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章末复习课
第二章　等式与不等式
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一、不等式性质的应用
二、求不等式的解集
三、均值不等式的应用
内容索引
四、不等式恒成立问题
不等式性质的应用
一
1.在使用不等式时，一定要弄清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘.可乘性中的“c的符号”等都需要注意.
2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的素养.
(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是
A.若a>b，c>d，则ac>bd
B.若ab>0，bc-ad>0，则->0
C.若a>b，c>d，则a-d>b-c
D.若a>b，c>d>0，则>
√
例 1
√
若a>0>b，0>c>d，则ac若ab>0，bc-ad>0，则>0，化简得->0，故B正确；
若c>d，则-d>-c，又a>b，则a-d>b-c，故C正确；
若a=-1，b=-2，c=2，d=1，则=-1=-1==-1，故D错误.
解析
判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，然后进行推理判断.
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断.
反
思
感
悟
　若a>0，b>0，且P=Q=则P，Q的大小关系是
A.P>Q B.PC.P≥Q D.P≤Q
跟踪训练 1
√
因为P2-Q2=-(a+b)=-≤0，所以P2≤Q2，
又P>0，Q>0，所以P≤Q.
解析
二
求不等式的解集
1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
解下列不等式：
(1)|x-1|+|2x+1|<2；
例 2
①当x<-时，原不等式等价于解得-②当-≤x≤1时，原不等式等价于解得-≤x<0.
③当x>1时，原不等式等价于
不等式组无解.
由①②③得原不等式的解集为.
解
(2)ax2-(a+1)x+1<0.
①当a=0时，原不等式即为-x+1<0，解得x>1；
②当a<0时，原不等式化为(x-1)>0，解得x<或x>1；
③当a>0时，原不等式化为(x-1)<0.
若=1，即a=1时，不等式无解；
若<1，即a>1时，解得若>1，即0解
综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a=1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
解
(1)含有两个绝对值的不等式的解法要注意分类讨论思想的应用.
(2)对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对根的大小进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏.
反
思
感
悟
若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值；
跟踪训练 2
依题意，可得ax2+5x-2=0的两个实数根为和2，由根与系数的关系，
得
解得a=-2.
解
(2)求不等式>a+5的解集.
将a=-2代入不等式，得>3，
即-3>0，整理得>0，
即(x+1)(x+2)<0，解得-2则不等式的解集为(-2，-1).
解
均值不等式的应用
三
1.均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际应用相结合.
2.熟练掌握均值不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.
已知a，b都是正数，且a2+=1，则y=a的最大值为　　　.
例 3
∵a2+=1，∴2a2+b2=2.
又∵a，b都是正数，
∴y=a==·≤·=
当且仅当时，等号成立.
∴y=a.
解析
均值不等式的最值问题的解题策略
注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的.很多题目中特别注意“1”的代换.
反
思
感
悟
已知正数x，y满足x+y=1，则+的最小值为
A.5 B. C. D.2
跟踪训练 3
√
因为x+y=1，所以x+(1+y)=2，
则2=[x+(1+y)=++5≥2+5=9，
所以+≥当且仅当即时，等号成立，
因此+.
解析
不等式恒成立问题
四
1.一般是指一元二次不等式恒成立的问题，即
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
2.掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(-∞，0)∪(1，+∞)
D.(-∞，0]∪[1，+∞)
例 4
√
当k=0时，不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0，其恒成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0综上，k的取值范围是[0，1].
解析
解决不等式恒成立、能成立问题的方法
(1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合.
(2)分离参数法.
(3)转化为最大(小)值问题.
反
思
感
悟
已知正实数a，b满足+=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是
A.{m|m≥3} B.{m|m≤3}
C.{m|m≤6} D.{m|m≥6}
跟踪训练 4
√
因为a>0，b>0+=1，
所以a+b==10++≥10+2=16，当且仅当=
即a=4，b=12时，等号成立.
由题意，得16≥-x2+4x+18-m，即x2-4x-2≥-m对任意的实数x恒成立，
又x2-4x-2=-6≥-6，所以-6≥-m，即m≥6.
