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第2课时　函数的平均变化率
学习目标　1.了解直线的斜率及意义.2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系.3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.
导语
从形的角度理解函数单调性，限制条件的对象是图象上的任意两点.我们知道，两点确定一条直线.那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？带着这样的疑问，开始我们今天的学习.
一、直线的斜率公式及应用
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在.
若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为.
注意点：
(1)直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.
(2)当直线垂直于x轴时，其斜率不存在；当直线垂直于y轴时，其斜率为0.
(3)当点A与点B位置调换时，斜率不变.
例1　已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1？
解　因为直线l的斜率是1，所以=1，
即=1，解得m=.
反思感悟　利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
(2)斜率公式与两点A，B的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
跟踪训练1　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，求实数a的值.
解　∵A，B，C三点共线，且3≠-2，
∴BC，AB的斜率都存在，记BC的斜率为Δy1，AB的斜率为Δy2，则Δy1=Δy2.
Δy2==Δy1==
∴=解得a=2或a=.
二、平均变化率的计算
一般地，当x1≠x2时，称=为函数y=f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率.
注意点：
(1)平均变化率可正可负，也可为零.
(2)平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图象上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率.
(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.
例2　已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求当x0=1，Δx=时平均变化率的值.
解　(1)由已知得Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx)，
∴==4x0+2Δx.
(2)由(1)可知=4x0+2Δx，
∴当x0=2，Δx=0.01时=4×2+2×0.01=8.02.
(3)由(1)可知=4x0+2Δx，
∴当x0=1，Δx=时=4×1+2×=5.
反思感悟　求平均变化率的主要步骤
跟踪训练2　 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1+at)cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率.
解　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为
ΔS=102[1+a(t+Δt)]2-102(1+at)2=200(a+a2t)Δt+100a2(Δt)2，
所以平均膨胀率为=200(a+a2t)+100a2Δt.
三、利用平均变化率证明函数的单调性
问题1　函数y=f(x)的图象如图，如果在区间[6，17]对应的曲线上任取不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)=一定大于零吗？
如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同的两点C(x3，y3)，D(x4，y4)=一定大于零吗？
提示　在[6，17]上一定大于零；在[2，10]上不一定大于零，但在[2，6]上一定小于零，在[6，10]上一定大于零.
问题2　该函数在[6，17]及[2，10]上的单调性是怎样的呢？
提示　该函数在[6，17]上单调递增；在[2，10]上不单调，其中在[2，6]上单调递减，在[6，10]上单调递增.
知识梳理　函数递增、递减的充要条件
一般地，若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)=则：
(1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是>0在区间I上恒成立；
(2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是<0在区间I上恒成立.
例3　(课本例3)求证：函数y=在区间(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数.
证明　设x1≠x2，那么==-.
如果x1，x2∈(-∞，0)，则x1x2>0，此时<0，所以函数在(-∞，0)上是减函数.同理，函数在(0，+∞)上也是减函数.
例3　证明函数f(x)=(x>0)在(0，1]上是增函数，在[1，+∞)上是减函数，并求这个函数的最值.
解　设x1≠x2，
则==
=.
当x1，x2∈(0，1]时，有1-x1x2>0，
从而>0，
因此f(x)在(0，1]上是增函数.
当x1，x2∈[1，+∞)时，有1-x1x2<0，从而<0，
因此f(x)在[1，+∞)上是减函数.
由函数的单调性可知，函数没有最小值；
当x∈(0，1]时，f(x)≤f(1)，当x∈[1，+∞)时，f(x)≤f(1).
因此f(1)=是函数的最大值.
反思感悟　(1)利用平均变化率判断或证明函数的单调性的4个步骤
①取值：任取x1，x2∈I，且x1≠x2.
②计算：求Δy=f(x2)-f(x1)，Δx=x2-x1.
③判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性.
④下结论：若>0，则f(x)在区间I上是增函数；若<0，则f(x)在区间I上是减函数.
(2)单调函数的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②f(x)与a·f(x)，当a>0时具有相同的单调性；当a<0时具有相反的单调性.
③当f(x)≥0时，y=与y=f(x)具有相同的单调性.
④当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与具有相反的单调性.
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
跟踪训练3　(课本例5)证明函数f(x)=x2+2x在(-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞)上是增函数，并求这个函数的最值.
证明　设x1≠x2，则===x1+x2+2.
因此：当x1，x2∈(-∞，-1]时，
有x1+x2<-2，从而<0，
因此f(x)在(-∞，-1]上是减函数；
当x1，x2∈[-1，+∞)时，有x1+x2>-2，从而>0，因此f(x)在[-1，+∞)上是增函数.
由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当x∈(-∞，-1]时，有f(x)≥f(-1)，
当x∈[-1，+∞)时，不等式也成立，
因此f(-1)=-1是函数的最小值.
跟踪训练3　证明：f(x)=是定义域上的增函数.
证明　∵函数f(x)=的定义域为[0，+∞)，
∴任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，
则==
==>0，
∴函数f(x)=在定义域[0，+∞)上是增函数.
1.知识清单：
(1)直线的斜率.
(2)函数的平均变化率.
(3)函数单调性的充要条件.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题.
