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第2课时
函数的表示方法
第三章　 3.1.1　函数及其表示方法
<<<
1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数.
2.掌握求函数解析式的常用方法.
3.会作函数的图象并从图象上获取有用信息.
学习目标
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于呈现出来的不同函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧.
导 语
一、函数的三种表示方法
二、函数的解析式的求法
课时对点练
三、函数图象的作法及应用
随堂演练
内容索引
函数的三种表示方法
一
提示　解析法，列表法，图象法.
结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？
问题
函数的表示方法
函数三种表示方法的优缺点
注 意 点
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某商场新进了10台笔记本电脑，每台售价5 000元，试求售出台数x(单位：台，x为正整数)与销售总金额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
例 1
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000
(1)列表法：
解
(2)图象法：如图所示.
(3)解析法：y=5 000x(x∈{1，2，3，…，10}).
应用函数三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域.
(2)列表法必须罗列出部分(或全部)自变量与函数值的对应关系.
(3)图象法要注意图象是连续的曲线，还是离散的点.
反
思
感
悟
已知完成某项任务的时间t与参加此项任务的人数x之间适合关系式t(x)=x+且参加此项任务的人数不能超过20.
(1)用列表法表示此函数；
跟踪训练 1
x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下：
解
注：表中的部分数据是近似值.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
(2)画出函数t(x)的图象.
函数t(x)的图象是由20个点组成的，如图所示.
解
二
函数的解析式的求法
(课本例7)已知二次函数的图象过点(-1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式.
例 2
设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则
由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.
解
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))+2f(x)=-x-2，求f(x)的解析式；
例 2
(待定系数法)
设f(x)=kx+b(k≠0)，
由f(f(x))+2f(x)=-x-2，得
k(kx+b)+b+2(kx+b)=-x-2，
即(k2+2k)x+kb+3b=-x-2，
∴解得
∴f(x)=-x-1.
解
(2)已知f(+1)=x+2求f(x)的解析式；
方法一　(配凑法)
∵f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1)，
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二　(换元法)
令+1=t(t≥1)，则x=(t-1)2(t≥1)，
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1).
∴f(x)=x2-1(x≥1).
解
(3)已知f(x)+2f =x(x≠0)，求f(x)的解析式；
由题意知，f(x)+2f =x(x≠0)，
用x代替得f+2f(x)=(x≠0).
于是得到关于f(x)与f
解得f(x)=-(x≠0).
解
(4)已知f(x)是R上的函数，f(0)=1，并且对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+y(4x+2y+1)，求f(x)的解析式；
(赋值法)
由已知条件f(0)=1，f(x+y)=f(x)+y(4x+2y+1).
令y=-x，得f(x-x)=f(x)+(-x)(2x+1)，
∴f(x)=2x2+x+1.
解
(5)已知2f(x-1)-f(1-x)=2x2-1，求f(x)的解析式.
(解方程组法)
令x-1=t，
则1-x=-t，x=t+1.
∴2f(t)-f(-t)=2(t+1)2-1， ①
用t代替-t得2f(-t)-f(t)=2(-t+1)2-1， ②
由①②解得f(t)=2t2+t+1.
即函数f(x)的解析式为f(x)=2x2+x+1.
解
求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)=t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x).
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
反
思
感
悟
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式.
(4)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值.
反
思
感
悟
(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x+2，
求f(x)；
跟踪训练 2
(待定系数法)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1，∴c=1.
又∵f(x+1)-f(x)=2x+2，
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x+2，整理，得2ax+(a+b)=2x+2.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴∴f(x)=x2+x+1.
解
(2)已知f(+4)=x+8求f(x2).
方法一　(配凑法)
∵f(+4)=()2+8=(+4)2-16，∴f(x)=x2-16(x≥4).
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2).
方法二　(换元法)
令+4=t(t≥4)，则x=(t-4)2(t≥4).
∴f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4)，
即f(x)=x2-16(x≥4).
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2).
解
函数图象的作法及应用
三
一般地，将函数y=f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为 ，即F= .
函数的图象
{(x，y)|y=f(x)，x∈A}
(1)如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)；反之，满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上.
(2)实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法.
注 意 点
<<<
作出下列函数的图象并求出其值域：
(1)y=2x+1，x∈[0，2]；
例 3
当x∈[0，2]时，图象是直线y=2x+1的一部分，如图1，观察图象可知，其值域为[1，5].
解
(2)y=x∈[2，+∞)；
当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函数y=的图象的一部分，如图2，观察图象可知，其值域为(0，1].
解
图2
(3)y=x2+2x，x∈[-2，2].
当-2≤x≤2时，图象是抛物线y=x2+2x的一部分，如图3，
观察图象可知，其值域为[-1，8].
解
图3
函数y=f(x)图象的画法
(1)若y=f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根据定义域进行取舍.
(2)若y=f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：
①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象.
反
思
感
悟
作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=x+2，|x|≤3；
跟踪训练 3
因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1).
观察图象可知，其值域为[-1，5].
解
(2)y=x2-2，x∈Z且|x|≤2.
因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2).
观察图象可知，其值域为{-2，-1，2}.
解
1.知识清单：
(1)函数的三种表示方法.
(2)函数解析式的求法.
(3)函数图象的画法和应用.
2.方法归纳：配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法.
3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若f(x)=3x-4，g(x-1)=f(x)，则g(x)等于
A.3x-3 B.3x-5
C.3x-1 D.3x+4
√
∵g(x-1)=3x-4=3(x-1)-1，
∴g(x)=3x-1.
解析
1
2
3
4
2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为　　　；当g(f(x))=2时，x=　　　.
1
1
由给出函数关系的表格，知g(1)=3，∴f(g(1))=f(3)=1.
由于g(2)=2，∴f(x)=2，∴x=1.
解析
1
2
3
4
3.已知函数f(x)是一次函数，且其图象过A(-2，0)，B(1，5)两点，则f(x)的
解析式为　　　　　　.
设f(x)=kx+b(k≠0)，则
解得所以f(x)的解析式为f(x)=x+.
解析
f(x)=x+
1
2
3
4
4.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是　　　　 ，值域是　　　　.
[-1，0)∪(0，2]
[-1，1)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B B AC BD y=x+12(x≥0)　6
题号 8 11 12 13 14 　15
答案 -1 C A BD f(x)=x+1 　15
对一对
答案
1
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9.
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(1)反比例函数y=的图象如图1所示，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(-∞，0)∪(0，+∞).
图1
9.
答案
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(2)一次函数y=-4x+5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.
图2
9.
答案
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二次函数y=x2-6x+7的图象如图3所示，定义域为R，
值域为[-2，+∞).
图3
10.
答案
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(1)设t=+2，
则t≥2=t-2，即x=(t-2)2，
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4，
所以f(x)=x2-4(x≥2).
10.
答案
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(2)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1，得c=1.
由f(x+1)=f(x)+2x，
得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x，
整理得(2a-2)x+(a+b)=0，
所以解得
所以f(x)=x2-x+1.
10.
答案
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(3)因为f(x)+2f(-x)=x2-x， ①
所以f(-x)+2f(x)=x2+x， ②
②×2-①，得3f(x)=x2+3x，所以f(x)=+x.
16.
答案
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(1)由“二次T函数”的定义，令f(x)=x2，得x6=x2，
即x2=0，
解得x=0或x=±1，
所以函数f(x)=x6为“二次T函数”.
16.
答案
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(2)①由4f+f(x)f=16xy，
令x=y=
得4f(1)+f ×f =4，
因为f =-2，所以f(1)=0.
16.
答案
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②令y=1，得4f+f(x)f(1)=16x，
即f=4x=4
所以f(x)=4x-4.
由二次T函数的定义，令f(x)=x2，得(x-2)2=0，解得x=2，
故函数f(x)不是“二次T函数”.
基础巩固
1.已知购买某种饮料x瓶所需y元.若每瓶2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为
A.y=2x
B.y=2x(x∈R)
C.y=2x(x∈{1，2，3，…})
D.y=2x(x∈{1，2，3，4})
√
由题意得y=2x，x∈{1，2，3，4}.
解析
答案
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2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是
√
答案
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x 0y 2 3 4 5
A.[2，5] B.{2，3，4，5}
C.(0，20] D.N+
由表格可知，y的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}.
解析
3.已知函数y=f(x)的对应关系如右表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为
A.3 B.2
C.1 D.0
√
由函数g(x)的图象知，g(2)=1，则f(g(2))=f(1)=2.
解析
答案
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x 1 2 3
f(x) 2 3 0
4.已知f =则函数f(x)的解析式是
A.f(x)=(x≠-1) B.f(x)=(x≠-1且x≠0)
C.f(x)= D.f(x)=1+x
√
由题知x≠0且x≠-1，令t=则x=(t≠0且t≠-1)，
∴f==(t≠-1且t≠0)，
∴f(x)=(x≠-1且x≠0).
解析
答案
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5.(多选)若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为
A. B.
C.(-1，2) D.(-2，1)
√
答案
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√
答案
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设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得所以此函数的解析式为y=2x+4，故A，C选项的坐标符合此函数的解析式.
