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一、函数的定义域、值域
1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.
2.掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养.
例1　(1)函数f(x)=+(3x-1)0的定义域是(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　D
解析　由题意得解得x<1且x≠.
(2)函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　　，　　　　　.
答案　2　-
解析　作出f(x)的图象，如图.
由图象可知，当x=2时，f(x)取得最大值2；
当x=时，f(x)取得最小值-.
所以f(x)的最大值为2，最小值为-.
反思感悟　(1)求函数定义域的类型与方法
①已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
②实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
③复合函数问题：
(ⅰ)若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
(ⅱ)若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
(2)求函数的值域时常用的方法有：配方法、换元法、分离常数法、判别式法等，不论采用什么样的方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
跟踪训练1　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，值域为[-2，3]，则下列函数的值域也为[-2，3]的是(　　)
A.y=f(x+1) B.y=f(x)+1
C.y=f(-x) D.y=-f(x)
答案　AC
解析　对于A，y=f(x+1)的图象可看作由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到，故值域不变，故A符合题意；
对于B，由y=f(x)∈[-2，3]，可得y=f(x)+1∈[-1，4]，即y=f(x)+1的值域为[-1，4]，故B不符合题意；
对于C，函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图象关于y轴对称，故函数y=f(-x)的值域与函数y=f(x)的值域相同，为[-2，3]，故C符合题意；
对于D，由y=f(x)∈[-2，3]，可得y=-f(x)∈[-3，2]，即y=-f(x)的值域为[-3，2]，故D不符合题意.
(2)已知函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数g(x)=的定义域是(　　)
A.∪ B.
C. D.
答案　A
解析　∵函数f(x)的定义域是[-2，2]，
∴得-3≤x≤1，且x≠0，
∴函数g(x)=的定义域是∪.
二、 函数的解析式
1.函数的解析式实际上就是函数的对应法则的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、拼凑法、待定系数法、解方程组法等，特别是在分段函数中还要结合函数的奇偶性.
2.求函数的解析式往往考查的是分析能力和逻辑思维能力，以提高逻辑思维和数学运算的素养为主要目的.
例2　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=+1，则f(x)的解析式为　　　　.
答案　f(x)=
解析　设x<0，则-x>0，∴f(-x)=+1.
∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，
即-f(x)=+1，∴f(x)=--1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，
∴f(x)=
(2)已知函数f(x-1)=x2+x-3，则f(x)=　　　　　　　　.
答案　x2+3x-1
解析　设t=x-1，则x=t+1，故f(t)=(t+1)2+(t+1)-3=t2+3t-1，即f(x)=x2+3x-1.
反思感悟　求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.
(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f 使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
跟踪训练2　(1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，则该二次函数的解析式为　　　　.
答案　f(x)=x2+1
解析　设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得
解得故f(x)=x2+1.
(2)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x，则f(x)的解析式为　　　　.
答案　f(x)=2x+
解析　令t=x-1，则x=t+1，t∈R，
原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1).①
以-t代替t，
①式变为3f(-t)+2f(t)=2(1-t).②
由①②消去f(-t)得f(t)=2t+
故f(x)=2x+.
三、函数的单调性和奇偶性
1.利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是考试重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
例3　已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围.
解　(1)函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
因为f(-x)==-=-f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.
证明如下：任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=
=
因为x2>x1>1，
所以x1-x2<0，x1x2>0，x1x2-1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.
(3)由(2)知函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，
所以3m>5-2m>1，解得1所以m的取值范围为(1，2).
反思感悟　函数的单调性和奇偶性
(1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数在区间I上单调递增： x1，x2∈I，(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0>0等.
(2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a)，f(-a)的转化，注意其图象的对称性的应用.
跟踪训练3　已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[-2，-1]上的最值.
解　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x)，
∴=-=.
比较得n=-n，解得n=0.
又f(2)=∴=解得m=2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)==+.
任取x1，x2∈[-2，-1]，且x1≠x2，
记y1=f(x1)，y2=f(x2)，
则==
=·.
