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2.2.3　一元二次不等式的解法
学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法.3.会解简单的分式不等式.
一、不含参数的一元二次不等式的解法
问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m.
由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0知识梳理
1.一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
2.一元二次不等式的解法
(1)因式分解法：如果x10的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞).
(2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2注意点：
(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
(3)一元二次不等式解集的区间端点即为对应方程的根.
例1　(1)(课本例1)求不等式x2-x-2>0的解集.
解　因为x2-x-2=(x+1)(x-2)，
所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0，因此所求解集为(-∞，-1)∪(2，+∞).
(2)(课本例2)求下列不等式的解集：
①x2+4x+1≥0；　　　②x2-6x-1≤0；
③-x2+2x-1<0； ④2x2+4x+5>0.
解　①因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=(x+2)2-3，
所以原不等式可化为(x+2)2-3≥0，
即(x+2)2≥3，
两边开平方得|x+2|≥从而可知
x+2≤-或x+2≥
因此x≤-2-或x≥-2+所以原不等式的解集为(-∞，-2-]∪[-2++∞).
②因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，
即(x-3)2≤10，
两边开平方得|x-3|≤从而可知
-≤x-3≤
因此3-≤x≤3+所以原不等式的解集为[3-3+].
③原不等式可化为x2-2x+1>0，
又因为x2-2x+1=(x-1)2，所以上述不等式可化为(x-1)2>0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为(-∞，1)∪(1，+∞).
④原不等式可以化为x2+2x+>0.
因为x2+2x+=(x+1)2+
所以原不等式可以化为(x+1)2+>0，
即(x+1)2>-
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.
例1　求下列不等式的解集：
(1)x2-10x-600>0；
(2)-2x2+5x-2<0.
解　(1)因为x2-10x-600=(x+20)(x-30)，
所以原不等式等价于(x+20)(x-30)>0，
因此所求解集为(-∞，-20)∪(30，+∞).
(2)因为-2x2+5x-2=-2
=-2=-2+
所以-2+<0，即>.
所以x->或x-<-
解得x>2或x<.
所以原不等式的解集为∪(2，+∞).
反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤
第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数；
第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式的形式；
第三步：写出不等式的解集.
跟踪训练1　求下列不等式的解集：
(1)-x2+3x-5>0；
(2)-2解　 (1)原不等式可化为x2-6x+10<0，
即(x-3)2+1<0，因此原不等式的解集为 .
(2)原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2-3x+2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2-3x-10≤0，解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2二、含参数的一元二次不等式的解法
例2　求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集.
解　易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1，x2=a+3，且x1故不等式的解集为{x|xa+3}.
延伸探究1　若将例2中的不等式改成[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)， 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？
解　易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3，
(1)当1-a>a+3，即a<-1时，
不等式的解集为{x|x>1-a或x(2)当1-a=a+3，即a=-1时，
不等式的解集为{x|x≠2}.
(3)当1-a-1时，
不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}.
显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了.
延伸探究2　若将延伸探究1中的不等式改成(ax-2)(x+1)>0(a>0)， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？
解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，因为a>0，所以>-1，
故不等式的解集为.
由于x1与 x2的大小关系能确定，过程变简单了.
延伸探究3　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？
解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，
当a<0时，x1=x2=-1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，分3种情况：
(1)当-1<<0，即a<-2时，
解得-1(2)当=-1，即a=-2时，无解；
(3)当<-1，即-2综上所述，当-2当a=-2时，不等式的解集为 ；
当a<-2时，不等式的解集为.
显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了.
延伸探究4　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”，该如何求解呢？
解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 下面讨论x1与 x2的大小关系：
(1)若a>0，则>-1，
故不等式的解集为.
(2)若a<0，
①当-1<<0，即a<-2时，解得-1②当=-1，即a=-2时，无解；
③当<-1，即-2综上所述， 当a>0时，不等式的解集为；
当-2当a=-2时，不等式的解集为 ；
当a<-2时，不等式的解集为.
