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(共76张PPT)
第1课时
均值不等式
第二章　 2.2.4　均值不等式及其应用
<<<
1.掌握均值不等式及其推导过程.
2.理解均值不等式的几何意义.
3.能初步运用均值不等式求最值.
学习目标
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
导 语
一、对均值不等式的理解
二、利用均值不等式求最值
课时对点练
随堂演练
内容索引
对均值不等式的理解
一
提示　正方形的边长AB=故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立.
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？
问题1
提示　用分别替换上式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤.
现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
问题2
提示　方法一　(作差法)
-===≥0，
即≥当且仅当a=b时，等号成立.
上述不等式是在a2+b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
问题3
方法二　(分析法)
要证≤只需证2≤a+b，
只需证2-a-b≤0，
只需证-(-)2≤0，
显然(-)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立.
方法三　(几何法)
如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
提示　将均值不等式两边平方可得≥ab，
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab可以看
成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
探索均值不等式的几何意义.
问题4
算术平均值 给定两个正数a，b，数______称为a，b的算术平均值
几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值
均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当 时，等号成立
几何意义 所有周长一定的矩形中， 的面积最大
a=b
正方形
(1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤.
(2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
注 意 点
<<<
下列命题中正确的是
A.当a，b∈R时+≥2 =2
B.若a<0，b<0，则≤ab
C.当a>2时，a+的最小值是6
D.当a>0，b>0时≥
√
例 1
A中，可能<0，所以A不正确；
B中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，所以B不正确；
C中，a+≥2=6，当且仅当a=即a=3时，等号成立，所以C正确；
D中，由均值不等式知≤(a>0，b>0)，所以D不正确.
解析
均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数.
(2)“当且仅当”的含义：
①当a=b时≥的等号成立，即a=b =；
②仅当a=b时≥的等号成立，即= a=b.
反
思
感
悟
(多选)下列结论不正确的是
A.若x∈R，且x≠0，则+x≥4
B.当x>0时+≥2
C.当x≥2时，x+的最小值为2
D.当0跟踪训练 1
√
√
对于选项A，当x<0时+x≥4显然不成立；
对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时+≥ 2=2，当且仅当=即x=1时，等号成立.
对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x=即x=1，不满足x≥2；
对于选项D，2x+≥2=2当且仅当2x=即x=时，等号成立.
解析
二
利用均值不等式求最值
提示　x+y=8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x=y=4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大.
若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
问题5
提示　xy=16，由x+y≥2得x+y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小.
若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
问题6
用均值不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最 值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值S2.
两个正数的积为常数时，它们的和有最 值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当 时，和x+y有最小值2.
大
小
x=y
x=y
(1)口诀：和定积最大，积定和最小.
(2)应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等.
注 意 点
<<<
(课本例1)已知x>0，求y=x+的最小值，并说明x为何值时y取得最小值.
例 2
角度1　直接法求最值
因为x>0，所以根据均值不等式有x+≥2=2，
其中等号成立当且仅当x=即x2=1，
解得x=1或x=-1(舍).
因此x=1时，y取得最小值2.
解
(1)当x>0时，求+4x的最小值；
例 2
∵x>0，∴>0，4x>0.
∴+4x≥2=8.
当且仅当=4x，即x=时，等号成立，
∴当x>0时+4x的最小值为8.
解
(2)当x<0时，求+4x的最大值；
∵x<0，∴-x>0.
则+(-4x)≥2=8
当且仅当=-4x，即x=-时，等号成立.
∴+4x≤-8.
∴当x<0时+4x的最大值为-8.
解
(3)已知t>0，求y=的最小值.
依题意得，y=t+-4≥2-4=-2，
当且仅当t=1时，等号成立，即y=(t>0)的最小值是-2.
解
在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备.
反
思
感
悟
若a，b都是正数，则的最小值为
A.7 B.8 C.9 D.10
跟踪训练 2
因为a，b都是正数，所以=5++≥5+2=9，
当且仅当b=2a时取等号.
解析
√
已知x>2，则y=x+的最小值为　 　.
例 3
角度2　拼凑法求最值
因为x>2，所以x-2>0，
所以y=x+=x-2++2≥2 +2=6，
当且仅当x-2=即x=4时，等号成立.
所以y=x+的最小值为6.
解析
6
若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y=x+的最大值.
延伸探究
因为x<2，所以2-x>0，
所以y=x+=-+2≤-2+2=-2，
当且仅当2-x=
即x=0时，等号成立.
故y=x+的最大值为-2.
解
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
反
思
感
悟
(1)若0跟踪训练 3
因为00，
所以x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤=×=
当且仅当2x=1-2x，即x=时，等号成立.
所以x(1-2x)的最大值为.
解析
(2)若x>1，则的最小值为　　　.
因为x>1，所以x-1>0，
所以==x+1+=(x-1)++2≥2+2=4，
当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立，
所以当x>1时的最小值为4.
解析
4
1.知识清单：
(1)≥(a，b都是正数).
(2)直接法求最值.
(3)拼凑法求最值.
2.方法归纳：拼凑法.
3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.不等式a2+≥4中，等号成立的条件是
A.a=4 B.a=
C.a=- D.a=±
√
此不等式等号成立的条件为a2=即a=±.
解析
1
2
3
4
2.(多选)下列不等式成立的是
A.ab≤ B.≤
C.≥ab(a>0，b>0) D.a+b≤2
√
a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，
∴a2+b2≥2ab，当ab>0时≥故A正确，B不正确；
由均值不等式可知C是其变形，故C正确；
a+b≥2故D不正确.