∵x1，x2∈[-2，-1]且x1≠x2，
∴x1x2>1，x1x2-1>0，∴>0，
∴函数f(x)在[-2，-1]上为增函数，
∴f(x)max=f(-1)=-
f(x)min=f(-2)=-.
四、函数图象的画法及应用
1.利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数等.
2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养.
例4　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示，根据图象：
(1)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的解析式；
(3)已知g(x)=f(x)-a有三个零点，求实数a的取值范围.
解　(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，
则函数f(x)的图象如图所示，故函数f(x)的单调递增区间为.
(2)令x>0，则-x<0，则f=x2-4x，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=-f=-x2+4x，
所以f(x)=
(3)已知g(x)=f(x)-a有三个零点，
即y=f(x)与y=a的图象有三个不同的交点，由图象可知-4故实数a的取值范围是(-4，4).
反思感悟　画函数图象的主要方法是描点法，要先研究函数性质再画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果.
跟踪训练4　(1)已知函数f(x)=方程[f(x)]2-bf(x)=0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　D
解析　因为[f(x)]2-bf(x)=0，
所以f(x)=0或f(x)=b，
作出函数f(x)=的图象如图，
结合图象可知，
f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0(2)对于实数a和b，定义运算“ ”：a b=设函数f(x)=(x2-2) (x-1)，x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A.(-1，1]∪(2，+∞) B.(-2，-1]∪(1，2]
C.(-∞，-2)∪(1，2] D.[-2，-1]
答案　B
解析　令(x2-2)-(x-1)≤1，得-1≤x≤2，
则f(x)=
∵函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数f(x)的图象与直线y=c恰有两个公共点.
∴画出函数f(x)的图象(如图)，
可得实数c的取值范围是(-2，-1]∪(1，2].(共37张PPT)
章末复习课
第三章　 函　数
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一、函数的定义域、值域
二、函数的解析式
三、函数的单调性和奇偶性
内容索引
四、函数图象的画法及应用
函数的定义域、值域
一
1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.
2.掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养.
(1)函数f(x)=+(3x-1)0的定义域是
A. B.
C. D.∪
√
例 1
由题意得解得x<1且x≠.
解析
(2)函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　，　　　.
2
-
作出f(x)的图象，如图.
由图象可知，当x=2时，f(x)取得最大值2；
当x=时，f(x)取得最小值-.
所以f(x)的最大值为2，最小值为-.
解析
(1)求函数定义域的类型与方法
①已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
②实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
③复合函数问题：
(ⅰ)若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
(ⅱ)若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
(2)求函数的值域时常用的方法有：配方法、换元法、分离常数法、判别式法等，不论采用什么样的方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
反
思
感
悟
(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，值域为[-2，3]，则下列函数的值域也为[-2，3]的是
A.y=f(x+1) B.y=f(x)+1
C.y=f(-x) D.y=-f(x)
跟踪训练 1
√
√
对于A，y=f(x+1)的图象可看作由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到，故值域不变，故A符合题意；
对于B，由y=f(x)∈[-2，3]，可得y=f(x)+1∈[-1，4]，即y=f(x)+1的值域为[-1，4]，故B不符合题意；
对于C，函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图象关于y轴对称，故函数y=f(-x)的值域与函数y=f(x)的值域相同，为[-2，3]，故C符合题意；
对于D，由y=f(x)∈[-2，3]，可得y=-f(x)∈[-3，2]，即y=-f(x)的值域为[-3，2]，故D不符合题意.
解析
(2)已知函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数g(x)=的定义域是
A.∪ B.
C. D.
√
∵函数f(x)的定义域是[-2，2]，
∴得-3≤x≤1，且x≠0，
∴函数g(x)=∪.
解析
二
函数的解析式
1.函数的解析式实际上就是函数的对应法则的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、拼凑法、待定系数法、解方程组法等，特别是在分段函数中还要结合函数的奇偶性.
