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第2课时
函数奇偶性的应用
第三章　 3.1.3　函数的奇偶性
<<<
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.
学习目标
一、利用奇偶性求解析式
二、函数奇偶性的综合问题
课时对点练
随堂演练
内容索引
利用奇偶性求解析式
一
用奇偶性求解析式的步骤
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)的解析式.
例 1
当x<0时，-x>0，则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3.
当x=0时，f(0)=0.
故f(x)=
解
角度1　求分段函数的解析式
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式.
延伸探究 1
当x<0时，-x>0，
则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)=f(-x)=x2+2x+3，
即当x<0时，f(x)=x2+2x+3.
解
已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
反
思
感
悟
已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)=x(1+x)，求f(x)的解析式.
跟踪训练 1
因为当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)，
所以f(-x)=-x[1+(-x)]=x(x-1).
因为f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)=f(-x)=x(x-1)，x∈(-∞，0).
所以f(x)=
解
设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x2，求函数f(x)，g(x)的解析式.
例 2
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
在f(x)+g(x)=2x+x2中， ①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2，
所以f(x)-g(x)=-2x+x2， ②
(①+②)÷2，得f(x)=x2.
(①-②)÷2，得g(x)=2x.
解
角度2　利用解方程组求解析式
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把-x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x).
反
思
感
悟
设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式.
跟踪训练 2
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x).
在f(x)+g(x)=中， ①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=
∴f(x)-g(x)= ②
(①+②)÷2，得f(x)=；
(①-②)÷2，得g(x)=.
解
二
函数奇偶性的综合问题
提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增.
想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？
问题1
提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m.
已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？
问题2
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a，即在对称区间上单调性 .
2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a，即在对称区间上单调性 .
3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同.
单调递增
相同
单调递减
相反
-M
N
(课本例3)已知函数f(x)满足f(5)(1)f(x)是偶函数；
例 3
角度1　比较大小
因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，
因此f(-5)=f(5)，f(-3)=f(3)，
从而由条件可知f(-5)解
(2)f(x)是奇函数.
因为f(x)是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
因此f(-5)=-f(5)，f(-3)=-f(3)，
又由条件可知-f(5)>-f(3)，
从而f(-5)>f(-3).
解
已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是
A.f(-0.5)C.f(0)例 3
√
∵函数f(x)为奇函数，
且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(-1)解析
把例3中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变.
(1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小；
延伸探究 2
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增，
则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，
∴f(-1)>f(-0.5)>f(0).
解
(2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小.
由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减.
方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)，
又f(2)∴f(-2)方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|-2|<|-3|<π，
∴f(π)>f(-3)>f(-2).
解
利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
反
思
感
悟
设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m) 例 4
角度2　解不等式
因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，
所以f(x)在[-2，2]上单调递减.
所以不等式f(1-m)所以实数m的取值范围为.
解
在本例中，把条件中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
延伸探究 3
因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数，
所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增.
因为f(1-m)所以解得-1≤m<
所以实数m的取值范围为.
解
要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)利用奇偶性求解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
随堂演练
三
1.奇函数y=f(x)的局部图象如图所示，则
A.f(2)>0>f(4)
B.f(2)<0C.f(2)>f(4)>0
D.f(2)√
由题意可知，函数的图象如图，可知f(2)>0>f(4).
解析
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4
1
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2.设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是
A. B.
C. D.
√
因为F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减.
解析
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3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=2x+3，则当x>0时，f(x) =　　　　.
当x>0时，-x<0，∴f(-x)=-2x+3，又f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)，∴当x>0时，f(x)=-2x+3.
解析
-2x+3
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4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　.
由题意可知|a|<3，解得-3解析
(-3，3)
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A A C A < (-1，3)
题号 11 12 13 14 15 答案 D ABC (-3，0)∪(3，+∞) 506 1　
对一对
答案
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∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，由f(1-x)+f(1-2x)<0，
得f(1-x)<-f(1-2x)，
即f(1-x)又∵f(x)在(-1，1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
10.
答案
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(1)由f(1)=f(3)=-3，
得解得
(2)由(1)知f(x)=x2-4x.
①[-2，2].
②由题意得当x≥0时，g(x)=x2-4x；
当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x，
10.
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因为g(x)是奇函数，g(x)=-g(-x)，
所以当x<0时，g(x)=-x2-4x.
若g(a)>a，
则或
解得a>5或-5综上，实数a的取值范围为(-5，0)∪(5，+∞).
16.
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(1)令2x+1=t，
则f(t)=-.
所以f(x)=-
f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(-x)=-
=-=-f(x).
所以f(x)是奇函数.
16.
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(2)因为不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0，且f(x)是奇函数.
所以f(a2-5a-3)又f(x)=-=
f(x)的图象如图，
16.
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①当a2-5a-3≤-3，即0≤a≤5时，
则有17-4a>-3，即a<5，综上，0≤a<5；
②当-3则有a2-5a-3<17-4a，
解得-4③当a2-5a-3≥3，即a≤-1或a≥6时，原不等式无解.
综上，实数a的取值范围是{a|-1基础巩固
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于
A.-3 B.-1
C.1 D.3
√
方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3.
方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)，∴f(x)=-2x2-x，故f(1)=-3.