延伸探究5　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”，与延伸探究4相比，有什么变化？
解　不等式中，二次项系数为a，因为a∈R，所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a=0的情况.
当a=0时，原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}.
反思感悟　解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算.
三、简单的分式不等式的解法
问题2　>0与(x-3)(x+2)>0等价吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0等价吗？
提示　>0与(x-3)(x+2)>0等价；≥0与(x-3)(x+2)≥0不等价，前者的解集中没有-2，后者的解集中有-2.
例3　(课本例3)求不等式≥1的解集.
解　由题意知x-2≠0，因此(x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，
即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为(-∞，-3]∪(2，+∞).
例3　解下列不等式：
(1)≥0；
(2)≥2.
解　(1)原不等式等价于
即解得-2≤x<3.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.
(2)由题意知x+2≠0，因此(x+2)2>0，
原不等式两边同时乘以(x+2)2可得1-x≥2(x+2)2且x+2≠0，
即(2x+7)(x+1)≤0且x≠-2，
所以-≤x≤-1，且x≠-2.
因此原不等式的解集为∪(-2，-1].
反思感悟　解分式不等式时，首先经过同解变形转化为形如>0(≥0)或<0(≤0)的形式，再转化为一元二次不等式或其他整式不等式求解，解分式不等式进行转化时，要注意分母不为零.
跟踪训练2　(1)不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
答案　D
解析　≥2
所以原不等式的解集是∪(1，3].
(2)不等式<1的解集为　　　　　　　　.
答案　∪
解析　方法一　原不等式可化为-1<0，
即>0.等价于(3x-2)(4x-3)>0.
解得x<或x>.
所以原不等式的解集为∪.
方法二　由题意知3-4x≠0，所以(3-4x)2>0，
原不等式两边同时乘以(3-4x)2可得(3-4x)·(2x-1)<(3-4x)2且3-4x≠0，
即(3x-2)(4x-3)>0，因此，所求不等式的解集为∪.
四、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
例4　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2解　由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知=-5=6.
故=-
又由a<0知c<0，故不等式cx2+bx+a<0，
即x2+x+>0，即x2-x+>0，
解得x<或x>
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为
.
延伸探究6　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2解　方法一　由ax2+bx+c≥0的解集为
知a<0，
且-2为方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴-=即=-.
又=-∴b=-a，c=-a，
∴不等式cx2+bx+a<0变为
x2+x+a<0，
即2ax2+5ax-3a>0.
又a<0，∴2x2+5x-3<0，
故所求不等式的解集为.
方法二　由已知得a<0，
且+2=-×2=∴c>0，
设方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1，x2，x1则由根与系数的关系知x1+x2=-x1x2=
其中==-
-===-
∴x1=-3，x2=.
∴不等式cx2+bx+a<0(c>0)的解集为
.
反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号.
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式.
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
1.知识清单：
(1)一元二次不等式的常见解法.
(2)简单的分式不等式的解法.
2.方法归纳：配方法、因式分解法、分类讨论法.
3.常见误区：忽略二次项系数的符号.
1.不等式-2x2+x+3<0的解集是(　　)
A.{x|x<-1}
B.
C.
D.
答案　D
解析　方法一　因为-2x2+x+3=-(2x2-x-3)
=-(x+1)(2x-3)，所以-(x+1)(2x-3)<0，
即(x+1)(2x-3)>0，所以x<-1或x>
所以不等式的解集为.
方法二　不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0，
因为方程2x2-x-3=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0，
所以该方程的两实根为x1=-1，x2=
又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上，
所以不等式-2x2+x+3<0的解集是.
2.设a，b，c为实数，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3}，则a∶b∶c等于(　　)
A.1∶4∶3 B.1∶3∶4
C.1∶(-4)∶3 D.1∶(-3)∶4
答案　C
解析　由题意，1和3为关于x的方程ax2+bx+c=0的两实根，且a>0，所以即
所以a∶b∶c=a∶(-4a)∶3a=1∶(-4)∶3.
