，
即x2+4y2=③
把方程③代入②得2×+xy=36，
解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17，
∴x2+4y2+xy=17+2=19.
11.读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇.由此可推算，学生人数为(　　)
A.120 B.130 C.150 D.180
答案　A
解析　设毛诗有x本，春秋有y本，周易有z本，学生人数为m，
则解得
12.已知|x-z+4|+|z-2y+1|+|x+y-z+1|=0，则x+y+z等于(　　)
A.9 B.10 C.5 D.3
答案　A
解析　由题意，得
③-①，得y=3.
把y=3代入②，得z=5.把z=5代入①，得x=1.
所以x+y+z=1+3+5=9.
13.学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是：胜1场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有(　　)
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
答案　B
解析　设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
把③代入①②，得
解得z=(k∈N+).
又因为z为正整数，所以当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1.
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种.
14.(5分)关于x，y的方程3kx+2y=6k-3，对于任意k的值都有相同的解，则方程的解集为　　　　.
答案　
解析　方程可化为k(3x-6)+2y+3=0，
由题意得解得
15.(多选)已知关于x，y的方程组
给出下列结论，其中正确的是(　　)
A.是方程组的一组解
B.当k=时，x，y的值互为相反数
C.若方程组的解也是方程x+y=4-k的解，则k=-1
D.是方程组的解
答案　AB
解析　解方程组得
A项是方程组的一组解，故A正确；
B项，当k=时，x=3k-2=-2=-y=1-k=1-=x，y的值互为相反数，故B正确；
C项也是方程x+y=4-k的解，
∴x+y=3k-2+1-k=-1+2k=4-k，
∴3k=5，k=故C错误；
D项，由知D错误.
16.(12分)当k为何值时，方程组
(1)有一组实数解，并求出此解；(4分)
(2)有两组不相等的实数解；(4分)
(3)没有实数解.(4分)
解　将①代入②，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0，
当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1).
(1)当k=0时，y=2，则-4x+1=0，
解得x=方程组的解为当
即k=1时，原方程组有一组实数解，
将k=1代入原方程组得
解得
所以当k=0或k=1时，此方程组有一组实数解，且此解为或
(2)当即k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解，
所以当k<1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解.
(3)当时，
即当k>1时，方程组无实数解.(共89张PPT)
2.1.3
方程组的解集
第二章　 §2.1　等式
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1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.
2.掌握二元二次方程组的解法.
3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题.
学习目标
我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，
z，且x，y，z为自然数，则当z=81时，我们如何
求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题.
导 语
一、一次方程组的解集
二、二元二次方程组的解集
课时对点练
三、二元一次方程组的应用
随堂演练
内容索引
一次方程组的解集
一
提示　均适合，并且{(x，y)|x=8，y=11}为两方程解集的交集.
如果有一方程组为
那么适合方程①吗？适合方程②吗？
问题1
提示　可以通过消元法求解.三元一次方程组也可以通过消元法求解.
如何求方程组的解集呢？三元一次方程
组呢？
问题2
方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的 称为这个方程组的解集
方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是_______
消元法
交集
(1)消元法包括加减消元法和代入消元法.
(2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”.
(3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
注 意 点
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求下列方程组的解集：
(1)　
例 1
已知
由①得x=2y+1， ③
把③代入②，得2y+1+3y=6，
解得y=1.
把y=1代入③得x=3，
所以原方程组的解为
所以原方程组的解集为{(3，1)}.
解
①
②
(2)
已知方程组
①+②，得5x-z=14.
①+③，得4x+3z=15.
解方程组
把x=3，z=1代入③，得y=8.
所以原方程组的解集为{(3，8，1)}.
解
①
②
③
(1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法.
(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数.
反
思
感
悟
求方程组的解集.
跟踪训练 1
已知方程组
①-②×2，得5y-3z=8， ④
③-②，得3y-3z=6， ⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得
把y=1，z=-1代入②，得x=2，所以原方程组的解集为{(2，1，-1)}.
解
①
②
③
二
二元二次方程组的解集
(课本例1)求方程组的解集.
例 2
角度1　“二·一”型的二元二次方程组
将②代入①，整理得x2+x-2=0，
解得x=1或x=-2.
利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1.
所以原方程组的解集为{(1，2)，(-2，-1)}.
解
解方程组
例 2
已知方程组
方法一　由②得x=2y+5， ③
将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4.
整理，得3y2+10y+7=0.解得y1=-y2=-1.
把y1=-代入③，得x1=
把y2=-1代入③，得x2=3.
所以原方程组的解是
解
①
②
所以原方程组的解集为.
方法二　由①得(x+y)2=4，
即x+y=2或x+y=-2.
原方程组转化为
解得
所以原方程组的解集为.
解
这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”.如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解.
反
思
感
悟
解方程组
跟踪训练 2
已知
由方程②，得y=1-x， ③
把方程③代入方程①，得x2+(1-x)2=1.