解析
√
1
2
3
4
3.若x>0，则x+　　2若x<0，则x+　　-2.(填“=”“≥” “≤”“>”或“<”)
当x>0时，x+≥2=2
当且仅当x=即x=时取等号.
当x<0时，x+=-≤-2当且仅当x=-时取等号.
解析
≥
≤
1
2
3
4
4.已知x<则y=4x-2+的最大值为　　　，此时x的值是　　　.
∵x<∴5-4x>0.
∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1，
当且仅当5-4x=
即x=1时，等号成立.故y的最大值为1，此时x的值是1.
解析
1
1
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ACD B BC C BCD D x答案 ≤ B C AC 12 AC
对一对
答案
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9.
答案
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因为x<3，所以3-x>0.
又因为y=2(x-3)++7=-+7，
由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2
当且仅当2(3-x)=
即x=3-时，等号成立，
9.
答案
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于是-≤-2
-+7≤7-2
故y的最大值是7-2.
10.
答案
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y==.
因为x>0，所以x+≥2=2，
当且仅当x=即x=1时，等号成立.
所以0故y的最大值为1.
16.
答案
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(1)因为a，b为正实数，且+=2
所以+=2≥2
即ab≥.
因为a2+b2≥2ab≥2×=1
所以a2+b2的最小值为1.
16.
答案
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(2)因为+=2所以a+b=2ab.
因为(a-b)2≥4(ab)3，
所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3，
即(2ab)2-4ab≥4(ab)3，
即(ab)2-2ab+1≤0，即(ab-1)2≤0.
因为a，b为正实数，所以ab=1.
基础巩固
1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
√
根据均值不等式的条件知，a，b同号，则>0>0，故A，C，D正确.
解析
答案
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√
√
2.已知x>0，y>0，x+=8，则的最大值为
A.2 B.4 C.6 D.8
√
答案
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因为8=x+≥2=4
所以≤2，从而≤4.
当且仅当x=即x=4，y=1时等号成立.
解析
3.(多选)已知正数a，b，则下列说法正确的是
A.+的最小值为2
B.(a+b)≥4
C.≥2
D.>
√
答案
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√
答案
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由题意知a，b为正数.
对于A+≥2=2，当且仅当=1时等号成立，而>故等号不成立，A不正确；
对于B，(a+b)=1+1++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故B正确；
解析
答案
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对于C≥=2当且仅当a=b时等号成立，故C正确；
对于D≤=当且仅当a=b时等号成立，故D不正确.
解析
4.设x>0，则y=3-3x-的最大值是
A.3 B.3-2 C.3-2 D.-1
√
y=3-3x-=3-≤3-2 =3-2当且仅当3x=
即x=时取等号.
∴当x=时，y的最大值是3-2.
解析
答案
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5.(多选)若x>0，y>0，且x+y≤4，则下列结论正确的是
A.≤ B.+≥1
C.≥ D.≤2
√
答案
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√
√
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∵x>0，y>0，x+y≤4，则≥A不正确；
由2≤x+y≤4，即≤2，xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
∴≥≥且+≥2≥2×=1，故BCD正确.
解析
6.已知x>-1，则y=的最小值为
A.-1 B.2
C.3 D.2+1
√
答案
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∵x>-1，∴x+1>0，
∴y===x+1++1≥2+1=2+1，
当且仅当x+1=即x=-1时等号成立，所以y的最小值为2+1.
解析
7.已知a，b是不相等的正数，x=y=则x，y的大小关系是　　　　.
x2=y2=a+b=.
∵a+b>2(a>0，b>0且a≠b)，
∴x20，y>0，∴x解析
答案
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x8.已知a>b>c，则与的大小关系是　 　　　　　　　.
∵a>b>c，∴a-b>0，b-c>0，
∴≤=.
当且仅当a-b=b-c，即a+c=2b时，等号成立.
解析
答案
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≤
9.若x<3，求y=2x+1+的最大值.
答案
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因为x<3，所以3-x>0.
又因为y=2(x-3)++7=-+7，
由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2
当且仅当2(3-x)=即x=3-时，等号成立，
于是-≤-2-+7≤7-2
故y的最大值是7-2.
解
答案
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10.已知x>0，求y=的最大值.
答案
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y==.
因为x>0，所以x+≥2=2，
当且仅当x=
即x=1时，等号成立.
所以0故y的最大值为1.
解
11.式子的最小值为
A.3 B.4 C.6 D.8
√
综合运用
答案
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=|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立，故最小值为4.
解析
12.已知x，y为正实数，则+的最小值为
A.4 B.5 C.6 D.8
√
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由题意得+=+设=t(t>0)，
则t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6，
当且仅当t=2，即y=2x时取等号.
所以+的最小值为6.
解析
13.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有
A.(1，4) B.(6，8) C.(7，12) D.
答案
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设矩形的长和宽分别为x，y，
则x+y=l，xy=S.
对于(1，4)，则x+y=2，xy=1，
根据均值不等式，满足xy≤符合题意；
对于(6，8)，则x+y=4，xy=6，
根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意；
解析
答案
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对于(7，12)，则x+y=6，xy=7，
根据均值不等式，满足xy≤符合题意；
对于则x+y=xy=3，
根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意.
解析
14.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8，b+c=10，则此三角形面积的最大值为　　　　.
