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第1课时
不等式及其性质
第二章　 2.2.1　不等式及其性质
<<<
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.
3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.
学习目标
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.
导 语
一、用不等式(组)表示不等关系
二、作差法比较大小
课时对点练
三、利用不等式的性质判断命题的真假
随堂演练
内容索引
四、利用不等式的性质求取值范围
用不等式(组)表示不等关系
一
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某路段限速40 km/h；
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
问题1
提示　对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”就是v的大小不能超过40，于是0对于(2)，由题意，得
对于(3)，设△ABC的三条边为a，b，c
1.不等关系与不等式
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接 ，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
两个数或代数式
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号 语言 ___ < ≥ ____
>
≤
(1)单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
注 意 点
<<<
某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
例 1
设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆，
则
解
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.
(2)适当地设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
反
思
感
悟
某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的
3倍，写出满足所有上述所有不等关系的不等式(组).
跟踪训练 1
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.
根据题意，得
解
二
作差法比较大小
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
问题2
1.数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为 ，并记作 .
2.比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：
a>b ；a=b a-b=0；a点P的坐标
P(x)
a-b>0
a-b<0
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.
(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小.
注 意 点
<<<
(课本例1)比较x2-x和x-2的大小.
例 2
因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1，
又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，从而(x2-x)-(x-2)>0，
因此x2-x>x-2.
解
已知x<1，比较x3-1与2x2-2x的大小.
例 2
x3-1-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2+x+1-2x)
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1).
∵x<1，∴x-1<0，
又+>0，∴(x-1)<0，
∴x3-1<2x2-2x.
解
若将本例中“x<1”改为“x∈R”，则x3-1与2x2-2x的大小关系又如何呢？
延伸探究 1
由例题知x3-1-(2x2-2x)=(x-1) ①
∵+>0，
∴当x-1<0，即x<1时，①式小于0，即x3-1<2x2-2x；
当x-1=0，即x=1时，①式等于0，即x3-1=2x2-2x；
当x-1>0，即x>1时，①式大于0，即x3-1>2x2-2x.
解
作差法比较大小的四个步骤
反
思
感
悟
(1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
跟踪训练 2
因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0，
所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).
解
(2)已知a>0，b>0，比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
因为a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)
=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2，
因为a>0，b>0，所以(a+b)(a-b)2≥0，
所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0，
所以a3+b3≥ab2+a2b.
解
利用不等式的性质判断命题的真假
三
提示　(1)如果a>b，那么b(2)如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a>b，那么a+c>b+c；
(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b，b=c，那么a=c；
(3)如果a=b，那么a+c=b+c；
(4)如果a=b，那么ac=bc.
问题3
1.不等式的性质
性质 别名 内容
性质1 可加性 a>b a+c b+c
性质2 可乘性 a>b，c>0 ac bc
性质3 a>b，c<0 ac bc
性质4 传递性 a>b，b>c _____
性质5 对称性 a>b b>
>
<
a>c
2.不等式的推论
推论 别名 内容
推论1 移项法则 a+b>c a>c-b
推论2 同向不等式相加 a>b，c>d _________
推论3 同向不等式相乘 a>b>0，c>d>0 _______
推论4 可乘方性 a>b>0 (n∈N，n>1)
推论5 可开方性 a>b>0 >
a+c>b+d
ac>bd
an>bn
对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>b>0，则>
C.若a
D.若a>b>则a>0，b<0
√
例 3
方法一　因为c2≥0，所以当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；
由a>b>0，得ab>0 > >故B为假命题；
因为a-b>0 ->->0，
所以>故C为假命题；
ab<0.
因为a>b，所以a>0且b<0，故D为真命题.
解析
方法二　特殊值排除法.
取c=0，则ac2=bc2，故A错误；
取a=2，b=1，则==1，有<故B错误；
取a=-2，b=-1，则==2，有<故C错误.
解析
利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
反
思
感
悟
若实数a，b，c满足a>b>c，则下列不等式正确的是
A.a+c>b B.a|c|>b|c|
C.< D.<
跟踪训练 3
√
对于A，当a=3，b=2，c=-5时，a+c=-2对于B，当a=3，b=2，c=0时，a|c|=b|c|，故B错误；
对于C，因为a>b>c，所以a-c>b-c>0，故<故C正确；
对于D，当a=0时==0，故D错误.
解析
利用不等式的性质求取值范围
四
已知-1(1)求x-y的取值范围；
例 4
因为-1所以-3<-y<-2，所以-4解
(2)求3x+2y的取值范围.
由-1得-3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18.
解
若将本例条件改为-1延伸探究 2
因为-1所以-3<-y<1，所以-4又因为x故x-y的取值范围为(-4，0).
解
若将本例条件改为-1延伸探究 3
设3x+2y=m(x+y)+n(x-y)，则
即3x+2y=(x+y)+(x-y)，
又因为-1所以-<(x+y)<10，1<(x-y)<
所以-<(x+y)+(x-y)<即-<3x+2y<
所以3x+2y的取值范围为.
解
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
反
思
感
悟
已知12的取值范围为　　　　　.
跟踪训练 4
因为15又12因为12又15综上，a-2b的取值范围是(-60，30)，.
解析
(-60，30)
1.知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)利用不等式的性质判断命题的真假.
(4)利用不等式的性质求取值范围.
2.方法归纳：作差法.
3.常见误区：
(1)不注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性.
(2)不注意讨论.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.下列说法正确的是
A.某人月收入x不高于5 000可表示为“x<5 000”
B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
√
1
2
3
4
对于A，x应满足x≤5 000，故A错误；
对于B，x，y应满足x对于C，x与a的关系可以表示为x≥a，故C正确；
对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误.
