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第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
学习目标　1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法.
导语
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50~100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧.
一、函数的零点及求法
问题1　观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2-2x-3=0 y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示　方程x2-2x-3=0的根为-1，3，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1，0)，(3，0)；
x2-2x+1=0有两个相等的实数根，为1，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1，0)；
x2-2x+3=0没有实根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
知识梳理　函数零点的概念
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)=0，则称α为函数y=f(x)的零点.
α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图象与x轴的公共点.
注意点：
(1)函数的零点是一个实数，不是点，即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
(2)方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点.
(3)不能用公式求解的方程，可利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解；或将方程转化为两个函数，利用这两个函数图象来解决问题.
角度1　求函数的零点
例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)=；(2)f(x)=x2+2x+4.
解　(1)解方程=0，得x=-6，所以函数的零点为-6.
(2)令x2+2x+4=0，
由于Δ=22-4×1×4=-12<0，
所以方程x2+2x+4=0无实数解，
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
反思感悟　求函数y=f(x)的零点的方法
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解，求解时注意函数的定义域.
(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)=0.
角度2　函数的零点个数问题
例2　函数f(x)=的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　方法一　因为方程x+2=0(x<0)的根为x=-2，方程x2-1=0(x>0)的根为x=1，所以函数f(x)有2个零点：-2与1.
方法二　画出函数f(x)=的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.
反思感悟　判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断.
(2)结合函数图象进行判断.
跟踪训练1　设函数f(x)=若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则函数g(x)=f(x)-x的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　由f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，得
∴
∴f(x)=
函数g(x)=f(x)-x的零点个数即方程f(x)=x的解的个数，当x≤0时，f(x)=x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2；
当x>0时，f(x)=2=x，解得x=2.
∴方程f(x)=x的解有3个，
即函数g(x)=f(x)-x的零点个数为3.
二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
问题2　画出二次函数y=x2-12x+20的图象，图象与x轴有两个交点，这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？
提示　函数图象与x轴交点的横坐标恰好是方程的根.
问题3　你能根据二次函数y=x2-12x+20的图象，写出x2-12x+20<0的解集吗？
提示　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为{x|2知识梳理
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1注意点：
(1)二次函数的零点，即对应方程的根，即对应不等式解集的端点.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则解集为空集.
例3　(课本例2)利用函数求下列不等式的解集：
(1)x2-x-6<0；　　(2)x2-x-6≥0.
解　设f(x)=x2-x-6，
令f(x)=0，得x2-x-6=0，
即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2.
因此，3和-2都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图象与x轴相交于(3，0)和(-2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知：
(1)所求解集为(-2，3)；
(2)所求解集为(-∞，-2]∪[3，+∞).
例3　利用函数解下列不等式：
(1)2x2+5x-3<0；
(2)-3x2+6x≤2.
解　(1)不等式的对应方程为2x2+5x-3=0，
因为Δ=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3，x2=
所以作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示.
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，其对应方程为3x2-6x+2=0，
因为Δ=12>0，方程3x2-6x+2=0的两根为
x1=x2=
所以作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤
(1)求函数的零点.
(2)作出函数的图象.
(3)求对应不等式的解集.
三、简单高次不等式的解法
例4　(课本例5)求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
解　函数零点为-2，-1，1.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示.
x (-∞，-2) (-2，-1) (-1，1) (1，+∞)
f(x) - + - +
由此可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为(-2，-1)∪(1，+∞)；
f(x)≤0的解集为(-∞，-2]∪[-1，1].
例4　求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
解　函数零点依次为-1，3.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每一个区间函数值的符号如表所示.
x (1，3) (3，+∞)
f(x) - + - +
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为∪(3，+∞)；
f(x)≤0的解集为∪[1，3].
反思感悟　数轴穿根法的步骤
(1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数).
(2)将不等号换成等号解出所有根.
(3)在数轴上从左到右依次标出各根.
(4)画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后再穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透).
(5)观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方穿根线以内的范围.
跟踪训练2　不等式≥0的解集为　　　　　.
答案　{x|x<-4或-1≤x≤2}
解析　原不等式等价于(x+1)(x-2)(x+4)≤0，且x≠-4.
分别令各个因式为0，可得根依次为-1，2，-4.
故不等式的解集为{x|x<-4或-1≤x≤2}.
1.知识清单：
(1)函数的零点及求法.
(2)二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系.
(3)简单高次不等式的解法.
2.方法归纳：数形结合法、数轴穿根法.
3.常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论.
1.不等式6x2+x-2≤0的解集为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
答案　A
解析　设f(x)=6x2+x-2，令6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0，从而x=或x=-.由函数f(x)的图象可知，所求不等式的解集为.
2.(多选)下列图象表示的函数中有零点的是(　　)
答案　BCD
解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点.
3.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.
答案　--
解析　由题意知，方程x2-ax-b=0的两根为2，3，
∴即
∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为--
即为函数g(x)的零点.
4.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　　　　　.
答案　(-∞，-1)∪(2，3)
解析　函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)的零点为-1，2，3.
利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图(图略)，
由图可知不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为(-∞，-1)∪(2，3).
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分
1.函数y=4x-2的零点是(　　)
A.2 B.(-2，0) C. D.