解析
答案
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2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为
A.(-∞，0] B.[0，+∞)
C.(-∞，+∞) D.[1，+∞)
√
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因为函数为偶函数，所以2+a=0，a=-2，
即函数f(x)=-2x2+1，
所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增.
解析
3.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间
[-7，-3]上
A.单调递增，且有最大值-5 B.单调递增，且有最小值-5
C.单调递减，且有最大值-5 D.单调递减，且有最小值-5
√
因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)=5.
由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[-7，-3]上单调递增，且有最大值f(-3)=-f(3)=-5.
解析
答案
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4.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)A. B. C. D.
√
由题意得|2x-1|< -<2x-1< <2x< 解析
答案
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5.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为
A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1)
C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2)
√
答案
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当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意；
当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m=0，∴f(x)=-x2+2，
∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减.
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2).
解析
6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(2)+g(2)等于
A.-3 B.-1 C.1 D.3
√
答案
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∵f(x)-g(x)=x3+x2+1，∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.
又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1，
∴f(2)+g(2)=-3.
解析
7.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)+f(b)>0，则a+b　　　0.(填“>”“<”或“=”)
∵f(a)+f(b)>0，∴f(a)>-f(b)，∴f(a)>f(-b)，
又f(x)为减函数，∴a<-b，∴a+b<0.
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<
8.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0，则x的取值范围是　　　　　.
因为f(x)是偶函数，所以f(x-1)=f(|x-1|).
又因为f(2)=0，
所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).
又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，
所以|x-1|<2，
解得-1解析
答案
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(-1，3)
9.已知f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(x)在(-1，1)上是减函数，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.
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∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，
由f(1-x)+f(1-2x)<0，得f(1-x)<-f(1-2x)，
即f(1-x)又∵f(x)在(-1，1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
解
答案
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10.已知二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(1)=f(3)=-3.
(1)求b，c的值；
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由f(1)=f(3)=-3，
得
解
(2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)=f(x).
①直接写出g(x)的单调递减区间；
答案
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由(1)知f(x)=x2-4x.
[-2，2].
解
②若g(a)>a，求实数a的取值范围.
答案
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由题意得当x≥0时，g(x)=x2-4x；
当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x，
因为g(x)是奇函数，g(x)=-g(-x)，
所以当x<0时，g(x)=-x2-4x.
若g(a)>a，则
解得a>5或-5综上，实数a的取值范围为(-5，0)∪(5，+∞).
解
11.若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，则函数y=F(x)在(-∞，0)上有
A.最大值-8 B.最小值-8
C.最小值-6 D.最小值-4
√
综合运用
答案
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∵y=f(x)和y=x都是奇函数，
∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数.
又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，
∴T(x)=af(x)+bx在(0，+∞)上有最大值6，
∴T(x)=af(x)+bx在(-∞，0)上有最小值-6，
∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞，0)上有最小值-4.
解析
12.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则
A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数
B.f(x)=-x
C.g(x)=2x2+1
D.g(2)=4
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令F(x)=[f(x)]2-3g(x)，
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)，
所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确；
因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3， ①
所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3， ②
由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确；
易得g(2)=8+1=9，故D错误.
解析
13.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　 　.
答案
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(-3，0)∪(3，+∞)
因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0.
因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3；
当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-3所以原不等式的解集为(-3，0)∪(3，+∞).
解析
14.若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　.
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由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]，
设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0，
其定义域关于原点对称，
则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025].
因为g(-x)==-=-g(x)，
所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称，
解析
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所以g(x)max+g(x)min=0，
所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024，
所以t=506.
解析
15.已知函数f(x)=是奇函数，且在上单调递减，
则实数a=　　，实数m的取值范围为　　　　　　.
拓广探究
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函数f(x)为奇函数，则满足f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1).
又f(1)=1-a，f(-1)=-1+1=0，则1-a=0，得a=1，此时f(x)=
解析
又函数y=x2-x的图象的对称轴为直线x=函数y=-x2-x的图象的对称轴为直线x=-则函数f(x)的图象如图所示.
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解析
则函数f(x)的单调递减区间为
因为函数f(x)在上单调递减，
所以即-≤m≤0，
即实数m的取值范围是.
16.已知函数f(2x+1)=|2x+4|-|2x-2|.
(1)证明：f(x)是奇函数；
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令2x+1=t，则f(t)=-.
所以f(x)=-
f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(-x)=-=-=-f(x).
所以f(x)是奇函数.
证明
(2)若不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0成立，求实数a的取值范围.
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因为不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0，且f(x)是奇函数.
所以f(a2-5a-3)又f(x)=-=
f(x)的图象如图，
①当a2-5a-3≤-3，即0≤a≤5时，则有17-4a>-3，即a<5，综上，0≤a<5；
解
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②当-3解得-4③当a2-5a-3≥3，即a≤-1或a≥6时，原不等式无解.
综上，实数a的取值范围是{a|-1解
第三章　 3.1.3　函数的奇偶性
<<<3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
导语
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.
一、函数奇偶性的判断
问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 …
提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
问题3　观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称.
知识梳理　函数奇偶性的概念及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数 关于原点对称
有关结论
当n是正整数时 函数f(x)=x2n是偶函数 函数g(x)=x2n-1是奇函数
注意点：
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称.