答案
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由已知可得p==9，
所以S=
=3≤=12.
当且仅当b=c=5时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12.
解析
15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题的方法，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为
A.≥(a>0，b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0) D.≥(a≥0，b>0)
拓广探究
答案
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由AC+CB=a+b，得OD=
由Rt△ACD∽Rt△DCB可知
CD==
又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确；
由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2=DE·OD，
即DE===
又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确.
解析
16.已知a，b为正实数，且+=2.
(1)求a2+b2的最小值；
答案
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答案
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
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15
16
因为a，b为正实数，且+=2
所以+=2≥2
即ab≥.
因为a2+b2≥2ab≥2×=1
所以a2+b2的最小值为1.
解
(2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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15
16
因为+=2所以a+b=2ab.
因为(a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3，
即(2ab)2-4ab≥4(ab)3，
即(ab)2-2ab+1≤0，即(ab-1)2≤0.
因为a，b为正实数，所以ab=1.
解
第二章　 2.2.4　均值不等式及其应用
<<<(共76张PPT)
第2课时
均值不等式的综合应用
第二章　 2.2.4　均值不等式及其应用
<<<
1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.
2.能利用均值不等式证明简单的不等式.
3.会用均值不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
学习目标
一、巧用“1”的代换求最值问题
二、分离消元法求最值
课时对点练
三、利用均值不等式证明不等式
随堂演练
内容索引
四、均值不等式在实际问题中的应用
巧用“1”的代换求最值问题
一
若x>0，y>0，且x+4y=1，则+的最小值为　　　.
例 1
9
因为x>0，y>0，x+4y=1，所以+=+=5++≥5+2=9，当且仅当=即x=y=时取等号.
解析
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用均值不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
反
思
感
悟
已知x>0，y>0，x+8y=xy，求x+2y的最小值.
跟踪训练 1
因为x>0，y>0，x+8y=xy，所以+=1，
所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18，
当且仅当时等号成立.
所以x+2y的最小值为18.
解
二
分离消元法求最值
已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值.
例 2
∵2x+y+6=xy，∴y=x>1，
xy====2
≥2×=18，
当且仅当x-1=即x=3时，等号成立，
∴xy的最小值为18.
解
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用均值不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
反
思
感
悟
已知x>0，y>0，x+y+xy=4，求x+2y的最小值.
跟踪训练 2
由x+y+xy=4可得x(y+1)=4-y，即x=0所以x+2y=+2y=+2(y+1)-2=+2(y+1)-3≥2-3，
当且仅当=2(y+1)，即y=-1时，等号成立.
所以x+2y的最小值为2-3.
解
利用均值不等式证明不等式
三
(课本例6)已知a，b∈R，求证：
(1)(a+b)2≥4ab；
例 3
因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2+b2+2ab≥4ab，
即(a+b)2≥4ab.
证明
(2)2(a2+b2)≥(a+b)2.
因为a2+b2≥2ab，两边同时加a2+b2，
得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab，
即2(a2+b2)≥(a+b)2.
解
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1.
求证：≥8.
例 3
因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1，
所以-1==≥同理-1≥-1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··=8，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
证明
本例的条件不变，求证：++≥9.
延伸探究 1
++=++=3+++≥3+2+2+2=9，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
证明
利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
反
思
感
悟
已知a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
跟踪训练 3
由均值不等式可得
a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2，
同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2c2，
则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2，
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
证明
均值不等式在实际问题中的应用
四
(课本例3)(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
例 4
设矩形的长与宽分别为x与y，
依题意得xy=100.
因为x>0，y>0，
所以≥==10，
所以2(x+y)≥40.
当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=10.
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.
解
(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18.
因为x>0，y>0，所以=≥.
因此≤9，即xy≤81.当且仅当x=y时，等号成立，由
可知此时x=y=9.
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.
解
小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
例 4
设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m.
方法一　由已知得xy=16，
由≥可知x+y≥2=8，
所以2(x+y)≥16，
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
解
方法二　由已知xy=16，得y=
所以2(x+y)=2≥2×2=16.
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
解
如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
延伸探究 2
由已知得2(x+y)=12，故x+y=6，面积为xy，由≤==3，
可得xy≤9，
当且仅当x=y=3时，等号成立.
因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
解
利用均值不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用均值不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论.
反
思
感
悟
现要围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
跟踪训练 4
设矩形的另一边长为a m，
则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360.
由已知ax=360，得a=∴y=225x+-360.
∵x>0，∴225x+≥2=10 800.
∴y=225x+-360≥10 440，当且仅当225x=即x=24时，等号成立，
∴当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是
10 440元.
解
1.知识清单：
(1)巧用“1”的代换求最值问题.
(2)分离消元法求最值.
(3)利用均值不等式证明不等式.
(4)均值不等式在实际问题中的应用.
2.方法归纳：配凑法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.若x>0，y>0，且+=1，则x+y的最小值是
A.3 B.6 C.9 D.12
√
x+y=(x+y)=5++≥5+2=9，
当且仅当=即x=3，y=6时取等号，
故x+y的最小值是9.
解析
1
2
3
4
2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为
A.7 B.8 C.9 D.10
√
1
2
3
4
∵x>0，y>0，xy=3-3x>0，
∴0∴12x+y=12x+=12x+-3≥2-3=9，
当且仅当即x=时取等号，
∴12x+y的最小值为9.