答案　D
解析　令4x-2=0，得x=
∴函数y=4x-2的零点为.
2.(多选)函数y=ax-2的零点的个数可能是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.无法判断
答案　AB
解析　令y=ax-2=0，若a=0，则函数没有零点；当a≠0时，得x=函数有一个零点.∴函数y=ax-2的零点有0个或者1个.
3.函数y=x2-bx+1有一个零点，则b的值为(　　)
A.2 B.-2 C.±2 D.3
答案　C
解析　因为函数有一个零点，令x2-bx+1=0，
所以Δ=b2-4=0，所以b=±2.
4.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为则ab的值为(　　)
A.-6 B.-2 C.2 D.6
答案　C
解析　由题意知方程ax2+bx+1=0的实数根为-1和且a<0，
由根与系数的关系得
解得a=-2，b=-1，所以ab=2.
5.函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(|x|)的零点的个数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　D
解析　 ∵y=f(|x|)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称.
∵当x>0时，函数有三个零点，
∴当x<0时，函数也有三个零点.
又∵0是y=f(|x|)的一个零点，
故共有7个零点.
6.(多选)下列各选项能使不等式<0成立的是(　　)
A.{x|-1C.{x|2答案　AC
解析　原不等式可化为(x-2)2(x+1)(x-3)<0，所以-17.(5分)函数f(x)=的零点为　　　　　　　　.
答案　2，-
解析　当x≥0时，由2x-4=0，得x=2；当x<0时，由2x2-3x-2=0，得x=-或x=2(舍去).故函数f(x)的零点是2，-.
8.(5分)已知函数f(x)=ax2-5x+2a+3的一个零点为0，则a=　　　　，f(x)的另一个零点为　　　　.
答案　-　-
解析　由已知，得f(0)=2a+3=0，
∴a=-∴f(x)=-x2-5x，
由-x2-5x=-x=0，
得x=0或x=-
∴f(x)的另一个零点为-.
9.(10分)设函数f(x)=(m+1)x2-mx+m-1.
(1)当m=1时，求不等式f(x)>0的解集；(4分)
(2)若不等式f(x)+1>0的解集为求m的值.(6分)
解　(1)当m=1时，不等式f(x)>0为2x2-x>0，
可得x<0或x>
则不等式的解集为(-∞，0)∪.
(2)不等式f(x)+1>0，即(m+1)x2-mx+m>0，
由题意知3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根，
因此解得m=-.
10.(10分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(6分)
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.(4分)
解　(1)函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，
即4+12(1-m)>0，解得m<；
函数有一个零点，即Δ=0，解得m=；
函数无零点，即Δ<0，解得m>.
故当m<时，函数有两个零点；
当m=时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点.
(2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1-m=0，
解得m=1.
11.(多选)不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集不可能是(　　)
A.
B.R
C.
D.
答案　BCD
解析　因为Δ=a2+4m>0，
所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D.
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(aA.a<α<βC.α答案　A
解析　因为α，β为f(x)=0的两根，
所以α，β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x-a)(x-b)=0的两根，
令g(x)=(x-a)(x-b)，
所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
13.(多选)已知a为常数，则函数f(x)=|x2-9|-a-2的零点个数可能为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　BCD
解析　令g(x)=|x2-9|，h(x)=a+2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.
由图可知，当a+2>9，即a>7时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；
当a+2=9，即a=7时，两函数图象有3个交点，即函数f(x)有3个零点；
当0当a+2=0，即a=-2时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；
当a+2<0，即a<-2时，两函数图象没有交点，即函数f(x)没有零点.
综上可知，函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4.
14.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和为　　　　.
答案　3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，
又∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
∴由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也是增函数，
又∵f(2)=-f(-2)=0，
∴f(x)在(0，+∞)上只有一个零点，
综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0.
15.(5分)已知函数f(x)=x|x-1|-a，x∈R有三个零点x1，x2，x3，则实数a的取值范围是　　　　；x1+x2+x3的取值范围是　　　　.
答案　　
解析　根据题意，设g(x)=x|x-1|=其图象如图所示.
若函数f(x)=x|x-1|-a有三个零点，则函数y=g(x)的图象与直线y=a有3个交点，必有0设x11，解得x=则1即x1+x2+x3的取值范围是.
16.(11分)已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1有零点.
(1)求m的取值范围；(5分)
(2)若函数f(x)有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求m的值.(6分)
解　(1)当m+6=0，即m=-6时，函数f(x)=-14x-5，显然有零点；
当m+6≠0，即m≠-6时，
由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0，
得m≤-
∴m≤-且m≠-6.
综上，m≤-
故m的取值范围是.
(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，
则x1+x2=-x1x2=.
∵+=-4，即=-4，
∴-=-4，解得m=-3.
又当m=-3时，m+6≠0，Δ>0，符合题意，
∴m的值为-3.第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
学习目标　1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数.2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
导语
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两幅画面，并推断哪一幅能说明小明的行程一定曾渡过河？
(1)　　 　　　(2)
你能把这个实际问题抽象成数学模型吗？
一、函数零点存在定理
问题1　探究函数f(x)=2x-1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？函数f(x)=x2+4x-5呢？
提示　函数f(x)=2x-1的零点为∈(0，1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)=x2+4x-5的零点为-5，1，-5∈(-6，-4)，1∈(0，2)，且有f(-6)·f(-4)<0，f(0)f(2)<0，且以上函数在零点附近的图象都是连续的.