3.不等式≥1的解集为　　　　.
答案　
解析　因为≥1等价于≥0，
所以≤0，等价于
解得-4所以原不等式的解集为.
4.若a<0，则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　　　　　　　.
答案　
解析　因为a<0，所以原不等式等价于(x+1)>0，方程(x+1)=0的两根为-1，-显然->0>-1，所以原不等式的解集为.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分
1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　原不等式可化为(3x+1)2≤0，
∴3x+1=0，解得x=-∴原不等式的解集为.
2.不等式≥1的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　不等式≥1，移项得-1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为.
3.(多选)下列各项可以作为不等式>x+1的解集的子集的是(　　)
A.{x|x<-3} B.{x|x>5}
C.{x|x<-} D.{x|1答案　ACD
解析　当x-1>0，即x>1时，有1>(x+1)(x-1)，即x2<2，
∴1当x-1<0，即x<1时，有1<(x+1)(x-1)，即x2>2，
∴x<-或x>(舍去)，故原不等式的解集为(-∞，-)∪(1)，
A，C，D均为其子集.
4.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　方法一　取x=1检验，满足不等式，排除A；
取x=4检验，不满足不等式，排除B，C.
方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0，
即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1.
所以原不等式的解集为.
5.不等式<2的解集为(　　)
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
答案　A
解析　因为x2+x+1=+>0，
故原不等式等价于x2-2x-2<2x2+2x+2，
即x2+4x+4>0，即(x+2)2>0，
∴x≠-2.∴原不等式的解集为{x|x≠-2}.
6.(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1A.b<0且c>0
B.a-b+c>0
C.a+b+c>0
D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2答案　ABD
解析　对于A，a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=1=-1×2=-2=所以b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确；
对于B，由题意可知，当x=1时，a-b+c>0，所以B正确；
对于C，当x=-1时，a+b+c=0，所以C错误；
对于D，不等式ax2+bx+c>0可化为ax2+ax-2a>0，因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-27.(5分)若a>0，b>0，则不等式-b<答案　
解析　原不等式等价于
即可得
故不等式的解集为.
8.(5分)若不等式|x|<1成立时，不等式[x-(a+1)]·[x-(a+4)]<0也成立，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　{a|-3≤a≤-2}
解析　令A={x||x|<1}={x|-1依题意，A B，在数轴上作出包含关系图形，
如图所示，则
解得-3≤a≤-2.
9.(10分)解下列不等式：
(1)6-2x≤x2-3x<18；(3分)
(2)≥1；(3分)
(3)x2-3|x|+2>0.(4分)
解　(1)原不等式等价于
即
解得-3所以原不等式的解集为(-3，-2]∪[3，6).
(2)由≥1，得-1=≥0，
所以
解得所以原不等式的解集为.
(3)原不等式等价于
或
解得x∈[0，1)∪(2，+∞)或x∈(-∞，-2)∪(-1，0).
故原不等式的解集为(-∞，-2)∪(-1，1)∪(2，+∞).
10.(10分)已知不等式x2+x-6<0的解集为A，不等式x2-2x-3<0的解集为B.
(1)求A∩B；(5分)
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，求不等式ax2+bx+3<0的解集.(5分)
解　(1)由x2+x-6<0，得-3∴A={x|-3由x2-2x-3<0，得-1∴B={x|-1∴A∩B={x|-1(2)由题意得，-1，2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根，所以解得
∴-x2-2x+3<0，即x2+2x-3>0，
解得x<-3或x>1.
∴不等式ax2+bx+3<0的解集为{x|x<-3或x>1}.
11.(多选)在R上定义运算☉：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的整数x的取值可以为(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案　BC
解析　∵x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0，
∴x2+x-2<0，
即(x-1)(x+2)<0，解集为(-2，1)，
又x是整数，∴x的取值可以是-1和0.