1.在函数平均变化率的定义中，Δx应满足(　　)
A.Δx>0 B.Δx<0
C.Δx≠0 D.Δx=0
答案　C
解析　由函数平均变化率的定义，知Δx≠0.
2.已知函数y=x2+4的图象上两点A，B，xA=1，xB=1.3，则直线AB的斜率为(　　)
A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1
答案　B
解析　∵yA=5，yB=5.69，
∴直线AB的斜率为===2.3.
3.如果函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a等于(　　)
A.-3 B.2 C.3 D.-2
答案　C
解析　根据函数平均变化率的定义，可知==a=3.
4.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为　　　.
答案　-1
解析　由函数平均变化率的定义可得，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为===-1.
课时对点练
[分值：85分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.对于函数y=当Δx=1时，Δy的值是(　　)
A.1 B.-1
C.0.1 D.不能确定
答案　D
解析　只由Δx=1不能确定区间的端点，Δy的值不能确定.
2.某物体的运动方程为s=5-2t2，则该物体在时间[1，1+d]上的平均速度的大小为(　　)
A.2d+4 B.-2d+4
C.2d-4 D.-2d-4
答案　D
解析　平均速度的大小为=-4-2d.
3.如果过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　)
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案　A
解析　由题意得=1且m≠-2，解得m=1.
4.已知函数f(x)=2x2-4的图象上两点A，B，且xA=1，xB=1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　)
A.4 B.4x C.4.2 D.4.02
答案　C
解析　===4.2.
5.若函数f(x)=x2-t在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于(　　)
A. B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　由题意得===m+1=3，∴m=2.
6.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1，-2)及附近一点(1+Δx，-2+Δy)，则等于(　　)
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
答案　 C
解析　∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-2=4Δx+2(Δx)2，∴=4+2Δx.
7.(5分)函数f(x)=-1在区间[2，3]上的平均变化率为　　　　.
答案　-
解析　函数f(x)=-1在区间上的平均变化率为==-.
8.(5分)已知曲线y=-1上两点AB当Δx=1时，直线AB的斜率为　　　　.
答案　-
解析　Δy=-1-=
所以=-所以当Δx=1时，直线AB的斜率为-.
9.(12分)证明：函数f(x)=+x是增函数.
证明　函数f(x)=+x的定义域为[0，+∞)，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，则===+1.
∵x1，x2∈[0，+∞)，∴>0.
∴函数f(x)=+x是增函数.
10.(12分)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？
解　在t0处，虽然W1(t0)=W2(t0)，
但>
即<
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂治污效果较好.
11.如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由函数f(x)的图象知，
f(x)=
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为==.
12.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的(　　)
答案　B
解析　由鱼缸的形状可知，水的体积v随着h的减小，先减小得越来越快，后减小得越来越慢.
13.(多选)已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率的情况是(　　)
A.在区间[1，2]上的平均变化率最小
B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D.在区间[4，7]上的平均变化率最大
答案　BC
解析　函数f(x)在区间上的平均变化率为由函数图象可得，在区间上<0，即函数f(x)在区间上的平均变化率小于0；在区间上>0且Δx相同，由图象可知函数在区间上的最大.
14.(5分)若函数f(x)=-x3+ax在(0，1)上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
答案　[3，+∞)
解析　任取x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，
则=
=
=
=
=a-(+x1x2+).
因为f(x)=-x3+ax在(0，1)上是增函数，
所以>0，即a>+x1x2+.
又x1，x2∈(0，1)，
所以+x1x2+<3，所以a≥3，
即实数a的取值范围是[3，+∞).3.1.2　函数的单调性
第1课时　函数单调性的定义与证明、函数的最值
学习目标　1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性.2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.
导语
同学们，大家有没有体验过过山车？风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和这刺激的游戏有关哦.
一、函数单调性的判断与证明
问题1　观察下面三个函数图象，他们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
问题2　如何理解函数图象是上升的？
提示　从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐增大，即当函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值也逐渐增大.
知识梳理　增函数与减函数的定义
增函数 减函数
条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且区间I D： 如果对任意x1，x2∈I，当x1都有f(x1)f(x2)
结论 y=f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)
图象
注意点：
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.
(2)同区间性，即x1，x2∈I.
(3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替.
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小.
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致(相反)，简称为“步调一致(相反)增(减)函数”.
(6)函数单调性的判断与证明：
①观察函数的图象判断；
②利用单调性的定义和不等式的证明方法.
例1　(课本例1)求证：函数f(x)=-2x在R上是减函数.
证明　任取x1，x2∈R且x10，
从而f(x1)>f(x2).
因此，函数f(x)=-2x在R上是减函数.
例1　证明函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数.
证明　任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=(x1-x2)+=.
因为1所以x1-x2<0，x1x2>1，x1x2-1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数.
延伸探究　若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性.
解　函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减.
理由如下：任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=(x1-x2)+=.
因为0所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减.
反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤
跟踪训练1　已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并加以证明.
解　(1)由x2-1≠0得x≠±1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}.
(2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.
证明如下：
x1，x2∈(1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=-
==.
因为x1，x2∈(1，+∞)，x10-1>0，x2+x1>0，x2-x1>0，
所以f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.