解析
3.将一根铁丝切割成三段做成一个面积为2 m2的直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
√
设两直角边长分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则ab=2，
∴ab=4，又a>0，b>0，
∴l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m)，当且仅当a=b时，等号成立.
∵要求够用且浪费最少，∴应选7 m.
解析
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知x，y是正数且x+y=1，则+的最小值为
A. B. C.2 D.3
√
1
2
3
4
由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4，即(x+2)+(y+1)]=1，
∴+=·(x+2)+(y+1)]
=≥×(5+4)=
当且仅当=
即x=y=时等号成立.
∴+.
解析
课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B B A AB
题号 11 12 13 14 　15 答案 A 16　2∶1 9 {m|m≥-18}
对一对
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
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16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
∵a>0，b>0，c>0，
∴+≥2=2c，当且仅当a=b时，等号成立，
+≥2=2a，当且仅当b=c时，等号成立，
+≥2=2b，当且仅当a=c时，等号成立.
又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时取到，∴++>a+b+c.
10.
答案
1
2
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5
6
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16
(1)方法一　由x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，得+=1，
则1=+≥2=得xy≥64，
当且仅当=即x=16，y=4时，等号成立.所以xy的最小值为64.
方法二　因为x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，
所以xy=2x+8y≥2
10.
答案
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16
所以xy≥8
即≥8，xy≥64，
当且仅当2x=8y，
即x=16，y=4时，等号成立，
所以xy的最小值为64.
10.
答案
1
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16
(2)由(1)可得+=1，
则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18，
当且仅当=
即x=12且y=6时等号成立，
所以x+y的最小值为18.
16.
答案
1
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16
(1)设甲工程队的总报价为y元，
则y=3+7 200=900+7 200
≥900×2+7 200=14 400，当且仅当x=即x=4时，等号成立，
即当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为14 400元.
16.
答案
1
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16
(2)由题意可得，当2≤x≤6时，900+7 200>恒成立，
即>∴a<=(x+1)++6，
又(x+1)++6≥2+6=12，
当且仅当x+1=即x=2时，等号成立.
∴a的取值范围为{a|0基础巩固
1.已知a>0，b>0，a+b=2，则+的最小值是
A. B.4 C. D.5
√
∵a>0，b>0，a+b=2，∴+=1，
∴+==++≥+2=
当且仅当b=2a，即a=b=时取等号.
解析
答案
1
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4
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16
2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
√
答案
1
2
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4
5
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16
由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，
则(1+a)(1+b)=(1+x)2，
因为(1+a)(1+b)≤
所以1+x≤=1+
所以x≤当且仅当a=b时取等号.
解析
答案
1
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4
5
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16
3.已知正实数x，y满足+=1，则4xy-3x的最小值为
A.8 B.9 C.10 D.11
√
由x>0，y>0，且+=1，可得xy=x+y.
所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.
又因为x+4y=(x+4y)=5++≥9，
当且仅当=即x=3，y=时取等号，所以4xy-3x的最小值为9.
解析
答案
1
2
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4
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4.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
√
答案
1
2
3
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答案
1
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15
16
设BC=a，CD=b，
因为矩形的面积为4，所以ab=4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b=2a+≥2=4
当且仅当2a=即a=时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.
解析
5.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y++的最小值为
A.10 B.6 C.4 D.9
√
答案
1
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由xy=x+4y，得+=1，
所以x+y++=(x+y)+1=4+1+++1≥6+2=6+4=10，
当且仅当x=6，y=3时，等号成立，
所以x+y++的最小值为10.
解析
6.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是
A.+的最小值是2 B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2
√
√
答案
1
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4
5
6
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答案
1
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16
因为正数x，y满足x+y=2，
所以+=(x+y)=×≥×=2，
当且仅当即x=y=1时，等号成立，
所以+的最小值是2，故A正确；
解析
答案
1
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16
因为正数x，y满足x+y=2，
所以xy≤==1，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以xy的最大值是1，故B正确；
由≤得x2+y2≥2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以x2+y2的最小值是2，故C错误；
解析
答案
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16
x(y+1)≤==
当且仅当即x=y=时，等号成立，
所以x(y+1)的最大值是故D错误.
解析
7.若a，b都是正数，且a+b=1，则(a+1)(b+1)的最大值是　　　.
因为a，b都是正数，且a+b=1，
所以(a+1)(b+1)≤=
当且仅当a+1=b+1，即a=b=时，等号成立.所以(a+1)(b+1)的最大值为.
解析
答案
1
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16
8.若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　 　　.
由a2+2ab=1可得b=
所以a2+b2=a2+=+-≥2-=
当且仅当a2=时，等号成立.
解析
答案
1
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9.已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证：++>a+b+c.
∵a>0，b>0，c>0，
∴+≥2=2c，当且仅当a=b时，等号成立，
+≥2=2a，当且仅当b=c时，等号成立，
+≥2=2b，当且仅当a=c时，等号成立.
又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时取到，∴++>a+b+c.
证明
答案
1
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10.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；
答案
1
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16
方法一　由x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，得+=1，
则1=+≥2=得xy≥64，
当且仅当=即x=16，y=4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
方法二　因为x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，
所以xy=2x+8y≥2
所以xy≥8即≥8，xy≥64，
当且仅当2x=8y，即x=16，y=4时，等号成立，所以xy的最小值为64.
解
答案
1
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(2)x+y的最小值.
答案
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由(1)可得+=1，
则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18，
当且仅当=即x=12且y=6时等号成立，
所以x+y的最小值为18.