12.若关于x的不等式x2+mx+2m-3≤0有解，则实数m的取值范围是(　　)
A.[2，6]
B.(-∞，2]∪[6，+∞)
C.(2，6)
D.(-∞，2)∪(6，+∞)
答案　B
解析　因为关于x的不等式x2+mx+2m-3≤0有解，所以m2-4(2m-3)=m2-8m+12≥0，
解得m≤2或m≥6，故实数m的取值范围是(-∞，2]∪[6，+∞).
13.(多选)已知不等式x2-(3a+1)x+2a2+2a>0，下列说法正确的是(　　)
A.若a=1，则不等式的解集为R
B.若a=0，则不等式的解集为{x|x>1或x<0}
C.若a>1，则不等式的解集为{x|x2a}
D.若a<1，则不等式的解集为{x|x<2a或x>a+1}
答案　BCD
解析　不等式x2-(3a+1)x+2a2+2a>0，
整理得x2-(3a+1)x+2a(a+1)>0，
即(x-2a)>0，
若a=1，则(x-2)2>0，所以不等式的解集为{x|x≠2}，故选项A错误；
若a=0，则x(x-1)>0，所以不等式的解集为{x|x>1或x<0}，故选项B正确；
若a>1，则2a>a+1，所以不等式的解集为{x|x2a}，故选项C正确；
若a<1，则2aa+1}，故选项D正确.
14.(5分)设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A {x|1≤x≤3}，则a的取值范围为　　　　　　　　.
答案　
解析　设y=x2-2ax+a+2，
因为不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，
且A {x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2-2ax+a+2=0，
若A= ，则Δ=4a2-4(a+2)<0，
即a2-a-2<0，解得-1若A≠ ，则
即解得2≤a≤.
综上所述，a的取值范围为.
15.在R上定义运算：=ad-bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A.- B.- C. D.
答案　D
解析　由定义知，不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1，
∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.
∵x2-x+1=+≥
∴a2-a≤解得-≤a≤
则实数a的最大值为.
16.(11分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得的利润是100元.
(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(5分)
(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，该工厂的生产速度应为多少？(6分)
解　(1)根据题意，2×100≥3 000，
即5x-14-≥0，
又1≤x≤10，
∴5x2-14x-3≥0，即(x-3)(5x+1)≥0，
解得x≤-(舍)或x≥3.
∴所求x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
(2)设利润为y元，
则y=·100
=9×104×
故当=即x=6时，y取得最大值.
即该工厂应该选择以6千克/小时的速度生产.(共95张PPT)
2.2.3
一元二次不等式的解法
第二章　 §2.2　不等式
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1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.
2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法.
3.会解简单的分式不等式.
学习目标
四、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
一、不含参数的一元二次不等式的解法
二、含参数的一元二次不等式的解法
课时对点练
三、简单的分式不等式的解法
随堂演练
内容索引
不含参数的一元二次不等式的解法
一
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m.
由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？
问题1
1.一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a 0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
2.一元二次不等式的解法
(1)因式分解法：如果x10的解集是 .
(2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为
________________的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.
≠
(x1，x2)
(-∞，x1)∪(x2，+∞)
(x-h)2>k或(x-h)2(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
(3)一元二次不等式解集的区间端点即为对应方程的根.
注 意 点
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(1)(课本例1)求不等式x2-x-2>0的解集.
例 1
因为x2-x-2=(x+1)(x-2)，
所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0，因此所求解集为(-∞，-1)∪(2，+∞).
解
(2)(课本例2)求下列不等式的解集：
①x2+4x+1≥0；
因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=(x+2)2-3，
所以原不等式可化为(x+2)2-3≥0，
即(x+2)2≥3，
两边开平方得|x+2|≥从而可知x+2≤-或x+2≥
因此x≤-2-或x≥-2+
所以原不等式的解集为(-∞，-2-]∪[-2++∞).