知识梳理　函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，f(x0)=0.
注意点：
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y=x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
例1　函数f(x)=x3+x-2的零点所在的区间是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题可知，f(x)为增函数，再由f(0)=-2<0，f(1)=-<0，f(2)=>0，f=10>0，f=>0，
所以f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理知，零点在范围内.
反思感悟　判断函数零点所在区间的方法
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
注意：对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之，不一定成立.
跟踪训练1　(多选)若aA.(-∞，a) B.(a，b)
C.(b，c) D.(c，+∞)
答案　BC
解析　∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，
∴f(a)=(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b)，
∵a0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
二、二分法
问题2　某档综艺栏目有猜价格游戏，主持人给出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内猜中，则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜中的可能性？
提示　可以不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速地接近真实价格.
知识梳理　二分法的概念
一般地，求函数零点的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求函数零点近似值的方法称为二分法.
注意点：
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.它是一种近似求解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现.
(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y=x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
例2　(1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
答案　A
解析　按定义，f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图象经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.
(2)(多选)下列函数中，能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=x2+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1
答案　ABD
解析　因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0，故C不能用二分法求零点，其余的都可以.
反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
跟踪训练2　已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似值的零点的个数分别为(　　)
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
答案　D
解析　由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似值，而其余3个均可使用二分法求零点近似值.
三、用二分法求函数零点的近似值
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下：
第一步：检查 |b-a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1=计算结束；如果不成立，转到第二步.
第二步： 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f =0，取x1=计算结束；
若f≠0，转到第三步.
第三步： 若f(a)f <0，将的值赋给b回到第一步；
否则必有f f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
例3　用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
解　令f(x)=2x3+3x-3，
经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，
f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3+3x-3=0在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) |0.625-0.75|=0.125<0.1×2
由于|0.625-0.75|=0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解.
延伸探究　若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？
解　在本例的基础上，取区间(0.625，0.75)的中点x=0.687 5，因为f(0.687 5)<0，f(0.75)>0且|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.05×2，所以x=0.718 75可作为方程的一个近似解.
反思感悟　(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[a，b](一般采用估计值的方法完成).
②取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(a，c)还是(c，b)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
(2)切记最后的区间的两端点满足|b-a|≤2ε，则取x=为所求函数零点的近似值.
1.知识清单：
(1)函数零点存在定理.
(2)二分法的概念.
(3)用二分法求函数零点的近似值.
2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时精确度理解不准确.
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　)
A.[-2，-1] B.[-1，0]
C.[0，1] D.[1，2]
答案　A
解析　由于f(-2)=-3<0，f(-1)=4>0，故可以取区间[-2，-1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
2.(多选) 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是(　　)
x 1 2 3 5
f(x) 3 -1 2 0
A.(1，2) B.[1，3] C.[2，5) D.(3，5)
答案　ABC
解析　由图表可知，f(1)=3，f(2)=-1，f(3)=2，f(5)=0.由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数f(x)在[1，3]上一定有零点；由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点；则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)=0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示：
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.02)为(　　)
A.1.312 5 B.1.375
C.1.422 25 D.1.406 5
答案　C
解析　∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的解在区间(1.406 5，1.438)内，
又|1.406 5-1.438|=0.031 5<0.02×2，
∴方程的近似解可以是1.422 25.
4.函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　.
答案　a2=4b
解析　∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，
∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切.
∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共18分
1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是(　　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
答案　ABD
解析　由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出.
2.用二分法求函数y=f(x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1==3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　　)
A.(2，4) B.(2，3)
C.(3，4) D.无法确定
答案　B
3.(多选)下列关于函数y=f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是(　　)
A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
答案　AC
解析　易知A正确；
因为函数f(x)不一定连续，故B错误；
由函数f(x)的零点的定义知C正确；
用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误.
4.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 14 8 -2 2 7 3 -2 -1 8
则函数f(x)在区间[1，9]上的零点至少有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案　C
解析　∵f(2)=8>0，f(3)=-2<0，f(4)=2>0，
f(6)=3>0，f(7)=-2<0，f(8)=-1<0，f(9)=8>0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，
∴在(2，3)，(3，4)，(6，7)，(8，9)上都至少各有一个零点，
∴至少有4个零点.
5.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[-2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A. B.[-2，1]
C. D.
答案　ACD
解析　∵第一次所取的区间是[-2，4]，∴第二次所取的区间可能为[-2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为.
6.用二分法求方程的近似解，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为(　　)
A.1.625 B.1.75 C.1.812 5 D.1.875
答案　C
解析　由表格可得，当精确度为0.1时，函数f(x)=x3+2x-9的零点在(1.75，1.875)中，
故方程x3+2x-9=0的近似解可取为1.812 5.
7.(5分)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈　　　　，第二次应计算　　　　.
答案　(0，0.5)　f(0.25)
解析　∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f =f(0.25).
8.(5分)设f(x)=x2-3x+a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　
解析　显然函数f(x)图象的对称轴是直线x=
根据二次函数的性质可知f(1)因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点，
所以f(3)·f <0或f =0，
解得09.(10分)用二分法求方程x2-5=0的一个正零点近似值.(精确度为0.05)
解　令f(x)=x2-5，
因为f(2.2)=-0.16<0，f(2.4)=0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，f(2.3)=0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3).
