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培优课　函数性质的综合问题
学习目标　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题.
一、函数图象的对称性
问题1　当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时，会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a-x)=f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
问题2　当函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a-x)=-f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称.
知识梳理
1.函数图象关于直线对称
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图 象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
2.函数图象关于点对称
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a，0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
例1　定义在R上的偶函数y=f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f(x)=-x+则f 等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.
答案　B
解析　∵y=f(x)的图象关于点对称，
∴f +f =0，
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，
∴f(1+x)+f(x)=0，即f(1+x)=-f(x)，
∴f =-f =0.
反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：
(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.
(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
注意：使用性质要规范，切不可自创性质！
跟踪训练1　若函数y=f(x)在(0，2)上单调递增，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A.f(1)B.f C.f D.f 答案　B
解析　∵y=f(x+2)是偶函数，
∴f(2-x)=f(2+x).
故y=f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f =f f =f
又f(x)在(0，2)上单调递增<1<
∴f 即f 二、函数性质的综合应用
例2　已知函数f(x)=是定义在(-1，1)上的奇函数，且f =.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义法证明f(x)在(-1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0.
(1)解　根据题意得即
解得∴f(x)=.
(2)证明　任取x1，x2∈(-1，1)，且令x1f(x1)-f(x2)=-=.
∵-1∴x1-x2<0，1+>0，1+>0，1-x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(-1，1)上是增函数.
(3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1，1)上是增函数，
∴解得0∴该不等式的解集为.
反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
解　(1)由题意可知
所以解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0，
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2，2)上是减函数，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.
1.知识清单：
(1)函数的对称轴和对称中心.
(2)函数奇偶性的综合应用.
2.方法归纳：数形结合、等价转化.
3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0.
1.已知f(x)是R上的奇函数，则函数y=f(2x-1)+1的图象恒过点(　　)
A.(0，0) B. C. D.(1，0)
答案　C
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，
令2x-1=0，解得x=此时y=1，故函数y=f(2x-1)+1的图象恒过点.
2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则(　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
答案　A
3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是(　　)
A.(-∞，1) B.(-1，+∞)
C.[-1，+∞) D.(-∞，1]
答案　C
解析　因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).
又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以2x+1≥-1，解得x≥-1.
4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x+2)<5的解集是 　　　　.
答案　(-7，3)
课时对点练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2)的值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
答案　A
解析　由题意得f(2)=f(0+2)=f(0)=0.
2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4-x)，当-2≤x<0时，f(x)=则f 等于(　　)
A.-2 B.- C. D.2
答案　D
解析　∵f(x)=f(4-x)，
∴f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f =f .
又∵函数f(x)为奇函数，
∴f =-f =-(-2)=2，即f =2.
3.已知函数f(x)在区间(0，2)上是减函数，函数y=f(x+2)是偶函数，那么f(x)(　　)
A.在区间(2，4)上是减函数
B.在区间(2，4)上是增函数
C.在区间(-2，0)上是减函数
D.在区间(-2，0)上是增函数
答案　B
解析　∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2)关于y轴对称，
即函数y=f(x)关于x=2对称，
∵函数f(x)在(0，2)上是减函数，
∴函数f(x)在(2，4)上是增函数.
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[-1，1]
C.(-∞，2] D.[-2，2]
答案　B
解析　由题意，知f(x)在(0，+∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1，2]恒成立，
即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，即-1≤a≤1.
5.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　)
A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
答案　C
解析　∵对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，
令x1=x2=0，得f(0)=-1.
令x1=x，x2=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1.
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]，
∴f(x)+1为奇函数.
6.已知函数f(x)在[-5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(-4)A.f(-1)C.f(-3)f(1)
答案　D
解析　函数f(x)在上是偶函数，且在上是单调函数，
所以函数f(x)在[-5，0]上也是单调函数，
根据f(-4)故函数f(x)在[0，5]上单调递减，
故f(-1)=f(1)>f(3)，f(2)>f(3)，f(-3)=f(3)>f(5)，f(0)>f(1).
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.已知奇函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA.f(x)有最大值4 B.f(x)有最小值-4
C.f(x)有最大值3 D.f(x)有最小值-3
答案　BC
解析　f(x)是奇函数，因此f(x)在[-b，-a]上仍然是减函数，且值域为[-4，3]，所以f(x)在区间[-b，-a]上的最小值是-4，最大值是3.