(3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0.
(4)若f(x)为偶函数，则有f(|x|)=f(x).
(5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.
例1　(课本例1)判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)=x+x3+x5；
(2)f(x)=x2+1；
(3)f(x)=x+1；
(4)f(x)=x2，x∈[-1，3].
解　(1)因为函数的定义域为R，
所以x∈R时，-x∈R.又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.
(2)因为函数的定义域为R，
所以x∈R时，-x∈R.
又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，
所以函数f(x)=x2+1是偶函数.
(3)因为函数的定义域为R，
所以x∈R时，-x∈R.
又因为f(-1)=0，f(1)=2，
所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)，
因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f(x)是非奇非偶函数).
(4)因为函数的定义域为[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3 [-1，3]，所以函数f(x)=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x-；
(2)f(x)=+ ；
(3)f(x)=；
(4)f(x)=
解　(1)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(-x)=-x+=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
(2)∵函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，且f(x)=0，
又∵f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)方法一　作出函数f(x)的图象如图所示，∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴函数f(x)为奇函数.
方法二　当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，
∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1，
∴f(-x)=-f(x)；
当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，
f(-x)=1-(-x)2=1-x2，
∴f(-x)=-f(x)；
当x=0时，f(0)=0.
综上，对 x∈R，总有f(-x)=-f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
延伸探究1　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的偶函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性.
解　设F(x)=f(x)+g(x)，
∵f(x)，g(x)的定义域为R，
∴F(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)，
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)，
∴F(x)为偶函数.
同理可得，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)均为偶函数.
延伸探究2　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的奇函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性.
解　由延伸探究1易知f(x)±g(x)为奇函数.
设G(x)=(g(x)≠0)，
∵f(x)，g(x)的定义域为R，
∴G(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，
∴G(-x)====G(x)，
∴G(x)为偶函数，
即(g(x)≠0)为偶函数，
同理，f(x)·g(x)为偶函数.
延伸探究3　若已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，判断 f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性.
解　设H(x)=f(x)·g(x)，
∵f(x)，g(x)的定义域为R，
∴H(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
∴H(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-H(x)，
∴H(x)为奇函数，即f(x)·g(x)为奇函数，
同理(g(x)≠0)为奇函数.
反思感悟　判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.
(3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数，积、商(分母不为零)为偶函数；
③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数.
二、奇、偶函数图象的特征及应用
例2　已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y=f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解　(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2延伸探究4　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解　(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为(-1，1).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
三、利用函数奇偶性求值
例3　(1)设函数f(x)=为奇函数，则实数a=　　　　.
答案　-1
解析　因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
即=-
显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a，故a+1=0，得a=-1.经检验，符合题意.
(2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　　.
答案　7
解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，又f(x)=g(x)+2，
∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2=-3，
∴g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7.
延伸探究5　若将例3(2)中“f(-3)=-3”改为“f(m)=7”，其他条件不变，则f(-m)=　　　　.
答案　-3
解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，f(x)=g(x)+2，
∵f(m)=7，∴f(m)=g(m)+2=7，∴g(m)=5，
∵g(x)是奇函数，
∴f(-m)=g(-m)+2=-g(m)+2=-5+2=-3.
延伸探究6　本例(2)中的f(x)，对于任意x∈R，f(x)+f(-x)是否为定值？
解　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，
则g(x)是奇函数，∴g(x)+g(-x)=0，
由f(x)=g(x)+2，得f(-x)=g(-x)+2，
∴f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+4=4，
∴f(x)+f(-x)的值为定值4.
反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
(3)利用函数奇偶性求值.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
答案　B
解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除A；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除C，D；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
2.函数f(x)=x3的图象(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
答案　D
解析　f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-4)=-5，则f(4)+f(0)等于(　　)
A.5 B.-5 C.4 D.-4
答案　A
解析　由f(x)是奇函数，则f(4)=-f(-4)=5，又f(0)=0，故f(4)+f(0)=5.
4.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=　　　　，b=　　　　.
答案　　0
解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=.
又函数f(x)=x2+bx+b+1为二次函数，结合偶函数图象的特点，得b=0.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=x B.y=-
C.y= D.y=x2
答案　D
解析　对于A，y=x是奇函数，故A错误；
对于B，y=-的定义域为∪且-=-可得y=-是奇函数，故B错误；
对于C，y=的定义域为定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，y=x2的定义域为R，且=x2，所以y=x2是偶函数.
2.函数f(x)=的图象一定关于(　　)
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线x=1对称
答案　C
解析　因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称.
3.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a的值为(　　)
A.4 B.-4 C.-1 D.1
答案　A
解析　f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)，则a-4=0，即a=4.
4.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案　B
解析　∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，
又x∈(-a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数.
5.已知f(x)=x5+ax3+bx-2，若f(-3)=10，则f(3)等于(　　)
A.-8 B.18 C.10 D.-14
答案　D
解析　由f(x)=x5+ax3+bx-2，得f(x)+2=x5+ax3+bx.
令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+2，
∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x)，
∴G(x)是奇函数.∴G(-3)=-G(3)，
即f(-3)+2=-f(3)-2，
又f(-3)=10，∴f(3)=-f(-3)-4=-10-4=-14.