再取区间(2.2，2.3)的中点x2=2.25，
f(2.25)=0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2，2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05，
因此原方程的正零点近似值可取为=2.225.
10.(10分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)中存在零点；(4分)
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).(6分)
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的近似值 -1 1 -0.406 25 0.183 59 -0.138 18 0.015 81
(1)证明　因为f(x)=2x3-x2-3x+1，
所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间[1，2]上的图象连续，
所以f(x)在区间(1，2)中存在零点.
(2)解　由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)中存在零点，由表知f(1)=-1，f(1.5)=1，
所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)中，因为f(1.25)=-0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)中，
因为f(1.375)≈0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)中，
由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2，
所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5.
11.已知函数f(x)，g(x)的图象在[-1，3]上都是连续不断的.根据下表，能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是(　　)
x -1 0 1 2 3
f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
答案　B
解析　令F(x)=f(x)-g(x)，
因为F(-1)=f(-1)-g(-1)
=-0.677-(-0.530)=-0.147<0，
F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.44<0，
F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0，
F(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0，
F(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0，
于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0，1)内有零点，即f(x)=g(x)在(0，1)内有实数解.
12.(5分)用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为　　　　.
答案　
解析　令f(x)=x3-x2-1，则f(1)=-1<0，f(2)=3>0，f =>0，所以f f(1)<0，
故可断定该实数根所在的区间为.
13.(5分)已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)中有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　　.
答案　4
解析　设等分的最少次数为n，则由<0.01，
得2n>10，∴n的最小值为4.
14.(5分)设方程2x+x3=10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n+1)，n∈N+，则n=　　　　.
答案　1
解析　设f(x)=2x+x3-10，
又f(0)=-10，f(1)=-7，f(2)=2，
∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1，2)，n=1.
15.(5分)在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　　　　次就可以发现这枚假币.
答案　4
解析　 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币.综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币.
16.(12分)学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？
解　设x(1≤x≤29，x∈N+)名木工制作课桌，(30-x)名木工制作椅子.一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)=(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==要想任务完成最快，
则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)=Q(x)，
下面用二分法的思想求x0.
令f(x)=P(x)-Q(x)=+则f(1)=-≈13.60>0，f(29)=-20≈-19.51<0，所以x0∈(1，29)；取区间(1，29)的中点x1==15，f(15)≈-0.38<0，所以x0∈(1，15)；同理可得，x0∈(8，15)，x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.812 5).又x0∈N+，所以x0=12或x0=13.当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短.当x0=12时，f(x)≈0.079；当x0=13时，f(x)≈-0.078.因为|0.079|>|-0.078|，所以取x0=13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快.(共75张PPT)
第1课时
函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
第三章　 §3.2　函数与方程、不等式之间的关系
<<<
1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.
3.了解高次不等式的解法.
学习目标
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50~100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧.
导 语
一、函数的零点及求法
二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
课时对点练
三、简单高次不等式的解法
随堂演练
内容索引
函数的零点及求法
一
观察下列三组方程与函数：
问题1
方程 函数
x2-2x-3=0 y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示　方程x2-2x-3=0的根为-1，3，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1，0)，(3，0)；
x2-2x+1=0有两个相等的实数根，为1，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1，0)；
x2-2x+3=0没有实根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
函数零点的概念
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零，即 ，则称α为函数y=f(x)的零点.
α是函数f(x)零点的充分必要条件是， .
f(α)=0
(α，0)是函数图象与x轴的公共点
(1)函数的零点是一个实数，不是点，即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
(2)方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点.
(3)不能用公式求解的方程，可利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解；或将方程转化为两个函数，利用这两个函数图象来解决问题.
注 意 点
<<<
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)=；
例 1
解方程=0，得x=-6，所以函数的零点为-6.
解
角度1　求函数的零点
(2)f(x)=x2+2x+4.
令x2+2x+4=0，
由于Δ=22-4×1×4=-12<0，
所以方程x2+2x+4=0无实数解，
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
解
求函数y=f(x)的零点的方法
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解，求解时注意函数的定义域.
(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)=0.
反
思
感
悟
函数f(x)=的零点个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
例 2
角度2　函数的零点个数问题
√
方法一　因为方程x+2=0(x<0)的根为x=-2，方程x2-1=0(x>0)的根为x=1，所以函数f(x)有2个零点：-2与1.
方法二　画出函数f(x)=的图象，如图所示，观察图象可
知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.
解析
判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断.
(2)结合函数图象进行判断.
反
思
感
悟
设函数f(x)=若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则函数g(x)=f(x)-x的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
跟踪训练 1
√
由f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，得∴
∴f(x)=
函数g(x)=f(x)-x的零点个数即方程f(x)=x的解的个数，当x≤0时，f(x)=x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2；
当x>0时，f(x)=2=x，解得x=2.
∴方程f(x)=x的解有3个，
即函数g(x)=f(x)-x的零点个数为3.
解析
二
二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
提示　函数图象与x轴交点的横坐标恰好是方程的根.