8.已知定义域为R的函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，且f(x-1)为偶函数，则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.f(x)在(-1，+∞)上单调递增
C.f(1)=f(-2)
D.f(-3)答案　AD
解析　因为f(x-1)为偶函数，且函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，
所以f(x)的图象关于直线x=-1对称，且f(x)在(-1，+∞)上单调递减，所以A正确，B不正确；
因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，所以f(1)=f(-3)≠f(-2)，所以C不正确；
因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，
所以f(0)=f(-2)，f =f
又f(x)在(-∞，-1)上单调递增，
所以f(-3)即f(-3)9.函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数，下列函数有对称中心的是(　　)
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
答案　ABD
解析　∵函数y=f(x+a)-b为奇函数，
∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(x+a)+f(-x+a)=2b.
对于A，由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b，
∴对于任意的a=b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；
对于B，f(x)=x3-3x2=x2(x-3)，
∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4，
∴当a=1，b=-2时，P(1，-2)即为其对称中心，故B满足题意；
对于C，∵f(x)=x4+x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，+∞)单调递增，在(-∞，0)单调递减，其图象大致为.
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f(x)=的图象如图所示.其图象关于(1，0)对称.
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.若函数f(2x+1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为　　　　.
答案　(1，0)
解析　方法一　∵f(2x+1)是奇函数，∴f(2×0+1)=f(1)=0，
∴函数f(x)的对称中心为(1，0).
方法二　若f(2x+1)是奇函数，则f(-2x+1)=-f(2x+1)，
可得f(x)=-f(2-x)，即函数f(x)的对称中心为(1，0).
11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　.
答案　0
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0.
又f(x)关于直线x=对称，
∴f =f .①
在①式中，当x=时，f(0)=f(1)=0.
在①式中，以+x代替x，得
f =f
即f(-x)=f(1+x).
∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0，
f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0，
同理，f(4)=f(5)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
12.奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　　　.
答案　或
解析　因为f(x)为奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，f(1)=0，
所以f=-f(1)=0，且在上也是增函数，
因为==>0，
即或
∴或
即x>1或x<-1，
所以原不等式的解集为{x|x<-1或x>1}.
四、解答题(共27分)
13.(13分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=1+.
(1)求f(2)的值；(4分)
(2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞，0)上的单调性；(5分)
(3)求当x>0时，f(x)的解析式.(4分)
解　(1)根据题意，得函数f(x)为奇函数，
当x<0时，f(x)=1+
则f(2)=-f(-2)=-=-.
(2)根据题意得，当x<0时，f(x)=1+.
在(-∞，0)上任取x1，x2，且x1则f(x1)-f(x2)=-
=-=.
又由x1-1<0，x2-1<0，x2-x1>0，
可得f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
由定义可知，函数y=f(x)在区间(-∞，0)上单调递减.
(3)当x>0时，-x<0，则f(-x)=1-
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)，
所以f(x)=-1+=-.
14.(14分)定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)-f 且函数f(x)在(-∞，0)上单调递减.
(1)求f(-1)，并证明函数y=f(x)是偶函数；(7分)
(2)若f(2)=1，解不等式f -f ≤1.(7分)
解　(1)令y=≠0，
则f =f(x)-f
得f(1)=f(x)-f(x)=0，
再令x=1，y=-1，可得f(-1)=f(1)-f(-1)，
得2f(-1)=f(1)=0，
所以f(-1)=0，
令y=-1，可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x)，
又该函数的定义域关于原点对称，
所以f(x)是偶函数.
(2)因为f(2)=1，又该函数为偶函数，所以f(-2)=1.
因为函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.又f -f =f=f(2x-4)，
所以f(|2x-4|)≤f(2)，即
解得1≤x<2或2所以不等式f -f ≤1的解集为[1，2)∪(2，3].(共64张PPT)
培优课
函数性质的综合问题
第三章　 函　数
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1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.
2.掌握函数性质的综合应用问题.
学习目标
一、函数图象的对称性
二、函数性质的综合应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
函数图象的对称性
一
当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时，会满足怎样的条件呢？
问题1
提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a-x)=f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
当函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
问题2
提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a-x)=-f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称.
1.函数图象关于直线对称
y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
2.函数图象关于点对称
y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a，0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
定义在R上的偶函数y=f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f(x)=-x+则f 等于
A.-1 B.0 C.1 D.
√
例 1
∵y=f(x)的图象关于点对称，
∴f +f =0，
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，
∴f(1+x)+f(x)=0，即f(1+x)=-f(x)，
∴f =-f =0.
解析
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：
(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.
(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
注意：使用性质要规范，切不可自创性质！
反
思
感
悟
若函数y=f(x)在(0，2)上单调递增，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是
A.f(1)B.f C.f D.f 跟踪训练 1
√
∵y=f(x+2)是偶函数，
∴f(2-x)=f(2+x).
