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培优课
一元二次方程根的分布
第三章　 函　数
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二次函数根的分布是二次函数中的重要内容.这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用.下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用.
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布问题：
(1)两零点都大于m
(2)两零点在(m，n)内
(3)一零点比m大，另一零点比m小 f(m)<0；
(4)一零点比m小，另一零点比n大(m≤n) f(m)<0且f(n)<0；
(5)一零点在(m，n)内，另一零点在(p，q)内(m一、一元二次方程根的基本分布——零分布
二、一元二次方程根的非零分布——k分布
课时对点练
随堂演练
内容索引
三、一元二次方程根的分布的应用
一元二次方程根的基本分布——零分布
一
关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是
A.(-∞，-2)∪(-2，0) B.(-∞，2)
C.(0，2)∪(2，+∞) D.(-2，+∞)
√
例 1
因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根，
所以
解得m<0且m≠-2.
解析
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧，这种分布一般利用判别式和根与系数的关系即可解决.
反
思
感
悟
(1)若一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为
A.a>0 B.a>2 C.a>1 D.a>-1
跟踪训练 1
√
因为一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根，设两根为x1，x2，
则解得a>0.
解析
(2)关于x的方程x2-4mx+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是
A.m≥ B.m≤-1
C.m≥或m≤-1 D.m≤-3
√
当方程没有根时，Δ=16m2-8m-24<0，即2m2-m-3<0，解得-1当方程有根，且根x1，x2都不为负根时，
可得解得m≥
综上可知m>-1，
即关于x的方程x2-4mx+2m+6=0没有负根时，m>-1，所以x2-4mx+2m+6= 0至少有一个负根的充要条件是m≤-1.
解析
二
一元二次方程根的非零分布——k分布
已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围.
例 2
令f(x)=x2+2mx+2m+1，依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出图象如图所示.
由图象得
所以-解
若将问题改为“若方程有两个不相等的实根，且均在区间
(0，1)内，求m的取值范围”.
延伸探究
令f(x)=x2+2mx+2m+1，根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图象如图所示.
解
由图象得即
所以-设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根分别为x1，x2，且x1≤x2，一元二次方程根的k分布，即x1，x2相对于常数k的位置，解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线的开口方向；②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.此类问题有时也可转化为根与系数的关系来解决.另外，零分布可以理解成k分布的特殊形式.
反
思
感
悟
已知一元二次方程x2-2ax+4=0.
(1)若两根均大于1，求实数a的取值范围；
跟踪训练 2
令f(x)=x2-2ax+4，画出函数图象(图略)，
(1)由
得2≤a<.
解
(2)若两根一者大于1，一者小于1，求实数a的取值范围；
由f(1)<0得a>.
解
(3)若两根一者在(0，1)内，一者在(6，8)内，求实数a的取值范围.
由解
一元二次方程根的分布的应用
三
已知二次函数y=-x2+mx-1，点A(0，3)，B(3，0)，试确定m的取值范围，使二次函数的图象恒与线段AB有两个交点.
例 3
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(0，3)，B(3，0)，
∴
∴线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)，
∵二次函数的图象和线段AB有两个不同的交点，
∴方程组有两个不同的实数根.
解
消元得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)，
设f(x)=x2-(m+1)x+4，
则
解得3所以m的取值范围为.
解
一元二次方程根的分布的应用问题，大多是一元二次方程根的分布与其他知识相结合问题，或能转化为一元二次方程根的分布问题，需注意恰当的转化时机.
反
思
感
悟
已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x>0}= ，求实数p的取值范围.
跟踪训练 3
∵A∩{x∈R|x>0}= ，
∴若A= ，则Δ=4-4p<0，解得p>1；
若A≠ ，则A={x|x≤0}，
即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.
设两根分别为x1，x2，则
∴0≤p≤1.综上所述，p≥0.
∴实数p的取值范围为[0，+∞).
解
1.知识清单：
(1)一元二次方程根的分布.