画出二次函数y=x2-12x+20的图象，图象与x轴有两个交点，这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？
问题2
提示　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为{x|2你能根据二次函数y=x2-12x+20的图象，写出x2-12x+20<0的解集吗？
问题3
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c =0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 _______________ _____________ ____
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 __________ ____ ____
{x|xx2}
R
{x|x1

(1)二次函数的零点，即对应方程的根，即对应不等式解集的端点.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则解集为空集.
注 意 点
<<<
(课本例2)利用函数求下列不等式的解集：
(1)x2-x-6<0；
例 3
设f(x)=x2-x-6，令f(x)=0，得x2-x-6=0，
即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2.
因此，3和-2都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图象与x轴相交于(3，0)和(-2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知：
所求解集为(-2，3)；
解
(2)x2-x-6≥0.
所求解集为(-∞，-2]∪[3，+∞).
解
利用函数解下列不等式：
(1)2x2+5x-3<0；
例 3
不等式的对应方程为2x2+5x-3=0，
因为Δ=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3，x2=
所以作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示.
由图可得原不等式的解集为.
解
(2)-3x2+6x≤2.
原不等式等价于3x2-6x+2≥0，其对应方程为3x2-6x+2=0，
因为Δ=12>0，方程3x2-6x+2=0的两根为
x1=x2=
所以作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②所示，
由图可得原不等式的解集为.
解
解一元二次不等式的一般步骤
(1)求函数的零点.
(2)作出函数的图象.
(3)求对应不等式的解集.
反
思
感
悟
简单高次不等式的解法
三
(课本例5)求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
例 4
x (-∞，-2) (-2，-1) (-1，1) (1，+∞)
f(x) - + - +
函数零点为-2，-1，1.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示.
解
由此可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为(-2，-1)∪(1，+∞)；
f(x)≤0的解集为(-∞，-2]∪[-1，1].
求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
例 4
函数零点依次为-1，3.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每一个区间函数值的符号如表所示.
解
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为∪(3，+∞)；
f(x)≤0的解集为∪[1，3].
x (1，3) (3，+∞)
f(x) - + - +
数轴穿根法的步骤
(1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数).
(2)将不等号换成等号解出所有根.
(3)在数轴上从左到右依次标出各根.
(4)画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后再穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透).
(5)观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方穿根线以内的范围.
反
思
感
悟
不等式≥0的解集为　　　　 　.
跟踪训练 2
{x|x<-4或-1≤x≤2}
原不等式等价于(x+1)(x-2)(x+4)≤0，且x≠-4.
分别令各个因式为0，可得根依次为-1，2，-4.
故不等式的解集为{x|x<-4或-1≤x≤2}.
解析
1.知识清单：
(1)函数的零点及求法.
(2)二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系.
(3)简单高次不等式的解法.
2.方法归纳：数形结合法、数轴穿根法.
3.常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.不等式6x2+x-2≤0的解集为
A. B.∪
C. D.
√
设f(x)=6x2+x-2，令6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0，从而x=或x=-.
由函数f(x)的图象可知，所求不等式的解集为.
解析
1
2
3
4
2.(多选)下列图象表示的函数中有零点的是
B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点.
解析
√
√
√
1
2
3
4
3.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点
是　　　　.
由题意知，方程x2-ax-b=0的两根为2，3，
∴
∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为--
即为函数g(x)的零点.
解析
--
1
2
3
4
4.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　　　 　 .
函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)的零点为-1，2，3.
利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图(图略)，
由图可知不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为(-∞，-1)∪(2，3).
解析
(-∞，-1)∪(2，3)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D AB C C D AC 2，-
题号 8 11 12 13 14 15
答案 -　- BCD A BCD 3　0 　
对一对
答案
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9.
答案
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6
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15
16
(1)当m=1时，不等式f(x)>0为2x2-x>0，可得x<0或x>
则不等式的解集为(-∞，0)∪.
(2)不等式f(x)+1>0，即(m+1)x2-mx+m>0，
由题意知3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根，
因此解得m=-.
10.
答案
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16
(1)函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，
即4+12(1-m)>0，解得m<；
函数有一个零点，即Δ=0，解得m=；
函数无零点，即Δ<0，解得m>.
故当m<时，函数有两个零点；
10.
答案
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16
当m=时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点.
(2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1-m=0，
解得m=1.
16.
答案
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16
(1)当m+6=0，即m=-6时，函数f(x)=-14x-5，显然有零点；
当m+6≠0，即m≠-6时，
由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0，
得m≤-∴m≤-且m≠-6.
综上，m≤-
故m的取值范围是.
16.
答案
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(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1+x2=-x1x2=.
∵+=-4，即=-4，
∴-=-4，解得m=-3.
又当m=-3时，m+6≠0，Δ>0，符合题意，∴m的值为-3.
基础巩固
1.函数y=4x-2的零点是
A.2 B.(-2，0) C. D.
√
令4x-2=0，得x=
∴函数y=4x-2的零点为.
解析
答案
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2.(多选)函数y=ax-2的零点的个数可能是
A.0 B.1 C.2 D.无法判断
√
答案
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16
√
令y=ax-2=0，若a=0，则函数没有零点；当a≠0时，得x=函数有一个零点.
∴函数y=ax-2的零点有0个或者1个.