解
11.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a+b=1，则--的上确界为
A.- B. C. D.-4
√
综合运用
答案
1
2
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4
5
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1
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16
因为a，b为正实数，且a+b=1，
所以+=(a+b)=+≥+2=
当且仅当b=2a，即a=b=时，等号成立.
因此有--≤-
即--的上确界为-.
解析
12.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　　　(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是　　　　.
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2∶1
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如图所示，连接OC，
设OB=x(0则BC==
AB=2OB=2x，
所以，由均值不等式可得，
矩形ABCD的面积为S=AB·BC=2x·=2
≤(16-x2)+x2=16，
当且仅当16-x2=x2，即x=2时，等号成立，
解析
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此时AB=4
BC=2
所以长、宽比是2∶1.
解析
13.设0答案
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由00，由均值不等式可得+=[(1-x)+x]·
=++5
≥2+5=9，
当且仅当=即x=时，等号成立.
解析
14.已知正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为　　　　.
答案
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因为a，b均为正实数，
所以==+=
=4+1++≥5+2=9，
当且仅当=即a=b=时，等号成立.
解析
9
15.已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　　.
拓广探究
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{m|m≥-18}
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因为正实数a，b满足a+2b+5=ab≥
所以m≥=-=-(2a+b)，
而(2a+b)=++10≥2+10=18，
当且仅当=即a=b=时取等号，
所以-(2a+b)≤-18，
所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}.
解析
16.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左、右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？
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设甲工程队的总报价为y元，
则y=3+7 200=900+7 200
≥900×2+7 200=14 400，当且仅当x=即x=4时，等号成立，
即当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为14 400元.
解
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功(报价低者竞标成功)，试求a的取值范围.
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由题意可得，当2≤x≤6时，900+7 200>恒成立，
即>∴a<=(x+1)++6，
又(x+1)++6≥2+6=12，
当且仅当x+1=即x=2时，等号成立.
∴a的取值范围为{a|0解
第二章　 2.2.4　均值不等式及其应用
<<<2.2.4　均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式
学习目标　 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3.能初步运用均值不等式求最值.
导语
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
一、对均值不等式的理解
问题1　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？
提示　正方形的边长AB=故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立.
问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
提示　用分别替换上式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤.
问题3　上述不等式是在a2+b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示　方法一　(作差法)
-=
==≥0，
即≥当且仅当a=b时，等号成立.
方法二　(分析法)
要证≤只需证2≤a+b，
只需证2-a-b≤0，
只需证-(-)2≤0，
显然(-)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立.
方法三　(几何法)
如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
问题4　探索均值不等式的几何意义.
提示　将均值不等式两边平方可得≥ab，
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
知识梳理
算术平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值
几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值
均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当a=b时，等号成立
几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大
注意点：
(1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤.
(2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
例1　下列命题中正确的是(　　)
A.当a，b∈R时+≥2 =2
B.若a<0，b<0，则≤ab
C.当a>2时，a+的最小值是6
D.当a>0，b>0时≥
答案　C
解析　A中，可能<0，所以A不正确；
B中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，所以B不正确；
C中，a+≥2=6，当且仅当a=即a=3时，等号成立，所以C正确；
D中，由均值不等式知≤(a>0，b>0)，所以D不正确.
反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数.
(2)“当且仅当”的含义：
①当a=b时≥的等号成立，
即a=b =；
②仅当a=b时≥的等号成立，
即= a=b.
跟踪训练1　(多选)下列结论不正确的是(　　)
A.若x∈R，且x≠0，则+x≥4
B.当x>0时+≥2
C.当x≥2时，x+的最小值为2
D.当0答案　AC
解析　对于选项A，当x<0时+x≥4显然不成立；
对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时+≥2=2，当且仅当=即x=1时，等号成立.
对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x=即x=1，不满足x≥2；
对于选项D，2x+≥2=2当且仅当2x=即x=时，等号成立.
二、利用均值不等式求最值
问题5　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
提示　x+y=8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x=y=4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大.
问题6　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
提示　xy=16，由x+y≥2得x+y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小.
知识梳理　用均值不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2.
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2.
注意点：
(1)口诀：和定积最大，积定和最小.
(2)应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等.
角度1　直接法求最值
例2　(课本例1)已知x>0，求y=x+的最小值，并说明x为何值时y取得最小值.
解　因为x>0，所以根据均值不等式有
x+≥2=2，
其中等号成立当且仅当x=即x2=1，
解得x=1或x=-1(舍).
因此x=1时，y取得最小值2.
例2　(1)当x>0时，求+4x的最小值；
(2)当x<0时，求+4x的最大值；
(3)已知t>0，求y=的最小值.
解　(1)∵x>0，∴>0，4x>0.
∴+4x≥2=8.
当且仅当=4x，即x=时，等号成立，
∴当x>0时+4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴-x>0.
则+(-4x)≥2=8
当且仅当=-4x，即x=-时，等号成立.
∴+4x≤-8.
∴当x<0时+4x的最大值为-8.
(3)依题意得，y=t+-4≥2-4=-2，
当且仅当t=1时，等号成立，即y=(t>0)的最小值是-2.
反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备.
跟踪训练2　若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　C
解析　因为a，b都是正数，所以=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a时取等号.
角度2　拼凑法求最值
例3　已知x>2，则y=x+的最小值为　　　　.