(2)一元二次方程根的分布的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：对根的分布各种情况考虑不全.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.关于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0，那么根的情况是
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
√
∵ax2-2x+1=0中，a<0，
∴Δ=(-2)2-4a=4-4a>0，
∴有两个不相等的实数根.
解析
1
2
3
4
2.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为
A.2 B.-2 C.2或-2 D.1
√
∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一根为0，
∴m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2.
解析
1
2
3
4
3.已知关于x的方程x2+x+m=0在区间(1，2)内有实根，则实数m的取值范围是
A.[-6，-2]
B.(-6，-2)
C.(-∞，-6]∪[-2，+∞)
D.(-∞，-6)∪(-2，+∞)
√
方法一　由题意可得
解得-6方法二　因为关于x的方程x2+x+m=0在区间内有实根，
所以m=-x2-x在区间内有实根，
令f(x)=-x2-x，x∈所以f(x)在上单调递减，
所以f(2)依题意y=m与y=f(x)在内有交点，
所以实数m的取值范围是.
解析
1
2
3
4
1
2
3
4
4.关于x的方程3x2-5x+a=0的两根分别满足-2设f(x)=3x2-5x+a，由题意，得 -12解析
(-12，0)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B C BC [-1，1]
题号 　8 答案
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)依题意，
得Δ=16-4(2m-1)>0，∴m<.
即m的取值范围为.
(2)∵m为正整数，∴m=1或2.
当m=1时，方程x2-4x+1=0的根为x=2±不是整数；
当m=2时，方程x2-4x+3=0的根为x1=1，x2=3，都是整数.
综上所述，m=2.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)由题意可得α，β是ax2+3x+b=0的两个根，∴
∵|α-β|=1，
∴|α-β|2=|α+β|2-4αβ=1，
即a2+4ab=9(a<0).
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2)由(1)知a(a+4b)=9且a，b均为负整数，
故或(舍)
或(舍)，
解得a=-1，b=-2，
∴f(x)=-x2+3x-2.
10.
答案
1
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9
10
(3)方程f(x)=(2m+1)x+2m+4，即x2+(2m-2)x+2m+6=0，方程至少有一个正根，有三种可能：
①有两个正根，此时可得
即
∴-310.
答案
1
2
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7
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10
②有一个正根，一个负根，
此时可得f(0)<0，得m<-3；
③有一个正根，另一根为零，
此时可得即∴m=-3，
综合上述三种情况得实数m的取值范围为(-∞，-1].
一、单项选择题
1.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是
A.-C.-1√
由题意可得Δ=a2-4(a2-1)>0，
且两根之积a2-1<0，解得-1解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是
A.(-5，-4)∪(4，+∞)
B.(-5，+∞)
C.(-5，-4)
D.(-4，-2)∪(4，+∞)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
令f(x)=x2+(m-2)x+5-m，由题可知

则-5即m的取值范围是(-5，-4).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是
A. B.
C.∪ D.∪
√
答案
1
2
3
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答案
1
2
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9
10
设f(x)=x2-mx+1，由题意可得解得2≤m<.
因此实数m的取值范围是.
解析
4.已知集合A={x|x2-2tx+t+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B≠ ，则实数t的取值范围是
A.(-6，-2) B.[-6，-2]
C.(-∞，-2] D.(-∞，-6]
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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10
答案
1
2
3
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6
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8
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10
由题意，得方程x2-2tx+t+6=0有负数根，若方程有根，则Δ=4t2-4(t+6)≥ 0，解得t∈(-∞，-2]∪[3，+∞).
当对称轴x=t≤0时，小根一定为负根，符合题意，故t∈(-∞，-2]成立；
当对称轴x=t>0时，令f(x)=x2-2tx+t+6，需f(0)<0，即t+6<0，得t<-6，此时t∈ .
综上，实数t的取值范围是(-∞，-2].
解析
二、多项选择题
5.关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是
A.2 B.4 C.6 D.8
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
设f(x)=x2-2x-a，其图象为开口向上，对称轴是x=1的抛物线，如图所示.
若关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，因为对称轴为
x=1，则
解得3≤a<8，故选BC.