解析
6.(多选)已知f(2x+1)=4x2，则下列结论正确的是
A.f(3)=36 B.f(-3)=16
C.f(x)=4x2 D.f(x)=x2-2x+1
√
√
答案
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当2x+1=3时，x=1，因此f(3)=4×12=4，所以A不正确；
当2x+1=-3时，x=-2，因此f(-3)=4×(-2)2=16，所以B正确；
令t=2x+1，则x=因此f(t)=4×=t2-2t+1，即f(x)=x2-2x+1，所以C不正确，D正确.
解析
7.一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比.如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(单
位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的函数解析式为　　　 　；若弹簧的总长度为15 cm，则悬挂物体的质量是　　kg.(注：假设弹簧始终在弹性限度内)
设所求函数解析式为y=kx+12(k≠0)，把x=3，y=13.5代入，得13.5=3k+
12，解得k=所以所求函数解析式为y=x+12(x≥0).
当y=15时，即x+12=15，解得x=6.
解析
答案
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y=x+12(x≥0)
6
8.设f(x)=2x+a，g(x)=(x2+3)，且g(f(x))=x2-x+1，则a的值为　　　.
因为g(x)=(x2+3)，f(x)=2x+a，
所以g(f(x))=(2x+a)2+3]=(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1，解得a=-1.
解析
答案
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-1
9.画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域：
(1)y=；
答案
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反比例函数y=的图象如图1所示，
定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
值域为(-∞，0)∪(0，+∞).
解
图1
(2)y=-4x+5；
答案
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一次函数y=-4x+5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.
解
图2
(3)y=x2-6x+7.
答案
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二次函数y=x2-6x+7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[-2，+∞).
解
图3
10.(1)已知f(+2)=x+4求函数f(x)的解析式；
答案
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设t=+2，则t≥2=t-2，即x=(t-2)2，
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4，
所以f(x)=x2-4(x≥2).
解
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)=f(x)+2x，求函数f(x)的解析式；
答案
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因为f(x)是二次函数，所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1，得c=1.
由f(x+1)=f(x)+2x，得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x，
整理得(2a-2)x+(a+b)=0，
所以所以f(x)=x2-x+1.
解
(3)已知f(x)+2f(-x)=x2-x，求函数f(x)的解析式.
答案
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15
16
因为f(x)+2f(-x)=x2-x， ①
所以f(-x)+2f(x)=x2+x， ②
②×2-①，得3f(x)=x2+3x，所以f(x)=+x.
解
11.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
综合运用
答案
1
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3
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16
√
距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
解析
12.已知函数f(x)如表所示，
答案
1
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x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
则不等式f(f(x))≥0的解集为
A.{1，2，0} B.{-1，-2，0}
C.{1，2} D.{-1，-2}
√
答案
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由f(f(x))≥0可得，f(x)=-2或f(x)=-1或f(x)=0，解得x=2或x=1或x=0，所以不等式f(f(x))≥0的解集为{1，2，0}.
解析
13.(多选)已知函数f(x)=g(x)+h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)=2，h(1)=-3，则下列说法正确的是
A.f(x)=2x2+
B.函数f(x)的定义域为(0，+∞)
C.f(4)=
D.f =-3
答案
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√
√
答案
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16
对于A，设g(x)=k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)=(k2∈R，且k2≠0)，
由于g(1)=2，h(1)=-3，所以k1=2，k2=-3.
所以f(x)=2x2-故A错误；
对于B，函数f(x)的定义域是(0，+∞)，故B正确；
对于C，f(4)=2×42-=故C错误；
对于D，因为f(x)=2x2-所以f =-3故D正确.
解析
14.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)的解析式为　　　　　.
答案
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f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，f(0)=1，当x=0时，f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2，
当y=0时，f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2，因此f(x)=x+1.
解析
f(x)=x+1
15.已知函数f(x)=则f+f +f +…+f = 　　 .
拓广探究
答案
1
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15
因为f(x)=
所以f(x)+f(1-x)=+=3，
所以f +f +f +…+f =5×3=15.
解析
16.若至少存在两个不同的x0满足f(x0)=则称函数f(x)为“二次T函数”.
(1)试问函数f(x)=x6是否为“二次T函数”？说明你的理由.
答案
1
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16
由“二次T函数”的定义，令f(x)=x2，得x6=x2，
即x2=0，解得x=0或x=±1，
所以函数f(x)=x6为“二次T函数”.
解
(2)若函数f(x)的定义域为R，f =-2，且4f(x+y)+f(x)f(y)=16xy.
①求f(1)的值；
答案
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15
16
由4f+f(x)f=16xy，
令x=y=得4f(1)+f ×f =4，
因为f =-2，所以f(1)=0.
解
②证明：f(x)不是“二次T函数”.
答案
1
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16
令y=1，得4f+f(x)f(1)=16x，
即f=4x=4所以f(x)=4x-4.
由二次T函数的定义，令f(x)=x2，得(x-2)2=0，解得x=2，
故函数f(x)不是“二次T函数”.
证明
第三章　 3.1.1　函数及其表示方法
<<<(共92张PPT)
第1课时
函数的概念
第三章　 3.1.1　函数及其表示方法
<<<
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.
学习目标
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与y=是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念.
导 语
一、函数关系的判断
二、函数的定义域、函数值和值域
课时对点练
三、同一个函数的判定
随堂演练
内容索引
函数关系的判断
一
提示　在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.
你还记得初中所学函数的概念吗？
问题1
提示　是.s与t的关系可以表示为s=350t，此时t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1={s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应.
下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？
(1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？
问题2
提示　略.
(2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
问题2
提示　略.
(3)国际上常用恩格尔系数r反映一个地
区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
问题2
年份y 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.89 29.35 28.57
提示　共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；
(2)都有一个对应关系；
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
上述例子中的函数有哪些共同特征？
问题3
函数的有关概念
函数的定义 一般地，给定两个非空 A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的 ，在集合B中都有_______
___的实数y与x对应，则称 为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 ，x∈A
定义域 x称为自变量，y称为因变量，自变量 (即数集A)称为这个函数的定义域
值域 所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域
实数集
每一个实数x
唯一确
定
y=f(x)
f
取值的范围
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积.
(4)f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
(5)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
注 意 点
<<<
(1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是
A.A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数的平方
B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数的开方
C.A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数
D.A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，f：A中的数的2倍
√
例 1
√
A选项，(-1)2=1，02=0，12=1，
为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
B选项，±=0，±=±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.
C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.
D选项，1×2=2，2×2=4，3×2=6，4×2=8，
为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
解析
(2)下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是
√
由函数定义可知，任意作一条直线x=a，与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象能表示y=f(x)的图象.
解析
(1)判断对应关系是否为函数的两个条件
①A，B必须是非空实数集.
②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数.
反
思
感
悟
　(1)下列对应关系中是定义在集合A上的一个函数的是
A.A R，B R，x2+y2=1
B.A={-1，0，1}，B={1，2}，y=|x|+1
C.A=R，B=R，y=
D.A=Z，B=Z，y=
跟踪训练 1
√
对于A，x2+y2=1可化为y=±显然对任意x∈A(x=±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；
对于B，符合函数的定义；对于C，2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；
对于D，-1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义.
解析
(2)判断下列对应关系是否为函数：
①x→x≠0，x∈R；
是函数.因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应.
解析
②x→y，其中|y|=x，x∈R，y∈R.
不是函数.当x=1时，y=±1，即存在非零实数x，对应两个y的值，不符合函数的概念.
解析
二
函数的定义域、函数值和值域
提示　一次函数、二次函数和反比例函数.
初中我们学习过哪些函数？
问题4
提示　一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0)；二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是对应关系实际上就是f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)=(k≠0).
你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
问题5
(课本例1)求下列函数的定义域：
(1)f(x)=；
例 2
角度1　求具体函数的定义域
因为函数有意义当且仅当
解得x>-1，所以函数的定义域为(-1，+∞).
解
(2)g(x)=+.
因为函数有意义当且仅当
解得x≠0且x≠-2，因此函数的定义域为(-∞，-2)∪(-2，0)∪(0，+∞).
解
求下列函数的定义域：
(1)f(x)=；
例 2
当且仅当x-2≠0，即x≠2时，函数f(x)=有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
解
(2)f(x)=(x-1)0+；
函数有意义，当且仅当解得x>-1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>-1，且x≠1}.
解
(3)f(x)=·；
函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
解
(4)f(x)=-.
要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠
-1，所以这个函数的定义域为{x|x≤1，且x≠-1}.
解
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于等于零.
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义.
反
思
感
悟
　设全集为R，函数f(x)=的定义域为M，则 RM等于
A.{x|x≥2或x=-1}
B.{x|x<2且x≠-1}
C.{x|x≥2}
D.{x|x>2或x=-1}
跟踪训练 2
√
(1)已知函数f(x)的定义域为[-1，1]，求函数f(2x-1)的定义域.
例 3
∵函数f(x)的定义域为[-1，1]，
∴函数f(2x-1)中自变量x的取值应满足-1≤2x-1≤1，即0≤x≤1.
∴函数f(2x-1)的定义域为[0，1].