6.(多选)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则下列关于f(x)在[0，+∞)上的结论正确的是(　　)
A.f(0)=0 B.f(1)=0
C.最大值为 D.最小值为-
答案　ABC
解析　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.f(x)在(-∞，0)上的图象与在(0，+∞)上的图象关于原点对称，画出f(x)在R上的图象如图.易得A，B，C正确.
7.(5分)偶函数f(x)在区间[0，+∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　　.
答案　[-1，0]，[1，+∞)
解析　偶函数的图象关于y轴对称，补全图象(图略)后可知函数f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[1，+∞).
8.(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，+∞)时，f(x)=则f(f(-2))的值为　　　　.
答案　1
解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(-2)=f(2)=2-2=0，f(0)=0+1=1.
∴f(f(-2))=f(0)=1.
9.(10分)判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=；(2分)
(2)f(x)=；(2分)
(3)f(x)=(3分)
(4)f(x)=.(3分)
解　(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以f(x)=是非奇非偶函数.
(2)f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称.
f(-x)==-f(x)，所以f(x)为奇函数.
(3)f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，
当x>0时，-x<0，
则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；
当x<0时，-x>0，
则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)，
所以f(x)是偶函数.
(4)易知，x的取值必须满足
解得-≤x<0或0于是|x+2|-2=x+2-2=x，从而f(x)=显然它是奇函数.
10.(11分)已知函数f(x)=x2-4|x|+3.
(1)证明：函数f(x)是偶函数；(4分)
(2)作出函数f(x)的图象；(4分)
(3)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间.(不必证明)(3分)
(1)证明　f(x)的定义域为R，且f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x)，故函数f(x)是偶函数.
(2)解　函数f(x)的图象如图.
(3)解　函数f(x)的单调递增区间为(-2，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，(0，2).
11.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-若f(2)+f(0)=1，则f(-3)等于(　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.1
答案　A
解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，
又因为f(2)+f(0)=1，所以f(2)=4-=1，解得a=6，所以f(x)=2x-(x>0)，
所以f(-3)=-f(3)=-=-4.
12.(多选)若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(　　)
A.|f(x)|一定是偶函数
B.f(x)f(-x)一定是偶函数
C.f(x)f(-x)≥0
D.f(-x)+|f(x)|=0
答案　AB
解析　∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).
对于A，∵|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；
对于B，令g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)f(x)=g(x)，∴f(x)f(-x)是偶函数，故B正确；
对于C，f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0，故C错误；
对于D，不妨设f(x)=x，f(x)为奇函数，当x=-1时，f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(1)|=1+1=2≠0，故D错误.
13.(5分)已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是　　　　　　　　　　.
答案　{x|-2解析　由题意知，y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数.根据奇函数、偶函数图象的对称性画出y=f(x)，y=g(x)在[-3，0]上的图象如图所示.
由图可知，f(x)>0 00 114.(5分)已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，则a+b+c=　　　　.
答案　5
解析　因为函数f(x)=是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
故=-
即=
所以-bx+c=-bx-c，即c=-c，解得c=0.
所以f(x)=.
而f(1)===3，
所以a+1=3b.①
又f(2)===5，
所以4a+1=10b.②
由①②解得
故a+b+c=++0=5.
15.定义两种运算：①a b=②a b=则函数f(x)=是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案　A
解析　结合题中新定义的运算有
f(x)==.
若使函数有意义，则求解不等式可得函数的定义域为[-2，0)∪(0，2]，
则函数的解析式为f(x)==
据此有f(-x)==-=-f(x)，可得函数f(x)是奇函数.
16.(12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明；(4分)
(2)若f(1)=1，求f(-2)；(2分)
(3)若 x>0，f(x)+x3>0，判断并证明y=f(x)+x3的单调性.(6分)
解　(1)y=f(x)是奇函数.证明如下：
因为f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0，
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，
所以f(-x)=-f(x)，
又y=f(x)的定义域关于原点对称，
所以y=f(x)是奇函数.
(2)令x=y=1，得f(2)=f(1)+f(1)-6=-4，
由(1)知y=f(x)是奇函数，所以f(-2)=-f(2)=4.
(3)y=f(x)+x3在R上单调递增.
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1>x2，令h(x)=f(x)+x3，
则h(x1)-h(x2)
=f(x1)+-f(x2)-
=f(x1-x2+x2)-f(x2)+(x1-x2)(+x1x2+)
=f(x1-x2)-3(x1-x2)x2x1+(x1-x2)(+x1x2+)
=f(x1-x2)+(x1-x2)(-2x1x2+)
=f(x1-x2)+(x1-x2)3，
又因为 x>0，f(x)+x3>0，而x1-x2>0，
所以f(x1-x2)+(x1-x2)3>0，
所以h(x1)-h(x2)>0，即h(x1)>h(x2)，
所以y=f(x)+x3在R上单调递增.(共91张PPT)
第1课时
函数的奇偶性
第三章　 3.1.3　函数的奇偶性
<<<
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
学习目标
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
导 语
而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.
一、函数奇偶性的判断
二、奇、偶函数图象的特征及应用
课时对点练
三、利用函数奇偶性求值
随堂演练
内容索引
函数奇偶性的判断
一
提示　这两个函数图象都关于y轴对称.