二、求函数的单调区间
问题3　“函数y=f(x)在I上单调递增”与“函数y=f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗？
提示　不同.“函数y=f(x)在I上单调递增”是指区间I为函数y=f(x)的一个单调递增区间，还可能存在其他单调递增区间；“函数y=f(x)的单调递增区间为I”是指除区间I外，函数y=f(x)不存在其他单调递增区间.
知识梳理
如果函数y=f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性(区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
注意点：
如果函数y=f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.
例2　设函数f(x)=画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间.
解　函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的定义域为[-4，+∞)，值域为(-∞，3]，单调递增区间为(-2，0)，单调递减区间为(-4，-2)和(0，+∞).
反思感悟　求函数单调区间的两种方法
(1)定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.
(2)图象法.即先画出函数图象，再根据图象的变化规律求单调区间.
跟踪训练2　作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间.
解　y=|x|(x-2)=
函数的图象如图中实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1).
三、函数单调性的应用
问题4　如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.
提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题5　你是怎样理解函数图象最高点的？
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
知识梳理　函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0) 都有f(x)≥f(x0)
结论 f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点 f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
角度1　利用函数的单调性比较大小
例3　已知函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，试比较f(a2-a+1)与f 的大小.
解　∵a2-a+1=+≥
∴与a2-a+1都是区间(0，+∞)上的值.
又f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，
∴f(a2-a+1)≥f .
反思感悟　利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
跟踪训练3　(1)定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则(　　)
A.f(3)B.f(1)C.f(2)D.f(3)答案　B
解析　对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号，则f(x)在R上是增函数.又3>2>1，则f(1)(2)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)答案　D
解析　当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a)f(a)，故B不正确；当a=0时，a2+a=a=0，所以f(a2+a)=f(a)，故C不正确；因为a2+1>a2，函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2+1)角度2　利用函数的单调性解不等式
例4　已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-2)解　∵函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，
∴
解得1≤x≤2，①
又∵f(x-2)∴x-2<1-x，即x<.②
由①②可得1≤x<
即x的取值范围为.
反思感悟　利用函数的单调性解不等式的注意点
利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)若f(x)在(a，b)上是增函数，则有
若f(x)在(a，b)上是减函数，则有
必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须转化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论.
跟踪训练4　函数f(x)是定义在R上的减函数，其图象过点(-3，2)和(1，-2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是　　　　.
答案　(-3，1)
解析　∵f(x)是定义在R上的减函数，f(-3)=2，f(1)=-2，∴当x>-3时，f(x)<2；当x<1时，f(x)>-2，故当-3角度3　利用单调性求最值
例5　(课本例2)判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值.
解　任取x1，x2∈[-1，6]且x1所以这个函数是增函数.
因此，当-1≤x≤6，有f(-1)≤f(x)≤f(6)，
从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23.
例5　已知函数f(x)=.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值.
(1)证明　设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>
f(x1)-f(x2)=-
=.由于x2>x1>
所以x2-x1>0，且(2x1-1)(2x2-1)>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=在区间上单调递减.
(2)解　由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f(x)=在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)=3，最小值为f(5)=.
延伸探究1　例5条件不变，若对 x∈[1，5]，m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围.
解　只需m大于等于f(x)在区间[1，5]上的最大值即可，由例5(2)可知，该最大值为3，
故实数m的取值范围为[3， +∞).
延伸探究2　例5条件不变，求函数f(x)在[1，+∞)上的最值.
解　由例5(1)知函数f(x)在[1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3，f(x)无最小值.
延伸探究3　已知函数g(x)=求函数g(x)在[1，+∞)上的最值.
解　g(x)===2+
由例5(1)可知，g(x)在[1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，g(x)有最大值g(1)=5，g(x)无最小值.
反思感悟　利用函数单调性求最值的方法
(1)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是定义域上的最大(小)值.
1.知识清单：
(1)函数单调性的判断与证明.
(2)函数的单调区间的求法.
(3)单调性的应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：函数的单调区间误用并集.
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其单调递增区间是(　　)
A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4]
C.[-3，1] D.[-3，4]
答案　C
解析　由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间是[-3，1].
2.函数f(x)=的最大值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　B
解析　当x≥1时，函数f(x)=单调递减，
此时f(x)在x=1处取得最大值，
最大值为f(1)=1；
当x<1时，函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2.
综上可得，f(x)的最大值为2.
3.函数y=(x+4)2的单调递减区间是(　　)
A.(-∞，-4) B.(-4，+∞)
C.(4，+∞) D.(-∞，4)
答案　A
解析　作出函数y=(x+4)2的图象，由图象知，y=(x+4)2的单调递减区间是(-∞，-4).
4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(a2-2)答案　(-2，1)
解析　由题意可得a2-2<-a，即a2+a-2<0，
解得-2课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A.函数在区间[-5，-3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[-5，5]上没有单调性
答案　C
解析　单调区间不能用“∪”连接.
2.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是(　　)
A.y=+2 B.y=3x-2
C.y=x2 D.y=1-x
答案　A
解析　选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确.
3.已知函数y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，则函数f(x)=bx+a在R上是(　　)
A.减函数且f(0)<0
B.增函数且f(0)<0
C.减函数且f(0)>0
D.增函数且f(0)>0
答案　A
解析　因为y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，所以a<0，b<0，所以f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0.