解
②x2-6x-1≤0；
因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，
即(x-3)2≤10，
两边开平方得|x-3|≤从而可知
-≤x-3≤
因此3-≤x≤3+所以原不等式的解集为[3-3+].
解
③-x2+2x-1<0；
原不等式可化为x2-2x+1>0，
又因为x2-2x+1=(x-1)2，所以上述不等式可化为(x-1)2>0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，
所以原不等式的解集为(-∞，1)∪(1，+∞).
解
④2x2+4x+5>0.
原不等式可以化为x2+2x+>0.
因为x2+2x+=(x+1)2+
所以原不等式可以化为(x+1)2+>0，
即(x+1)2>-
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.
解
求下列不等式的解集：
(1)x2-10x-600>0；
例 1
因为x2-10x-600=(x+20)(x-30)，
所以原不等式等价于(x+20)(x-30)>0，
因此所求解集为(-∞，-20)∪(30，+∞).
解
(2)-2x2+5x-2<0.
因为-2x2+5x-2=-2=-2=-2+
所以-2+<0，即>.
所以x->或x-<-
解得x>2或x<.
所以原不等式的解集为∪(2，+∞).
解
解一元二次不等式的一般步骤
第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数；
第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式的形式；
第三步：写出不等式的解集.
反
思
感
悟
求下列不等式的解集：
(1)-x2+3x-5>0；
跟踪训练 1
原不等式可化为x2-6x+10<0，
即(x-3)2+1<0，因此原不等式的解集为 .
解
(2)-2原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2-3x+2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2-3x-10≤0，解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2解
①
②
二
含参数的一元二次不等式的解法
求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集.
例 2
易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1，x2=a+3，且x1故不等式的解集为{x|xa+3}.
解
若将例2中的不等式改成[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)， 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？
延伸探究 1
易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3，
(1)当1-a>a+3，即a<-1时，不等式的解集为{x|x>1-a或x(2)当1-a=a+3，即a=-1时，不等式的解集为{x|x≠2}.
(3)当1-a-1时，不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}.
显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了.
解
若将延伸探究1中的不等式改成(ax-2)(x+1)>0(a>0)，该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？
延伸探究 2
易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，因为a>0，所以>-1，
故不等式的解集为.
由于x1与 x2的大小关系能确定，过程变简单了.
解
若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”，该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？
延伸探究 3
易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，
当a<0时，x1=x2=-1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，分3
种情况：
(1)当-1<<0，即a<-2时，解得-1(2)当=-1，即a=-2时，无解；
(3)当<-1，即-2综上所述，当-2当a=-2时，不等式的解集为 ；
解
当a<-2时，不等式的解集为.
显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了.
解
若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”，该如何求解呢？
延伸探究 4
易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 下面讨论x1与 x2的大小关系：
(1)若a>0，则>-1，故不等式的解集为.
(2)若a<0，
①当-1<<0，即a<-2时，解得-1②当=-1，即a=-2时，无解；
③当<-1，即-2解
综上所述， 当a>0时，不等式的解集为；
当-2当a=-2时，不等式的解集为 ；
当a<-2时，不等式的解集为.
解
若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”，与延伸探究4相比，有什么变化？
延伸探究 5
不等式中，二次项系数为a，因为a∈R，所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a=0的情况.
当a=0时，原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}.
解
解含参数的一元二次不等式的步骤
反
思
感
悟
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算.
简单的分式不等式的解法
三
提示　>0与(x-3)(x+2)>0等价；≥0与(x-3)(x+2)≥0不等价，前者的解集中没有-2，后者的解集中有-2.
>0与(x-3)(x+2)>0等价吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0等价吗？
问题2
(课本例3)求不等式≥1的解集.
例 3
由题意知x-2≠0，因此(x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，
即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为(-∞，-3]∪(2，+∞).
解
解下列不等式：
(1)≥0；
例 3
原不等式等价于
即解得-2≤x<3.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.
解
(2)≥2.