解析
3.函数y=x2-bx+1有一个零点，则b的值为
A.2 B.-2 C.±2 D.3
√
因为函数有一个零点，令x2-bx+1=0，
所以Δ=b2-4=0，所以b=±2.
解析
答案
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16
4.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为则ab的值为
A.-6 B.-2 C.2 D.6
√
由题意知方程ax2+bx+1=0的实数根为-1和且a<0，
由根与系数的关系得
解得a=-2，b=-1，所以ab=2.
解析
答案
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5.函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(|x|)的零点的个数为
A.4 B.5
C.6 D.7
√
答案
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16
∵y=f(|x|)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称.
∵当x>0时，函数有三个零点，
∴当x<0时，函数也有三个零点.
又∵0是y=f(|x|)的一个零点，
故共有7个零点.
解析
6.(多选)下列各选项能使不等式<0成立的是
A.{x|-1C.{x|2√
√
答案
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原不等式可化为(x-2)2(x+1)(x-3)<0，所以-1解析
7.函数f(x)=的零点为　　　　.
当x≥0时，由2x-4=0，得x=2；当x<0时，由2x2-3x-2=0，得x=-或x=2(舍去).故函数f(x)的零点是2，-.
解析
答案
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2，-
8.已知函数f(x)=ax2-5x+2a+3的一个零点为0，则a=　　　，f(x)的另一个
零点为　　　.
答案
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-
-
答案
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由已知，得f(0)=2a+3=0，
∴a=-∴f(x)=-x2-5x，
由-x2-5x=-x=0，
得x=0或x=-
∴f(x)的另一个零点为-.
解析
9.设函数f(x)=(m+1)x2-mx+m-1.
(1)当m=1时，求不等式f(x)>0的解集；
当m=1时，不等式f(x)>0为2x2-x>0，
可得x<0或x>
则不等式的解集为(-∞，0)∪.
解
答案
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(2)若不等式f(x)+1>0的解集为求m的值.
不等式f(x)+1>0，即(m+1)x2-mx+m>0，
由题意知3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根，
因此解得m=-.
解
答案
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10.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
答案
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函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，
即4+12(1-m)>0，解得m<；
函数有一个零点，即Δ=0，解得m=；
函数无零点，即Δ<0，解得m>.
故当m<时，函数有两个零点；
当m=时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点.
解
答案
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(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.
答案
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由已知得，0是对应方程的根，所以有1-m=0，
解得m=1.
解
11.(多选)不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集不可能是
A. B.R
C. D.
√
√
√
综合运用
答案
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因为Δ=a2+4m>0，
所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D.
解析
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(aA.a<α<βC.α√
答案
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因为α，β为f(x)=0的两根，
所以α，β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x-a)(x-b)=0的两根，
令g(x)=(x-a)(x-b)，
所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
解析
13.(多选)已知a为常数，则函数f(x)=|x2-9|-a-2的零点个数可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
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√
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16
令g(x)=|x2-9|，h(x)=a+2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.
由图可知，当a+2>9，即a>7时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；
当a+2=9，即a=7时，两函数图象有3个交点，即函数f(x)有3个零点；
解析
答案
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当0当a+2=0，即a=-2时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；
解析
当a+2<0，即a<-2时，两函数图象没有交点，即函数f(x)没有零点.
综上可知，函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4.
14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有　 　个零点，这几个零点的和为　　　.
答案
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∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，
又∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
∴由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也是增函数，
又∵f(2)=-f(-2)=0，
∴f(x)在(0，+∞)上只有一个零点，
综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0.
解析
3
0
15.已知函数f(x)=x|x-1|-a，x∈R有三个零点x1，x2，x3，则实数a的取值范
围是　　　　；x1+x2+x3的取值范围是　　　　 .
拓广探究
答案
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根据题意，设g(x)=x|x-1|=其图象如图所示.
解析
若函数f(x)=x|x-1|-a有三个零点，则函数y=g(x)的图象与直线y=a有3个交点，必有0答案
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设x11，解得x=则1即x1+x2+x3的取值范围是.
解析
16.已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1有零点.
(1)求m的取值范围；
答案
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当m+6=0，即m=-6时，函数f(x)=-14x-5，显然有零点；
当m+6≠0，即m≠-6时，
由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0，
得m≤-
∴m≤-且m≠-6.
综上，m≤-故m的取值范围是.
解
(2)若函数f(x)有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求m的值.
答案
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设x1，x2是函数f(x)的两个零点，
则x1+x2=-x1x2=.
∵+=-4，即=-4，
∴-=-4，解得m=-3.
又当m=-3时，m+6≠0，Δ>0，符合题意，∴m的值为-3.
解
第三章　 §3.2　函数与方程、不等式之间的关系
<<<(共76张PPT)
第2课时
零点的存在性及其近似值的求法
第三章　 §3.2　函数与方程、不等式之间的关系
<<<
1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数.
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.
3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
学习目标
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两幅画面，并推断哪一幅能说明小明的行程一定曾渡过河？
导 语
(1)　　 　　(2)
你能把这个实际问题抽象成数学模型吗？
一、函数零点存在定理
二、二分法
课时对点练
三、用二分法求函数零点的近似值
随堂演练
内容索引
函数零点存在定理
一
提示　函数f(x)=2x-1的零点为∈(0，1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)= x2+4x-5的零点为-5，1，-5∈(-6，-4)，1∈(0，2)，且有f(-6)·f(-4)<0，f(0)f(2)<0，且以上函数在零点附近的图象都是连续的.