2.求函数的解析式往往考查的是分析能力和逻辑思维能力，以提高逻辑思维和数学运算的素养为主要目的.
(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=+1，则f(x)的解析式
为　　　 　 .
例 2
f(x)=
设x<0，则-x>0，∴f(-x)=+1.
∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，
即-f(x)=+1，∴f(x)=--1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，
∴f(x)=
解析
(2)已知函数f(x-1)=x2+x-3，则f(x)=　　　　　.
x2+3x-1
设t=x-1，则x=t+1，故f(t)=(t+1)2+(t+1)-3=t2+3t-1，即f(x)=x2+3x-1.
解析
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.
(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f 使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
反
思
感
悟
(1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，则该二次函数的解析式为　　 　.
跟踪训练 2
设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由题意得
解得故f(x)=x2+1.
解析
f(x)=x2+1
(2)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x，则f(x)的解析式为　　 　　.
令t=x-1，则x=t+1，t∈R，
原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1). ①
以-t代替t，
①式变为3f(-t)+2f(t)=2(1-t). ②
由①②消去f(-t)得f(t)=2t+
故f(x)=2x+.
解析
f(x)=2x+
函数的单调性和奇偶性
三
1.利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是考试重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性；
例 3
函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
因为f(-x)==-=-f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
解
(2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；
函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.
证明如下：任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=-==
=
因为x2>x1>1，所以x1-x2<0，x1x2>0，x1x2-1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.
解
(3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围.
由(2)知函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，
所以3m>5-2m>1，解得1所以m的取值范围为(1，2).
解
函数的单调性和奇偶性
(1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数在区间I上单调递增： x1，x2∈I，(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0 >0等.
(2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a)，f(-a)的转化，注意其图象的对称性的应用.
反
思
感
悟
已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=.
(1)求实数m和n的值；
跟踪训练 3
∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，
∴=-=.
比较得n=-n，解得n=0.
又f(2)=∴=解得m=2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
解
(2)求函数f(x)在区间[-2，-1]上的最值.
由(1)知f(x)==+.
任取x1，x2∈[-2，-1]，且x1≠x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)，
则===·.
∵x1，x2∈[-2，-1]且x1≠x2，
∴x1x2>1，x1x2-1>0，∴>0，
∴函数f(x)在[-2，-1]上为增函数，∴f(x)max=f(-1)=-f(x)min=f(-2)=-.
解
函数图象的画法及应用
四
1.利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数等.
2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示，根据图象：
例 4
函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，
则函数f(x)的图象如图所示，故函数f(x)的单调递增区间为.
解
(1)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的解析式；
令x>0，则-x<0，则f=x2-4x，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=-f=-x2+4x，
所以f(x)=
解
(3)已知g(x)=f(x)-a有三个零点，求实数a的取值范围.
已知g(x)=f(x)-a有三个零点，
即y=f(x)与y=a的图象有三个不同的交点，由图象可知-4故实数a的取值范围是(-4，4).
解
画函数图象的主要方法是描点法，要先研究函数性质再画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果.
反
思
感
悟
(1)已知函数f(x)=方程[f(x)]2-bf(x)=0，b∈
(0，1)，则方程的根的个数是
A.2 B.3 C.4 D.5
跟踪训练 4
√
因为[f(x)]2-bf(x)=0，所以f(x)=0或f(x)=b，
作出函数f(x)=的图象如图，
结合图象可知，
f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0解析
(2)对于实数a和b，定义运算“ ”：a b=设函数f(x)=(x2-2) (x-1)，x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
A.(-1，1]∪(2，+∞) B.(-2，-1]∪(1，2]
C.(-∞，-2)∪(1，2] D.[-2，-1]
√
令(x2-2)-(x-1)≤1，得-1≤x≤2，
则f(x)=
∵函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，
即函数f(x)的图象与直线y=c恰有两个公共点.
∴画出函数f(x)的图象(如图)，
可得实数c的取值范围是(-2，-1]∪(1，2].
解析
第三章　 函　数
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