解析
第二章　等式与不等式
<<<一、不等式性质的应用
1.在使用不等式时，一定要弄清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘.可乘性中的“c的符号”等都需要注意.
2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的素养.
例1　(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A.若a>b，c>d，则ac>bd
B.若ab>0，bc-ad>0，则->0
C.若a>b，c>d，则a-d>b-c
D.若a>b，c>d>0，则>
答案　BC
解析　若a>0>b，0>c>d，则ac若ab>0，bc-ad>0，则>0，化简得->0，故B正确；
若c>d，则-d>-c，又a>b，则a-d>b-c，故C正确；
若a=-1，b=-2，c=2，d=1，则=-1=-1==-1，故D错误.
反思感悟　判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，然后进行推理判断.
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断.
跟踪训练1　若a>0，b>0，且P=Q=则P，Q的大小关系是(　　)
A.P>Q B.PC.P≥Q D.P≤Q
答案　D
解析　因为P2-Q2=-(a+b)
=-≤0，所以P2≤Q2，
又P>0，Q>0，所以P≤Q.
二、求不等式的解集
1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　解下列不等式：
(1)|x-1|+|2x+1|<2；
(2)ax2-(a+1)x+1<0.
解　(1)①当x<-时，原不等式等价于
解得-②当-≤x≤1时，原不等式等价于
解得-≤x<0.
③当x>1时，原不等式等价于
不等式组无解.
由①②③得原不等式的解集为.
(2)①当a=0时，原不等式即为-x+1<0，
解得x>1；
②当a<0时，原不等式化为(x-1)>0，
解得x<或x>1；
③当a>0时，原不等式化为(x-1)<0.
若=1，即a=1时，不等式无解；
若<1，即a>1时，解得若>1，即0综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a=1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
反思感悟　(1)含有两个绝对值的不等式的解法要注意分类讨论思想的应用.
(2)对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对根的大小进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏.
跟踪训练2　若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值；
(2)求不等式>a+5的解集.
解　(1)依题意，可得ax2+5x-2=0的两个实数根为和2，由根与系数的关系，得
解得a=-2.
(2)将a=-2代入不等式，得>3，
即-3>0，整理得>0，
即(x+1)(x+2)<0，解得-2则不等式的解集为(-2，-1).
三、均值不等式的应用
1.均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际应用相结合.
2.熟练掌握均值不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.
例3　已知a，b都是正数，且a2+=1，则y=a的最大值为　　　　.
答案　
解析　∵a2+=1，∴2a2+b2=2.
又∵a，b都是正数，
∴y=a=
=·≤·=
当且仅当即时，等号成立.
∴y=a有最大值.
反思感悟　均值不等式的最值问题的解题策略
注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的.很多题目中特别注意“1”的代换.
跟踪训练3　已知正数x，y满足x+y=1，则+的最小值为(　　)
A.5 B. C. D.2
答案　C
解析　因为x+y=1，所以x+(1+y)=2，
则2=[x+(1+y)=++5≥2+5=9，
所以+≥当且仅当
即时，等号成立，
因此+的最小值为.
四、不等式恒成立问题
1.一般是指一元二次不等式恒成立的问题，即
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
2.掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例4　已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(-∞，0)∪(1，+∞)
D.(-∞，0]∪[1，+∞)
答案　A
解析　当k=0时，不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0反思感悟　解决不等式恒成立、能成立问题的方法
(1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合.
(2)分离参数法.
(3)转化为最大(小)值问题.
跟踪训练4　已知正实数a，b满足+=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m≥3} B.{m|m≤3}
C.{m|m≤6} D.{m|m≥6}
答案　D
解析　因为a>0，b>0+=1，
所以a+b==10++≥10+2=16，当且仅当=即a=4，b=12时，等号成立.
由题意，得16≥-x2+4x+18-m，即x2-4x-2≥-m对任意的实数x恒成立，又x2-4x-2=-6≥-6，所以-6≥-m，即m≥6.

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