由题意知x+2≠0，因此(x+2)2>0，
原不等式两边同时乘以(x+2)2可得1-x≥2(x+2)2且x+2≠0，
即(2x+7)(x+1)≤0且x≠-2，
所以-≤x≤-1，且x≠-2.
因此原不等式的解集为∪(-2，-1].
解
解分式不等式时，首先经过同解变形转化为形如>0 (≥0)或<0(≤0)的形式，再转化为一元二次不等式或其他整式不等式求解，解分式不等式进行转化时，要注意分母不为零.
反
思
感
悟
(1)不等式≥2的解集是
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
跟踪训练 2
≥2
所以原不等式的解集是∪(1，3].
解析
√
(2)不等式<1的解集为　　　　　 　　　.
∪
方法一　原不等式可化为-1<0，
即>0.等价于(3x-2)(4x-3)>0.
解得x<或x>.
所以原不等式的解集为∪.
方法二　由题意知3-4x≠0，所以(3-4x)2>0，
原不等式两边同时乘以(3-4x)2可得(3-4x)·(2x-1)<(3-4x)2且3-4x≠0，
即(3x-2)(4x-3)>0，因此，所求不等式的解集为∪.
解析
二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
四
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2例 4
由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知=-5=6.
故=-
又由a<0知c<0，故不等式cx2+bx+a<0，
即x2+x+>0，即x2-x+>0，解得x<或x>
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为.
解
若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2延伸探究 6
方法一　由ax2+bx+c≥0的解集为知a<0，
且-2为方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴-=即=-.
又=-∴b=-a，c=-a，
∴不等式cx2+bx+a<0变为x2+x+a<0，
即2ax2+5ax-3a>0.
解
又a<0，∴2x2+5x-3<0，
故所求不等式的解集为.
方法二　由已知得a<0，
且+2=-×2=∴c>0，
设方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1，x2，x1则由根与系数的关系知x1+x2=-x1x2=
解
其中==--===-
∴x1=-3，x2=.
∴不等式cx2+bx+a<0(c>0)的解集为.
解
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号.
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式.
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)一元二次不等式的常见解法.
(2)简单的分式不等式的解法.
2.方法归纳：配方法、因式分解法、分类讨论法.
3.常见误区：忽略二次项系数的符号.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.不等式-2x2+x+3<0的解集是
A.{x|x<-1}
B.
C.
D.
√
1
2
3
4
方法一　因为-2x2+x+3=-(2x2-x-3)
=-(x+1)(2x-3)，所以-(x+1)(2x-3)<0，
即(x+1)(2x-3)>0，所以x<-1或x>
所以不等式的解集为.
方法二　不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0，
因为方程2x2-x-3=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0，
解析
1
2
3
4
所以该方程的两实根为x1=-1，x2=
又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上，
所以不等式-2x2+x+3<0的解集是.
解析
1
2
3
4
2.设a，b，c为实数，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3}，则a∶b∶c等于
A.1∶4∶3 B.1∶3∶4
C.1∶(-4)∶3 D.1∶(-3)∶4
√
由题意，1和3为关于x的方程ax2+bx+c=0的两实根，且a>0，
所以
所以a∶b∶c=a∶(-4a)∶3a=1∶(-4)∶3.
解析
1
2
3
4
3.不等式≥1的解集为　 　　　.
因为≥1等价于≥0，
所以≤0，等价于
解得-4所以原不等式的解集为.
解析
1
2
3
4
4.若a<0，则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　 　　　　　.
因为a<0，所以原不等式等价于(x+1)>0，方程(x+1)=0的两根为-1，-显然->0>-1，
所以原不等式的解集为.
解析
课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B ACD D A ABD 题号 8 11 12 13 14 15
答案 {a|-3≤a≤-2} BC B BCD D
对一对
答案
1
2
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5
6
7
8
9
10
11
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14
15
16
9.
答案
1
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3
4
5
6
7
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9
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13
14
15
16
(1)原不等式等价于
即
解得-3所以原不等式的解集为(-3，-2]∪[3，6).