解析
三、填空题
6.已知关于x的方程x2-(m+1)x+4m2=0的两根分别在区间(0，1)，(1，2)内，
则实数m的取值范围为　　　　　.
答案
1
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10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
令f(x)=x2-x+4m2，
根据题意得
解得0解析
7.已知当m∈R时，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是　　　　 .
①当m=0时，由f(x)=x-a=0，得x=a，此时a∈R.
②当m≠0时，mx2+x-m-a=0恒有解，
Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立，即4m2+4am+1≥0恒成立，
则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0，
即-1≤a≤1.
所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，有a∈[-1，1].
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[-1，1]
8.关于x的方程(1-a)x2+2ax+2-3a=0至少有一个正根，则a的取值范围是
　　 　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
①当二次项的系数1-a=0，即a=1时，方程即2x-1=0，解得x=故满足条件.
②当二次项的系数1-a≠0，即a≠1时，由判别式Δ=4a2-4(1-a)(2-3a)=
-4(a-2)(2a-1)≥0，解得≤a<1或1若两个根一个为正数另一个是非负数，则两根之和>0且两根之积≥0，解得a<0或a>1.
综合可得，1解析
答案
1
2
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4
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答案
1
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10
若方程有一正、一负根，则两根之积<0，解得综合可得综合①②可得，a的取值范围为.
解析
四、解答题
9.已知关于x的一元二次方程x2-4x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
依题意，得Δ=16-4(2m-1)>0，
∴m<.
即m的取值范围为.
解
答案
1
2
3
4
5
6
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(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.
∵m为正整数，∴m=1或2.
当m=1时，方程x2-4x+1=0的根为x=2±不是整数；
当m=2时，方程x2-4x+3=0的根为x1=1，x2=3，都是整数.
综上所述，m=2.
解
答案
1
2
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10
10.已知函数f(x)=ax2+3x+b(a<0)，设关于x的方程f(x)=0有两个实数根分别为α，β.
(1)若|α-β|=1，求a，b的关系式；
答案
1
2
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6
7
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9
10
由题意可得α，β是ax2+3x+b=0的两个根，∴
∵|α-β|=1，∴|α-β|2=|α+β|2-4αβ=1，
即a2+4ab=9(a<0).
解
(2)若a，b均为负整数，且|α-β|=1，求f(x)的解析式；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由(1)知a(a+4b)=9且a，b均为负整数，
故(舍)
或(舍)，
解得a=-1，b=-2，∴f(x)=-x2+3x-2.
解
(3)在(2)的条件下，若方程f(x)=(2m+1)x+2m+4至少有一个正根，求实数m的取值范围.
答案
1
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答案
1
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10
方程f(x)=(2m+1)x+2m+4，即x2+(2m-2)x+2m+6=0，方程至少有一个正根，有三种可能：
①有两个正根，
此时可得
∴-3②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<-3；
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
③有一个正根，另一根为零，
此时可得∴m=-3，
综合上述三种情况得实数m的取值范围为(-∞，-1].
解
第三章　 函　数
<<<培优课　一元二次方程根的分布
二次函数根的分布是二次函数中的重要内容.这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用.下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用.
知识梳理
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布问题：
(1)两零点都大于m
(2)两零点在(m，n)内
(3)一零点比m大，另一零点比m小 f(m)<0；
(4)一零点比m小，另一零点比n大(m≤n) f(m)<0且f(n)<0；
(5)一零点在(m，n)内，另一零点在(p，q)内(m一、一元二次方程根的基本分布——零分布
例1　关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-2)∪(-2，0)
B.(-∞，2)
C.(0，2)∪(2，+∞)
D.(-2，+∞)
答案　A
解析　因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根，所以
解得m<0且m≠-2.
反思感悟　所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧，这种分布一般利用判别式和根与系数的关系即可解决.
跟踪训练1　(1)若一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为(　　)
A.a>0 B.a>2 C.a>1 D.a>-1
答案　A
解析　因为一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根，设两根为x1，x2，
则解得a>0.