观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
问题1
提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
问题2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 …
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称.
观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
问题3
函数奇偶性的概念及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且 ，则称y=f(x)为偶函数 关于 对称
奇函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且 ，则称y=f(x)为奇函数 关于 对称
f(-x)=f(x)
y轴
f(-x)=-f(x)
原点
有关结论
当n是正整数时 函数f(x)=x2n是_______ 函数g(x)=x2n-1是_______
偶函数
奇函数
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称.
(3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0.
(4)若f(x)为偶函数，则有f(|x|)=f(x).
(5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.
注 意 点
<<<
(课本例1)判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)=x+x3+x5；
例 1
因为函数的定义域为R，
所以x∈R时，-x∈R.
又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.
解
(2)f(x)=x2+1；
因为函数的定义域为R，
所以x∈R时，-x∈R.
又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，
所以函数f(x)=x2+1是偶函数.
解
(3)f(x)=x+1；
因为函数的定义域为R，
所以x∈R时，-x∈R.
又因为f(-1)=0，f(1)=2，
所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)，
因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f(x)是非奇非偶函数).
解
(4)f(x)=x2，x∈[-1，3].
因为函数的定义域为[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3 [-1，3]，所以函数f(x)=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.
解
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x-；
例 1
∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(-x)=-x+=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
解
(2)f(x)=+ ；
∵函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，且f(x)=0，
又∵f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
解
(3)f(x)=；
∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
解
(4)f(x)=
方法一　作出函数f(x)的图象如图所示，∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴函数f(x)为奇函数.
方法二　当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，
∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1，∴f(-x)=-f(x)；
当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，f(-x)=1-(-x)2=1-x2，
∴f(-x)=-f(x)；
当x=0时，f(0)=0.
综上，对 x∈R，总有f(-x)=-f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
解
若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的偶函数，判断f(x)± g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性.
延伸探究 1
设F(x)=f(x)+g(x)，
∵f(x)，g(x)的定义域为R，
∴F(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)，
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)，
∴F(x)为偶函数.
同理可得，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)均为偶函数.
解
若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的奇函数，判断f(x)± g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性.
延伸探究 2
由延伸探究1易知f(x)±g(x)为奇函数.
设G(x)=(g(x)≠0)，
∵f(x)，g(x)的定义域为R，
∴G(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，
∴G(-x)====G(x)，∴G(x)为偶函数，
即(g(x)≠0)为偶函数，
同理，f(x)·g(x)为偶函数.
解
若已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，判断 f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性.
延伸探究 3
设H(x)=f(x)·g(x)，
∵f(x)，g(x)的定义域为R，
∴H(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
∴H(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-H(x)，
∴H(x)为奇函数，即f(x)·g(x)为奇函数，
同理(g(x)≠0)为奇函数.
解
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
反
思
感
悟
(2)图象法
反
思
感
悟
注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.
(3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数，积、商(分母不为零)为偶函数；
③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数.
反
思
感
悟
二
奇、偶函数图象的特征及应用
已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y=f(x)的图象；
例 2
由题意作出函数图象如图所示.
解
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间；
由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞).
解
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2解
若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
延伸探究 4
(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为(-1，1).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
解
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
反
思
感
悟
利用函数奇偶性求值
三
(1)设函数f(x)=为奇函数，则实数a=　　　.
例 3
因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
即=-
显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a，故a+1=0，得a=-1.经检验，符合题意.
解析
-1
(2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　.
令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，又f(x)=g(x)+2，
∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2=-3，
∴g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7.
解析
7
若将例3(2)中“f(-3)=-3”改为“f(m)=7”，其他条件不变，则f(-m)=　　　　.
延伸探究 5
令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，f(x)=g(x)+2，
∵f(m)=7，∴f(m)=g(m)+2=7，∴g(m)=5，
∵g(x)是奇函数，
∴f(-m)=g(-m)+2=-g(m)+2=-5+2=-3.
解析
-3
本例(2)中的f(x)，对于任意x∈R，f(x)+f(-x)是否为定值？
延伸探究 6
令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，
则g(x)是奇函数，∴g(x)+g(-x)=0，
由f(x)=g(x)+2，得f(-x)=g(-x)+2，
∴f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+4=4，
∴f(x)+f(-x)的值为定值4.
解
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)= f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
(3)利用函数奇偶性求值.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是
选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除A；
选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除C，D；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
解析
√
1
2
3
4
2.函数f(x)=x3的图象
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
√
f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
解析
1
2
3
4
3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-4)=-5，则f(4)+f(0)等于
A.5 B.-5 C.4 D.-4
√
由f(x)是奇函数，则f(4)=-f(-4)=5，又f(0)=0，故f(4)+f(0)=5.
解析
1
2
3
4
4.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=　　　，b=　 　.
因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=.
又函数f(x)=x2+bx+b+1为二次函数，结合偶函数图象的特点，得b=0.
解析
0
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A B D ABC [-1，0]， [1，+∞) 题号 8 11 12 13 14 15
答案 1 A AB {x|-2对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，
所以f(x)=是非奇非偶函数.