故y=f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f =f f =f
又f(x)在(0，2)上单调递增<1<
∴f 即f 解析
二
函数性质的综合应用
已知函数f(x)=是定义在(-1，1)上的奇函数，且f =.
(1)确定函数f(x)的解析式；
例 2
根据题意得
解得∴f(x)=.
解
(2)用定义法证明f(x)在(-1，1)上是增函数；
任取x1，x2∈(-1，1)，且令x1f(x1)-f(x2)=-=.
∵-1∴x1-x2<0，1+>0，1+>0，1-x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(-1，1)上是增函数.
证明
(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0.
f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1，1)上是增函数，
∴解得0∴该不等式的解集为.
解
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
反
思
感
悟
已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域；
跟踪训练 2
由题意可知
所以故函数g(x)的定义域为.
解
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0，
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2，2)上是减函数，
所以所以不等式g(x)≤0的解集为.
解
1.知识清单：
(1)函数的对称轴和对称中心.
(2)函数奇偶性的综合应用.
2.方法归纳：数形结合、等价转化.
3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.已知f(x)是R上的奇函数，则函数y=f(2x-1)+1的图象恒过点
A.(0，0) B. C. D.(1，0)
√
∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，
令2x-1=0，解得x=此时y=1，故函数y=f(2x-1)+1的图象恒过点.
解析
1
2
3
4
2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
√
1
2
3
4
3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是
A.(-∞，1) B.(-1，+∞)
C.[-1，+∞) D.(-∞，1]
√
因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).
又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以2x+1≥-1，解得x≥-1.
解析
1
2
3
4
4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x+2) <5的解集是　 　　　.
(-7，3)
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B C D BC AD
题号 9 10 11 　12 答案 ABD (1，0) 0 或
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)根据题意，得函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1+
则f(2)=-f(-2)=-=-.
(2)根据题意得，当x<0时，
f(x)=1+.
在(-∞，0)上任取x1，x2，且x1则f(x1)-f(x2)=-=-=.
13.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
又由x1-1<0，x2-1<0，x2-x1>0，
可得f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
由定义可知，函数y=f(x)在区间(-∞，0)上单调递减.
(3)当x>0时，-x<0，
则f(-x)=1-
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)，
所以f(x)=-1+=-.
14.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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13
14
(1)令y=≠0，则f=f(x)-f
得f(1)=f(x)-f(x)=0，
再令x=1，y=-1，可得f(-1)=f(1)-f(-1)，得2f(-1)=f(1)=0，
所以f(-1)=0，
令y=-1，可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x)，
又该函数的定义域关于原点对称，
所以f(x)是偶函数.
14.
答案
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(2)因为f(2)=1，又该函数为偶函数，所以f(-2)=1.
因为函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.
又f -f =f =f(2x-4)，
所以f(|2x-4|)≤f(2)，
14.
答案
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即
解得1≤x<2或2所以不等式f -f ≤1的解集为[1，2)∪(2，3].
一、单项选择题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2)的值是
A.0 B.1 C.2 D.4
√
由题意得f(2)=f(0+2)=f(0)=0.
解析
答案
1
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2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4-x)，当-2≤x<0时，f(x)=则f 等于
A.-2 B.- C. D.2
√
答案
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∵f(x)=f(4-x)，
∴f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f =f .
又∵函数f(x)为奇函数，
∴f =-f =-(-2)=2，即f =2.
解析
答案
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3.已知函数f(x)在区间(0，2)上是减函数，函数y=f(x+2)是偶函数，那么f(x)
A.在区间(2，4)上是减函数
B.在区间(2，4)上是增函数
C.在区间(-2，0)上是减函数
D.在区间(-2，0)上是增函数
√
答案
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答案
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14
∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2)关于y轴对称，
即函数y=f(x)关于x=2对称，
∵函数f(x)在(0，2)上是减函数，
∴函数f(x)在(2，4)上是增函数.
解析
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是
A.(-∞，1] B.[-1，1]
C.(-∞，2] D.[-2，2]
√
答案
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答案
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14
由题意，知f(x)在(0，+∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1，2]恒成立，
即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，即-1≤a≤1.
解析
5.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)+1，则下列说法一定正确的是
A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
√
答案
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答案
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14
∵对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，
令x1=x2=0，得f(0)=-1.
令x1=x，x2=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1.
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]，
∴f(x)+1为奇函数.