解
角度2　求抽象函数的定义域
(2)已知函数f(x-1)的定义域为(1，4]，求函数f(x)的定义域.
∵函数f(x-1)的定义域为(1，4]，
即x∈(1，4]，∴0则函数f(t)的定义域为(0，3]，
即函数f(x)的定义域为(0，3].
解
若函数f(x-1)的定义域为(-1，1)，如何求函数f(2x-1)的定义域？
延伸探究
∵函数f(x-1)的定义域为(-1，1)，
∴-1∴函数f(t)的定义域为(-2，0)，
即函数f(x)的定义域为(-2，0).
∴由-2<2x-1<0，得-∴函数f(2x-1)的定义域为.
解
抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x) ≤b解出.
(2)若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的取值范围.
(3)函数f(x)，f(g(x))的定义域指的都是x的范围.
反
思
感
悟
设函数f(x)=则f +f 的定义域为
A. B.[2，4] C.[1，+∞) D.
跟踪训练 3
因为函数f(x)=的定义域为[1，+∞)，
所以解得2≤x≤4.
故f +f 的定义域为[2，4].
解析
√
已知函数f(x)=g(x)=3x2+1.
(1)求f(1)，g(1)的值；
例 4
f(1)==g(1)=3×12+1=4.
解
角度3　求函数值
(2)求f(g(1))的值；
f(g(1))=f(4)==.
解
(3)若a≠-1，求f(a-1)，g(a+1)，f(g(a+1)).
f(a-1)==
g(a+1)=3(a+1)2+1=3a2+6a+4，
f(g(a+1))=f(3a2+6a+4)=.
解
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x，即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
反
思
感
悟
求下列函数的值域：
(1)y=2x，x∈{1，2，3，4}；
例 5
当x=1时，y=2；当x=2时，y=4；当x=3时，y=6；当x=4时，y=8.
所以函数y=2x，x∈{1，2，3，4}的值域为{2，4，6，8}.
解
角度4　求值域
(2)y=2+3；
因为≥0，所以2≥0，所以2+3≥3.
故y=2+3的值域为[3，+∞).
解
(3)y=；
借助反比例函数的特征.
y===3-(x≠-1)，显然≠0，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
解
(4)y=x+；
设u=(x≥0)，则x=u2(u≥0)，
则y=u2+u=-(u≥0).
由u≥0，可知≥
所以y≥0.
所以函数y=x+的值域为[0，+∞).
解
(5)y=x2-4x+6(1≤x≤5).
y=x2-4x+6=(x-2)2+2，
由1≤x≤5，结合函数图象知y=x2-4x+6(1≤x≤5)的值域为[2，11].
解
求函数值域常用的四种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法.
反
思
感
悟
同一个函数的判定
三
提示　定义域、对应关系和值域.
构成函数的要素有哪些？
问题6
提示　有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定.
结合函数的定义，如何才能确定一个函数？
问题7
如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
定义域
对应关系
(1)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同，故判断两个函数是否为同一函数时，只需判断定义域和对应关系是否相同即可.
(2)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.
注 意 点
<<<
(多选)下列各组函数表示同一个函数的是
A.f(x)=x，g(x)=()2
B.f(x)=x2+1，g(t)=t2+1
C.f(x)=1(x≠0)，g(x)=
D.f(x)=x，g(x)=|x|
√
例 6
√
A中，由于f(x)=x的定义域为R，g(x)=()2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.
B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.
C中，由于g(x)==1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数.
D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.
解析
在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相等只是前两个要素相等的必然结果.
反
思
感
悟
(多选)下列各组函数表示同一个函数的是
A.f(x)=g(x)=
B.f(x)=·g(x)=
C.f(x)=g(x)=x+3
D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数
g(x)=80x(0≤x≤5)
跟踪训练 4
√
√
A项，f(x)=g(x)=不是同一个函数，对应关系不同；
B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；
C项，f(x)=|x+3|，g(x)=x+3，不是同一个函数，对应关系不同；
D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
解析
1.知识清单：
(1)函数的概念.
(2)函数的定义域、值域.
(3)同一个函数的判定.
2.方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法.
3.常见误区：
(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应.
(2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有
由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当-1≤a≤1时，只有图形BC始终与直线x=a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有BC.
解析
√
√
1
2
3
4
2.函数y=+的定义域为
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
√
由题意可知解得0≤x≤1.
解析
1
2
3
4
3.如果函数y=x2-2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为
A.{-1，0，3} B.{0，1，2，3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
√
当x取0，1，2，3时，y的值分别为0，-1，0，3，
则其值域为{-1，0，3}.
解析
1
2
3
4
4.下列各组函数中是同一个函数的是
A.y=x+1与y= B.y=2x+1与s=2t+1
C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2
A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；
B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数.
解析
√
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 AD A C BC A ABC {x|-1≤x≤2且x≠0}
题号 8 11 12 13 14 　15 答案 16 D C 15 　AC
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)要使函数有意义，则x应满足
解得-3≤x<-2或x>-2.
即函数的定义域是[-3，-2)∪(-2，+∞).
(2)f(-3)=+=-1.
f=+=+.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)∵a>0，
∴a，a-1∈[-3，-2)∪(-2，+∞).
即f(a)，f(a-1)有意义.
则f(a)=+；
f(a-1)=+
=+.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)令t=x2-4x+6=(x-2)2+2，
则t∈[2，+∞).
所以函数的值域为[+∞).
(2)因为函数的定义域为{x|x≠1}，y==5+
所以函数的值域为{y|y≠5}.
10.
答案
1
2
3
4
5
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(3)设t=(x≥-1)，
则x=t2-1(t≥0)，
于是y=t2-1-t=-.
又t≥0，故y≥-.
所以函数的值域为.
16.
答案
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由题意，得y=ax2+bx+c，x∈[0，4]的值域为[0，16]，且ax2+bx+c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，a<0，即ax2+bx+c=0的两根为0和4，所以0+4=-c=0，即b=-4a，则y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a，
当x=2时，y=a(x-2)2-4a取得最大值16，即-4a=16，解得a=-4.
基础巩固
1.(多选)下列关于函数y=f(x)的说法正确的是
A.y是x的函数
B.x是y的函数
C.对于不同的x，y也不同
D.f(a)表示x=a时，f(x)的函数值是一个常数
√
由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)=1，故C错误.
解析
答案
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√
2.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是
A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2]
√
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由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的，
当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3，
所以值域为[1，3].
解析
3.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={y|-1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是
√
答案
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对于A，图象对应的定义域不包含x=0，不满足题意；
对于B，图象存在x有两个y与之对应，不表示函数图象，不满足题意；
对于C，图象对应的定义域为A={x|-1≤x≤1}，且每个x都有唯一的y与之对应，且值域为B={y|-1≤y≤1}，满足题意；
对于D，当x=0时，有两个y与之对应，不表示函数图象，不满足题意.
解析
4.(多选)下列四组函数中是同一个函数的是
A.f(n)=n+1，n∈N；g(x)=x-1，x∈Z
B.f(x)=|x|；g(x)=
C.f(x)=；g(t)=
D.f(x)=；g(x)=()2
√
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对于A，两个函数的定义域分别是N与Z，不是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域都为R，且g(x)==|x|，对应关系相同，故是同一个函数；
对于C，函数f(x)的定义域为{x|x>0}，函数g(t)的定义域为{t|t>0}，且f(x)==x，g(t)==t，对应关系相同，故是同一个函数；
对于D，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数.
解析
5.已知f =x2-1，则f 等于
A.- B.- C.8 D.-8
√
答案
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令=得x=故f =-1=-.
解析
6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是
A.f：x→y=x B.f：x→y=x
C.f：x→y=x D.f：x→y=x
√
√
√
答案
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根据函数的定义，对于D项，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与之对应，故D不正确.
解析
7.函数f(x)=+的定义域为　　　　　　　　　　.
由题意得解得-1≤x≤2且x≠0，
则定义域为{x|-1≤x≤2且x≠0}.
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答案
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{x|-1≤x≤2且x≠0}
8.已知函数f(x)=-1，且f(a)=3，则a=　　　.
因为f(x)=-1，所以f(a)=-1=3，
解得a=16.
解析
答案
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9.已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域；
要使函数有意义，则x应满足
解得-3≤x<-2或x>-2.
即函数的定义域是[-3，-2)∪(-2，+∞).
解
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(2)求f(-3)，f 的值；
f(-3)=+=-1.
f=+=+.
解
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(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值.
∵a>0，∴a，a-1∈[-3，-2)∪(-2，+∞).
即f(a)，f(a-1)有意义.
则f(a)=+；
f(a-1)=+=+.
解
答案
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10.求下列函数的值域：
(1)y=；
答案
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令t=x2-4x+6=(x-2)2+2，
则t∈[2，+∞).
所以函数的值域为+∞).
解
(2)y=；
答案
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因为函数的定义域为{x|x≠1}，y==5+
所以函数的值域为{y|y≠5}.
解
(3)y=x-.
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设t=(x≥-1)，则x=t2-1(t≥0)，
于是y=t2-1-t=-.
又t≥0，故y≥-.
所以函数的值域为.