9.
答案
1
2
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13
14
15
16
(2)由≥1，得-1=≥0，
所以
解得所以原不等式的解集为.
9.
答案
1
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14
15
16
(3)原不等式等价于或
解得x∈[0，1)∪(2，+∞)或x∈(-∞，-2)∪(-1，0).
故原不等式的解集为(-∞，-2)∪(-1，1)∪(2，+∞).
10.
答案
1
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16
(1)由x2+x-6<0，
得-3∴A={x|-3由x2-2x-3<0，得-1∴B={x|-1∴A∩B={x|-110.
答案
1
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15
16
(2)由题意得，-1，2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根，
所以解得
∴-x2-2x+3<0，即x2+2x-3>0，
解得x<-3或x>1.
∴不等式ax2+bx+3<0的解集为{x|x<-3或x>1}.
16.
答案
1
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5
6
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14
15
16
(1)根据题意，
2×100≥3 000，
即5x-14-≥0，
又1≤x≤10，∴5x2-14x-3≥0，
即(x-3)(5x+1)≥0，
解得x≤-(舍)或x≥3.
∴所求x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
16.
答案
1
2
3
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5
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15
16
(2)设利润为y元，
则y=·100=9×104×
故当=即x=6时，y取得最大值.
即该工厂应该选择以6千克/小时的速度生产.
基础巩固
1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是
A. B.
C. D.
√
答案
1
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4
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15
16
原不等式可化为(3x+1)2≤0，
∴3x+1=0，解得x=-∴原不等式的解集为.
解析
2.不等式≥1的解集是
A. B.
C. D.
√
答案
1
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3
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16
不等式≥1，移项得-1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为.
解析
答案
1
2
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5
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14
15
16
3.(多选)下列各项可以作为不等式>x+1的解集的子集的是
A.{x|x<-3} B.{x|x>5}
C.{x|x<-} D.{x|1√
当x-1>0，即x>1时，有1>(x+1)(x-1)，即x2<2，
∴1当x-1<0，即x<1时，有1<(x+1)(x-1)，即x2>2，
∴x<-或x>(舍去)，故原不等式的解集为(-∞，-)∪(1)，
A，C，D均为其子集.
解析
√
√
答案
1
2
3
4
5
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13
14
15
16
4.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是
A.
B.
C.
D.
√
答案
1
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14
15
16
方法一　取x=1检验，满足不等式，排除A；
取x=4检验，不满足不等式，排除B，C.
方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0，
即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1.
所以原不等式的解集为.
解析
5.不等式<2的解集为
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
√
答案
1
2
3
4
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4
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6
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15
16
因为x2+x+1=+>0，
故原不等式等价于x2-2x-2<2x2+2x+2，
即x2+4x+4>0，即(x+2)2>0，
∴x≠-2.∴原不等式的解集为{x|x≠-2}.
解析
6.(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1A.b<0且c>0
B.a-b+c>0
C.a+b+c>0
D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2√
√
√
答案
1
2
3
4
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6
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15
16
对于A，a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=1=
-1×2=-2=所以b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确；
对于B，由题意可知，当x=1时，a-b+c>0，所以B正确；
对于C，当x=-1时，a+b+c=0，所以C错误；
对于D，不等式ax2+bx+c>0可化为ax2+ax-2a>0，
因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2解析
7.若a>0，b>0，则不等式-b<原不等式等价于
即
故不等式的解集为.
解析
答案
1
2
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15
16
8.若不等式|x|<1成立时，不等式[x-(a+1)]·[x-(a+4)]<0也成立，则实数a的取值范围为　　　 　.
答案
1
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15
16
{a|-3≤a≤-2}
令A={x||x|<1}={x|-1依题意，A B，在数轴上作出包含关系图形，
如图所示，则
解得-3≤a≤-2.
解析
9.解下列不等式：
(1)6-2x≤x2-3x<18；
原不等式等价于
即
解得-3所以原不等式的解集为(-3，-2]∪[3，6).