探究函数f(x)=2x-1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？函数f(x)=x2+4x-5呢？
问题1
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 的，并且 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)， .
连续不断
f(a)f(b)<0
f(x0)=0
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y=x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
注 意 点
<<<
函数f(x)=x3+x-2的零点所在的区间是
A. B. C. D.
√
例 1
由题可知，f(x)为增函数，再由f(0)=-2<0，f(1)=-<0，f(2)=>0，f= 10>0，f=>0，
所以f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理知，零点在范围内.
解析
判断函数零点所在区间的方法
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
注意：对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之，不一定成立.
反
思
感
悟
(多选)若aA.(-∞，a) B.(a，b)
C.(b，c) D.(c，+∞)
跟踪训练 1
√
√
∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，
∴f(a)=(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b)，
∵a0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
解析
二
二分法
提示　可以不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速地接近真实价格.
某档综艺栏目有猜价格游戏，主持人给出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内猜中，则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜中的可能性？
问题2
二分法的概念
一般地，求函数零点的近似值，可以通过计算 ，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求函数零点近似值的方法称为二分法.
区间中点函数值
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.它是一种近似求解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零” “无限逼近”等数学思想方法的具体体现.
(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y=x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
注 意 点
<<<
(1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是
例 2
√
按定义，f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图象经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.
解析
(2)(多选)下列函数中，能用二分法求零点的是
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=x2+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1
√
因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0，故C不能用二分法求零点，其余的都可以.
解析
√
√
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
反
思
感
悟
已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似值的零点的个数分别为
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
跟踪训练 2
由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似值，而其余3个均可使用二分法求零点近似值.
解析
√
用二分法求函数零点的近似值
三
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图象是_____
_______，且 ，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下：
第一步：检查 是否成立，如果成立，取x1=计算结束；如果不成立，转到第二步.
连续
不断的
f(a)f(b)<0)
|b-a|≤2ε
第二步： 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f =0，取x1=计算结束；
若f ≠0，转到第三步.
第三步： 若f(a)f <0，将的值赋给b回到第一步；
否则必有f f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
例 3
令f(x)=2x3+3x-3，
经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，
f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3+3x-3=0在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解.
解
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
解
由于|0.625-0.75|=0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解.
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) |0.625-0.75|=0.125<0.1×2 若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？
延伸探究
在本例的基础上，取区间(0.625，0.75)的中点x=0.687 5，因为f(0.687 5) <0，f(0.75)>0且|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.05×2，所以x=0.718 75可作为方程的一个近似解.
解
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[a，b](一般采用估计值的方法完成).
②取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(a，c)还是(c，b)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
(2)切记最后的区间的两端点满足|b-a|≤2ε，则取x=为所求函数零点的近似值.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)函数零点存在定理.
(2)二分法的概念.
(3)用二分法求函数零点的近似值.
2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时精确度理解不准确.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
A.[-2，-1] B.[-1，0]
C.[0，1] D.[1，2]
√
由于f(-2)=-3<0，f(-1)=4>0，故可以取区间[-2，-1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
解析
1
2
3
4
2.(多选) 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是
x 1 2 3 5
f(x) 3 -1 2 0
A.(1，2) B.[1，3] C.[2，5) D.(3，5)
√
√
√
1
2
3
4
由图表可知，f(1)=3，f(2)=-1，f(3)=2，f(5)=0.由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数f(x)在[1，3]上一定有零点；由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点；则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)=0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.
解析
1
2
3
4
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示：
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.02)为
A.1.312 5 B.1.375
C.1.422 25 D.1.406 5
√
1
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3
4
∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的解在区间(1.406 5，1.438)内，
又|1.406 5-1.438|=0.031 5<0.02×2，
∴方程的近似解可以是1.422 25.
解析
1
2
3
4
4.函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是
　　　　.
∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，
∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切.
∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b.
解析
a2=4b
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ABD B AC C ACD C (0，0.5)　 f(0.25) 题号 8 11 12 13 14 15
答案 B 4 1 4
对一对
答案
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令f(x)=x2-5，
因为f(2.2)=-0.16<0，f(2.4)=0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，
f(2.3)=0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
所以x0∈(2.2，2.3).
9.
答案
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再取区间(2.2，2.3)的中点x2=2.25，
f(2.25)=0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2，2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05，
因此原方程的正零点近似值可取为=2.225.
10.
答案
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(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1，
所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间[1，2]上的图象连续，
所以f(x)在区间(1，2)中存在零点.
10.
答案
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(2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)中存在零点，
由表知f(1)=-1，f(1.5)=1，
所以f(1)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1，1.5)中，
因为f(1.25)=-0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)中，
10.
答案
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因为f(1.375)≈0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.375)中，
由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2，
所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5.
16.
答案
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设x(1≤x≤29，x∈N+)名木工制作课桌，(30-x)名木工制作椅子.
一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)=(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==要想任务完成最快，
16.
答案
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则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)=Q(x)，
16.