(2)关于x的方程x2-4mx+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是(　　)
A.m≥ B.m≤-1
C.m≥或m≤-1 D.m≤-3
答案　B
解析　当方程没有根时，Δ=16m2-8m-24<0，即2m2-m-3<0，解得-1当方程有根，且根x1，x2都不为负根时，可得解得m≥
综上可知m>-1，
即关于x的方程x2-4mx+2m+6=0没有负根时，m>-1，所以x2-4mx+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是m≤-1.
二、一元二次方程根的非零分布——k分布
例2　已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围.
解　令f(x)=x2+2mx+2m+1，依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出图象如图所示.
由图象得即
所以-延伸探究　若将问题改为“若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0，1)内，求m的取值范围”.
解　令f(x)=x2+2mx+2m+1，根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图象如图所示.
由图象得
即
所以-即m的取值范围是.
反思感悟　设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根分别为x1，x2，且x1≤x2，一元二次方程根的k分布，即x1，x2相对于常数k的位置，解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线的开口方向；②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.此类问题有时也可转化为根与系数的关系来解决.另外，零分布可以理解成k分布的特殊形式.
跟踪训练2　已知一元二次方程x2-2ax+4=0.
(1)若两根均大于1，求实数a的取值范围；
(2)若两根一者大于1，一者小于1，求实数a的取值范围；
(3)若两根一者在(0，1)内，一者在(6，8)内，求实数a的取值范围.
解　令f(x)=x2-2ax+4，画出函数图象(图略)，
(1)由
得2≤a<.
(2)由f(1)<0得a>.
(3)由得三、一元二次方程根的分布的应用
例3　已知二次函数y=-x2+mx-1，点A(0，3)，B(3，0)，试确定m的取值范围，使二次函数的图象恒与线段AB有两个交点.
解　设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(0，3)，B(3，0)，
∴解得
∴线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)，
∵二次函数的图象和线段AB有两个不同的交点，
∴方程组有两个不同的实数根.消元得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)，
设f(x)=x2-(m+1)x+4，
则
解得3所以m的取值范围为.
反思感悟　一元二次方程根的分布的应用问题，大多是一元二次方程根的分布与其他知识相结合问题，或能转化为一元二次方程根的分布问题，需注意恰当的转化时机.
跟踪训练3　已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x>0}= ，求实数p的取值范围.
解　∵A∩{x∈R|x>0}= ，
∴若A= ，则Δ=4-4p<0，解得p>1；
若A≠ ，则A={x|x≤0}，
即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.
设两根分别为x1，x2，则
∴0≤p≤1.综上所述，p≥0.
∴实数p的取值范围为[0，+∞).
1.知识清单：
(1)一元二次方程根的分布.
(2)一元二次方程根的分布的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：对根的分布各种情况考虑不全.
1.关于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0，那么根的情况是(　　)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
答案　B
解析　∵ax2-2x+1=0中，a<0，
∴Δ=(-2)2-4a=4-4a>0，
∴有两个不相等的实数根.
2.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为(　　)
A.2 B.-2 C.2或-2 D.1
答案　B
解析　∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一根为0，
∴m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2.
3.已知关于x的方程x2+x+m=0在区间(1，2)内有实根，则实数m的取值范围是(　　)
A.[-6，-2]
B.(-6，-2)
C.(-∞，-6]∪[-2，+∞)
D.(-∞，-6)∪(-2，+∞)
答案　B
解析　方法一　由题意可得
解得-6故实数m的取值范围是(-6，-2).
方法二　因为关于x的方程x2+x+m=0在区间内有实根，
所以m=-x2-x在区间内有实根，
令f(x)=-x2-x，x∈所以f(x)在上单调递减，
所以f(2)依题意y=m与y=f(x)在内有交点，
所以实数m的取值范围是.
4.关于x的方程3x2-5x+a=0的两根分别满足-2答案　(-12，0)
解析　设f(x)=3x2-5x+a，由题意，得 -12课时对点练
[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是(　　)
A.-C.-1答案　C
解析　由题意可得Δ=a2-4(a2-1)>0，
且两根之积a2-1<0，解得-12.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-5，-4)∪(4，+∞)
B.(-5，+∞)
C.(-5，-4)
D.(-4，-2)∪(4，+∞)
答案　C
解析　令f(x)=x2+(m-2)x+5-m，
由题可知

则-5即m的取值范围是(-5，-4).