整理，得x2-x=0.解得x1=0，x2=1.
把x1=0代入方程③，得y1=1；
把x2=1代入方程③，得y2=0.
原方程组的解是
即其解集为{(0，1)，(1，0)}.
解
①
②
(课本例2)求方程组的解集.
例 3
角度2　“二·二”型的二元二次方程组
由①-②，整理得x+2y-3=0. ③
由③解得x=3-2y.
代入①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得y=1或y=.
利用③可知，y=1时，x=1；y=时，x=.
因此，原方程组的解集为.
解
求方程组的解集.
例 3
已知方程组
由①得x2-y2-5(x+y)=0 (x+y)(x-y)-5(x+y)=0 (x+y)(x-y-5)=0，
∴x+y=0或x-y-5=0，
∴原方程组可化为两个方程组
解这两个方程组，
得原方程组的解集是{(-1，-6)，(6，1)，(-)，(-)}.
解
①
②
解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”.
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组.
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组.
反
思
感
悟
解方程组
跟踪训练 3
方程组可化为
即为
或
解得
所以原方程组的解集为.
解
二元一次方程组的应用
三
某商场开展促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
例 4
设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得
所以打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.
解
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？
80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3 640(元).
所以打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元.
解
用二元一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系.
(2)设元：用字母表示题目中的未知数.
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组.
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值.
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
反
思
感
悟
水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
跟踪训练 4
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
设需甲车型x辆，乙车型y辆，得
所以需甲车型8辆，乙车型10辆.
解
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得
消去z得5x+2y=40，x=8-y，
因为x，y是正整数，且不大于16，得y=5，10，
由z是正整数，解得
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
解
1.知识清单：
(1)求一次方程组的解集.
(2)求二元二次方程组的解集.
(3)一次方程组的实际应用.
2.方法归纳：代入消元法、加减消元法.
3.常见误区：消元不恰当造成运算烦琐.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.方程组的解集是
A. B.
C.{(3，-2)} D.{(-2，3)}
√
1
2
3
4
已知
由②-①，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=1，解得y=-2，
所以原方程组的解为即其解集为{(3，-2)}.
解析
①
②
1
2
3
4
2.三元一次方程组的解集为
A.{(-2，4，3)} B.{(1，3，2)}
C.{(-1，4，3)} D.{(1，2，3)}
√
1
2
3
4
已知
由①+②得x-z=-2， ④
由③和④组成一个二元一次方程组把x=1代入①
得1-y=-1，解得y=2，所以原方程组的解是即其解集为{(1，2，3)}.
解析
①
②
③
1
2
3
4
3.方程组的解集为　　　 　.
∵∴-x2+3=x+1，
∴x2+x-2=0，∴(x+2)(x-1)=0，
∴x=1或x=-2，分别代入y=x+1可得
∴方程组的解集为{(-2，-1)，(1，2)}.
解析
{(-2，-1)，(1，2)}
1
2
3
4
4.已知方程x+3y=5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成
的方程组的解为这个方程可以是　　　 　.
设所写出的二元一次方程为y=kx+b(k≠0).
把(4，1)代入y=kx+b，得1=4k+b，
令b=0，则k=
∴这个方程可以是y=x，即x-4y=0.
解析
x-4y=0(答案不唯一)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C A AC D {(1，-1，-2)} 题号 8 11 12 13 14 15
答案 {(2，0)，(0，-1)} A A B AB
对一对
答案
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9.
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16
把代入二元一次方程组
得解得
所以原式===4.
10.
答案
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16
(1)由题知方程组为
将方程②变形为9x-6y+2y=19，
即3(3x-2y)+2y=19， ③
将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2；
将y=2代入①得x=3，
∴方程组的解为
①
②
10.
答案
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16
(2)由题知方程组为
由①得3(x2+4y2)=47+2xy，
即x2+4y2= ③
把方程③代入②得2×+xy=36，
解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17，
∴x2+4y2+xy=17+2=19.
①
②
16.
答案
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16
将①代入②，
整理得k2x2+(2k-4)x+1=0，
当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1).
(1)当k=0时，y=2，则-4x+1=0，解得x=
方程组的解为当
即k=1时，原方程组有一组实数解，
16.
答案
1
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15
16
将k=1代入原方程组得
解得
所以当k=0或k=1时，此方程组有一组实数解，
且此解为或
16.
答案
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16
(2)当即k<1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解，
所以当k<1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解.
(3)当时，
即当k>1时，方程组无实数解.
基础巩固
1.若方程组的解集是{(1，-1)}，则a，b为
A. B.
C. D.
√
答案
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16
将x=1，y=-1代入方程组，可解得a=1，b=0.
解析
2.求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应
选取
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
√
答案
1
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16
根据系数特点，先消去y最简便.