答案
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下面用二分法的思想求x0.
令f(x)=P(x)-Q(x)=+则f(1)=-≈13.60>0，
f(29)=-20≈-19.51<0，所以x0∈(1，29)；
取区间(1，29)的中点x1==15，f(15)≈-0.38<0，所以x0∈(1，15)；同理可得，x0∈(8，15)，x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.812 5).
16.
答案
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又x0∈N+，所以x0=12或x0=13.
当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短.当x0=12时，f(x)≈0.079；当x0=13时，f(x)≈
-0.078.
因为|0.079|>|-0.078|，所以取x0=13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快.
基础巩固
1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
√
由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出.
解析
答案
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√
√
2.用二分法求函数y=f(x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1==3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是
A.(2，4) B.(2，3)
C.(3，4) D.无法确定
√
答案
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3.(多选)下列关于函数y=f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是
A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的
零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
√
答案
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易知A正确；
因为函数f(x)不一定连续，故B错误；
由函数f(x)的零点的定义知C正确；
用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误.
解析
答案
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4.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 14 8 -2 2 7 3 -2 -1 8
则函数f(x)在区间[1，9]上的零点至少有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
√
答案
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∵f(2)=8>0，f(3)=-2<0，f(4)=2>0，
f(6)=3>0，f(7)=-2<0，f(8)=-1<0，f(9)=8>0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，
∴在(2，3)，(3，4)，(6，7)，(8，9)上都至少各有一个零点，
∴至少有4个零点.
解析
5.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是
[-2，4]，则第三次所取的区间可能是
A. B.[-2，1]
C. D.
√
答案
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∵第一次所取的区间是[-2，4]，∴第二次所取的区间可能为[-2，1]，
[1，4]，∴第三次所取的区间可能为.
解析
6.用二分法求方程的近似解，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示：
答案
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x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为
A.1.625 B.1.75 C.1.812 5 D.1.875
由表格可得，当精确度为0.1时，函数f(x)=x3+2x-9的零点在(1.75，1.875)中，
故方程x3+2x-9=0的近似解可取为1.812 5.
解析
√
7.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈　　 　　，第二次应计算　　 　 .
∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f =f(0.25).
解析
答案
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(0，0.5)
f(0.25)
8.设f(x)=x2-3x+a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围
为　　　　 .
显然函数f(x)图象的对称轴是直线x=
根据二次函数的性质可知f(1)因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点，
所以f(3)·f <0或f =0，
解得0解析
答案
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9.用二分法求方程x2-5=0的一个正零点近似值.(精确度为0.05)
令f(x)=x2-5，因为f(2.2)=-0.16<0，f(2.4)=0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，f(2.3)=0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3).
再取区间(2.2，2.3)的中点x2=2.25，f(2.25)=0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2，2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05，
因此原方程的正零点近似值可取为=2.225.
解
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10.已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)中存在零点；
答案
1
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因为f(x)=2x3-x2-3x+1，
所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间[1，2]上的图象连续，
所以f(x)在区间(1，2)中存在零点.
证明
答案
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(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的近似值 -1 1 -0.406 25 0.183 59 -0.138 18 0.015 81
答案
1
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由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)中存在零点，由表知f(1)=-1，f(1.5)=1，
所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)中，因为f(1.25)=-0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)中，
因为f(1.375)≈0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)中，
由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2，
所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5.
解
综合运用
答案
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11.已知函数f(x)，g(x)的图象在[-1，3]上都是连续不断的.根据下表，能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是
x -1 0 1 2 3
f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
√
答案
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令F(x)=f(x)-g(x)，
因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)=-0.147<0，
F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.44<0，
F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0，
F(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0，
F(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0，
于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0，1)内有零点，即f(x)=g(x)在(0，1)内有实数解.
解析
12.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定
在区间(1，2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为　　 　 .
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令f(x)=x3-x2-1，则f(1)=-1<0，f(2)=3>0，f =>0，所以f f(1)<0，
故可断定该实数根所在的区间为.
解析
13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)中有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　.
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设等分的最少次数为n，则由<0.01，
得2n>10，∴n的最小值为4.
解析
14.设方程2x+x3=10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n+1)，n∈N+，则n=　　　.
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设f(x)=2x+x3-10，
又f(0)=-10，f(1)=-7，f(2)=2，
∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1，2)，n=1.
解析
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15.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　　　次就可以发现这枚假币.
拓广探究
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将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币.综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币.
解析
16.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？
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设x(1≤x≤29，x∈N+)名木工制作课桌，(30-x)名木工制作椅子.一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)=(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==要想任务完成最快，
解
则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)=Q(x)，
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下面用二分法的思想求x0.
令f(x)=P(x)-Q(x)=+则f(1)=-≈13.60 >0，f(29)=-20≈-19.51<0，所以x0∈(1，29)；取区间(1，29)的中点x1==15，f(15)≈-0.38<0，
解
所以x0∈(1，15)；同理可得，x0∈(8，15)，x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.812 5).
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又x0∈N+，所以x0=12或x0=13.
当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短.
当x0=12时，f(x)≈0.079；当x0=13时，f(x)≈-0.078.
解
因为|0.079|>|-0.078|，所以取x0=13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快.
第三章　 §3.2　函数与方程、不等式之间的关系
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