(2)f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称.
f(-x)==-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，
当x>0时，-x<0，
则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；
当x<0时，-x>0，
则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)，
所以f(x)是偶函数.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
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13
14
15
16
(4)易知，x的取值必须满足
解得-≤x<0或0于是|x+2|-2=x+2-2=x，从而f(x)=显然它是奇函数.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
(1)f(x)的定义域为R，且f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x)，故函数f(x)是偶函数.
(2)函数f(x)的图象如图.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)函数f(x)的单调递增区间为(-2，0)，(2，+∞)，单调递减区间为
(-∞，-2)，(0，2).
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)y=f(x)是奇函数.
证明如下：
因为f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0，令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，
所以f(-x)=-f(x)，
又y=f(x)的定义域关于原点对称，
所以y=f(x)是奇函数.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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12
13
14
15
16
(2)令x=y=1，
得f(2)=f(1)+f(1)-6=-4，
由(1)知y=f(x)是奇函数，
所以f(-2)=-f(2)=4.
(3)y=f(x)+x3在R上单调递增.
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1>x2，
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
令h(x)=f(x)+x3，
则h(x1)-h(x2)=f(x1)+-f(x2)-
=f(x1-x2+x2)-f(x2)+(x1-x2)(+x1x2+)
=f(x1-x2)-3(x1-x2)x2x1+(x1-x2)(+x1x2+)
=f(x1-x2)+(x1-x2)(-2x1x2+)
=f(x1-x2)+(x1-x2)3，
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又因为 x>0，f(x)+x3>0，
而x1-x2>0，
所以f(x1-x2)+(x1-x2)3>0，
所以h(x1)-h(x2)>0，
即h(x1)>h(x2)，
所以y=f(x)+x3在R上单调递增.
基础巩固
1.下列函数是偶函数的是
A.y=x B.y=-
C.y= D.y=x2
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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16
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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12
13
14
15
16
对于A，y=x是奇函数，故A错误；
对于B，y=-∪且-=-可得y=-是奇函数，故B错误；
对于C，y=定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，y=x2的定义域为R，且=x2，所以y=x2是偶函数.
解析
2.函数f(x)=的图象一定关于
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线x=1对称
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称.
解析
3.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a的值为
A.4 B.-4 C.-1 D.1
√
f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)，则a-4=0，即a=4.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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14
15
16
4.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
√
∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，
又x∈(-a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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14
15
16
5.已知f(x)=x5+ax3+bx-2，若f(-3)=10，则f(3)等于
A.-8 B.18 C.10 D.-14
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由f(x)=x5+ax3+bx-2，得f(x)+2=x5+ax3+bx.
令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+2，
∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x)，
∴G(x)是奇函数.
∴G(-3)=-G(3)，即f(-3)+2=-f(3)-2，
又f(-3)=10，∴f(3)=-f(-3)-4=-10-4=-14.
解析
6.(多选)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则下列关于f(x)在[0，+∞)上的结论正确的是
A.f(0)=0 B.f(1)=0
C.最大值为 D.最小值为-
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.f(x)在(-∞，0)上的图象与在(0，+∞)上的图象关于原点对称，画出f(x)在R上的图象如图.易得A，B，C正确.
解析
7.偶函数f(x)在区间[0，+∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　.
偶函数的图象关于y轴对称，补全图象(图略)后可知函数f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[1，+∞).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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8
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[-1，0]，[1，+∞)
8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，+∞)时，f(x)= 则f(f(-2))的值为　　　　.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(-2)=f(2)=2-2=0，f(0)=0+1=1.
∴f(f(-2))=f(0)=1.
解析
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9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=；
函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以f(x)=是非奇非偶函数.
解
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(2)f(x)=；
f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称.
f(-x)==-f(x)，所以f(x)为奇函数.
解
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(3)f(x)=
f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，
当x>0时，-x<0，
则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；
当x<0时，-x>0，
则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)，
所以f(x)是偶函数.
解
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(4)f(x)=.
易知，x的取值必须满足
解得-≤x<0或0所以f(x)的定义域为[-0)∪(0关于原点对称.
于是|x+2|-2=x+2-2=x，从而f(x)=显然它是奇函数.
解
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10.已知函数f(x)=x2-4|x|+3.
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
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f(x)的定义域为R，且f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x)，故函数f(x)是偶函数.
证明
(2)作出函数f(x)的图象；
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函数f(x)的图象如图.
解
(3)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间.(不必证明)
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函数f(x)的单调递增区间为(-2，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，(0，2).
解
11.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-若f(2)+f(0)=1，则f(-3)等于
A.-4 B.-3 C.-2 D.1
√
综合运用
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因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，
又因为f(2)+f(0)=1，所以f(2)=4-=1，解得a=6，所以f(x)=2x-(x>0)，
所以f(-3)=-f(3)=-=-4.
解析
12.(多选)若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是
A.|f(x)|一定是偶函数
B.f(x)f(-x)一定是偶函数
C.f(x)f(-x)≥0
D.f(-x)+|f(x)|=0
√
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∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).
对于A，∵|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；
对于B，令g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)f(x)=g(x)，∴f(x)f(-x)是偶函数，故B正确；
对于C，f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0，故C错误；
对于D，不妨设f(x)=x，f(x)为奇函数，当x=-1时，f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(1)| =1+1=2≠0，故D错误.
解析
13.已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3，3]，
且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是
　　　　 　　 .