解析
1
2
3
4
2.(多选)若<<0，则下面四个不等式中正确的是
A.|a|>|b| B.aC.a+bb3
√
由<<0可得b从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a+b<0，ab>0，则a+ba3>b3，D正确.
解析
√
1
2
3
4
3.若1A.(-3，3] B.(-3，5)
C.(-3，3) D.(1，4)
√
∵-4∴-4<-|b|≤0.
又1解析
1
2
3
4
4.设a=+2b=3+则a，b的大小关系为　　　　.
由a=+2b=3+
可得a2=13+4b2=19+6
显然a2又a>0，b>0，所以a解析
a课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A A C BD BD 4×2x>100 题号 8 11 12 13 14 15
答案 < A C A 8(x+19)>2 200　9<<10
对一对
答案
1
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6
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9.
答案
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16
∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，
当且仅当x=y=且z=1时取等号.
10.
答案
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16
设该家庭除户主外，还有x(x∈N+)人参加旅游，甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元，一张全票的票价为a元.
因为y1=a+0.55ax，y2=0.75(x+1)a，
所以y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x)，
故当x>1.25时，y1当x<1.25时，y1>y2.
又x∈N+，所以当x=1时，y1>y2，即两口之家应选择乙旅行社；
当x>1(x∈N+)时，y116.
答案
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∵x>0，y>0，
∴x+y+1>1+x>0，
1+x+y>1+y>0，
∴<<
故M==+<+=N，即M基础巩固
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为
A.a+b<0 B.a+b>0
C.a+b≤0 D.a+b≥0
√
a与b的和是非正数，即a+b≤0.
解析
答案
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2.若x>y，m>n，则下列不等式中正确的是
A.x+m>y+n B.x-m>y-n
C.> D.xm>yn
√
答案
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因为x>y，m>n，所以x+m>y+n，故A正确；
当x=2，y=1，m=2，n=-1时，x-m当x=1，y=-1，m=2，n=-4时，xm解析
3.若a≠2且b≠-1，则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是
A.M>-5 B.M<-5
C.M=-5 D.不能确定
√
M=(a-2)2+(b+1)2-5>-5.
解析
答案
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4.已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是
A.ab>bc B.ac>bc
C.ab>ac D.a|b|>|b|c
√
因为a>b>c，且a+b+c=0，
所以a>0，c<0，所以ab>ac.
解析
答案
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5.(多选)下列说法一定正确的是
A.若a>b，则a2 026>b2 026
B.若ab<0>则a>b
C.若a>b，a+c>b+d，则c>d
D.若a>b>0，则>
√
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对于A，取a=0，b=-1，则a2 026对于B，由ab<0>得，a>0>b，故B正确；
对于C，取a=3，b=0，c=1，d=2，满足a>b，a+c>b+d，但c>d不成立，故C错误；
对于D，∵a>b>0，∴-=>0，∴>成立，故D正确.
解析
6.(多选)已知3A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.a-2b的取值范围为(-4，1)
D.a-2b的取值范围为(-7，4)
√
√
答案
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∵1又3即a-2b的取值范围为(-7，4).
解析
7.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为　　　 　.
当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×
2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
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4×2x>100
8.若a>b>0，c”或“=”)
∵c-d>0，∴->->0.
∵a>b>0，∴->->0，
∴>即->-
∴<.
解析
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<
9.设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，
当且仅当x=y=且z=1时取等号.
解
答案
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10.某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案.甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠.乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果这两家旅行社一张全票的票价相同，那么该家庭选择哪家旅行社外出旅游更划算？
答案
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设该家庭除户主外，还有x(x∈N+)人参加旅游，甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元，一张全票的票价为a元.
因为y1=a+0.55ax，y2=0.75(x+1)a，
所以y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x)，
故当x>1.25时，y1y2.
又x∈N+，所以当x=1时，y1>y2，即两口之家应选择乙旅行社；
当x>1(x∈N+)时，y1解
11.若a，b为实数，则“0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
综合运用
答案
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对于00，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0”的充分条件；反之，若a=-1，b=2，a<或b>成立，但0”的必要条件，即“0”的充分不必要条件.
解析
12.已知c>1，且x=-y=-则x，y之间的大小关系是
A.x>y B.x=y
C.x√
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x=-=
y=-=
∵c>1，∴+>+>0，
∴x解析
13.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
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∵a+b=c+d，a+d>b+c，
∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d)，即a>c.
∴b综上可得，d>b>a>c.
解析
14.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　　　　　　　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来
行驶8天的路程就要用9天多的时间，用不等式表示为　　　　　　.
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8(x+19)>2 200
9<<10
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汽车原来每天行驶x km，若该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x+19)>2 200.若该汽车每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9<<10.
解析
15.以max M表示数集M中最大的数.设0则max{b-a，c-b，1-c}的最小值为　　　.
拓广探究
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m>0，n>0，p>0，
所以
若b≥2a，则1-n-p≥2(1-m-n-p)，
故2m+n+p≥1，
令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
则故4M≥2m+n+p≥1，则M≥当m=n=p=时，等号成立；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若a+b≤1，则1-m-n-p+1-n-p≤1，
即m+2n+2p≥1，M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
则故5M≥m+2n+2p≥1，
则M≥当m=n=p=时，等号成立.
综上可知，max{b-a，c-b，1-c}的最小值为.
解析
16.若x>0，y>0，M=N=+试判断M，N的大小关系.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵x>0，y>0，
∴x+y+1>1+x>0，1+x+y>1+y>0，
∴<<
故M==+<+=N，即M解
第二章　 2.2.1　不等式及其性质
<<<2.2.1　不等式及其性质
第1课时　不等式及其性质
学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.