答案　6
解析　因为x>2，所以x-2>0，
所以y=x+=x-2++2≥2 +2=6，
当且仅当x-2=即x=4时，等号成立.
所以y=x+的最小值为6.
延伸探究　若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y=x+的最大值.
解　因为x<2，所以2-x>0，
所以y=x+=-+2
≤-2+2=-2，
当且仅当2-x=
即x=0时，等号成立.
故y=x+的最大值为-2.
反思感悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
跟踪训练3　(1)若0答案　
解析　因为00，
所以x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤=×=
当且仅当2x=1-2x，即x=时，等号成立.
所以x(1-2x)的最大值为.
(2)若x>1，则的最小值为　　　　.
答案　4
解析　因为x>1，所以x-1>0，
所以==x+1+
=(x-1)++2≥2+2=4，
当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立，
所以当x>1时的最小值为4.
1.知识清单：
(1)≥(a，b都是正数).
(2)直接法求最值.
(3)拼凑法求最值.
2.方法归纳：拼凑法.
3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件.
1.不等式a2+≥4中，等号成立的条件是(　　)
A.a=4 B.a=
C.a=- D.a=±
答案　D
解析　此不等式等号成立的条件为a2=即a=±.
2.(多选)下列不等式成立的是(　　)
A.ab≤
B.≤
C.≥ab(a>0，b>0)
D.a+b≤2
答案　AC
解析　a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，
∴a2+b2≥2ab，当ab>0时≥故A正确，B不正确；
由均值不等式可知C是其变形，故C正确；
a+b≥2故D不正确.
3.若x>0，则x+　　　　2若x<0，则x+　　　　-2.(填“=”“≥”“≤”“>”或“<”)
答案　≥　≤
解析　当x>0时，x+≥2=2
当且仅当x=即x=时取等号.
当x<0时，x+=-≤-2当且仅当x=-时取等号.
4.已知x<则y=4x-2+的最大值为　　　　，此时x的值是　　　.
答案　1　1
解析　∵x<∴5-4x>0.
∴y=4x-2+=-+3
≤-2+3=-2+3=1，
当且仅当5-4x=
即x=1时，等号成立.故y的最大值为1，此时x的值是1.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共30分
1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　　)
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
答案　ACD
解析　根据均值不等式的条件知，a，b同号，则>0>0，故A，C，D正确.
2.已知x>0，y>0，x+=8，则的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　B
解析　因为8=x+≥2=4
所以≤2，从而≤4.
当且仅当x=即x=4，y=1时等号成立.
3.(多选)已知正数a，b，则下列说法正确的是(　　)
A.+的最小值为2
B.(a+b)≥4
C.≥2
D.>
答案　BC
解析　由题意知a，b为正数.
对于A+≥2=2，当且仅当=1时等号成立，而>故等号不成立，A不正确；
对于B，(a+b)=1+1++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故B正确；
对于C≥=2当且仅当a=b时等号成立，故C正确；
对于D≤=当且仅当a=b时等号成立，故D不正确.
4.设x>0，则y=3-3x-的最大值是(　　)
A.3 B.3-2 C.3-2 D.-1
答案　C
解析　 y=3-3x-=3-≤3-2 =3-2当且仅当3x=
即x=时取等号.
∴当x=时，y的最大值是3-2.
5.(多选)若x>0，y>0，且x+y≤4，则下列结论正确的是(　　)
A.≤ B.+≥1
C.≥ D.≤2
答案　BCD
解析　∵x>0，y>0，x+y≤4，则≥A不正确；
由2≤x+y≤4，即≤2，xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
∴≥≥且+≥2≥2×=1，故BCD正确.
6.已知x>-1，则y=的最小值为(　　)
A.-1 B.2
C.3 D.2+1
答案　D
解析　∵x>-1，∴x+1>0，
∴y===x+1++1≥2+1=2+1，
当且仅当x+1=即x=-1时等号成立，所以y的最小值为2+1.
7.(5分)已知a，b是不相等的正数，x=y=则x，y的大小关系是　　　　.
答案　x解析　x2=
y2=a+b=.
∵a+b>2(a>0，b>0且a≠b)，
∴x20，y>0，∴x8.(5分)已知a>b>c，则与的大小关系是　　　　　　　　　　　　　.
答案　≤
解析　∵a>b>c，∴a-b>0，b-c>0，
∴≤=.
当且仅当a-b=b-c，即a+c=2b时，等号成立.
9.(10分)若x<3，求y=2x+1+的最大值.
解　因为x<3，所以3-x>0.
又因为y=2(x-3)++7=-+7，
由均值不等式可得2(3-x)+≥
2=2
当且仅当2(3-x)=
即x=3-时，等号成立，
于是-≤-2
-+7≤7-2
故y的最大值是7-2.
10.(10分)已知x>0，求y=的最大值.
解　y==.
因为x>0，
所以x+≥2=2，
当且仅当x=
即x=1时，等号成立.
所以0故y的最大值为1.
11.式子的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
答案　B
解析　=|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立，故最小值为4.
12.已知x，y为正实数，则+的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
答案　C
解析　由题意得+=+设=t(t>0)，则t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6，当且仅当t=2，即y=2x时取等号.
所以+的最小值为6.
13.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　)
A.(1，4) B.(6，8) C.(7，12) D.
答案　AC
解析　设矩形的长和宽分别为x，y，
则x+y=l，xy=S.
