资源简介

第2课时　两角和与差的正弦的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.进一步掌握两角和与差的正弦公式,会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.
2.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
题型(一)　给值求角
[例1]　已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α-β=　　　　.
听课记录:
　　[变式拓展]
　将本例中条件“sin α=”改为“sin α=”,其余条件不变,则α+β=　　　　　.
　　|思|维|建|模|
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.
　　[针对训练]
1.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β=　　　　.
题型(二)　证明恒等式
[例2]　已知3sin β=sin(2α+β),求证tan(α+β)=2tan α.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
解决有关的证明问题,首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系),确定证明的方向,然后利用公式证明.
　　[针对训练]
2.证明:=tan(α+β).
题型(三)　角的变换
[例3]　已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α,sin 2β.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.
　　[针对训练]
3.已知0<α<,-<β<0,cos α=,cos=.
(1)求cos的值;
(2)求sin的值.
第2课时　两角和与差的正弦的应用
[例1]　解析:因为α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=.
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
又因为α,β均为锐角,
所以-<α-β<.故α-β=-.
答案:-
[变式拓展]
解析:∵α,β均为锐角,sin α=,cos β=,∴cos α=,sin β=.
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
又∵0<α+β<π,∴α+β=.
答案:
[针对训练]
1.解析:依题设得=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.∵0<β<α<,∴cos(α-β)=.
又cos α=,∴sin α=,∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,∴β=.
答案:
[例2]　证明:由已知得
3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
即3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,
即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α,
所以tan(α+β)=2tan α.
[针对训练]
2.证明:
=
==
=tan(α+β),
所以原式得证.
[例3]　解:∵<β<α<,
∴0<α-β<,π<α+β<.
又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
∴sin(α-β)=,cos(α+β)=-.
∴sin 2α=sin
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-,sin 2β=sin
=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-.
[针对训练]
3.解:(1)因为0<α<,cos α=,
所以sin α=.所以cos=cos αcos-sin αsin =×-×=.
(2)因为0<α<,所以<α+<.
所以sin=.
因为-<β<0,所以<-<.
所以sin=.
所以sin=sin=sincos-cossin
=×-×=.(共38张PPT)
两角和与差的正弦的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1.进一步掌握两角和与差的正弦公式,会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.
2.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　给值求角
题型(二)　证明恒等式
题型(三)　角的变换
4
课时跟踪检测
题型(一)　给值求角
01
[例1]　已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α-β=　　　　.
解析:因为α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=.
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
又因为α,β均为锐角,
所以-<α-β<.故α-β=-.
-
变式拓展
　将本例中条件“sin α=”改为“sin α=”,其余条件不变,则α+β=　　　　　.
解析:∵α,β均为锐角,sin α=,cos β=,
∴cos α=,sin β=.
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
又∵0<α+β<π,∴α+β=.
|思|维|建|模|
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.
针对训练
1.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,
则β=　　　　.
解析:依题设得=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.
∵0<β<α<,∴cos(α-β)=.又cos α=,∴sin α=,∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,∴β=.
题型(二)　证明恒等式
02
[例2]　已知3sin β=sin(2α+β),求证tan(α+β)=2tan α.
证明:由已知得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
即3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,
即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α,
所以tan(α+β)=2tan α.
|思|维|建|模|
　　解决有关的证明问题,首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系),确定证明的方向,然后利用公式证明.
针对训练
2.证明:=tan(α+β).
证明:
=
==
=tan(α+β),
所以原式得证.
题型(三)　角的变换
03
[例3]　已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α,sin 2β.
解:∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<.
又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
∴sin(α-β)=,cos(α+β)=-.
∴sin 2α=sin
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-,
sin 2β=sin
=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-.
|思|维|建|模|
　　在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.
针对训练
3.已知0<α<,-<β<0,cos α=,cos=.
(1)求cos的值;
解:因为0<α<,cos α=,
所以sin α=.所以cos=cos αcos-sin αsin=×-×=.
(2)求sin的值.
解:因为0<α<,所以<α+<.
所以sin=.
因为-<β<0,所以<-<.
所以sin=.
所以sin=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.已知θ为锐角,且cos=,则sin θ=(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:∵cos=>0(θ为锐角),
∴θ+为锐角.
∴sin==.
∴sin θ=sin=sincos-cossin =×-×=.
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2.若sin αcos-cos αsin=,α∈[0,2π),则α等于(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析:因为sin αcos-cos αsin=sin=,又α∈[0,2π),所以α=或.
√
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3.已知cos=,0<α<π,则sin α=(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:因为cos=,且0<α<π,所以<α+<.
所以sin==.
所以sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
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4.(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
解析:法一　由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=
2×(cos α-sin α)sin β,整理得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+
sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
法二　设β=0,则sin α+cos α=0,即tan α=-1,取α=,排除A、B;
设α=0,则sin β+cos β=2sin β,tan β=1,取β=,排除D.
√
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5.已知sin α+cos β=-,cos α+sin β=,则sin(α+β)=(　　)
A. B.
C.- D.-
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解析:因为sin α+cos β=-,cos α+sin β=,
所以(sin α+cos β)2=,(cos α+sin β)2=.
所以sin2α+2sin αcos β+cos2β=,
cos2α+2cos αsin β+sin2β=,
两式相加可得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=.
所以2+2sin αcos β+2cos αsin β=,
即2+2(sin αcos β+cos αsin β)=.
所以2+2sin(α+β)=,
解得sin(α+β)=-.
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6.已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),则θ=　　　　.