一、用不等式(组)表示不等关系
问题1　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某路段限速40 km/h；
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
提示　对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”就是v的大小不能超过40，于是0对于(2)，由题意，得
对于(3)，设△ABC的三条边为a，b，c
知识梳理
1.不等关系与不等式
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号 语言 > < ≥ ≤
注意点：
(1)单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解　设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆，
则
反思感悟　用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.
(2)适当地设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
跟踪训练1　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述所有不等关系的不等式(组).
解　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，得
二、作差法比较大小
问题2　在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
1.数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x).
2.比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：
a>b a-b>0；a=b a-b=0；a注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.
(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小.
例2　(课本例1)比较x2-x和x-2的大小.
解　因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1，
又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，从而(x2-x)-(x-2)>0，
因此x2-x>x-2.
例2　已知x<1，比较x3-1与2x2-2x的大小.
解　x3-1-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2+x+1-2x)
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1).
∵x<1，∴x-1<0，
又+>0，∴(x-1)<0，
∴x3-1<2x2-2x.
延伸探究1　若将本例中“x<1”改为“x∈R”，则x3-1与2x2-2x的大小关系又如何呢？
解　由例题知x3-1-(2x2-2x)
=(x-1)①
∵+>0，
∴当x-1<0，即x<1时，①式小于0，即x3-1<2x2-2x；
当x-1=0，即x=1时，①式等于0，即x3-1=2x2-2x；
当x-1>0，即x>1时，①式大于0，即x3-1>2x2-2x.
反思感悟　作差法比较大小的四个步骤
跟踪训练2　(1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
解　因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0，
所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).
(2)已知a>0，b>0，比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
解　因为a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2，
因为a>0，b>0，所以(a+b)(a-b)2≥0，
所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0，
所以a3+b3≥ab2+a2b.
三、利用不等式的性质判断命题的真假
问题3　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b，b=c，那么a=c；
(3)如果a=b，那么a+c=b+c；
(4)如果a=b，那么ac=bc.
提示　(1)如果a>b，那么b(2)如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a>b，那么a+c>b+c；
(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac知识梳理
1.不等式的性质
性质 别名 内容
性质1 可加性 a>b a+c>b+c
性质2 可乘性 a>b，c>0 ac>bc
性质3 a>b，c<0 ac性质4 传递性 a>b，b>c a>c
性质5 对称性 a>b b2.不等式的推论
推论 别名 内容
推论1 移项法则 a+b>c a>c-b
推论2 同向不等式相加 a>b，c>d a+c>b+d
推论3 同向不等式相乘 a>b>0，c>d>0 ac>bd
推论4 可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N，n>1)
推论5 可开方性 a>b>0 >
例3　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>b>0，则>
C.若a
D.若a>b>则a>0，b<0
答案　D
解析　方法一　因为c2≥0，所以当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；
由a>b>0，得ab>0 > >故B为假命题；
因为a-b>0 ->->0，
所以>故C为假命题；
ab<0.
因为a>b，所以a>0且b<0，故D为真命题.
方法二　特殊值排除法.
取c=0，则ac2=bc2，故A错误；
取a=2，b=1，则==1，有<故B错误；
取a=-2，b=-1，则==2，有<故C错误.
反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
跟踪训练3　若实数a，b，c满足a>b>c，则下列不等式正确的是(　　)
A.a+c>b B.a|c|>b|c|
C.< D.<
答案　C
解析　对于A，当a=3，b=2，c=-5时，a+c=-2对于B，当a=3，b=2，c=0时，a|c|=b|c|，故B错误；
对于C，因为a>b>c，所以a-c>b-c>0，故<故C正确；
对于D，当a=0时==0，故D错误.
四、利用不等式的性质求取值范围
例4　已知-1(1)求x-y的取值范围；
(2)求3x+2y的取值范围.
解　(1)因为-1所以-3<-y<-2，所以-4(2)由-1得-3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18.
延伸探究2　若将本例条件改为-1解　因为-1所以-3<-y<1，所以-4又因为x故x-y的取值范围为(-4，0).
延伸探究3　若将本例条件改为-1解　设3x+2y=m(x+y)+n(x-y)，
则所以
即3x+2y=(x+y)+(x-y)，
又因为-1所以-<(x+y)<10，1<(x-y)<
所以-<(x+y)+(x-y)<
即-<3x+2y<
所以3x+2y的取值范围为.
反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
跟踪训练4　已知12答案　(-60，30)　
解析　因为15又12因为12又15综上，a-2b的取值范围是(-60，30)，
的取值范围是.
1.知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)利用不等式的性质判断命题的真假.
(4)利用不等式的性质求取值范围.
2.方法归纳：作差法.
3.常见误区：
(1)不注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性.
(2)不注意讨论.
1.下列说法正确的是(　　)
A.某人月收入x不高于5 000可表示为“x<5 000”
B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案　C
解析　对于A，x应满足x≤5 000，故A错误；
对于B，x，y应满足x对于C，x与a的关系可以表示为x≥a，故C正确；
对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误.
2.(多选)若<<0，则下面四个不等式中正确的是(　　)
A.|a|>|b| B.aC.a+bb3
答案　CD
解析　由<<0可得b从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a+b<0，ab>0，则a+ba3>b3，D正确.
3.若1A.(-3，3] B.(-3，5)
C.(-3，3) D.(1，4)
答案　C
解析　∵-4∴-4<-|b|≤0.
又14.设a=+2b=3+则a，b的大小关系为　　　　　　.