解
11.若函数f(2x-1)的定义域为[-3，1]，则y=的定义域为
A.{1} B.
C. D.
√
综合运用
答案
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由题意可知-3≤x≤1，所以-7≤2x-1≤1，要使函数y=
解得1解析
12.已知函数f(x)=-x2+4x，x∈[m，4]的值域是[0，4]，则实数m的取值范围是
A.(-∞，2) B.
C. D.
√
画出函数y=-x2+4x的图象，如图所示，
若f(x)=-x2+4x，x∈由图可知m的取值范围是.
解析
答案
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13.设函数y=f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，若f(8)=3，则
f()=　　　.
答案
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因为f(xy)=f(x)+f(y)，所以令x=y=得f(2)=f()+f()=2f()，
令x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)，
令x=2，y=4，得f(8)=f(2)+f(4)=3f(2)=6f()，
又f(8)=3，所以f()=.
解析
14.已知集合A=B={0，1，2，3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有　　　种.
答案
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由函数的定义知，此函数可分为四类：
若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；
若函数是四对二对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，
{1，3}，{2，3}，共6种情况；
若函数是四对三对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况；
若函数是四对四对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况.
综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种).
解析
15.(多选)给出定义：若m-A.f =
B.f(3.4)=0.2
C.f=f
D.y=f(x)的定义域为R，值域为
拓广探究
√
√
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对于A，因为-1-<-≤-1+
所以=-1，所以f ===所以A正确；
对于B，因为3-<3.4≤3+所以{3.4}=3，所以f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4，所以B错误；
解析
答案
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对于C，因为0-<-≤0+所以=0，所以f == =因为0-<≤0+所以=0，所以f ===所以f =f 所以C正确；
对于D，y=f(x)的定义域为R，值域为所以D错误.
解析
16.已知函数f(x)=的定义域与值域均为[0，4]，求实数a的值.
答案
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由题意，得y=ax2+bx+c，x∈[0，4]的值域为[0，16]，且ax2+bx+c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，a<0，即ax2+bx+c=0的两根为0和4，所以0+4=-c=0，即b=-4a，则y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a，当x=2时，y=a(x-2)2-4a取得最大值16，即-4a=16，解得a=-4.
解
第三章　 3.1.1　函数及其表示方法
<<<第2课时　函数的表示方法
学习目标　1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数.2.掌握求函数解析式的常用方法.3.会作函数的图象并从图象上获取有用信息.
导语
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于呈现出来的不同函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧.
一、函数的三种表示方法
问题　结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？
提示　解析法，列表法，图象法.
知识梳理　函数的表示方法
注意点：
函数三种表示方法的优缺点
例1　某商场新进了10台笔记本电脑，每台售价5 000元，试求售出台数x(单位：台，x为正整数)与销售总金额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解　(1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000
(2)图象法：如图所示.
(3)解析法：y=5 000x(x∈{1，2，3，…，10}).
反思感悟　应用函数三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域.
(2)列表法必须罗列出部分(或全部)自变量与函数值的对应关系.
(3)图象法要注意图象是连续的曲线，还是离散的点.
跟踪训练1　已知完成某项任务的时间t与参加此项任务的人数x之间适合关系式t(x)=x+且参加此项任务的人数不能超过20.
(1)用列表法表示此函数；
(2)画出函数t(x)的图象.
解　(1)x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
注：表中的部分数据是近似值.
(2)函数t(x)的图象是由20个点组成的，如图所示.
二、函数的解析式的求法
例2　(课本例7)已知二次函数的图象过点(-1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式.
解　设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则
由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.
例2　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))+2f(x)=-x-2，求f(x)的解析式；
(2)已知f(+1)=x+2求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)+2f =x(x≠0)，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)是R上的函数，f(0)=1，并且对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+y(4x+2y+1)，求f(x)的解析式；
(5)已知2f(x-1)-f(1-x)=2x2-1，求f(x)的解析式.
解　(1)(待定系数法)
设f(x)=kx+b(k≠0)，
由f(f(x))+2f(x)=-x-2，得
k(kx+b)+b+2(kx+b)=-x-2，
即(k2+2k)x+kb+3b=-x-2，
∴
解得
∴f(x)=-x-1.
(2)方法一　(配凑法)
∵f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1)，
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二　(换元法)
令+1=t(t≥1)，则x=(t-1)2(t≥1)，
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1).
∴f(x)=x2-1(x≥1).
(3)由题意知，f(x)+2f =x(x≠0)，
用x代替得f+2f(x)=(x≠0).
于是得到关于f(x)与f 的方程组
解得f(x)=-(x≠0).
(4)(赋值法)
由已知条件f(0)=1，f(x+y)=f(x)+y(4x+2y+1).令y=-x，得f(x-x)=f(x)+(-x)(2x+1)，
∴f(x)=2x2+x+1.
(5)(解方程组法)
令x-1=t，
则1-x=-t，x=t+1.
∴2f(t)-f(-t)=2(t+1)2-1，①
用t代替-t得2f(-t)-f(t)=2(-t+1)2-1，②
由①②解得f(t)=2t2+t+1.
即函数f(x)的解析式为f(x)=2x2+x+1.
反思感悟　求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)=t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x).
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式.
(4)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值.
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x+2，求f(x)；
(2)已知f(+4)=x+8求f(x2).
解　(1)(待定系数法)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1，∴c=1.
又∵f(x+1)-f(x)=2x+2，
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x+2，整理，得2ax+(a+b)=2x+2.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)=x2+x+1.
(2)方法一　(配凑法)
∵f(+4)=()2+8=(+4)2-16，
∴f(x)=x2-16(x≥4).
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2).
方法二　(换元法)
令+4=t(t≥4)，则x=(t-4)2(t≥4).
∴f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4)，
即f(x)=x2-16(x≥4).
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2).
三、函数图象的作法及应用
一般地，将函数y=f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F={(x，y)|y=f(x)，x∈A}.
注意点：
(1)如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)；反之，满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上.
(2)实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法.
例3　作出下列函数的图象并求出其值域：
(1)y=2x+1，x∈[0，2]；
(2)y=x∈[2，+∞)；
(3)y=x2+2x，x∈[-2，2].
解　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y=2x+1的一部分，如图1，观察图象可知，其值域为[1，5].
(2)当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函数y=的图象的一部分，如图2，观察图象可知，其值域为(0，1].
图2
(3)当-2≤x≤2时，图象是抛物线y=x2+2x的一部分，如图3，
图3
观察图象可知，其值域为[-1，8].
反思感悟　函数y=f(x)图象的画法
(1)若y=f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根据定义域进行取舍.
(2)若y=f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象.
跟踪训练3　作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=x+2，|x|≤3；
(2)y=x2-2，x∈Z且|x|≤2.
解　(1)因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1).观察图象可知，其值域为[-1，5].
(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2).观察图象可知，其值域为{-2，-1，2}.
1.知识清单：
(1)函数的三种表示方法.
(2)函数解析式的求法.
(3)函数图象的画法和应用.
2.方法归纳：配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法.
3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域.
1.若f(x)=3x-4，g(x-1)=f(x)，则g(x)等于(　　)
A.3x-3 B.3x-5
C.3x-1 D.3x+4
答案　C
解析　∵g(x-1)=3x-4=3(x-1)-1，
∴g(x)=3x-1.
2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为　　　；当g(f(x))=2时，x=　　　.
答案　1　1
解析　由给出函数关系的表格，知g(1)=3，
∴f(g(1))=f(3)=1.由于g(2)=2，
∴f(x)=2，∴x=1.
3.已知函数f(x)是一次函数，且其图象过A(-2，0)，B(1，5)两点，则f(x)的解析式为　　　　　　　.
答案　f(x)=x+
解析　设f(x)=kx+b(k≠0)，则
解得所以f(x)的解析式为f(x)=x+.
4.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是　　　　　　，值域是　　　　.
答案　[-1，0)∪(0，2]　[-1，1)
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.已知购买某种饮料x瓶所需y元.若每瓶2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　)
A.y=2x
B.y=2x(x∈R)
C.y=2x(x∈{1，2，3，…})
D.y=2x(x∈{1，2，3，4})
答案　D
解析　由题意得y=2x，x∈{1，2，3，4}.
2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)
x 0y 2 3 4 5
A.[2，5] B.{2，3，4，5}
C.(0，20] D.N+
答案　B
解析　由表格可知，y的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}.
3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
答案　B
解析　由函数g(x)的图象知，g(2)=1，则f(g(2))=f(1)=2.
4.已知f =则函数f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=(x≠-1)
B.f(x)=(x≠-1且x≠0)
C.f(x)=
D.f(x)=1+x
答案　B
解析　由题知x≠0且x≠-1，令t=则x=(t≠0且t≠-1)，
∴f==(t≠-1且t≠0)，
∴f(x)=(x≠-1且x≠0).
5.(多选)若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(　　)
A. B.
C.(-1，2) D.(-2，1)
答案　 AC
解析　设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得所以此函数的解析式为y=2x+4，故A，C选项的坐标符合此函数的解析式.