解析:∵sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),∴sin=cos(2x-θ).
即cos=cos(2x-θ),∴θ=.
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7.的值是　　　　.
解析:原式=
=
==tan 60°=.
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8.在锐角△ABC中,已知cos A=,sin B=,则角C的值为　　　　.
解析:因为△ABC为锐角三角形,又cos A=,sin B=,所以sin A=,
cos B=.
则sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.
又C∈,即C=.
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9.(15分)求证:sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β.
证明:∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α
=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=sin[(α+β)-α]=sin β,
∴sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β.∴原式得证.
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10.(17分)已知α,β∈,cos α=,cos(α+β)=.
(1)求sin β的值;
解:∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).又cos α=,cos(α+β)=,∴sin α=
=,
sin(α+β)==.
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.
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(2)求2α+β的值.
解:cos(2α+β)=cos[(α+β)+α]
=cos(α+β)cos α-sin αsin(α+β)
=×-×=0.
由α,β∈,得2α+β∈.
∴2α+β的值为.
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B级——重点培优
11.在△ABC中,若2cos Bsin C=sin A,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
解析:由题意,sin A=sin(π-A)=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,
则2cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos B sin Bcos C-cos Bsin C=
sin(B-C)=0,则B=C,即△ABC的形状是等腰三角形.
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12.(多选)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则(　　)
A.cos β= B.sin β=
C.cos(α-β)= D.sin(α-β)=-
√
√
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解析:因为α∈,cos α=,
所以sin α===.
又α,β∈,所以α+β∈(0,π).
所以sin(α+β)=
==.
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-+=.故A正确.
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因为β∈,所以sin β===.故B错误.
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.故C正确.
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=.故D错误.
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13.已知tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两根,则=　　　　 .
解析:由已知得tan α+tan β=-,tan αtan β=-.故
=
===.
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14.(10分)若sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.
解:∵0<α<<β<,
∴<+α<π,-<-β<0.
又sin=,cos=,
∴cos=-,sin=-.
∴cos(α+β)=sin=sin=sin
cos-cos·sin=×-×=-.课时跟踪检测(十六)　两角和与差的正弦的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知θ为锐角,且cos=,则sin θ= (　　)
A. B.
C. D.
2.若sin αcos-cos αsin=,α∈[0,2π),则α等于 (　　)
A. B.
C.或 D.或
3.已知cos=,0<α<π,则sin α= (　　)
A. B.
C. D.
4.(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 (　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
5.已知sin α+cos β=-,cos α+sin β=,则sin(α+β)= (　　)
A. B.
C.- D.-
6.已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),则θ=　　　　.
7.的值是　　　　.
8.在锐角△ABC中,已知cos A=,sin B=,则角C的值为　　　　.
9.(15分)求证:sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β.
10.(17分)已知α,β∈,cos α=,cos(α+β)=.
(1)求sin β的值;
(2)求2α+β的值.
B级——重点培优
11.在△ABC中,若2cos Bsin C=sin A,则△ABC的形状是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
12.(多选)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则 (　　)
A.cos β= B.sin β=
C.cos(α-β)= D.sin(α-β)=-
13.已知tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两根,则=　　　　 .
14.(10分)若sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.
课时跟踪检测(十六)
1．选A　∵cos＝>0(θ为锐角)，
∴θ＋为锐角．
∴sin＝＝.
∴sin θ＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
2．选D　因为sin αcos －cos αsin ＝sin＝，又α∈[0,2π)，所以α＝或.
3．选C　因为cos＝，且0<α<π，所以<α＋<.所以sin＝＝.所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
4．选C　法一　由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.
法二　设β＝0，则sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1，取α＝，排除A、B；设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，tan β＝1，取β＝，排除D.
5．选C　因为sin α＋cos β＝－，cos α＋sin β＝，所以(sin α＋cos β)2＝，(cos α＋sin β)2＝.所以sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，两式相加可得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝.所以2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝，即2＋2(sin α·cos β＋cos αsin β)＝.所以2＋2sin(α＋β)＝，解得sin(α＋β)＝－.
6．解析：∵sin 2x－cos 2x＝2cos(2x－θ)(－π<θ<π)，∴sin＝cos(2x－θ)．
即cos＝cos(2x－θ)，∴θ＝.
答案：
7．解析：原式＝
＝
＝＝tan 60°＝.
答案：
8．解析：因为△ABC为锐角三角形，又cos A＝，sin B＝，所以sin A＝，
cos B＝.则sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
又C∈，即C＝.
答案：
9．证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)·sin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
∴sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin β.
∴原式得证．
10．解：(1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
又cos α＝，cos(α＋β)＝，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
(2)cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α]
＝cos(α＋β)cos α－sin αsin(α＋β)
＝×－×＝0.
由α，β∈，得2α＋β∈.
∴2α＋β的值为.
11．选A　由题意，sin A＝sin(π－A)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，则2cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Ccos B sin Bcos C－cos B·sin C＝sin(B－C)＝0，则B＝C，即△ABC的形状是等腰三角形．
12．选AC　因为α∈，cos α＝，
所以sin α＝＝＝.又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)．
所以sin(α＋β)＝
＝＝.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝.故A正确．因为β∈，所以sin β＝＝＝.故B错误．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.故C正确．sin(α－β)＝sin αcos β－
cos αsin β＝×－×＝.故D错误．
13．解析：由已知得tan α＋tan β＝－，
tan αtan β＝－.
故＝
＝＝＝.
答案：
14．解：∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cos·sin＝×－×＝－.

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