答案　a解析　由a=+2b=3+
可得a2=13+4b2=19+6
显然a2又a>0，b>0，所以a课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　)
A.a+b<0 B.a+b>0
C.a+b≤0 D.a+b≥0
答案　C
解析　a与b的和是非正数，即a+b≤0.
2.若x>y，m>n，则下列不等式中正确的是(　　)
A.x+m>y+n B.x-m>y-n
C.> D.xm>yn
答案　A
解析　因为x>y，m>n，所以x+m>y+n，故A正确；当x=2，y=1，m=2，n=-1时，x-m3.若a≠2且b≠-1，则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是(　　)
A.M>-5 B.M<-5
C.M=-5 D.不能确定
答案　A
解析　 M=(a-2)2+(b+1)2-5>-5.
4.已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.ab>bc B.ac>bc
C.ab>ac D.a|b|>|b|c
答案　C
解析　因为a>b>c，且a+b+c=0，
所以a>0，c<0，所以ab>ac.
5.(多选)下列说法一定正确的是(　　)
A.若a>b，则a2 026>b2 026
B.若ab<0>则a>b
C.若a>b，a+c>b+d，则c>d
D.若a>b>0，则>
答案　BD
解析　对于A，取a=0，b=-1，则a2 026对于B，由ab<0>得，a>0>b，故B正确；
对于C，取a=3，b=0，c=1，d=2，满足a>b，a+c>b+d，但c>d不成立，故C错误；
对于D，∵a>b>0，∴-=>0，
∴>成立，故D正确.
6.(多选)已知3A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.a-2b的取值范围为(-4，1)
D.a-2b的取值范围为(-7，4)
答案　BD
解析　∵1又3即的取值范围为a-2b的取值范围为(-7，4).
7.(5分)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为　　　　.
答案　4×2x>100
解析　当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
8.(5分)若a>b>0，c”或“=”)
答案　<
解析　∵c-d>0，∴->->0.
∵a>b>0，∴->->0，
∴>即->-
∴<.
9.(10分)设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
解　∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，
当且仅当x=y=且z=1时取等号.
10.(11分)某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案.甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠.乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果这两家旅行社一张全票的票价相同，那么该家庭选择哪家旅行社外出旅游更划算？
解　设该家庭除户主外，还有x(x∈N+)人参加旅游，甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元，一张全票的票价为a元.
因为y1=a+0.55ax，y2=0.75(x+1)a，所以y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x)，
故当x>1.25时，y1y2.
又x∈N+，所以当x=1时，y1>y2，即两口之家应选择乙旅行社；
当x>1(x∈N+)时，y111.若a，b为实数，则“0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　对于00，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0”的充分条件；反之，若a=-1，b=2，a<或b>成立，但0”的必要条件，即“0”的充分不必要条件.
12.已知c>1，且x=-y=-则x，y之间的大小关系是(　　)
A.x>y B.x=y
C.x答案　C
解析　x=-=
y=-=
∵c>1，∴+>+>0，
∴x13.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
答案　A
解析　∵a+b=c+d，a+d>b+c，
∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d)，即a>c.
∴b综上可得，d>b>a>c.
14.(5分)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　　　　　　　　　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就要用9天多的时间，用不等式表示为　　　　　　　　　.
答案　8(x+19)>2 200　9<<10
解析　汽车原来每天行驶x km，若该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x+19)>2 200.若该汽车每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9<<10.
15.(5分)以max M表示数集M中最大的数.设0答案　
解析　令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m>0，n>0，p>0，所以
若b≥2a，则1-n-p≥2(1-m-n-p)，
故2m+n+p≥1，
令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
则故4M≥2m+n+p≥1，则M≥当m=n=p=时，等号成立；
若a+b≤1，则1-m-n-p+1-n-p≤1，
即m+2n+2p≥1，M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
则故5M≥m+2n+2p≥1，
则M≥当m=n=p=时，等号成立.
综上可知，max{b-a，c-b，1-c}的最小值为.
16.(12分)若x>0，y>0，M=N=+试判断M，N的大小关系.
解　∵x>0，y>0，
∴x+y+1>1+x>0，1+x+y>1+y>0，
∴<<
故M==+<+=N，即M第2课时
不等式的证明方法
第二章　 2.2.1　不等式及其性质
<<<
1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.
2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.
学习目标
数学家给出了“上帝不是万能的”的证明过程.
证明：假设上帝是万能的，那么上帝能做任何事，就让他制造一块自己都搬不动的大石头，如果他造不出来，就说明他不是万能的，如果他造出来了，但他又搬不动，这与假设矛盾.所以，上帝不是万能的.
数学家采用了哪种证明命题的方法？常见的证明方法有哪些呢？这节课我们一起来研究不等式的证明方法.
导 语
一、综合法
二、分析法
课时对点练
三、反证法
随堂演练
内容索引
综合法
一
提示　由已知0<+<+出发，推出结论.
阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：->-.
证明：因为0<+<+
所以>
所以->-.
问题1
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为 法.综合法最重要的推理形式为 ，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找__________
________.
综合
p q
必然成立
的结论
(1)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P Q1 → Q1 Q2 → Q2 Q3 →…→ Qn Q
(2)综合法实际上是寻求使命题成立的必要条件，即由因导果.
注 意 点
<<<
(课本例2)(1)已知a>b，cb-d；
例 1
因为a>b，c所以a>b，-c>-d.
根据推论2，得a-c>b-d.
证明
(2)已知a>b，ab>0，求证：<；
因为ab>0，所以>0.
又因为a>b，所以a·>b·
即>因此<.
证明
(3)已知a>b>0，0.
因为0>0.
又因为a>b>0，所以根据推论3可知
a·>b·即>.
证明
已知c>a>b>0，求证：>.