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{x|-2答案
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由题意知，y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数.
根据奇函数、偶函数图象的对称性画出y=f(x)，y=g(x)在[-3，0]上的图象如图所示.
解析
由图可知，f(x)>0 0>0 114.已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，则a+b+c=　　.
答案
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因为函数f(x)=是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
故=-即=
所以-bx+c=-bx-c，即c=-c，解得c=0.
所以f(x)=.
而f(1)===3，
所以a+1=3b. ①
解析
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又f(2)===5，
所以4a+1=10b. ②
由①②解得
故a+b+c=++0=5.
解析
15.定义两种运算：①a b=②a b=则函数f(x)= 是
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
拓广探究
√
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结合题中新定义的运算有f(x)==.
若使函数有意义，则求解不等式可得函数的定义域为[-2，0)∪(0，2]，
则函数的解析式为f(x)==
据此有f(-x)==-=-f(x)，可得函数f(x)是奇函数.
解析
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明；
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y=f(x)是奇函数.
证明如下：
因为f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0，
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，
所以f(-x)=-f(x)，
又y=f(x)的定义域关于原点对称，
所以y=f(x)是奇函数.
解
(2)若f(1)=1，求f(-2)；
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令x=y=1，得f(2)=f(1)+f(1)-6=-4，
由(1)知y=f(x)是奇函数，所以f(-2)=-f(2)=4.
解
(3)若 x>0，f(x)+x3>0，判断并证明y=f(x)+x3的单调性.
y=f(x)+x3在R上单调递增.
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1>x2，令h(x)=f(x)+x3，
则h(x1)-h(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1-x2+x2)-f(x2)+(x1-x2)(+x1x2+)
=f(x1-x2)-3(x1-x2)x2x1+(x1-x2)(+x1x2+)=f(x1-x2)+(x1-x2)(-2x1x2+)
=f(x1-x2)+(x1-x2)3，
又因为 x>0，f(x)+x3>0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)+(x1-x2)3>0，
所以h(x1)-h(x2)>0，即h(x1)>h(x2)，所以y=f(x)+x3在R上单调递增.
解
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第三章　 3.1.3　函数的奇偶性
<<<第2课时　函数奇偶性的应用
学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.
一、利用奇偶性求解析式
用奇偶性求解析式的步骤
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).
角度1　求分段函数的解析式
例1　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)的解析式.
解　当x<0时，-x>0，
则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3.
当x=0时，f(0)=0.
故f(x)=
延伸探究1　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式.
解　当x<0时，-x>0，
则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)=f(-x)=x2+2x+3，
即当x<0时，f(x)=x2+2x+3.
反思感悟　已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
跟踪训练1　已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)=x(1+x)，求f(x)的解析式.
解　因为当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)，
所以f(-x)=-x[1+(-x)]=x(x-1).
因为f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)=f(-x)=x(x-1)，x∈(-∞，0).
所以f(x)=
角度2　利用解方程组求解析式
例2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x2，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
在f(x)+g(x)=2x+x2中， ①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2，
所以f(x)-g(x)=-2x+x2，②
(①+②)÷2，得f(x)=x2.
(①-②)÷2，得g(x)=2x.
反思感悟　利用f(x)，g(x)一奇一偶，把-x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x).
跟踪训练2　 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x).
在f(x)+g(x)=中，①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=
∴f(x)-g(x)=②
(①+②)÷2，得f(x)=；
(①-②)÷2，得g(x)=.
二、函数奇偶性的综合问题
问题1　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？
提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增.
问题2　已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？
提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m.
知识梳理
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同.
角度1　比较大小
例3　(课本例3)已知函数f(x)满足f(5)(1)f(x)是偶函数；　　(2)f(x)是奇函数.
解　(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(-x)=f(x)，
因此f(-5)=f(5)，f(-3)=f(3)，
从而由条件可知f(-5)(2)因为f(x)是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
因此f(-5)=-f(5)，f(-3)=-f(3)，
又由条件可知-f(5)>-f(3)，
从而f(-5)>f(-3).
例3　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　)
A.f(-0.5)B.f(-1)C.f(0)D.f(-1)答案　B
解析　∵函数f(x)为奇函数，
且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(-1)延伸探究2　把例3中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变.
(1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小；
(2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小.
解　(1)由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增，
则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，
∴f(-1)>f(-0.5)>f(0).
(2)由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减.
方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)，
又f(2)∴f(-2)方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|-2|<|-3|<π，
∴f(π)>f(-3)>f(-2).
反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
角度2　解不等式
例4　设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，
所以f(x)在[-2，2]上单调递减.
所以不等式f(1-m)解得-1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
延伸探究3　在本例中，把条件中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数，
所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增.
因为f(1-m)所以解得-1≤m<
所以实数m的取值范围为.
反思感悟　要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)1.知识清单：
(1)利用奇偶性求解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
1.奇函数y=f(x)的局部图象如图所示，则(　　)
A.f(2)>0>f(4)
B.f(2)<0C.f(2)>f(4)>0
D.f(2)答案　A
解析　由题意可知，函数的图象如图，可知f(2)>0>f(4).
2.设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减.
3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=2x+3，则当x>0时，f(x)=　　　　　　　　.