6.(多选)已知f(2x+1)=4x2，则下列结论正确的是(　　)
A.f(3)=36 B.f(-3)=16
C.f(x)=4x2 D.f(x)=x2-2x+1
答案　BD
解析　当2x+1=3时，x=1，因此f(3)=4×12=4，所以A不正确；
当2x+1=-3时，x=-2，因此f(-3)=4×(-2)2=16，所以B正确；
令t=2x+1，则x=因此f(t)=4×=t2-2t+1，即f(x)=x2-2x+1，所以C不正确，D正确.
7.(5分)一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比.如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的函数解析式为　　　　　　　　；若弹簧的总长度为15 cm，则悬挂物体的质量是　　　　kg.(注：假设弹簧始终在弹性限度内)
答案　y=x+12(x≥0)　6
解析　设所求函数解析式为y=kx+12(k≠0)，把x=3，y=13.5代入，得13.5=3k+12，解得k=所以所求函数解析式为y=x+12(x≥0).当y=15时，即x+12=15，解得x=6.
8.(5分)设f(x)=2x+a，g(x)=(x2+3)，且g(f(x))=x2-x+1，则a的值为　　　　.
答案　-1
解析　因为g(x)=(x2+3)，f(x)=2x+a，所以g(f(x))=(2x+a)2+3]=(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1，解得a=-1.
9.(10分)画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域：
(1)y=；(3分)
(2)y=-4x+5；(3分)
(3)y=x2-6x+7.(4分)
解　(1)反比例函数y=的图象如图1所示，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(-∞，0)∪(0，+∞).
图1
(2)一次函数y=-4x+5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.
图2
(3)二次函数y=x2-6x+7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[-2，+∞).
图3
10.(10分)(1)已知f(+2)=x+4求函数f(x)的解析式；(3分)
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)=f(x)+2x，求函数f(x)的解析式；(4分)
(3)已知f(x)+2f(-x)=x2-x，求函数f(x)的解析式.(3分)
解　(1)设t=+2，则t≥2=t-2，即x=(t-2)2，
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4，
所以f(x)=x2-4(x≥2).
(2)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1，得c=1.
由f(x+1)=f(x)+2x，得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x，
整理得(2a-2)x+(a+b)=0，
所以解得所以f(x)=x2-x+1.
(3)因为f(x)+2f(-x)=x2-x， ①
所以f(-x)+2f(x)=x2+x， ②
②×2-①，得3f(x)=x2+3x，所以f(x)=+x.
11.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
答案　C
解析　距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
12.已知函数f(x)如表所示，
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
A.{1，2，0} B.{-1，-2，0}
C.{1，2} D.{-1，-2}
答案　A
解析　由f(f(x))≥0可得，f(x)=-2或f(x)=-1或f(x)=0，解得x=2或x=1或x=0，所以不等式f(f(x))≥0的解集为{1，2，0}.
13.(多选)已知函数f(x)=g(x)+h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)=2，h(1)=-3，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)=2x2+
B.函数f(x)的定义域为(0，+∞)
C.f(4)=
D.f =-3
答案　BD
解析　对于A，设g(x)=k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)=(k2∈R，且k2≠0)，
由于g(1)=2，h(1)=-3，所以k1=2，k2=-3.
所以f(x)=2x2-故A错误；
对于B，函数f(x)的定义域是(0，+∞)，故B正确；
对于C，f(4)=2×42-=故C错误；
对于D，因为f(x)=2x2-所以f =-3故D正确.
14.(5分)设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.
答案　f(x)=x+1
解析　f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，f(0)=1，当x=0时，f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2，当y=0时，f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2，因此f(x)=x+1.
15.(5分)已知函数f(x)=则f+f +f +…+f = 　　　　　　.
答案　15
解析　因为f(x)=
所以f(x)+f(1-x)=+=3，
所以f +f +f +…+f =5×3=15.
16.(12分)若至少存在两个不同的x0满足f(x0)=则称函数f(x)为“二次T函数”.
(1)试问函数f(x)=x6是否为“二次T函数”？说明你的理由.(3分)
(2)若函数f(x)的定义域为R，f =-2，且4f(x+y)+f(x)f(y)=16xy.
①求f(1)的值；(4分)
②证明：f(x)不是“二次T函数”.(5分)
(1)解　由“二次T函数”的定义，令f(x)=x2，得x6=x2，
即x2=0，解得x=0或x=±1，
所以函数f(x)=x6为“二次T函数”.
(2)①解　由4f+f(x)f=16xy，
令x=y=得4f(1)+f ×f =4，
因为f =-2，所以f(1)=0.
②证明　令y=1，得4f+f(x)f(1)=16x，
即f=4x=4所以f(x)=4x-4.
由二次T函数的定义，令f(x)=x2，得(x-2)2=0，解得x=2，
故函数f(x)不是“二次T函数”.第3课时　分段函数
学习目标　1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.2.能画出分段函数的图象，并会应用解决问题.
导语
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.
一、分段函数的定义域、值域
问题　函数y=是两个函数吗？
提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
知识梳理
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
注意点：
(1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数.
例1　函数f(x)=的定义域为　　　　，值域为　　　　.
答案　(-1，1)　(-1，1)
解析　由已知得，f(x)的定义域为{x|0反思感悟　 (1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
②分段函数的值域是各段函数值域的并集.
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
跟踪训练1　若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是　　　　.
答案　(-∞，1]
解析　由题意得
f(x)=
画函数f(x)的图象如图所示，得值域是(-∞，1].
二、分段函数的求值问题
例2　已知函数f(x)=试求f(-5)，f(-)，f 的值.
解　由-5∈(-∞，-2]，-∈(-2，2)，
-∈(-∞，-2]，知f(-5)=-5+1=-4，
f(-)=(-)2+2×(-)=3-2.
因为f =-+1=-
-2<-<2，
所以f =f
=+2×
=-3=-.
延伸探究1　本例条件不变，若f(a)=3，求实数a的值.
解　①当a≤-2时，f(a)=a+1，所以a+1=3，
所以a=2>-2不合题意，舍去.
②当-2即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0，
所以a=1或a=-3.
因为1∈(-2，2)，-3 (-2，2)，
所以a=1符合题意.
③当a≥2时，2a-1=3，所以a=2符合题意.
综合①②③，当f(a)=3时，a=1或a=2.
延伸探究2　本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围.
解　①当x≤-2时，x+1>3，解得x>2，
又x≤-2，所以x∈ .
②当-23，
解得x>1或x<-3，
所以1③当x≥2时，2x-1>3，解得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上，若f(x)>3，
则x的取值范围是(1，2)∪(2，+∞).
反思感悟　(1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.
三、分段函数的图象及应用
角度1　分段函数的图象的画法
例3　已知函数f(x)=1+(-2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(4分)
(2)画出函数f(x)的图象；(3分)
(3)写出函数f(x)的值域.(3分)
解　(1)当0≤x≤2时，f(x)=1+=1；
当-2所以f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)知，f(x)在(-2，2]上的值域为[1，3).
反思感悟　分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
跟踪训练2　已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域.
解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令-x2+2=x，得x=-2或x=1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)=
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，
因为φ(1)=1，
所以φ(x)的值域为(-∞，1].
角度2　分段函数的图象的应用
例4　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解决下列问题.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
解　(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y=kx(k≠0).
将x=100，y=65代入，
得k=0.65，所以y=0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y=ax+b(a≠0).
将x=100，y=65和x=130，y=89代入，
得解得
所以y=0.8x-15.
综上可得，y=
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元.
(3)当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)；
当y=105时，
因为0.65×100=65<105，故x>100，
所以105=0.8x-15，解得x=150.
即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电.
反思感悟　由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
跟踪训练3　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
解　设票价为y元，里程为x公里.
由题意可知，自变量x的取值范围是(0，20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式.
y=
函数图象如图所示.
1.知识清单：
(1)分段函数的定义域和值域.
(2)分段函数的求值问题.
(3)分段函数的图象及应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集.
(2)分段函数的端点是否包含.
1.若函数f(x)=则f(f(-1))等于(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案　A
解析　f(-1)=(-1)+2=1，则f(f(-1))=f(1)=1.
2.设x∈R，定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是(　　)
答案　C
解析　由题意知f(x)==x，
则f(x)的图象为C中图象所示.
3.(多选)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=-|x|+1
D.f(x)=|x+1|
答案　AC
4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))=　　　　，f(x)的值域是　　　　　　.
答案　2　[0，4]
解析　∵f(2)=0，∴f(f(2))=f(0)=4，∴f(f(f(2)))=f(4)=2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4].
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.f(x)=则f(5)的值是(　　)
A.24 B.21 C.18 D.16
答案　A
解析　f(5)=f(f(10))，f(10)=f(f(15))=f(18)=21，∴f(5)=f(21)=24.
2.函数f(x)=的值域是(　　)
A.R B.[0，2]∪{3}
C.[0，+∞) D.[0，3]
答案　B
解析　当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当13.函数f(x)=x2-2|x|的大致图象是(　　)
答案　C
解析　由题意可得f(x)=分段画出图象可知，应选C.
4.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 (　　)
A.[-4，2) B.[-4，2]
C.(0，2] D.(-4，2]
答案　B
解析　当x≤0时，f(x)≥-1即x+1≥-1，解得x≥-4，故-4≤x≤0；
当x>0时，f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1，
解得0≤x≤2，故0综上，x的取值范围是[-4，2].