例 1
方法一　因为c>a>b>0，
所以0所以(c-a)(c-b)>0，
所以0<·(c-a)<·(c-b)，
即0<<即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
证明
方法二　因为a>b>0，所以0<<
因为c>0，所以<
所以-1<-1，即<
因为c>a>b>0，所以c-a>0，c-b>0.
所以>.
证明
方法三　-===
因为c>a>b>0，所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，
所以>.
证明
在本例条件不变的情况下，求证：>.
延伸探究
方法一　因为c>a>b>0，
所以0所以0<(c-a)2<(c-b)2，
所以(c-a)2(c-b)2>0，
所以0<·(c-a)2<·(c-b)2，
即0<<所以>>0，
又因为a>b>0，所以>.
证明
方法二　-==
==
因为c>a>b>0，
所以a-b>0，c2>ab，c-a>0，c-b>0，
所以(a-b)(c2-ab)>0，
所以>0，所以->0，因此>.
证明
综合法处理问题的三个步骤
反
思
感
悟
若bc-ad≥0，bd>0.求证：≤.
跟踪训练 1
∵bc-ad≥0，∴ad≤bc，
∵bd>0，∴-=≤0，
即≤∴+1≤+1，
即≤.
证明
二
分析法
提示　证明过程是由结论出发，逆推寻求条件.
阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：->-.
证明：要证->-
只需证+>+
只需证(+)2>(+)2，
只需证8+2>8+2.
而上式显然成立，所以结论成立.
问题2
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止.分析法最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为______，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的 .
p q
充分条件
(1)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
Q P1 → P1 P2 → P2 P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
(2)分析法实际上是寻求使结论成立的充分条件，即执果索因.
(3)综合法和分析法为直接证明法.
注 意 点
<<<
已知a>0，证明：-≥a+-2.
例 2
要证-≥a+-2，只需证≥-(2-).
因为a>0，所以-(2-)=+>0，
所以只需证≥
即2(2-≥8-4只需证a+≥2.
因为a>0，所以a+-2==≥0，
所以a+≥2显然成立(当且仅当a=1时等号成立)，所以要证的不等式成立.
证明
分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论 … … …已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证” “即证”等词语必不可少，否则会出现错误.
反
思
感
悟
若a，b∈(1，+∞)，证明：<.
跟踪训练 2
要证<
只需证()2<()2，
只需证a+b-1-ab<0，
即证(a-1)(1-b)<0.
因为a>1，b>1，所以a-1>0，1-b<0，
即(a-1)(1-b)<0成立，
所以原不等式成立.
证明
反证法
三
提示　假设结论不成立，逐步推出矛盾.
阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：如果a>b>0，那么>.
证明：假设>不成立，即≤成立，
即<或=.
若=则a=b，与已知a>b矛盾，
若<则ab矛盾，
故假设不成立，从而>.
问题3
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
(1)假设结论不成立，即结论的否定成立，可将其作为条件.
(2)常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与公认的简单事实矛盾.
(3)反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.
注 意 点
<<<
若x>0，y>0，且x+y>2，求证：与至少有一个小于2.
例 3
假设都不小于2，即≥2≥2.
∵x>0，y>0，∴1+y≥2x，1+x≥2y，
两式相加得2+(x+y)≥2(x+y).
∴x+y≤2，这与已知中x+y>2矛盾.
∴假设不成立，原命题成立.
故至少有一个小于2.
证明
反证法证明问题的一般步骤
反
思
感
悟
已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
跟踪训练 3
假设a，b，c，d都是非负数，
∵a+b=c+d=1，∴(a+b)(c+d)=1.
又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，
∴ac+bd≤1，这与已知ac+bd>1矛盾，
∴假设不成立，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数.
证明
1.知识清单：三种证明方法的步骤.
2.方法归纳：综合法、分析法、反证法.
3.常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是
A.自然数a，b，c中至少有两个偶数
B.自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C.自然数a，b，c都是奇数
D.自然数a，b，c都是偶数
√
“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
解析
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3
4
2.求证：-1>-.
证明：要证-1>-只需证+>+1，
即证7+2+5>11+2+1，即证>
∵35>11，∴原不等式成立.
以上证明应用了
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法配合使用 D.反证法
√
该证明方法符合分析法的定义，故选A.
解析
1
2
3
4
3.(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用
A.结论的反设 B.已知条件
C.定义、公理、定理等 D.原结论
反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
解析
√
√
√
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3
4
4.(多选)下列命题中，不正确的是
A.若a
B.若ac>bc，则a>b
C.若<则aD.若a>b，c>d，则a-c>b-d
√
√
√
1
2
3
4
∵a∴a-b<0，a<0，∴(a-b)a>0.
又∵-=<0，
∴<故A错误；
当c<0时，ac>bc a∵<∴c≠0，又c2>0，∴a取a=c=2，b=d=1，故D错误.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D C D ①②④
题号 11 12 13 14 15
答案 A C (1)<　(2)< a≥0，b≥0且a≠b ③
对一对
答案
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方法一　要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立，
只需证2a3-b3-2ab2+a2b≥0，
即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0，
即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
∵a≥b>0，
∴a-b≥0，a+b>0，2a+b>0，
∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
9.
答案
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方法二　∵a≥b>0，
∴a2≥b2，a2-b2≥0，2a+b>0，
∴(a2-b2)(2a+b)≥0，
∴2a3-b3-2ab2+a2b≥0，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
10.
答案
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方法一　(分析法)
∵x>0，∴>0，1+>0，
∴要证<1+只需证1+x<1+x+只需证0<.
∵x>0，∴>0成立，
故<1+.
10.