3.已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
答案　B
解析　设f(x)=x2-mx+1，由题意可得解得2≤m<.
因此实数m的取值范围是.
4.已知集合A={x|x2-2tx+t+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B≠ ，则实数t的取值范围是(　　)
A.(-6，-2) B.[-6，-2]
C.(-∞，-2] D.(-∞，-6]
答案　C
解析　由题意，得方程x2-2tx+t+6=0有负数根，若方程有根，则Δ=4t2-4(t+6)≥0，解得t∈(-∞，-2]∪[3，+∞).
当对称轴x=t≤0时，小根一定为负根，符合题意，故t∈(-∞，-2]成立；
当对称轴x=t>0时，令f(x)=x2-2tx+t+6，需f(0)<0，即t+6<0，得t<-6，此时t∈ .
综上，实数t的取值范围是(-∞，-2].
二、多项选择题(共6分)
5.关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　BC
解析　设f(x)=x2-2x-a，其图象为开口向上，对称轴是x=1的抛物线，如图所示.
若关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，因为对称轴为x=1，则即解得3≤a<8，故选BC.
三、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知关于x的方程x2-(m+1)x+4m2=0的两根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则实数m的取值范围为　　　　　　　　　.
答案　
解析　令f(x)=x2-x+4m2，
根据题意得
解得07.已知当m∈R时，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　[-1，1]
解析　①当m=0时，由f(x)=x-a=0，得x=a，此时a∈R.
②当m≠0时，mx2+x-m-a=0恒有解，
Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立，
即4m2+4am+1≥0恒成立，
则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0，
即-1≤a≤1.
所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，有a∈[-1，1].
8.关于x的方程(1-a)x2+2ax+2-3a=0至少有一个正根，则a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　①当二次项的系数1-a=0，即a=1时，方程即2x-1=0，解得x=故满足条件.
②当二次项的系数1-a≠0，即a≠1时，由判别式Δ=4a2-4(1-a)(2-3a)=-4(a-2)(2a-1)≥0，解得≤a<1或1若两个根一个为正数另一个是非负数，则两根之和>0且两根之积≥0，解得a<0或a>1.
综合可得，1若方程有一正、一负根，则两根之积<0，解得综合可得综合①②可得，a的取值范围为.
四、解答题(共24分)
9.(11分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；(5分)
(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.(6分)
解　(1)依题意，得Δ=16-4(2m-1)>0，
∴m<.即m的取值范围为.
(2)∵m为正整数，∴m=1或2.
当m=1时，方程x2-4x+1=0的根为x=2±不是整数；
当m=2时，方程x2-4x+3=0的根为x1=1，x2=3，都是整数.综上所述，m=2.
10.(13分)已知函数f(x)=ax2+3x+b(a<0)，设关于x的方程f(x)=0有两个实数根分别为α，β.
(1)若|α-β|=1，求a，b的关系式；(4分)
(2)若a，b均为负整数，且|α-β|=1，求f(x)的解析式；(4分)
(3)在(2)的条件下，若方程f(x)=(2m+1)x+2m+4至少有一个正根，求实数m的取值范围.(5分)
解　(1)由题意可得α，β是ax2+3x+b=0的两个根，∴
∵|α-β|=1，∴|α-β|2=|α+β|2-4αβ=1，
即a2+4ab=9(a<0).
(2)由(1)知a(a+4b)=9且a，b均为负整数，故或(舍)
或(舍)，
解得a=-1，b=-2，∴f(x)=-x2+3x-2.
(3)方程f(x)=(2m+1)x+2m+4，即x2+(2m-2)x+2m+6=0，方程至少有一个正根，有三种可能：
①有两个正根，
此时可得即
∴-3②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<-3；
③有一个正根，另一根为零，
此时可得即∴m=-3，
综合上述三种情况得实数m的取值范围为(-∞，-1].

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