4.设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　)
A.4 B.6 C.10 D.24
答案　C
解析　因为f(x)==2+
所以f(x)在[3，4]上单调递减.
所以m=f(4)=4，M=f(3)=6.
所以M+m=6+4=10.
5.已知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，a，b∈R，且a+b≤0，则有(　　)
A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)
B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)
C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
答案　D
解析　由题意知a+b≤0，得到a≤-b，b≤-a.
∵f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，
∴f(a)≥f(-b)，f(b)≥f(-a)，
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
6.(多选)函数y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)-f(x2)<0
C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
D.>0
答案　AC
解析　因为y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0f(x2)，
f(x1)-f(x2)>0，A正确，B错误；
因为x1-x2<0，f(x1)-f(x2)>0，所以<0，
<0，C正确，D错误.
7.(5分)已知函数y=f(x)在定义域(-2，2)上为增函数，且f(2m)>f(-m+1)，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　
解析　由题意知
解得8.(5分)已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是　　　　，单调递增区间是　　　　.
答案　(-∞，1)　[1，+∞)
解析　因为当x≥1时，f(x)是增函数；当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是[1，+∞).
9.(10分)画出下列函数的图象，并写出它的单调区间.
(1)f(x)=|x+2|；(5分)
(2)f(x)=|x2-3x+2|.(5分)
解　(1)如图1，
f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-2).
(2)如图2，
f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，1)和.
10.(12分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数在区间(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(7分)
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值.(5分)
解　(1)f(x)在(-1，+∞)上为增函数，证明如下：
任取-1则f(x1)-f(x2)=-
=
因为-1所以x1+1>0，x2+1>0，x1-x2<0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数.
(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)==
最大值为f(4)==.
11.已知函数f(x)=是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]
答案　D
解析　依题意得，实数a满足
解得012.已知f(2-x)=f(x+2)，且f(x)在(0，2)上单调递减，则f(1)，f f 的大小顺序是(　　)
A.f B.f(1)C.f D.f 答案　A
解析　因为f(2-x)=f(x+2)，
所以f =f f =f
因为f(x)在(0，2)上单调递减，
所以f =f 13.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：对 x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0成立，且f(2)=4，则不等式>2的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　令g(x)=
因为对 x1，x2∈且x1≠x2，都有>0成立，
不妨设0所以g(x)在上单调递增，
又因为f(2)=4，所以g(2)==2，故>2可化为g(x)>g(2)，
所以由g(x)的单调性可得x>2，即不等式>2的解集为.
14.(5分)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为则实数m的值为　　　　.
答案　
解析　函数f(x)=即f(x)=2+
当m=2时，f(x)=2，不成立；
当m-2>0，即m>2时，f(x)在[0，1]上单调递减，可得f(0)为最大值，
即f(0)==解得m=成立；
当m-2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，可得f(1)为最大值，
即f(1)==解得m=3，不成立；
综上可得m=.
15.(5分)已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，其对称轴方程为x=1，
∴当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值为f(1)=-1，最大值为f(-1)=3，
则此时f(x)的取值范围为[-1，3].
∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1，2]上单调递增，
∴当x∈[-1，2]时，g(x)的最小值为g(-1)=-a+2，最大值为g(2)=2a+2，
此时g(x)的取值范围为[-a+2，2a+2].
∵对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，
∴解得016.(12分)已知函数f(x)满足：①定义域为(0，+∞)；②对于任意正数x，y，f =f(x)-f(y)；③当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；(2分)
(2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(4分)
(3)若f =1，解不等式f(x)+f >2.(6分)
解　(1)令x=y=1，
则f(1)=f(1)-f(1)=0.
(2)函数f(x)在(0，+∞)上为减函数.
理由如下：
任取x1，x2∈(0，+∞)，且x11，
∴f =f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(0，+∞)上为减函数.
(3)令x=y=则f =f -f
即f =f -f ∴f =2，
则不等式f(x)+f >2可化为f >f -f(x)=f
由(2)知，不等式等价于
解得∴不等式f(x)+f >2的解集为.(共87张PPT)
第1课时
函数单调性的定义与证明、函数的最值
第三章　 3.1.2　函数的单调性
<<<
1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性.
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.
3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.
学习目标
同学们，大家有没有体验过过山车？风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和这刺激的游戏有关哦.
导 语
一、函数单调性的判断与证明
二、求函数的单调区间
课时对点练
三、函数单调性的应用
随堂演练
内容索引
函数单调性的判断与证明
一
提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
观察下面三个函数图象，他们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
问题1
提示　从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐增大，即当函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值也逐渐增大.
如何理解函数图象是上升的？
问题2
增函数与减函数的定义
增函数 减函数
条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且区间I D： 如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)
结论 y=f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)
图象
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.
(2)同区间性，即x1，x2∈I.
(3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替.
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小.
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致(相反)，简称为“步调一致(相反)增(减)函数”.
(6)函数单调性的判断与证明：
①观察函数的图象判断；
②利用单调性的定义和不等式的证明方法.
注 意 点
<<<
(课本例1)求证：函数f(x)=-2x在R上是减函数.
例 1
任取x1，x2∈R且x10，
从而f(x1)>f(x2).
因此，函数f(x)=-2x在R上是减函数.