答案
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方法二　(反证法)
假设≥1+
∵x>0，∴>0，1+>0，
∴1+x≥1+x+即0≥
∴x=0，与条件x>0矛盾.
∴假设不成立，故<1+成立.
16.
答案
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(1)a，b，c为三角形的三边长，则|b-c||c-a|于是得a2+b2+c2=2
所以(a+b+c)2=+2<4ab+4bc+4ca.
16.
答案
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(2)由题意得△ABC的三边长分别为a，b，c，则有a+b>c，所以<1，
不妨设0则0所以≤≤
所以++≤++==1+<1+1=2，
所以++<2.
16.
答案
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(3)假设a，2a2-1，a+1这三个数没有一个大于或等于-
即a<-2a2-1<-a+1<-
上面不等式相加得2a2+2a<-
而2a2+2a=2=2-≥-
这与假设的推论矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.
故a，2a2-1，a+1这三个数中，至少有一个大于或等于-.
基础巩固
1.要证-<-成立，只需证明
A.(-)2<(-)2 B.(-)2<(-)2
C.(+)2<(+)2 D.(--)2<(-)2
√
根据分析法知需是-<-+<+结合不等式的性质，“若a>b>0，则a2>b2”，故选C.
解析
答案
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2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为
A.a，b都能被5整除
B.a，b都不能被5整除
C.a，b不都能被5整除
D.a不能被5整除
√
答案
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“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
解析
3.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a+b+c=0，求证A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
√
答案
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由题意知 (a+c)2-ac<3a2
a2+2ac+c2-ac-3a2<0
-2a2+ac+c2<0
2a2-ac-c2>0
(a-c)(2a+c)>0 (a-c)(a-b)>0.
解析
4.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确顺序的序号为
A.①②③ B.①③②
C.②③① D.③①②
√
答案
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根据反证法的步骤，应该是先假设结论的反面成立，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.
解析
5.若P=+Q=+(a≥0)，则P，Q的大小关系是
A.P>Q B.P=Q
C.P√
答案
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∵P>0，Q>0，∴要比较P，Q的大小关系，
只需比较P2，Q2的大小关系，
∵P2=a+a+7+2·=2a+7+2
Q2=a+3+a+4+2·
=2a+7+2.
∵(a+3)(a+4)=a2+7a+12>a2+7a=a(a+7).
∴Q2>P2.∴P解析
6.①已知p3+q3=2，证明：p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2；
②若a，b∈R，|a|+|b|<1，求证：方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是
A.①与②的假设都错误
B.①的假设正确；②的假设错误
C.①与②的假设都正确
D.①的假设错误；②的假设正确
√
答案
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对于①，结论的否定是p+q>2，故①中的假设错误；
对于②，其假设正确.
解析
7.设实数a，b，c满足a+b+c=1，则a，b，c中至少有一个数不小于　　　.
假设a，b，c都小于则a+b+c<1，
与已知矛盾.
故a，b，c中至少有一个数不小于.
解析
答案
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8.给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得<成立的是　 　　.(填序号)
< <0，
所以①②④能使它成立.
解析
答案
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①②④
9.已知a≥b>0，求证：2a3-b3≥2ab2-a2b.
答案
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方法一　要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立，
只需证2a3-b3-2ab2+a2b≥0，
即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0，
即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
∵a≥b>0，∴a-b≥0，a+b>0，2a+b>0，
∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明
答案
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方法二　∵a≥b>0，
∴a2≥b2，a2-b2≥0，2a+b>0，
∴(a2-b2)(2a+b)≥0，
∴2a3-b3-2ab2+a2b≥0，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明
答案
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10.已知x>0，求证：<1+(分别用分析法和反证法两种方法证明).
答案
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方法一　(分析法)
∵x>0，∴>0，1+>0，
∴要证<1+
只需证1+x<1+x+
只需证0<.
∵x>0，∴>0成立，故<1+.
证明
答案
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方法二　(反证法)
假设≥1+
∵x>0，∴>0，1+>0，
∴1+x≥1+x+即0≥
∴x=0，与条件x>0矛盾.
∴假设不成立，故<1+成立.
证明
11.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
√
综合运用
答案
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由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.
解析
12.设a，b，c均为正实数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
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16
首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立.其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a+b-c<0，b+c-a<0，所以b<0，与b>0矛盾.故P，Q，R都大于0.所以“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的充要条件.
解析
13.用“>”或“<”填空：
(1)>ac>0 ad　　　bc；
答案
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<
->0 >0，
∴bc-ad>0
∴ad解析
(2)a，b，m都是正整数，且b>a>m>0，则　　 .
答案
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<
-==
∵b>a>m>0，∴a-b<0，b-m>0，
∴<0，∴<.
解析
14.如果a+b>a+b则实数a，b应满足的条件是
　　　　 　.
答案
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a+b>a+b a-a>b-b a(-)>b(-)
(a-b)(-)>0 (+-)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可.
解析
a≥0，b≥0且a≠b
15.设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是　　　.(填序号)
拓广探究
答案
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16
③
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16
若a=b=则a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.
若a=-2，b=1，则a2+b2>2，故④不能推出.
对于③，若a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
解析
16.(1)已知a，b，c为三角形的三边长，证明：(a+b+c)2<4ab+4bc+4ca；
答案
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a，b，c为三角形的三边长，则|b-c|于是得a2+b2+c2所以(a+b+c)2=+2<4ab+4bc+4ca.
证明
(2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，证明：++<2；
答案
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由题意得△ABC的三边长分别为a，b，c，则有a+b>c，所以<1，
不妨设0则0所以≤≤
所以++≤++==1+<1+1=2，
所以++<2.
证明
(3)证明：三个数a，2a2-1，a+1中，至少有一个大于或等于-.