解
答案
1
2
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5
6
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15
16
(2)≥1；
由≥1，得-1=≥0，
所以
解得所以原不等式的解集为.
解
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15
16
(3)x2-3|x|+2>0.
原不等式等价于
或
解得x∈[0，1)∪(2，+∞)或x∈(-∞，-2)∪(-1，0).
故原不等式的解集为(-∞，-2)∪(-1，1)∪(2，+∞).
解
答案
1
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16
10.已知不等式x2+x-6<0的解集为A，不等式x2-2x-3<0的解集为B.
(1)求A∩B；
答案
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15
16
由x2+x-6<0，得-3∴A={x|-3由x2-2x-3<0，得-1∴B={x|-1∴A∩B={x|-1解
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，求不等式ax2+bx+3<0的解集.
答案
1
2
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15
16
由题意得，-1，2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根，
所以
∴-x2-2x+3<0，即x2+2x-3>0，
解得x<-3或x>1.
∴不等式ax2+bx+3<0的解集为{x|x<-3或x>1}.
解
11.(多选)在R上定义运算☉：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的整数x的取值可以为
A.-2 B.-1 C.0 D.1
√
√
综合运用
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
16
∵x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0，
∴x2+x-2<0，
即(x-1)(x+2)<0，解集为(-2，1)，
又x是整数，∴x的取值可以是-1和0.
解析
12.若关于x的不等式x2+mx+2m-3≤0有解，则实数m的取值范围是
A.[2，6]
B.(-∞，2]∪[6，+∞)
C.(2，6)
D.(-∞，2)∪(6，+∞)
答案
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因为关于x的不等式x2+mx+2m-3≤0有解，
所以m2-4(2m-3)=m2-8m+12≥0，
解得m≤2或m≥6，故实数m的取值范围是(-∞，2]∪[6，+∞).
解析
13.(多选)已知不等式x2-(3a+1)x+2a2+2a>0，下列说法正确的是
A.若a=1，则不等式的解集为R
B.若a=0，则不等式的解集为{x|x>1或x<0}
C.若a>1，则不等式的解集为{x|x2a}
D.若a<1，则不等式的解集为{x|x<2a或x>a+1}
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不等式x2-(3a+1)x+2a2+2a>0，整理得x2-(3a+1)x+2a(a+1)>0，
即(x-2a)>0，
若a=1，则(x-2)2>0，所以不等式的解集为{x|x≠2}，故选项A错误；
若a=0，则x(x-1)>0，所以不等式的解集为{x|x>1或x<0}，故选项B正确；
若a>1，则2a>a+1，所以不等式的解集为{x|x2a}，故选项C正确；
若a<1，则2aa+1}，故选项D正确.
解析
14.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A {x|1≤x≤3}，则a的取值范
围为　　　　 　　　.
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设y=x2-2ax+a+2，
因为不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，
且A {x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2-2ax+a+2=0，
若A= ，则Δ=4a2-4(a+2)<0，
即a2-a-2<0，解得-1解析
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若A≠ ，则
即解得2≤a≤.
综上所述，a的取值范围为.
解析
15.在R上定义运算：=ad-bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为
A.- B.- C. D.
拓广探究
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由定义知，不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1，
∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.
∵x2-x+1=+≥
∴a2-a≤解得-≤a≤
则实数a的最大值为.
解析
16.某化学试剂厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得的利润是100元.
(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
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根据题意，2×100≥3 000，
即5x-14-≥0，
又1≤x≤10，
∴5x2-14x-3≥0，即(x-3)(5x+1)≥0，
解得x≤-(舍)或x≥3.
∴所求x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
解
(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，该工厂的生产速度应为多少？
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设利润为y元，
则y=·100=9×104×
故当=即x=6时，y取得最大值.
即该工厂应该选择以6千克/小时的速度生产.
解
第二章　 §2.2　不等式
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