5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
答案　A
解析　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为
y=
由y=16m，可知x>10.
令2mx-10m=16m，解得x=13.
6.(多选)已知狄利克雷函数D(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.D(x)的值域为[0，1]
B.D(x)的定义域为R
C.D(x+1)=D(x)
D.D(x)的图象经过点
答案　BC
解析　对于A，D(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，D(x)的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x+1也是有理数，当x是无理数时，x+1也是无理数，故D(x+1)=D(x)成立，故C正确；对于D，因为D=1，
所以D(x)的图象不经过点故D错误.
7.(5分)函数y=的定义域为　　　　　　　　　，值域为　　　　　　　　　.
答案　(-∞，0)∪(0，+∞)　{-2}∪(0，+∞)
解析　定义域为各段的并集，即(-∞，0)∪(0，+∞).因为当x>0时，y=x2>0；当x<0时，y=-2，所以函数的值域为{-2}∪(0，+∞).
8.(5分)已知a∈R，f(x)=若f(f(2))=5，则a=　　　　.
答案　4
解析　∵a∈R，f(x)=∴f(2)=(2)2-9=3，∴f(f(2))=f(3)=|3-2|+a=5，解得a=4.
9.(10分)记min{p，q}=若函数f(x)=min{x2+1，3x-1}，
(1)用分段函数的形式写出函数f(x)的解析式；(4分)
(2)求f(x)<2的解集.(6分)
解　(1)由x2+1≤3x-1得，1≤x≤2，
故f(x)=
(2)当x∈时，由f(x)=x2+1<2，解得-1当x∈∪时，由f(x)=3x-1<2，解得x<1，故解集是
综上，f(x)<2的解集是.
10.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？(5分)
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式.(7分)
解　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，
则x0=100+=650.
(2)当0当x≥650时，P=41.
∴P=f(x)=x∈N.
11.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是(　　)
A.{x|x≤1} B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0}
答案　A
解析　因为当x≥0时，f(x)=1，
所以xf(x)+x≤2 x≤1，所以0≤x≤1；
因为当x<0时，f(x)=0，
所以xf(x)+x≤2 x≤2，所以x<0.
综上，x≤1.
12.定义运算a*b=则函数f(x)=x2*|x|的图象是(　　)
答案　B
解析　由给出的运算定义知
f(x)=x2*|x|=
即f(x)=
所以B符合题意.
13.设f(x)=若f(a)=f(a+1)，则f 等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　C
解析　当01，则f(a)=f(a+1)=2(a+1-1)=2a，
∵f(a)=f(a+1)，∴=2a，
解得a=或a=0(舍去).
∴f =f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时，a+1≥2，
∴f(a)=2(a-1)，f(a+1)=2(a+1-1)=2a，
∴2(a-1)=2a，无解.综上，f =6.
14.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　.
答案　f(x)=
解析　当-3≤x<-1时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将点(-3，1)，(-1，-2)代入，可得f(x)=-x-；
当-1≤x<1时，同理，可设f(x)=cx+d(c≠0)，将点(-1，-2)，(1，1)代入，可得f(x)=x-；
当1≤x<2时，f(x)=1.
所以f(x)=
15.(5分)设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　　　　　.
答案　(-∞，2]
解析　当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2；
当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；
当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2.
故y=
根据函数解析式作出函数图象，如图所示.
由图象可以看出，函数的值域为(-∞，2].
16.(12分)已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2.
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(5分)
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(4分)
(3)根据图象写出函数f(x)的值域.(3分)
解　(1)当-1≤x<0时，[x]=-1，
所以f(x)=x+1；
当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x；
当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1.
综上，f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1).3.1.1　函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.
导语
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与y=是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念.
一、函数关系的判断
问题1　你还记得初中所学函数的概念吗？
提示　在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.
问题2　下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？
(1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？
(2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
(3)国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
年份y 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.89 29.35 28.57
提示　(1)是.s与t的关系可以表示为s=350t，此时t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1={s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应.
(2)(3)略.
问题3　上述例子中的函数有哪些共同特征？
提示　共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
知识梳理　函数的有关概念
函数的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 y=f(x)，x∈A
定义域 x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域
值域 所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域
注意点：
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积.
(4)f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
(5)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
例1　(1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是(　　)
A.A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数的平方
B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数的开方
C.A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数
D.A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，f：A中的数的2倍
答案　AD
解析　A选项，(-1)2=1，02=0，12=1，
为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
B选项，±=0，±=±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.
C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.
D选项，1×2=2，2×2=4，3×2=6，4×2=8，
为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
(2)下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
答案　D
解析　由函数定义可知，任意作一条直线x=a，与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象能表示y=f(x)的图象.
反思感悟　(1)判断对应关系是否为函数的两个条件
①A，B必须是非空实数集.
②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数.
跟踪训练1　(1)下列对应关系中是定义在集合A上的一个函数的是(　　)
A.A R，B R，x2+y2=1
B.A={-1，0，1}，B={1，2}，y=|x|+1
C.A=R，B=R，y=
D.A=Z，B=Z，y=
答案　B
解析　对于A，x2+y2=1可化为y=±显然对任意x∈A(x=±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C，2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，-1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义.
(2)判断下列对应关系是否为函数：
①x→x≠0，x∈R；
②x→y，其中|y|=x，x∈R，y∈R.
解　①是函数.因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应.
②不是函数.当x=1时，y=±1，即存在非零实数x，对应两个y的值，不符合函数的概念.
二、函数的定义域、函数值和值域
问题4　初中我们学习过哪些函数？
提示　一次函数、二次函数和反比例函数.
问题5　你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
提示　一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0)；二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是对应关系实际上就是f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)=(k≠0).
角度1　求具体函数的定义域
例2　(课本例1)求下列函数的定义域：
(1)f(x)=；　　(2)g(x)=+.
解　(1)因为函数有意义当且仅当
解得x>-1，所以函数的定义域为(-1，+∞).
(2)因为函数有意义当且仅当
解得x≠0且x≠-2，因此函数的定义域为(-∞，-2)∪(-2，0)∪(0，+∞).
例2　求下列函数的定义域：
(1)f(x)=；
(2)f(x)=(x-1)0+；
(3)f(x)=·；
(4)f(x)=-.
解　(1)当且仅当x-2≠0，即x≠2时，函数f(x)=有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
(2)函数有意义，当且仅当解得x>-1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>-1，且x≠1}.
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠-1，所以这个函数的定义域为{x|x≤1，且x≠-1}.
反思感悟　求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于等于零.
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义.
跟踪训练2　设全集为R，函数f(x)=的定义域为M，则 RM等于(　　)
A.{x|x≥2或x=-1}
B.{x|x<2且x≠-1}
C.{x|x≥2}
D.{x|x>2或x=-1}
答案　A
角度2　求抽象函数的定义域
例3　(1)已知函数f(x)的定义域为[-1，1]，求函数f(2x-1)的定义域.
解　∵函数f(x)的定义域为[-1，1]，
∴函数f(2x-1)中自变量x的取值应满足-1≤2x-1≤1，即0≤x≤1.
∴函数f(2x-1)的定义域为[0，1].
(2)已知函数f(x-1)的定义域为(1，4]，求函数f(x)的定义域.
解　∵函数f(x-1)的定义域为(1，4]，
即x∈(1，4]，∴0则函数f(t)的定义域为(0，3]，
即函数f(x)的定义域为(0，3].
延伸探究　若函数f(x-1)的定义域为(-1，1)，如何求函数f(2x-1)的定义域？
解　∵函数f(x-1)的定义域为(-1，1)，
∴-1∴函数f(t)的定义域为(-2，0)，
即函数f(x)的定义域为(-2，0).
∴由-2<2x-1<0，得-∴函数f(2x-1)的定义域为.
反思感悟　抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出.
(2)若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的取值范围.
(3)函数f(x)，f(g(x))的定义域指的都是x的范围.
跟踪训练3　设函数f(x)=则f +f 的定义域为(　　)
A. B.[2，4] C.[1，+∞) D.
答案　B
解析　因为函数f(x)=的定义域为[1，+∞)，
所以解得2≤x≤4.
故f +f 的定义域为[2，4].
角度3　求函数值
例4　已知函数f(x)=g(x)=3x2+1.
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f(g(1))的值；
(3)若a≠-1，求f(a-1)，g(a+1)，f(g(a+1)).
解　(1)f(1)==g(1)=3×12+1=4.
(2)f(g(1))=f(4)==.
(3)f(a-1)==
g(a+1)=3(a+1)2+1=3a2+6a+4，
f(g(a+1))=f(3a2+6a+4)=.
反思感悟　求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x，即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
角度4　求值域
例5　求下列函数的值域：
(1)y=2x，x∈{1，2，3，4}；
(2)y=2+3；
(3)y=；
(4)y=x+；
(5)y=x2-4x+6(1≤x≤5).
解　(1)当x=1时，y=2；当x=2时，y=4；当x=3时，y=6；当x=4时，y=8.