证明
证明函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数.
例 1
任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
因为1所以x1-x2<0，x1x2>1，x1x2-1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数.
证明
若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性.
延伸探究
函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减.
理由如下：任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
因为0所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减.
解
利用定义证明函数单调性的步骤
反
思
感
悟
已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域；
跟踪训练 1
由x2-1≠0得x≠±1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}.
解
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并加以证明.
函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.
证明如下：
x1，x2∈(1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=-==.
因为x1，x2∈(1，+∞)，x10-1>0，x2+x1>0，x2-x1>0，
所以f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.
解
二
求函数的单调区间
提示　不同.“函数y=f(x)在I上单调递增”是指区间I为函数y=f(x)的一个单调递增区间，还可能存在其他单调递增区间；“函数y=f(x)的单调递增区间为I”是指除区间I外，函数y=f(x)不存在其他单调递增区间.
“函数y=f(x)在I上单调递增”与“函数y=f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗？
问题3
如果函数y=f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有 (区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
单调性
如果函数y=f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.
注 意 点
<<<
设函数f(x)=画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间.
例 2
函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的定义域为[-4，+∞)，值域为(-∞，3]，单调递增区间为(-2，0)，单调递减区间为(-4，-2)和(0，+∞).
解
求函数单调区间的两种方法
(1)定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.
(2)图象法.即先画出函数图象，再根据图象的变化规律求单调区间.
反
思
感
悟
作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间.
跟踪训练 2
y=|x|(x-2)=
函数的图象如图中实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1).
解
函数单调性的应用
三
提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.
问题4
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
你是怎样理解函数图象最高点的？
问题5
函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f(x) f(x0) 都有f(x) f(x0)
结论 f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点 f(x)的最小值为f(x0)，而x0称
为f(x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为_____ 最大值点和最小值点统称为_______ ≤
≥
最值
最值点
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
注 意 点
<<<
已知函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，试比较f(a2-a+1)与f 的大小.
例 3
∵a2-a+1=+≥
∴与a2-a+1都是区间(0，+∞)上的值.
又f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，
∴f(a2-a+1)≥f .
解
角度1　利用函数的单调性比较大小
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
反
思
感
悟
(1)定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则
A.f(3)C.f(2)跟踪训练 3
对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号，则f(x)在R上是增函数.又3>2>1，则f(1)解析
√
(2)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)√
当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a)当0f(a)，故B不正确；
当a=0时，a2+a=a=0，所以f(a2+a)=f(a)，故C不正确；
因为a2+1>a2，函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2+1)解析
已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-2)例 4
角度2　利用函数的单调性解不等式
∵函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，
∴
解得1≤x≤2， ①
又∵f(x-2)∴x-2<1-x，即x<. ②
由①②可得1≤x<
即x的取值范围为.
解
利用函数的单调性解不等式的注意点
利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)若f(x)在(a，b)上是增函数，则有
若f(x)在(a，b)上是减函数，则有
必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须转化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论.
反
思
感
悟
函数f(x)是定义在R上的减函数，其图象过点(-3，2)和(1，-2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是　　　　.
跟踪训练 4
∵f(x)是定义在R上的减函数，f(-3)=2，f(1)=-2，∴当x>-3时，f(x)<2；当x<1时，f(x)>-2，故当-3解析
(-3，1)
(课本例2)判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值.
例 5
角度3　利用单调性求最值
任取x1，x2∈[-1，6]且x1所以这个函数是增函数.
因此，当-1≤x≤6，有f(-1)≤f(x)≤f(6)，
从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23.
解
已知函数f(x)=.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
例 5
设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>
f(x1)-f(x2)=-=.
由于x2>x1>
所以x2-x1>0，且(2x1-1)(2x2-1)>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=上单调递减.
证明
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值.
由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f(x)=在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)=3，最小值为f(5)=.
解
例5条件不变，若对 x∈[1，5]，m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围.
延伸探究 1
只需m大于等于f(x)在区间[1，5]上的最大值即可，由例5(2)可知，该最大值为3，
故实数m的取值范围为[3， +∞).
解
例5条件不变，求函数f(x)在[1，+∞)上的最值.
延伸探究 2
由例5(1)知函数f(x)在[1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3，f(x)无最小值.
解
已知函数g(x)=求函数g(x)在[1，+∞)上的最值.
延伸探究 3
g(x)===2+
由例5(1)可知，g(x)在[1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，g(x)有最大值g(1)=5，g(x)无最小值.
解
利用函数单调性求最值的方法
(1)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是定义域上的最大(小)值.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)函数单调性的判断与证明.
(2)函数的单调区间的求法.
(3)单调性的应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：函数的单调区间误用并集.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其单调递增区间是
A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4]
C.[-3，1] D.[-3，4]
√
由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间是[-3，1].
解析
1
2
3
4
2.函数f(x)=的最大值为
A.1 B.2 C. D.
√
当x≥1时，函数f(x)=单调递减，
此时f(x)在x=1处取得最大值，
最大值为f(1)=1；
当x<1时，函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2.
综上可得，f(x)的最大值为2.
解析
1
2
3
4
3.函数y=(x+4)2的单调递减区间是
A.(-∞，-4) B.(-4，+∞)
C.(4，+∞) D.(-∞，4)
√
作出函数y=(x+4)2的图象，由图象知，y=(x+4)2的单调递减区间是(-∞，-4).