对于(1，4)，则x+y=2，xy=1，
根据均值不等式，满足xy≤符合题意；
对于(6，8)，则x+y=4，xy=6，
根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意；
对于(7，12)，则x+y=6，xy=7，
根据均值不等式，满足xy≤符合题意；
对于则x+y=xy=3，
根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意.
14.(5分)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8，b+c=10，则此三角形面积的最大值为　　　　.
答案　12
解析　由已知可得p==9，
所以S=
=3≤=12.
当且仅当b=c=5时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12.
15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题的方法，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B.a2+b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a≥0，b>0)
答案　AC
解析　由AC+CB=a+b，得OD=
由Rt△ACD∽Rt△DCB可知
CD==
又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确；
由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2=DE·OD，
即DE===
又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确.
16.(10分)已知a，b为正实数，且+=2.
(1)求a2+b2的最小值；(5分)
(2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.(5分)
解　(1)因为a，b为正实数，且+=2
所以+=2≥2
即ab≥.
因为a2+b2≥2ab≥2×
=1
所以a2+b2的最小值为1.
(2)因为+=2所以a+b=2ab.
因为(a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3，
即(2ab)2-4ab≥4(ab)3，
即(ab)2-2ab+1≤0，即(ab-1)2≤0.
因为a，b为正实数，所以ab=1.第2课时　均值不等式的综合应用
学习目标　1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.2.能利用均值不等式证明简单的不等式.3.会用均值不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
一、巧用“1”的代换求最值问题
例1　若x>0，y>0，且x+4y=1，则+的最小值为　　　　.
答案　9
解析　因为x>0，y>0，x+4y=1，所以+=+=5++≥5+2=9，当且仅当=即x=y=时取等号.
反思感悟　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用均值不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
跟踪训练1　已知x>0，y>0，x+8y=xy，求x+2y的最小值.
解　因为x>0，y>0，x+8y=xy，
所以+=1，
所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18，
当且仅当即时等号成立.
所以x+2y的最小值为18.
二、分离消元法求最值
例2　已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值.
解　∵2x+y+6=xy，∴y=x>1，
xy==
=
=2
≥2×=18，
当且仅当x-1=即x=3时，等号成立，
∴xy的最小值为18.
反思感悟　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用均值不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
跟踪训练2　已知x>0，y>0，x+y+xy=4，求x+2y的最小值.
解　由x+y+xy=4可得x(y+1)=4-y，即x=0所以x+2y=+2y=+2(y+1)-2=+2(y+1)-3≥2-3，
当且仅当=2(y+1)，即y=-1时，等号成立.
所以x+2y的最小值为2-3.
三、利用均值不等式证明不等式
例3　(课本例6)已知a，b∈R，求证：
(1)(a+b)2≥4ab；
(2)2(a2+b2)≥(a+b)2.
证明　(1)因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2+b2+2ab≥4ab，
即(a+b)2≥4ab.
(2)因为a2+b2≥2ab，两边同时加a2+b2，
得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab，
即2(a2+b2)≥(a+b)2.
例3　已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1.
求证：≥8.
证明　因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1，
所以-1==≥
同理-1≥-1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··=8，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
延伸探究1　本例的条件不变，求证：++≥9.
证明　++=++=3+++≥3+2+2+2=9，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
反思感悟　利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
跟踪训练3　已知a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
证明　由均值不等式可得
a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2，
同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2c2，
则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2，
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
四、均值不等式在实际问题中的应用
例4　(课本例3)(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
解　(1)设矩形的长与宽分别为x与y，
依题意得xy=100.
因为x>0，y>0，
所以≥==10，
所以2(x+y)≥40.
当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=10.
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.
(2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18.
因为x>0，y>0，所以=≥.
因此≤9，即xy≤81.当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=9.
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.
例4　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m.
方法一　由已知得xy=16，
由≥可知x+y≥2=8，
所以2(x+y)≥16，
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
方法二　由已知xy=16，得y=
所以2(x+y)=2≥2×2=16.
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
延伸探究2　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
解　由已知得2(x+y)=12，故x+y=6，面积为xy，由≤==3，
可得xy≤9，
当且仅当x=y=3时，等号成立.
因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
反思感悟　利用均值不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用均值不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论.
跟踪训练4　现要围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解　设矩形的另一边长为a m，
则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360.
由已知ax=360，得a=
∴y=225x+-360.
∵x>0，∴225x+≥2=10 800.
∴y=225x+-360≥10 440，
当且仅当225x=即x=24时，等号成立，
∴当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.
1.知识清单：
(1)巧用“1”的代换求最值问题.
(2)分离消元法求最值.
(3)利用均值不等式证明不等式.
(4)均值不等式在实际问题中的应用.
2.方法归纳：配凑法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误.
1.若x>0，y>0，且+=1，则x+y的最小值是(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
答案　C
解析　x+y=(x+y)=5++
≥5+2=9，
当且仅当=即x=3，y=6时取等号，
故x+y的最小值是9.
2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　C
解析　∵x>0，y>0，xy=3-3x>0，
∴0∴12x+y=12x+=12x+-3
≥2-3=9，
当且仅当即x=时取等号，
∴12x+y的最小值为9.
3.将一根铁丝切割成三段做成一个面积为2 m2的直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
答案　C
解析　设两直角边长分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则ab=2，
∴ab=4，又a>0，b>0，∴l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m)，当且仅当a=b时，等号成立.∵要求够用且浪费最少，∴应选7 m.