解析
3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为
A. B.
C. D.
√
答案
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16
根据组数×每组7人=总人数-3人，得方程7y=x-3；
根据组数×每组8人=总人数+5人，得方程8y=x+5.
列方程组为
解析
4.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为
A.a=-3，b=-14 B.a=3，b=-7
C.a=-1，b=9 D.a=-3，b=14
√
检验满足==的只有a=-3，b=-14.
解析
答案
1
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16
5.(多选)方程组的解集的子集有
A.{(3，5)，(-1，-3)} B.{(2，6)}
C.{(-1，-3)} D.{2，6}
√
答案
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√
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16
由①得y=2x-1，代入②得
3x2-2x-(2x-1)2=-4，整理得x2-2x-3=0，
解得
故方程组的解集为{(3，5)，(-1，-3)}.
解析
①
②
6.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k的取值为
A.3 B.-3 C.-4 D.4
√
答案
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由
代入y=kx-9得-1=2k-9，解得k=4.
解析
7.三元一次方程组的解集是　　　 　.
答案
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{(1，-1，-2)}
答案
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已知
由①+②，得2x+4y=-2，即x+2y=-1， ④
由②×3+③，得3x+11y=-8， ⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得把y=-1代入②中，得z=-2.
解析
①
②
③
答案
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16
故方程组的解是
解析
8.已知A={(x，y)|x2+4y2-4=0}，B={(x，y)|x-2y-2=0}，则A∩B=
　　　　　 　.
答案
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{(2，0)，(0，-1)}
答案
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已知
由②得x=2y+2， ③
把③代入①，整理得8y2+8y=0，
即y(y+1)=0，解得y1=0，y2=-1，
把y1=0代入③，得x1=2，
把y2=-1代入③，得x2=0，
解析
①
②
答案
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16
所以原方程组的解是
即其解集是{(2，0)，(0，-1)}.
即A∩B={(2，0)，(0，-1)}.
解析
9.已知是二元一次方程组的解，求的值.
答案
1
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16
把
得
所以原式===4.
解
10.善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③，将方程①代入③得2×3+y=5，∴y=-1，将y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
答案
1
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16
由题知方程组为
将方程②变形为9x-6y+2y=19，
即3(3x-2y)+2y=19， ③
将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2；
将y=2代入①得x=3，∴方程组的解为
解
①
②
(2)已知x，y满足方程组求整式x2+4y2+xy的值.
答案
1
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16
由题知方程组为
由①得3(x2+4y2)=47+2xy，
即x2+4y2= ③
把方程③代入②得2×+xy=36，
解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17，
∴x2+4y2+xy=17+2=19.
解
①
②
11.读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇.由此可推算，学生人数为
A.120 B.130 C.150 D.180
√
综合运用
答案
1
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16
设毛诗有x本，春秋有y本，周易有z本，学生人数为m，
则
解析
12.已知|x-z+4|+|z-2y+1|+|x+y-z+1|=0，则x+y+z等于
A.9 B.10 C.5 D.3
√
答案
1
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16
由题意，得
③-①，得y=3.
把y=3代入②，得z=5.把z=5代入①，得x=1.
所以x+y+z=1+3+5=9.
解析
①
②
③
13.学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是：胜1场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
答案
1
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答案
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16
设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，
依题意得
把③代入①②，得
解得z=(k∈N+).
又因为z为正整数，所以当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1.
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种.
解析
①
②
③
14.关于x，y的方程3kx+2y=6k-3，对于任意k的值都有相同的解，则方程
的解集为　 　　　.
答案
1
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16
方程可化为k(3x-6)+2y+3=0，
由题意得
解析
15.(多选)已知关于x，y的方程组
给出下列结论，其中正确的是
A.是方程组的一组解
B.当k=时，x，y的值互为相反数
C.若方程组的解也是方程x+y=4-k的解，则k=-1
D.是方程组的解
拓广探究
√
√
答案
1
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16
方程组
A项是方程组的一组解，故A正确；
B项，当k=时，x=3k-2=-2=-y=1-k=1-=x，y的值互为相反数，故B正确；
解析
答案
1
2
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4
5
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15
16
C项也是方程x+y=4-k的解，
∴x+y=3k-2+1-k=-1+2k=4-k，∴3k=5，k=故C错误；
D项，由知D错误.
解析
16.当k为何值时，方程组
(1)有一组实数解，并求出此解；
答案
1
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①
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答案
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15
16
将①代入②，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0，
当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1).
(1)当k=0时，y=2，则-4x+1=0，
解得x=方程组的解为
即k=1时，原方程组有一组实数解，
将k=1代入原方程组得
解
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
所以当k=0或k=1时，此方程组有一组实数解，且此解为
解
(2)有两组不相等的实数解；
当
即k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解，
所以当k<1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解.
解
答案
1
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16
(3)没有实数解.
当时，
即当k>1时，方程组无实数解.
解
答案
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16
第二章　 §2.1　等式
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