答案　-2x+3
解析　当x>0时，-x<0，∴f(-x)=-2x+3，又f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)，∴当x>0时，f(x)=-2x+3.
4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-3，3)
解析　由题意可知|a|<3，解得-3课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于(　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
答案　A
解析　方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3.
方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)，∴f(x)=-2x2-x，故 f(1)=-3.
2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(-∞，0] B.[0，+∞)
C.(-∞，+∞) D.[1，+∞)
答案　A
解析　因为函数为偶函数，所以2+a=0，a=-2，
即函数f(x)=-2x2+1，
所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增.
3.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[-7，-3]上(　　)
A.单调递增，且有最大值-5
B.单调递增，且有最小值-5
C.单调递减，且有最大值-5
D.单调递减，且有最小值-5
答案　A
解析　因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[-7，-3]上单调递增，且有最大值f(-3)=-f(3)=-5.
4.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意得|2x-1|< -<2x-1< <2x< 5.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为(　　)
A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1)
C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2)
答案　C
解析　当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m=0，∴f(x)=-x2+2，
∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减.
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2).
6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(2)+g(2)等于(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案　A
解析　∵f(x)-g(x)=x3+x2+1，
∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.
又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1，
∴f(2)+g(2)=-3.
7.(5分)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)+f(b)>0，则a+b　　　　0.(填“>”“<”或“=”)
答案　<
解析　∵f(a)+f(b)>0，∴f(a)>-f(b)，∴f(a)>f(-b)，
又f(x)为减函数，∴a<-b，∴a+b<0.
8.(5分)已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0，则x的取值范围是　　　　　　　　.
答案　(-1，3)
解析　因为f(x)是偶函数，
所以f(x-1)=f(|x-1|).
又因为f(2)=0，
所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).
又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，
所以|x-1|<2，
解得-19.(10分)已知f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(x)在(-1，1)上是减函数，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.
解　∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，
由f(1-x)+f(1-2x)<0，得
f(1-x)<-f(1-2x)，
即f(1-x)又∵f(x)在(-1，1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
10.(12分)已知二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(1)=f(3)=-3.
(1)求b，c的值；(3分)
(2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)=f(x).
①直接写出g(x)的单调递减区间；(3分)
②若g(a)>a，求实数a的取值范围.(6分)
解　(1)由f(1)=f(3)=-3，
得解得
(2)由(1)知f(x)=x2-4x.
①[-2，2].
②由题意得当x≥0时，g(x)=x2-4x；
当x<0时，-x>0，
则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x，
因为g(x)是奇函数，g(x)=-g(-x)，
所以当x<0时，g(x)=-x2-4x.
若g(a)>a，则或
解得a>5或-5综上，实数a的取值范围为(-5，0)∪(5，+∞).
11.若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，则函数y=F(x)在(-∞，0)上有(　　)
A.最大值-8 B.最小值-8
C.最小值-6 D.最小值-4
答案　D
解析　∵y=f(x)和y=x都是奇函数，
∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数.
又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，
∴T(x)=af(x)+bx在(0，+∞)上有最大值6，
∴T(x)=af(x)+bx在(-∞，0)上有最小值-6，
∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞，0)上有最小值-4.
12.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则(　　)
A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数
B.f(x)=-x
C.g(x)=2x2+1
D.g(2)=4
答案　ABC
解析　令F(x)=[f(x)]2-3g(x)，
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)，
所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确；
因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，①
所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3，②
由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确；
易得g(2)=8+1=9，故D错误.
13.(5分)若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　.
答案　(-3，0)∪(3，+∞)
解析　因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0.因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3；当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-314.(5分)若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　　.
答案　506
解析　由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]，
设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0，
其定义域关于原点对称，
则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025].
因为g(-x)=
=-=-g(x)，
所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称，
所以g(x)max+g(x)min=0，
所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024，
所以t=506.
15.(5分)已知函数f(x)=是奇函数，且在上单调递减，则实数a=　　　　，实数m的取值范围为　　　　　　　　　.
答案　1　
解析　函数f(x)为奇函数，则满足f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1).
又f(1)=1-a，f(-1)=-1+1=0，则1-a=0，得a=1，此时f(x)=
又函数y=x2-x的图象的对称轴为直线x=函数y=-x2-x的图象的对称轴为直线x=-则函数f(x)的图象如图所示.
则函数f(x)的单调递减区间为
因为函数f(x)在上单调递减，
所以解得即-≤m≤0，
即实数m的取值范围是.
16.(12分)已知函数f(2x+1)=|2x+4|-|2x-2|.
(1)证明：f(x)是奇函数；(4分)
(2)若不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0成立，求实数a的取值范围.(8分)
(1)证明　令2x+1=t，则f(t)=-.
所以f(x)=-
f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(-x)=-=-=-f(x).
所以f(x)是奇函数.
(2)解　因为不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0，且f(x)是奇函数.
所以f(a2-5a-3)又f(x)=-=
f(x)的图象如图，
①当a2-5a-3≤-3，即0≤a≤5时，则有17-4a>-3，即a<5，综上，0≤a<5；
②当-3解得-4③当a2-5a-3≥3，即a≤-1或a≥6时，原不等式无解.
综上，实数a的取值范围是{a|-1

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