解析
1
2
3
4
4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(a2-2)由题意可得a2-2<-a，即a2+a-2<0，
解得-2解析
(-2，1)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A C D AC
题号 8 11 12 13 14 15
答案 (-∞，1) [1，+∞) D A D
对一对
答案
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(1)如图1，
f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-2).
(2)如图2，
f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，1)和.
10.
答案
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(1)f(x)在(-1，+∞)上为增函数，证明如下：
任取-1则f(x1)-f(x2)=-=
因为-1所以x1+1>0，x2+1>0，x1-x2<0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)10.
答案
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(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)==
最大值为f(4)==.
16.
答案
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(1)令x=y=1，
则f(1)=f(1)-f(1)=0.
(2)函数f(x)在(0，+∞)上为减函数.
理由如下：
任取x1，x2∈(0，+∞)，且x11，
∴f =f(x2)-f(x1)<0，
即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0，+∞)上为减函数.
16.
答案
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(3)令x=y=
则f =f -f
即f =f -f
∴f =2，
则不等式f(x)+f >2可化为f >f -f(x)=f
16.
答案
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由(2)知，不等式等价于
解得∴不等式f(x)+f >2的解集为.
基础巩固
1.如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是
A.函数在区间[-5，-3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[-5，5]上没有单调性
√
单调区间不能用“∪”连接.
解析
答案
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2.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是
A.y=+2 B.y=3x-2
C.y=x2 D.y=1-x
√
答案
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选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确.
解析
3.已知函数y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，则函数f(x)=bx+a在R上是
A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0
C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0
√
因为y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，所以a<0，b<0，所以f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0.
解析
答案
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4.设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于
A.4 B.6 C.10 D.24
√
因为f(x)==2+
所以f(x)在[3，4]上单调递减.
所以m=f(4)=4，M=f(3)=6.
所以M+m=6+4=10.
解析
答案
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5.已知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，a，b∈R，且a+b≤0，则有
A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)
B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)
C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
√
答案
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由题意知a+b≤0，得到a≤-b，b≤-a.
∵f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，
∴f(a)≥f(-b)，f(b)≥f(-a)，
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
解析
6.(多选)函数y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)-f(x2)<0
C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
D.>0
√
√
答案
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因为y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0f(x2)，
f(x1)-f(x2)>0，A正确，B错误；
因为x1-x2<0，f(x1)-f(x2)>0，所以<0，
<0，C正确，D错误.
解析
7.已知函数y=f(x)在定义域(-2，2)上为增函数，且f(2m)>f(-m+1)，则实数
m的取值范围是　　　 　.
由题意知
解得解析
答案
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8.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是　　　　，单调递增区间是　　　　 .
因为当x≥1时，f(x)是增函数；当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是[1，+∞).
解析
答案
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(-∞，1)
[1，+∞)
9.画出下列函数的图象，并写出它的单调区间.
(1)f(x)=|x+2|；
答案
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如图1，
f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-2).
解
(2)f(x)=|x2-3x+2|.
答案
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如图2，
f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，1)和.
解
10.已知函数f(x)=.
(1)判断函数在区间(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
f(x)在(-1，+∞)上为增函数，证明如下：
任取-1因为-1所以x1+1>0，x2+1>0，x1-x2<0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数.
解
答案
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(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值.
由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)==
最大值为f(4)==.
解
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11.已知函数f(x)=是R上的减函数，则实数a的取值范围是
A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]
√
综合运用
答案
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依题意得，实数a满足
解得0解析
12.已知f(2-x)=f(x+2)，且f(x)在(0，2)上单调递减，则f(1)，f f 的大小顺序是
A.f C.f √
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因为f(2-x)=f(x+2)，
所以f =f f =f
因为f(x)在(0，2)上单调递减，
所以f =f 解析
13.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：对 x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0成立，且f(2)=4，则不等式>2的解集为
A. B.
C. D.
答案
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令g(x)=
因为对 x1，x2∈且x1≠x2，都有>0成立，
不妨设0即g(x1)所以g(x)在上单调递增，
又因为f(2)=4，所以g(2)==2，故>2可化为g(x)>g(2)，
所以由g(x)的单调性可得x>2，即不等式>2的解集为.
解析
14.已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为则实数m的值为　　.
答案
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函数f(x)=即f(x)=2+当m=2时，f(x)=2，不成立；
当m-2>0，即m>2时，f(x)在[0，1]上单调递减，可得f(0)为最大值，
即f(0)==解得m=成立；
当m-2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，可得f(1)为最大值，
即f(1)==解得m=3，不成立；综上可得m=.
解析
15.已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对任意的x1∈[-1，2]，都存在
x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是　　　　.
拓广探究
答案
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∵函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，其对称轴方程为x=1，
∴当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值为f(1)=-1，最大值为f(-1)=3，
则此时f(x)的取值范围为[-1，3].
∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1，2]上单调递增，
∴当x∈[-1，2]时，g(x)的最小值为g(-1)=-a+2，最大值为g(2)=2a+2，
此时g(x)的取值范围为[-a+2，2a+2].