假设a，2a2-1，a+1这三个数没有一个大于或等于-
即a<-2a2-1<-a+1<-
上面不等式相加得2a2+2a<-
而2a2+2a=2=2-≥-
这与假设的推论矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.
故a，2a2-1，a+1这三个数中，至少有一个大于或等于-.
证明
答案
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第二章　 2.2.1　不等式及其性质
<<<第2课时　不等式的证明方法
学习目标　1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.
导语
数学家给出了“上帝不是万能的”的证明过程.
证明：假设上帝是万能的，那么上帝能做任何事，就让他制造一块自己都搬不动的大石头，如果他造不出来，就说明他不是万能的，如果他造出来了，但他又搬不动，这与假设矛盾.所以，上帝不是万能的.
数学家采用了哪种证明命题的方法？常见的证明方法有哪些呢？这节课我们一起来研究不等式的证明方法.
一、综合法
问题1　阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：->-.
证明：因为0<+<+
所以>
所以->-.
提示　由已知0<+<+出发，推出结论.
知识梳理
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.综合法最重要的推理形式为p q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
注意点：
(1)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
(2)综合法实际上是寻求使命题成立的必要条件，即由因导果.
例1　(课本例2)(1)已知a>b，cb-d；
(2)已知a>b，ab>0，求证：<；
(3)已知a>b>0，0.
证明　(1)因为a>b，c所以a>b，-c>-d.
根据推论2，得a-c>b-d.
(2)因为ab>0，所以>0.
又因为a>b，所以a·>b·
即>因此<.
(3)因为0>0.
又因为a>b>0，所以根据推论3可知
a·>b·即>.
例1　已知c>a>b>0，求证：>.
证明　方法一　因为c>a>b>0，
所以0所以(c-a)(c-b)>0，
所以0<·(c-a)
<·(c-b)，
即0<<即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
方法二　因为a>b>0，所以0<<
因为c>0，所以<
所以-1<-1，即<
因为c>a>b>0，所以c-a>0，c-b>0.
所以>.
方法三　-=
==
因为c>a>b>0，所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，
所以>.
延伸探究　在本例条件不变的情况下，求证：>.
证明　方法一　因为c>a>b>0，
所以0所以0<(c-a)2<(c-b)2，
所以(c-a)2(c-b)2>0，
所以0<·(c-a)2
<·(c-b)2，
即0<<
所以>>0，
又因为a>b>0，所以>.
方法二　-
=
=
==
因为c>a>b>0，
所以a-b>0，c2>ab，c-a>0，c-b>0，
所以(a-b)(c2-ab)>0，
所以>0，所以->0，
因此>.
反思感悟　综合法处理问题的三个步骤
跟踪训练1　若bc-ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明　∵bc-ad≥0，∴ad≤bc，
∵bd>0，∴-=≤0，
即≤∴+1≤+1，
即≤.
二、分析法
问题2　阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：->-.
证明：　要证->-
只需证+>+
只需证(+)2>(+)2，
只需证8+2>8+2.
而上式显然成立，所以结论成立.
提示　证明过程是由结论出发，逆推寻求条件.
知识梳理
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止.分析法最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
注意点：
(1)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
(2)分析法实际上是寻求使结论成立的充分条件，即执果索因.
(3)综合法和分析法为直接证明法.
例2　已知a>0，证明：-≥a+-2.
证明　要证-≥a+-2，
只需证≥-(2-).
因为a>0，所以-(2-)=+>0，
所以只需证≥
即2(2-≥8-4只需证a+≥2.
因为a>0，所以a+-2==≥0，
所以a+≥2显然成立(当且仅当a=1时等号成立)，所以要证的不等式成立.
反思感悟　分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论 … … …已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.
跟踪训练2　若a，b∈(1，+∞)，证明：<.
证明　要证<
只需证()2<()2，
只需证a+b-1-ab<0，
即证(a-1)(1-b)<0.
因为a>1，b>1，所以a-1>0，1-b<0，
即(a-1)(1-b)<0成立，
所以原不等式成立.
三、反证法
问题3　阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：如果a>b>0，那么>.
证明：假设>不成立，即≤成立，
即<或=.
若=则a=b，与已知a>b矛盾，
若<则ab矛盾，
故假设不成立，从而>.
提示　假设结论不成立，逐步推出矛盾.
知识梳理
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
注意点：
(1)假设结论不成立，即结论的否定成立，可将其作为条件.
(2)常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与公认的简单事实矛盾.
(3)反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.
例3　若x>0，y>0，且x+y>2，求证：与至少有一个小于2.
证明　假设与都不小于2，
即≥2≥2.
∵x>0，y>0，∴1+y≥2x，1+x≥2y，
两式相加得2+(x+y)≥2(x+y).
∴x+y≤2，这与已知中x+y>2矛盾.
∴假设不成立，原命题成立.
故与至少有一个小于2.
反思感悟　反证法证明问题的一般步骤
跟踪训练3　已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
证明　假设a，b，c，d都是非负数，
∵a+b=c+d=1，∴(a+b)(c+d)=1.
又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，
∴ac+bd≤1，这与已知ac+bd>1矛盾，
∴假设不成立，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数.
1.知识清单：三种证明方法的步骤.
2.方法归纳：综合法、分析法、反证法.
3.常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确.
1.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是(　　)
A.自然数a，b，c中至少有两个偶数
B.自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C.自然数a，b，c都是奇数
D.自然数a，b，c都是偶数
答案　B
解析　“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
2.求证：-1>-.
证明：要证-1>-
只需证+>+1，
即证7+2+5>11+2+1，即证>
∵35>11，∴原不等式成立.