所以函数y=2x，x∈{1，2，3，4}的值域为{2，4，6，8}.
(2)因为≥0，所以2≥0，所以2+3≥3.
故y=2+3的值域为[3，+∞).
(3)借助反比例函数的特征.
y===3-(x≠-1)，
显然≠0，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
(4)设u=(x≥0)，则x=u2(u≥0)，
则y=u2+u=-(u≥0).
由u≥0，可知≥
所以y≥0.
所以函数y=x+的值域为[0，+∞).
(5)y=x2-4x+6=(x-2)2+2，
由1≤x≤5，结合函数图象知y=x2-4x+6(1≤x≤5)的值域为[2，11].
反思感悟　求函数值域常用的四种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法.
三、同一个函数的判定
问题6　构成函数的要素有哪些？
提示　定义域、对应关系和值域.
问题7　结合函数的定义，如何才能确定一个函数？
提示　有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定.
知识梳理
如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
注意点：
(1)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同，故判断两个函数是否为同一函数时，只需判断定义域和对应关系是否相同即可.
(2)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.
例6　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x，g(x)=()2
B.f(x)=x2+1，g(t)=t2+1
C.f(x)=1(x≠0)，g(x)=
D.f(x)=x，g(x)=|x|
答案　BC
解析　A中，由于f(x)=x的定义域为R，g(x)=()2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.
B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.
C中，由于g(x)==1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数.
D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.
反思感悟　在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相等只是前两个要素相等的必然结果.
跟踪训练4　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=g(x)=
B.f(x)=·g(x)=
C.f(x)=g(x)=x+3
D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5)
答案　BD
解析　A项，f(x)=g(x)=不是同一个函数，对应关系不同；
B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；
C项，f(x)=|x+3|，g(x)=x+3，不是同一个函数，对应关系不同；
D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
1.知识清单：
(1)函数的概念.
(2)函数的定义域、值域.
(3)同一个函数的判定.
2.方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法.
3.常见误区：
(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应.
(2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断.
1.(多选)下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有(　　)
答案　BC
解析　由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当-1≤a≤1时，只有图形BC始终与直线x=a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有BC.
2.函数y=+的定义域为(　　)
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
答案　D
解析　由题意可知解得0≤x≤1.
3.如果函数y=x2-2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　)
A.{-1，0，3} B.{0，1，2，3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
答案　A
解析　当x取0，1，2，3时，y的值分别为0，-1，0，3，则其值域为{-1，0，3}.
4.下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A.y=x+1与y=
B.y=2x+1与s=2t+1
C.y=2x与y=2x(x≥0)
D.y=(x+1)2与y=x2
答案　B
解析　A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分
1.(多选)下列关于函数y=f(x)的说法正确的是(　　)
A.y是x的函数
B.x是y的函数
C.对于不同的x，y也不同
D.f(a)表示x=a时，f(x)的函数值是一个常数
答案　AD
解析　由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)=1，故C错误.
2.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是(　　)
A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2]
答案　A
解析　由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的，
当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3，
所以值域为[1，3].
3.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={y|-1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是(　　)
答案　C
解析　对于A，图象对应的定义域不包含x=0，不满足题意；
对于B，图象存在x有两个y与之对应，不表示函数图象，不满足题意；
对于C，图象对应的定义域为A={x|-1≤x≤1}，且每个x都有唯一的y与之对应，且值域为B={y|-1≤y≤1}，满足题意；
对于D，当x=0时，有两个y与之对应，不表示函数图象，不满足题意.
4.(多选)下列四组函数中是同一个函数的是(　　)
A.f(n)=n+1，n∈N；g(x)=x-1，x∈Z
B.f(x)=|x|；g(x)=
C.f(x)=；g(t)=
D.f(x)=；g(x)=()2
答案　BC
解析　对于A，两个函数的定义域分别是N与Z，不是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域都为R，且g(x)==|x|，对应关系相同，故是同一个函数；
对于C，函数f(x)的定义域为{x|x>0}，函数g(t)的定义域为{t|t>0}，且f(x)==x，g(t)==t，对应关系相同，故是同一个函数；
对于D，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数.
5.已知f =x2-1，则f 等于(　　)
A.- B.- C.8 D.-8
答案　A
解析　令=得x=故f =-1=-.
6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　)
A.f：x→y=x B.f：x→y=x
C.f：x→y=x D.f：x→y=x
答案　ABC
解析　根据函数的定义，对于D项，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与之对应，故D不正确.
7.(5分)函数f(x)=+的定义域为　　　　　　　　　　　.
答案　{x|-1≤x≤2且x≠0}
解析　由题意得解得-1≤x≤2且x≠0，
则定义域为{x|-1≤x≤2且x≠0}.
8.(5分)已知函数f(x)=-1，且f(a)=3，则a=　　　　.
答案　16
解析　因为f(x)=-1，所以f(a)=-1=3，
解得a=16.
9.(10分)已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域；(2分)
(2)求f(-3)，f 的值；(4分)
(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值.(4分)
解　(1)要使函数有意义，则x应满足
解得-3≤x<-2或x>-2.
即函数的定义域是[-3，-2)∪(-2，+∞).
(2)f(-3)=+=-1.
f=+=+.
(3)∵a>0，∴a，a-1∈[-3，-2)∪(-2，+∞).
即f(a)，f(a-1)有意义.
则f(a)=+；
f(a-1)=+=+.
10.(10分)求下列函数的值域：
(1)y=；(3分)
(2)y=；(3分)
(3)y=x-.(4分)
解　(1)令t=x2-4x+6=(x-2)2+2，
则t∈[2，+∞).
所以函数的值域为+∞).
(2)因为函数的定义域为{x|x≠1}，y==5+所以函数的值域为{y|y≠5}.
(3)设t=(x≥-1)，则x=t2-1(t≥0)，
于是y=t2-1-t=-.
又t≥0，故y≥-.
所以函数的值域为.
11.若函数f(2x-1)的定义域为[-3，1]，则y=的定义域为(　　)
A.{1} B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可知-3≤x≤1，所以-7≤2x-1≤1，要使函数y=有意义，则解得112.已知函数f(x)=-x2+4x，x∈[m，4]的值域是[0，4]，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，2) B.
C. D.
答案　C
解析　画出函数y=-x2+4x的图象，如图所示，
若f(x)=-x2+4x，x∈的值域是由图可知m的取值范围是.
13.(5分)设函数y=f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，若f(8)=3，则f()=　　　　.
答案　
解析　因为f(xy)=f(x)+f(y)，所以令x=y=得f(2)=f()+f()=2f()，
令x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)，
令x=2，y=4，得f(8)=f(2)+f(4)=3f(2)=6f()，
又f(8)=3，所以f()=.
14.(5分)已知集合A=B={0，1，2，3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有　　　　种.
答案　15
解析　由函数的定义知，此函数可分为四类：
若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；
若函数是四对二对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共6种情况；
若函数是四对三对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况；
若函数是四对四对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况.
综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种).
15.(多选)给出定义：若m-A.f =
B.f(3.4)=0.2
C.f=f
D.y=f(x)的定义域为R，值域为
答案　AC
解析　对于A，因为-1-<-≤-1+
所以=-1，所以f ===所以A正确；
对于B，因为3-<3.4≤3+所以{3.4}=3，所以f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4，所以B错误；
对于C，因为0-<-≤0+所以=0，所以f ===因为0-<≤0+所以=0，所以f ===所以f =f 所以C正确；
对于D，y=f(x)的定义域为R，值域为所以D错误.
16.(11分)已知函数f(x)=的定义域与值域均为[0，4]，求实数a的值.
解　由题意，得y=ax2+bx+c，x∈[0，4]的值域为[0，16]，且ax2+bx+c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，a<0，即ax2+bx+c=0的两根为0和4，所以0+4=-c=0，即b=-4a，则y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a，当x=2时，y=a(x-2)2-4a取得最大值16，即-4a=16，解得a=-4.(共73张PPT)
第3课时
分段函数
第三章　 3.1.1　函数及其表示方法
<<<
1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.
2.能画出分段函数的图象，并会应用解决问题.
学习目标
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.
导 语
一、分段函数的定义域、值域
二、分段函数的求值问题
课时对点练
三、分段函数的图象及应用
随堂演练
内容索引
分段函数的定义域、值域
一
提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
函数y=是两个函数吗？
问题1
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有_______
_________，则称其为分段函数.
不同的
对应方式
(1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数.
注 意 点
<<<
函数f(x)=的定义域为　　　　，值域
为　　　　.
例 1
由已知得，f(x)的定义域为{x|0又当0解析
(-1，1)
(-1，1)
(1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
②分段函数的值域是各段函数值域的并集.
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
反
思
感
悟
若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是　　　　 .
跟踪训练 1
(-∞，1]
由题意得f(x)=
画函数f(x)的图象如图所示，得值域是(-∞，1].
解析
二
分段函数的求值问题
已知函数f(x)=试求f(-5)，f(-)，
f 的值.
例 2
由-5∈(-∞，-2]，-∈(-2，2)，
-∈(-∞，-2]，知f(-5)=-5+1=-4，
f(-)=(-)2+2×(-)=3-2.