4.已知x，y是正数且x+y=1，则+的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　B
解析　由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4，
即(x+2)+(y+1)]=1，
∴+
=·(x+2)+(y+1)]
=≥×(5+4)=
当且仅当=
即x=y=时等号成立.
∴+的最小值为.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分
1.已知a>0，b>0，a+b=2，则+的最小值是(　　)
A. B.4 C. D.5
答案　C
解析　∵a>0，b>0，a+b=2，
∴+=1，
∴+==++≥+2=
当且仅当b=2a，即a=b=时取等号.
2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
答案　B
解析　由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，
则(1+a)(1+b)=(1+x)2，
因为(1+a)(1+b)≤
所以1+x≤=1+
所以x≤当且仅当a=b时取等号.
3.已知正实数x，y满足+=1，则4xy-3x的最小值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
答案　B
解析　由x>0，y>0，且+=1，可得xy=x+y.
所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.
又因为x+4y=(x+4y)=5++≥9，
当且仅当=即x=3，y=时取等号，
所以4xy-3x的最小值为9.
4.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　)
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
答案　B
解析　设BC=a，CD=b，
因为矩形的面积为4，所以ab=4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
2a+b=2a+≥2=4
当且仅当2a=即a=时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.
5.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y++的最小值为(　　)
A.10 B.6 C.4 D.9
答案　A
解析　由xy=x+4y，得+=1，
所以x+y++=(x+y)+1=4+1+++1≥6+2=6+4=10，
当且仅当x=6，y=3时，等号成立，
所以x+y++的最小值为10.
6.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　)
A.+的最小值是2 B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2
答案　AB
解析　因为正数x，y满足x+y=2，
所以+=(x+y)
=×≥×=2，
当且仅当即x=y=1时，等号成立，
所以+的最小值是2，故A正确；
因为正数x，y满足x+y=2，
所以xy≤==1，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以xy的最大值是1，故B正确；
由≤得x2+y2≥2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以x2+y2的最小值是2，故C错误；
x(y+1)≤==
当且仅当即x=y=时，等号成立，
所以x(y+1)的最大值是故D错误.
7.(5分)若a，b都是正数，且a+b=1，则(a+1)(b+1)的最大值是　　　　.
答案　
解析　因为a，b都是正数，且a+b=1，
所以(a+1)(b+1)≤=
当且仅当a+1=b+1，即a=b=时，等号成立.所以(a+1)(b+1)的最大值为.
8.(5分)若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　.
答案　
解析　由a2+2ab=1可得b=
所以a2+b2=a2+=+-≥2-=
当且仅当a2=时，等号成立.
9.(10分)已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证：++>a+b+c.
证明　∵a>0，b>0，c>0，
∴+≥2=2c，当且仅当a=b时，等号成立，
+≥2=2a，当且仅当b=c时，等号成立，
+≥2=2b，当且仅当a=c时，等号成立.
又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时取到，
∴++>a+b+c.
10.(12分)已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；(6分)
(2)x+y的最小值.(6分)
解　(1)方法一　由x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，得+=1，
则1=+≥2=得xy≥64，
当且仅当=即x=16，y=4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
方法二　因为x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，
所以xy=2x+8y≥2
所以xy≥8即≥8，xy≥64，
当且仅当2x=8y，即x=16，y=4时，等号成立，
所以xy的最小值为64.
(2)由(1)可得+=1，
则x+y=·(x+y)
=10++≥10+2=18，
当且仅当=即x=12且y=6时等号成立，
所以x+y的最小值为18.
11.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a+b=1，则--的上确界为(　　)
A.- B. C. D.-4
答案　A
解析　因为a，b为正实数，且a+b=1，
所以+=(a+b)=+≥+2=
当且仅当b=2a，即a=b=时，等号成立.
因此有--≤-
即--的上确界为-.
12.(5分)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　　　　(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是　　　　.
答案　16　2∶1
解析　如图所示，连接OC，
设OB=x(0则BC==
AB=2OB=2x，
所以，由均值不等式可得，
矩形ABCD的面积为S=AB·BC=2x·=2≤(16-x2)+x2=16，
当且仅当16-x2=x2，
即x=2时，等号成立，
此时AB=4
BC=2
所以长、宽比是2∶1.
13.(5分)设0答案　
解析　由00，由均值不等式可得+=[(1-x)+x]·
=++5
≥2+5=9，
当且仅当=即x=时，等号成立.
14.(5分)已知正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为　　　　　　　　　.
答案　9
解析　因为a，b均为正实数，
所以==+=
=4+1++≥5+2=9，
当且仅当=即a=b=时，等号成立.
15.(5分)已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
答案　{m|m≥-18}
解析　因为正实数a，b满足a+2b+5=ab≥
所以m≥=-=-(2a+b)，
而(2a+b)=++10≥2+10=18，
当且仅当=即a=b=时取等号，
所以-(2a+b)≤-18，
所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}.
16.(12分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左、右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？(6分)
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功(报价低者竞标成功)，试求a的取值范围.(6分)
解　(1)设甲工程队的总报价为y元，
则y=3+7 200=900+7 200≥900×2+7 200=14 400，当且仅当x=即x=4时，等号成立，
即当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为14 400元.
(2)由题意可得，当2≤x≤6时，900+7 200>恒成立，
即>
∴a<=(x+1)++6，
又(x+1)++6≥2+6=12，
当且仅当x+1=即x=2时，等号成立.
∴a的取值范围为{a|0

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