解析
答案
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∵对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，
∴解得0解析
16.已知函数f(x)满足：①定义域为(0，+∞)；②对于任意正数x，y，
f =f(x)-f(y)；③当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
答案
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令x=y=1，
则f(1)=f(1)-f(1)=0.
解
(2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；
答案
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函数f(x)在(0，+∞)上为减函数.
理由如下：
任取x1，x2∈(0，+∞)，且x11，
∴f =f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(0，+∞)上为减函数.
解
(3)若f =1，解不等式f(x)+f >2.
答案
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令x=y=则f =f -f
即f =f -f ∴f =2，
则不等式f(x)+f >2可化为f >f -f(x)=f
由(2)知，不等式等价于解得∴不等式f(x)+f >2的解集为.
解
第三章　 3.1.2　函数的单调性
<<<(共61张PPT)
第2课时
函数的平均变化率
第三章　 3.1.2　函数的单调性
<<<
1.了解直线的斜率及意义.
2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系.
3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.
学习目标
从形的角度理解函数单调性，限制条件的对象是图象上的任意两点.我们知道，两点确定一条直线.那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？带着这样的疑问，开始我们今天的学习.
导 语
一、直线的斜率公式及应用
二、平均变化率的计算
课时对点练
三、利用平均变化率证明函数的单调性
随堂演练
内容索引
直线的斜率公式及应用
一
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的 ；当x1=x2时，称直线AB的 .
若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为____.
斜率
斜率不存在
(1)直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.
(2)当直线垂直于x轴时，其斜率不存在；当直线垂直于y轴时，其斜率为0.
(3)当点A与点B位置调换时，斜率不变.
注 意 点
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已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1？
例 1
因为直线l的斜率是1，所以=1，
即=1，解得m=.
解
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
(2)斜率公式与两点A，B的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
反
思
感
悟
已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，求实数a的值.
跟踪训练 1
∵A，B，C三点共线，且3≠-2，
∴BC，AB的斜率都存在，记BC的斜率为Δy1，AB的斜率为Δy2，则Δy1=Δy2.
Δy2==Δy1==
∴=解得a=2或a=.
解
二
平均变化率的计算
一般地，当x1≠x2时，称=为函数y=f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率.
(1)平均变化率可正可负，也可为零.
(2)平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图象上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率.
(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.
注 意 点
<<<
已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率；
例 2
由已知得Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx)，
∴==4x0+2Δx.
解
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
由(1)可知=4x0+2Δx，
∴当x0=2，Δx=0.01时=4×2+2×0.01=8.02.
解
(3)求当x0=1，Δx=时平均变化率的值.
由(1)可知=4x0+2Δx，
∴当x0=1，Δx=时=4×1+2×=5.
解
求平均变化率的主要步骤
反
思
感
悟
一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1+at)cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率.
跟踪训练 2
设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为ΔS=102[1+a(t+Δt)]2
-102(1+at)2=200(a+a2t)Δt+100a2(Δt)2，
所以平均膨胀率为=200(a+a2t)+100a2Δt.
解
利用平均变化率证明函数的单调性
三
提示　在[6，17]上一定大于零；在[2，10]上不一定大于零，但在[2，6]上一定小于零，在[6，10]上一定大于零.
函数y=f(x)的图象如图，如果在区间[6，17]对应的曲线上任取不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)=一定大于零吗？
如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同的两点C(x3，y3)，D(x4，y4)=一定大于零吗？
问题1
提示　该函数在[6，17]上单调递增；在[2，10]上不单调，其中在[2，6]上单调递减，在[6，10]上单调递增.
该函数在[6，17]及[2，10]上的单调性是怎样的呢？
问题2
函数递增、递减的充要条件
一般地，若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)=则：
(1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是 0在区间I上恒成立；
(2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是 0在区间I上恒成立.
>
<
(课本例3)求证：函数y=在区间(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数.
例 3
设x1≠x2，那么==-.
如果x1，x2∈(-∞，0)，则x1x2>0，此时<0，所以函数在(-∞，0)上是减函数.同理，函数在(0，+∞)上也是减函数.
证明
证明函数f(x)=(x>0)在(0，1]上是增函数，在[1，+∞)上是减函数，并求这个函数的最值.
例 3
设x1≠x2，
则===.
当x1，x2∈(0，1]时，有1-x1x2>0，
从而>0，
因此f(x)在(0，1]上是增函数.
当x1，x2∈[1，+∞)时，有1-x1x2<0，从而<0，
因此f(x)在[1，+∞)上是减函数.
解
由函数的单调性可知，函数没有最小值；
当x∈(0，1]时，f(x)≤f(1)，当x∈[1，+∞)时，f(x)≤f(1).
因此f(1)=是函数的最大值.
解
(1)利用平均变化率判断或证明函数的单调性的4个步骤
①取值：任取x1，x2∈I，且x1≠x2.
②计算：求Δy=f(x2)-f(x1)，Δx=x2-x1.
③判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性.
④下结论：若>0，则f(x)在区间I上是增函数；若<0，则f(x)在区间I上是减函数.
反
思
感
悟
(2)单调函数的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②f(x)与a·f(x)，当a>0时具有相同的单调性；当a<0时具有相反的单调性.