以上证明应用了(　　)
A.分析法
B.综合法
C.分析法与综合法配合使用
D.反证法
答案　A
解析　该证明方法符合分析法的定义，故选A.
3.(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(　　)
A.结论的反设 B.已知条件
C.定义、公理、定理等 D.原结论
答案　ABC
解析　反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
4.(多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A.若a
B.若ac>bc，则a>b
C.若<则aD.若a>b，c>d，则a-c>b-d
答案　ABD
解析　∵a∴a-b<0，a<0，∴(a-b)a>0.
又∵-=<0，
∴<故A错误；
当c<0时，ac>bc a∵<∴c≠0，又c2>0，
∴a课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分
1.要证-<-成立，只需证明(　　)
A.(-)2<(-)2
B.(-)2<(-)2
C.(+)2<(+)2
D.(--)2<(-)2
答案　C
解析　根据分析法知需是-<-成立的充分条件，即+<+结合不等式的性质，“若a>b>0，则a2>b2”，故选C.
2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A.a，b都能被5整除
B.a，b都不能被5整除
C.a，b不都能被5整除
D.a不能被5整除
答案　B
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
3.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a+b+c=0，求证A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
答案　C
解析　由题意知 (a+c)2-ac<3a2
a2+2ac+c2-ac-3a2<0
-2a2+ac+c2<0
2a2-ac-c2>0
(a-c)(2a+c)>0 (a-c)(a-b)>0.
4.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确顺序的序号为(　　)
A.①②③ B.①③②
C.②③① D.③①②
答案　D
解析　根据反证法的步骤，应该是先假设结论的反面成立，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.
5.若P=+Q=+(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A.P>Q B.P=Q
C.P答案　C
解析　∵P>0，Q>0，
∴要比较P，Q的大小关系，
只需比较P2，Q2的大小关系，
∵P2=a+a+7+2·
=2a+7+2
Q2=a+3+a+4+2·
=2a+7+2.
∵(a+3)(a+4)=a2+7a+12>a2+7a=a(a+7).
∴Q2>P2.∴P6.①已知p3+q3=2，证明：p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2；
②若a，b∈R，|a|+|b|<1，求证：方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是(　　)
A.①与②的假设都错误
B.①的假设正确；②的假设错误
C.①与②的假设都正确
D.①的假设错误；②的假设正确
答案　D
解析　对于①，结论的否定是p+q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确.
7.(5分)设实数a，b，c满足a+b+c=1，则a，b，c中至少有一个数不小于　　　　.
答案　
解析　假设a，b，c都小于则a+b+c<1，
与已知矛盾.故a，b，c中至少有一个数不小于.
8.(5分)给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得<成立的是　　　.(填序号)
答案　①②④
解析　< <0，
所以①②④能使它成立.
9.(10分)已知a≥b>0，求证：2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明　方法一　要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立，
只需证2a3-b3-2ab2+a2b≥0，
即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0，
即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
∵a≥b>0，∴a-b≥0，a+b>0，2a+b>0，
∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
方法二　∵a≥b>0，
∴a2≥b2，a2-b2≥0，2a+b>0，
∴(a2-b2)(2a+b)≥0，
∴2a3-b3-2ab2+a2b≥0，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
10.(12分)已知x>0，求证：<1+(分别用分析法和反证法两种方法证明).
证明　方法一　(分析法)
∵x>0，∴>0，1+>0，
∴要证<1+
只需证1+x<1+x+
只需证0<.
∵x>0，∴>0成立，故<1+.
方法二　(反证法)
假设≥1+
∵x>0，∴>0，1+>0，
∴1+x≥1+x+即0≥
∴x=0，与条件x>0矛盾.
∴假设不成立，故<1+成立.
11.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
答案　A
解析　由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.
12.设a，b，c均为正实数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立.其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a+b-c<0，b+c-a<0，所以b<0，与b>0矛盾.故P，Q，R都大于0.所以“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的充要条件.
13.(5分)用“>”或“<”填空：
(1)>ac>0 ad　　　　bc；
(2)a，b，m都是正整数，且b>a>m>0，则　　　 .
答案　(1)<　(2)<
解析　(1) ->0 >0，
∴bc-ad>0
∴ad(2)-==
∵b>a>m>0，∴a-b<0，b-m>0，
∴<0，∴<.
14.(5分)如果a+b>a+b则实数a，b应满足的条件是　　　　　　　　　　.
答案　a≥0，b≥0且a≠b
解析　a+b>a+b a-a>b-b a(-)>b(-) (a-b)(-)>0 (+)(-)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可.
15.(5分)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是　　　.(填序号)
答案　③
解析　若a=b=则a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.
若a=-2，b=1，则a2+b2>2，故④不能推出.
对于③，若a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16.(13分)(1)已知a，b，c为三角形的三边长，证明：(a+b+c)2<4ab+4bc+4ca；(4分)
(2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，证明：++<2；(4分)
(3)证明：三个数a，2a2-1，a+1中，至少有一个大于或等于-.(5分)
证明　(1)a，b，c为三角形的三边长，则|b-c|于是得a2+b2+c2所以(a+b+c)2=+2<4ab+4bc+4ca.
(2)由题意得△ABC的三边长分别为a，b，c，则有a+b>c，所以<1，
不妨设0则0所以≤≤
所以++≤++==1+<1+1=2，
所以++<2.
(3)假设a，2a2-1，a+1这三个数没有一个大于或等于-即a<-2a2-1<-a+1<-
上面不等式相加得2a2+2a<-
而2a2+2a=2=2-≥-
这与假设的推论矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.
故a，2a2-1，a+1这三个数中，至少有一个大于或等于-.

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