解析
6.已知函数f(x)在[-5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(-4) A.f(-1)C.f(-3)f(1)
√
答案
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答案
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14
函数f(x)在上是单调函数，
所以函数f(x)在[-5，0]上也是单调函数，
根据f(-4)故函数f(x)在[0，5]上单调递减，
故f(-1)=f(1)>f(3)，f(2)>f(3)，f(-3)=f(3)>f(5)，f(0)>f(1).
解析
二、多项选择题
7.已知奇函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA.f(x)有最大值4 B.f(x)有最小值-4
C.f(x)有最大值3 D.f(x)有最小值-3
f(x)是奇函数，因此f(x)在[-b，-a]上仍然是减函数，且值域为[-4，3]，所以f(x)在区间[-b，-a]上的最小值是-4，最大值是3.
解析
答案
1
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14
√
√
8.已知定义域为R的函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，且f(x-1)为偶函数，则
A.f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.f(x)在(-1，+∞)上单调递增
C.f(1)=f(-2)
D.f(-3)答案
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√
√
答案
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14
因为f(x-1)为偶函数，且函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，
所以f(x)的图象关于直线x=-1对称，且f(x)在(-1，+∞)上单调递减，所以A正确，B不正确；
因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，所以f(1)=f(-3)≠f(-2)，所以C不正确；
因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，
所以f(0)=f(-2)，f =f
又f(x)在(-∞，-1)上单调递增，所以f(-3)即f(-3)解析
9.函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y= f(x+a)-b为奇函数，下列函数有对称中心的是
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
答案
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√
√
√
∵函数y=f(x+a)-b为奇函数，
∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(x+a)+f(-x+a)=2b.
对于A，由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b，
∴对于任意的a=b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；
对于B，f(x)=x3-3x2=x2(x-3)，
∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4，
∴当a=1，b=-2时，P(1，-2)即为其对称中心，故B满足题意；
解析
答案
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对于C，∵f(x)=x4+x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，+∞)单
调递增，在(-∞，0)单调递减，其图象大致为 .
解析
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f(x)=的图象如图所示.其图象关于(1，0)对称.
答案
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三、填空题
10.若函数f(2x+1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为　　　　.
答案
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(1，0)
方法一　∵f(2x+1)是奇函数，∴f(2×0+1)=f(1)=0，
∴函数f(x)的对称中心为(1，0).
方法二　若f(2x+1)是奇函数，则f(-2x+1)=-f(2x+1)，
可得f(x)=-f(2-x)，即函数f(x)的对称中心为(1，0).
解析
11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　.
答案
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0
答案
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∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0.
又f(x)关于直线x=对称，
∴f =f . ①
在①式中，当x=时，f(0)=f(1)=0.
在①式中，以+x代替x，得f =f
解析
答案
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即f(-x)=f(1+x).
∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0，
f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0，
同理，f(4)=f(5)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
解析
12.奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式
>0的解集为　　　　　　　　 .
答案
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或
答案
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因为f(x)为奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，f(1)=0，
所以f=-f(1)=0，且在上也是增函数，
因为==>0，
即
∴
即x>1或x<-1，所以原不等式的解集为{x|x<-1或x>1}.
解析
四、解答题
13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=1+.
(1)求f(2)的值；
答案
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根据题意，得函数f(x)为奇函数，
当x<0时，f(x)=1+
则f(2)=-f(-2)=-=-.
解
(2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞，0)上的单调性；
答案
1
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14
根据题意得，当x<0时，f(x)=1+.
在(-∞，0)上任取x1，x2，且x1则f(x1)-f(x2)=-=-=.
又由x1-1<0，x2-1<0，x2-x1>0，
可得f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
由定义可知，函数y=f(x)在区间(-∞，0)上单调递减.
解
(3)求当x>0时，f(x)的解析式.
答案
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当x>0时，-x<0，则f(-x)=1-
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)，
所以f(x)=-1+=-.
解
14.定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)-f 且函数f(x)在(-∞，0)上单调递减.
(1)求f(-1)，并证明函数y=f(x)是偶函数；
答案
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答案
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14
令y=≠0，则f =f(x)-f
得f(1)=f(x)-f(x)=0，
再令x=1，y=-1，可得f(-1)=f(1)-f(-1)，
得2f(-1)=f(1)=0，
所以f(-1)=0，
令y=-1，可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x)，
又该函数的定义域关于原点对称，
所以f(x)是偶函数.
解
(2)若f(2)=1，解不等式f -f≤1.
答案
1
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答案
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因为f(2)=1，又该函数为偶函数，所以f(-2)=1.
因为函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.
又f -f =f=f(2x-4)，
所以f(|2x-4|)≤f(2)，即
解得1≤x<2或2所以不等式f -f ≤1的解集为[1，2)∪(2，3].
解
第三章　 函　数
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