③当f(x)≥0时，y=与y=f(x)具有相同的单调性.
④当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与具有相反的单调性.
反
思
感
悟
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
反
思
感
悟
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
(课本例5)证明函数f(x)=x2+2x在(-∞，-1]上是减函数，在
[-1，+∞)上是增函数，并求这个函数的最值.
跟踪训练 3
设x1≠x2，则===x1+x2+2.
因此：当x1，x2∈(-∞，-1]时，有x1+x2<-2，从而<0，
因此f(x)在(-∞，-1]上是减函数；
当x1，x2∈[-1，+∞)时，有x1+x2>-2，从而>0，因此f(x)在[-1，+∞)上是增函数.
由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当x∈(-∞，-1]时，有f(x)≥f(-1)，
当x∈[-1，+∞)时，不等式也成立，因此f(-1)=-1是函数的最小值.
证明
证明：f(x)=是定义域上的增函数.
跟踪训练 3
∵函数f(x)=的定义域为[0，+∞)，
∴任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，
则====>0，
∴函数f(x)=在定义域[0，+∞)上是增函数.
证明
1.知识清单：
(1)直线的斜率.
(2)函数的平均变化率.
(3)函数单调性的充要条件.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在函数平均变化率的定义中，Δx应满足
A.Δx>0 B.Δx<0
C.Δx≠0 D.Δx=0
√
由函数平均变化率的定义，知Δx≠0.
解析
1
2
3
4
2.已知函数y=x2+4的图象上两点A，B，xA=1，xB=1.3，则直线AB的斜率为
A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1
√
∵yA=5，yB=5.69，
∴直线AB的斜率为===2.3.
解析
1
2
3
4
3.如果函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a等于
A.-3 B.2 C.3 D.-2
√
根据函数平均变化率的定义，可知==a=3.
解析
1
2
3
4
4.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为　　　.
由函数平均变化率的定义可得，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为===-1.
解析
-1
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C B C - -
题号 11 12 13 　14 答案 C B BC [3，+∞)
对一对
答案
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9.
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函数f(x)=+x的定义域为[0，+∞)，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，则===+1.
∵x1，x2∈[0，+∞)，∴>0.
∴函数f(x)=+x是增函数.
10.
答案
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在t0处，虽然W1(t0)=W2(t0)，
但>
即<
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂治污效果较好.
基础巩固
1.对于函数y=当Δx=1时，Δy的值是
A.1 B.-1
C.0.1 D.不能确定
√
只由Δx=1不能确定区间的端点，Δy的值不能确定.
解析
答案
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14
2.某物体的运动方程为s=5-2t2，则该物体在时间[1，1+d]上的平均速度的大小为
A.2d+4 B.-2d+4
C.2d-4 D.-2d-4
√
答案
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平均速度的大小为=-4-2d.
解析
3.如果过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
√
由题意得=1且m≠-2，解得m=1.
解析
答案
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4.已知函数f(x)=2x2-4的图象上两点A，B，且xA=1，xB=1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
A.4 B.4x C.4.2 D.4.02
√
===4.2.
解析
答案
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5.若函数f(x)=x2-t在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于
A. B.2 C.3 D.4
√
答案
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14
由题意得===m+1=3，∴m=2.
解析
6.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1，-2)及附近一点(1+Δx，-2+Δy)，则等于
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
√
答案
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∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-2=4Δx+2(Δx)2，∴=4+2Δx.
解析
7.函数f(x)=-1在区间[2，3]上的平均变化率为　　　.
函数f(x)=-1在区间==-.
解析
答案
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-
8.已知曲线y=-1上两点AB当Δx=1时，
直线AB的斜率为　　　.
Δy=-1-=
所以=-所以当Δx=1时，直线AB的斜率为-.
解析
答案
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-
9.证明：函数f(x)=+x是增函数.
函数f(x)=+x的定义域为[0，+∞)，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，则===+1.
∵x1，x2∈[0，+∞)，∴>0.
∴函数f(x)=+x是增函数.
证明
答案
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10.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？
答案
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在t0处，虽然W1(t0)=W2(t0)，
但>
即<
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂治污效果较好.
解
11.如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为
A. B.
C. D.
√
综合运用
答案
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答案
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由函数f(x)的图象知，
f(x)=
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为==.
解析
12.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的
答案
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√
答案
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由鱼缸的形状可知，水的体积v随着h的减小，先减小得越来越快，后减小得越来越慢.
解析
13.(多选)已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率的情况是
A.在区间[1，2]上的平均变化率最小
B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D.在区间[4，7]上的平均变化率最大
答案
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√
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函数f(x)在区间上的平均变化率为由函数图象可得，在区间上<0，即函数f(x)在区间上的平均变化率小于0；在区间上>0且Δx相同，由图象可知函数在区间最大.
解析
14.若函数f(x)=-x3+ax在(0，1)上是增函数，则实数a的取值范围是　　 　.
答案
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[3，+∞)
任取x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，
则===
==a-(+x1x2+).
因为f(x)=-x3+ax在(0，1)上是增函数，所以>0，即a>+x1x2+.
又x1，x2∈(0，1)，所以+x1x2+<3，所以a≥3，
即实数a的取值范围是[3，+∞).
解析
第三章　 3.1.2　函数的单调性
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