因为f =-+1=--2<-<2，
所以f =f =+2×=-3=-.
解
本例条件不变，若f(a)=3，求实数a的值.
延伸探究 1
①当a≤-2时，f(a)=a+1，所以a+1=3，
所以a=2>-2不合题意，舍去.
②当-2即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0，所以a=1或a=-3.
因为1∈(-2，2)，-3 (-2，2)，所以a=1符合题意.
③当a≥2时，2a-1=3，所以a=2符合题意.
综合①②③，当f(a)=3时，a=1或a=2.
解
本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围.
延伸探究 2
①当x≤-2时，x+1>3，解得x>2，
又x≤-2，所以x∈ .
②当-23，
解得x>1或x<-3，所以1③当x≥2时，2x-1>3，解得x>2，
又x≥2，所以x>2，综上，若f(x)>3，
则x的取值范围是(1，2)∪(2，+∞).
解
(1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.
反
思
感
悟
分段函数的图象及应用
三
已知函数f(x)=1+(-2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
例 3
当0≤x≤2时，f(x)=1+=1；
当-2所以f(x)=
解
角度1　分段函数的图象的画法
(2)画出函数f(x)的图象；
函数f(x)的图象如图所示.
解
(3)写出函数f(x)的值域.
由(2)知，f(x)在(-2，2]上的值域为[1，3).
解
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
反
思
感
悟
已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
跟踪训练 2
在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令-x2+2=x，得x=-2或x=1.
解
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)=
(2)求函数φ(x)的定义域，值域.
由图②知，φ(x)的定义域为R，
因为φ(1)=1，
所以φ(x)的值域为(-∞，1].
解
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解决下列问题.
(1)求y关于x的函数关系式；
例 4
角度2　分段函数的图象的应用
当0≤x≤100时，设函数解析式为y=kx(k≠0).
将x=100，y=65代入，
得k=0.65，所以y=0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y=ax+b(a≠0).
将x=100，y=65和x=130，y=89代入，
得
所以y=0.8x-15.
综上可得，y=
解
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元.
解
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)；
当y=105时，
因为0.65×100=65<105，故x>100，
所以105=0.8x-15，解得x=150.
即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电.
解
由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
反
思
感
悟
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
跟踪训练 3
设票价为y元，里程为x公里.
由题意可知，自变量x的取值范围是(0，20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式.
y=
函数图象如图所示.
解
1.知识清单：
(1)分段函数的定义域和值域.
(2)分段函数的求值问题.
(3)分段函数的图象及应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集.
(2)分段函数的端点是否包含.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若函数f(x)=则f(f(-1))等于
A.1 B.-1 C.2 D.-2
√
f(-1)=(-1)+2=1，则f(f(-1))=f(1)=1.
解析
1
2
3
4
2.设x∈R，定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象
大致是
√
1
2
3
4
由题意知f(x)==x，
则f(x)的图象为C中图象所示.
解析
1
2
3
4
3.(多选)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=-|x|+1
D.f(x)=|x+1|
√
√
1
2
3
4
4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2))) =　　，f(x)的值域是　　　　.
∵f(2)=0，∴f(f(2))=f(0)=4，∴f(f(f(2)))=f(4)=2.
由图象可知，f(x)的值域是[0，4].
解析
2
[0，4]
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B C B A BC (-∞，0)∪(0，+∞) {-2}∪(0，+∞) 题号 8 11 12 13 14 15
答案 4 A B C f(x)= (-∞，2]
9.
答案
1
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4
5
6
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13
14
15
16
(1)由x2+1≤3x-1得，1≤x≤2，
故f(x)=
(2)当x∈时，由f(x)=x2+1<2，解得-1当x∈∪时，
由f(x)=3x-1<2，解得x<1，故解集是
综上，f(x)<2的解集是.
10.
答案
1
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16
(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，
则x0=100+=650.
(2)当0当100当x≥650时，P=41.
∴P=f(x)=x∈N.
16.
答案
1
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16
(1)当-1≤x<0时，[x]=-1，
所以f(x)=x+1；
当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x；
当1≤x<2时，[x]=1，
所以f(x)=x-1.
综上，f(x)=
16.
答案
1
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16
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1).
基础巩固
1.f(x)=则f(5)的值是
A.24 B.21 C.18 D.16
√
f(5)=f(f(10))，f(10)=f(f(15))=f(18)=21，∴f(5)=f(21)=24.
解析
答案
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14
15
16
2.函数f(x)=的值域是
A.R B.[0，2]∪{3}
C.[0，+∞) D.[0，3]
√
答案
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15
16
当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；
当1综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}.
解析
3.函数f(x)=x2-2|x|的大致图象是
√
由题意可得f(x)=分段画出图象可知，应选C.
解析
答案
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15
16
4.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是
A.[-4，2) B.[-4，2]
C.(0，2] D.(-4，2]
√
当x≤0时，f(x)≥-1即x+1≥-1，解得x≥-4，故-4≤x≤0；
当x>0时，f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1，
解得0≤x≤2，故0综上，x的取值范围是[-4，2].
解析
答案
1
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15
16
5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
√
答案
1
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答案
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14
15
16
该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为
y=
由y=16m，可知x>10.
令2mx-10m=16m，解得x=13.
解析
6.(多选)已知狄利克雷函数D(x)=则下列结论正确的是
A.D(x)的值域为[0，1]
B.D(x)的定义域为R
C.D(x+1)=D(x)
D.D(x)的图象经过点
√
√
答案
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答案
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16
对于A，D(x)的值域为{0，1}，故A错误；
对于B，D(x)的定义域为R，故B正确；
对于C，当x是有理数时，x+1也是有理数，当x是无理数时，x+1也是无理数，故D(x+1)=D(x)成立，故C正确；
对于D，因为D=1，所以D(x)的图象不经过点故D错误.
解析
7.函数y=的定义域为　　　　　　　　，值域为
　　　　　　　　　.
定义域为各段的并集，即(-∞，0)∪(0，+∞).
因为当x>0时，y=x2>0；
当x<0时，y=-2，所以函数的值域为{-2}∪(0，+∞).
解析
答案
1
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16
(-∞，0)∪(0，+∞)
{-2}∪(0，+∞)
8.已知a∈R，f(x)=若f(f(2))=5，则a=　　　.
∵a∈R，f(x)=
∴f(2)=(2)2-9=3，∴f(f(2))=f(3)=|3-2|+a=5，解得a=4.
解析
答案
1
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4
9.记min{p，q}=若函数f(x)=min{x2+1，3x-1}，
(1)用分段函数的形式写出函数f(x)的解析式；
由x2+1≤3x-1得，1≤x≤2，
故f(x)=
解
答案
1
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16
(2)求f(x)<2的解集.
当x∈时，由f(x)=x2+1<2，解得-1当x∈∪时，由f(x)=3x-1<2，解得x<1，故解集是
综上，f(x)<2的解集是.
解
答案
1
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16
10.某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
答案
1
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16
设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，
则x0=100+=650.
解
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式.
答案
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当0当x≥650时，P=41.
∴P=f(x)=x∈N.
解
11.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是
A.{x|x≤1} B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0}
√
综合运用
答案
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16
因为当x≥0时，f(x)=1，
所以xf(x)+x≤2 x≤1，所以0≤x≤1；
因为当x<0时，f(x)=0，
所以xf(x)+x≤2 x≤2，所以x<0.
综上，x≤1.
解析
12.定义运算a*b=则函数f(x)=x2*|x|的图象是
答案
1
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√
答案
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14
15
16
由给出的运算定义知
f(x)=x2*|x|=
即f(x)=
所以B符合题意.
解析
13.设f(x)=若f(a)=f(a+1)，则f 等于
A.2 B.4 C.6 D.8
答案
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√
答案
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15
16
当01，则f(a)=f(a+1)=2(a+1-1)=2a，
∵f(a)=f(a+1)，∴=2a，
解得a=或a=0(舍去).
∴f =f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时，a+1≥2，
∴f(a)=2(a-1)，f(a+1)=2(a+1-1)=2a，
∴2(a-1)=2a，无解.综上，f =6.
解析
14.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为
　　　　　　 　　　　　　.
答案
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15
16
f(x)=
当-3≤x<-1时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将点(-3，1)，(-1，-2)代入，可得f(x)=-x-；
当-1≤x<1时，同理，可设f(x)=cx+d(c≠0)，将点(-1，-2)，(1，1)代入，可得f(x)=x-；
当1≤x<2时，f(x)=1.
所以f(x)=
解析
答案
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15
16
15.设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　　.
拓广探究
答案
1
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(-∞，2]
答案
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13
14
15
16
当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2；
当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；
当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2.
故y=
根据函数解析式作出函数图象，如图所示.
由图象可以看出，函数的值域为(-∞，2].
解析
16.已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2.
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；
答案
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当-1≤x<0时，[x]=-1，
所以f(x)=x+1；
当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x；
当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1.
综上，f(x)=
解
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；
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函数f(x)的图象如图所示.
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(3)根据图象写出函数f(x)的值域.
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由图象，得函数f(x)的值域为[0，1).
解
第三章　 3.1.1　函数及其表示方法
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