资源简介

10.3　几个三角恒等式
第1课时　积化和差与和差化积公式 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程.
2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值.
1.三角函数的积化和差公式
(1)sin αcos β=　　　　　　　　　　　　;
(2)cos αsin β=　　　　　　　　　　　　;
(3)cos αcos β=　　　　　　　　　　　　;
(4)sin αsin β=　　　　　　　　　　　　.
2.三角函数的和差化积公式
(1)sin α+sin β=　　　　　　　　　;
(2)sin α-sin β=　　　　　　　　　　　;
(3)cos α+cos β=　　　　　　　　　;
(4)cos α-cos β=　　　　　　　　　　　　.
基础落实训练
1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 (　　)
A.sin 18°-sin 2°　　 B.sin 18°+cos 2°
C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2°
2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为 (　　)
A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5°
C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5°
题型(一)　积化和差公式的应用
[例1]　求下列各式的值.
(1)sin 37.5°cos 7.5°;
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
在运用积化和差公式时,如果形式为混合函数积时,化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时,化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.
　　[针对训练]
1.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°.
题型(二)　和差化积公式的应用
[例2]　(1)cos 20°-cos 50°= (　　)
A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15°
C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35°
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 (　　)
A.0 B.
C. D.1
(3)计算:= (　　)
A. B.-
C. D.-
(4)cos+cos+cos=　　　　.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
在运用和差化积公式时,如果形式为混合函数和时,化得的结果应为sin α与sin β的和或差;或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差.
　　[针对训练]
2.利用和差化积公式,求下列各式的值:
(1)sin 15°+sin 105°;
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
题型(三)　公式的化简与证明
[例3]　求证:=.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、
互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
　　[针对训练]
3.求证:·tan 25°=.
第1课时　积化和差与和差化积公式
课前预知教材
1.(1)[sin(α+β)+sin(α-β)]
(2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
(3)[cos(α+β)+cos(α-β)]
(4)-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2.(1)2sincos
(2)2cossin
(3)2coscos
(4)-2sinsin
[基础落实训练]
1.选C　2sin 10°cos 8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin 18°+sin 2°.
2.选D　sin 15°+sin 5°=2sincos=2sin 10°cos 5°.
课堂题点研究
[例1]　解:(1)sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+sin 30°)=×=.
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+
sin 50°=.
[针对训练]
1.解:(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°
=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20°
=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-.
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-
cos 15°=-cos 60°=-.
[例2]　解析:(1)cos 20°-cos 50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)=2sin 15°sin 35°.故选C.
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°
=2sincos-sin 80°
=2sin 30°cos 10°-sin 80°
=2×cos 10°-sin(90°-10°)
=cos 10°-cos 10°=0.
(3)原式==-=-=-.故选D.
(4)原式=
=====.
答案:(1)C　(2)A　(3)D　(4)
[针对训练]
2.解:(1)sin 15°+sin 105°=2sincos=2sin 60°cos(-45°)=2××=.
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°=(cos 40°+cos 80°)+-cos 20°=2cos 60°·cos 20°+-cos 20°=cos 20°+-
cos 20°=.
[例3]　证明:因为
左边=
=
=
==右边,所以原等式成立.
[针对训练]
3. 证明:左边=·
=
=
==
=
==
===右边.
原等式成立.(共45张PPT)
10.3
几个三角恒等式
积化和差与和差化积公式 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程.
2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.三角函数的积化和差公式
(1)sin αcos β=_____________________;
(2)cos αsin β=_____________________;
(3)cos αcos β=_____________________;
(4)sin αsin β=_____________________.
[sin(α+β)+sin(α-β)]
[sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2.三角函数的和差化积公式
(1)sin α+sin β=_________________;
(2)sin α-sin β=_________________;
(3)cos α+cos β=_________________;
(4)cos α-cos β=_________________.
2sin cos
2cos sin
2cos cos
-2sin sin
基础落实训练
1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 (　 )
A.sin 18°-sin 2°　　　 B.sin 18°+cos 2°
C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2°
解析:2sin 10°cos 8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin 18°+sin 2°.
√
2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为 (　 )
A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5°
C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5°
解析:sin 15°+sin 5°=2sincos=2sin 10°cos 5°.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　积化和差公式的应用
[例1]　求下列各式的值.
(1)sin 37.5°cos 7.5°;
解:sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=
(sin 45°+sin 30°)=×=.
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
解:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=.
|思|维|建|模|
　　在运用积化和差公式时,如果形式为混合函数积时,化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时,化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.
针对训练
1.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
解:2cos 50°cos 70°-cos 20°
=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20°
=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-.
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
解:sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°.
解:sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°=-cos 60°=-.
题型(二)　和差化积公式的应用
[例2]　(1)cos 20°-cos 50°= (　 )
A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15°
C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35°
解析:cos 20°-cos 50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)=
2sin 15°sin 35°.故选C.
√
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 (　 )
A.0 B. C. D.1
解析:sin 20°+sin 40°-sin 80°
=2sin cos-sin 80°
=2sin 30°cos 10°-sin 80°
=2×cos 10°-sin(90°-10°)
=cos 10°-cos 10°=0.
√
(3)计算:=(　 )
A. B.-
C. D.-
解析:原式==-=-=-.故选D.
√
(4)cos+cos+cos=　　　　.
解析:原式=
=
====.
|思|维|建|模|
在运用和差化积公式时,如果形式为混合函数和时,化得的结果应为sin α与sin β的和或差;或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差.
针对训练
2.利用和差化积公式,求下列各式的值:
(1)sin 15°+sin 105°;
解:sin 15°+sin 105°=2sincos=2sin 60°cos(-45°)=
2××=.
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
解:cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°=(cos 40°+cos 80°)+-
cos 20°=2cos 60°cos 20°+-cos 20°=cos 20°+-cos 20°=.
题型(三)　公式的化简与证明
[例3]　求证:=.
证明:因为左边=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
|思|维|建|模|
利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
针对训练
3.求证:·tan 25°=.
证明:左边=·
=
=
==
=
==
===右边.
原等式成立.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——达标评价
1.(多选)下列等式错误的是(　 )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ
√
√
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
解析:sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ;
cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)
=2sin 4θsin θ;
sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θsin θ;
cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ.故选ABC.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= (　 )
A.2cos 3cos
B.2sin 3sin
C.-2sin 3sin
D.-2sin 3sin
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析:原式=-2sin ·sin+2cos·
sin=-2sin xsin 3+2cos xsin 3=-2sin 3(sin x-cos x)=
-2sin 3sin.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.2cossin=(　 )
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
解析:2cossin
=sin-
sin
=sin 4x-sin=sin 4x-,故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.若A+B=120°,则sin A+sin B的最大值是 (　 )
A.1 B.
C. D.
解析:∵sin A+sin B=2sin·cos=cos≤,∴sin A+sin B的最大值为.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.函数f(x)=的最小正周期是(　 )
A. B. C.π D.2π
解析:f(x)====tan 2x.由
得x≠kπ+,k∈Z,且x≠kπ+,k∈Z,可得函数f(x)的最小正周期T=.但是,当x=0时,f(0)=0,f无意义,所以T≠.又f(x+π)=f(x),且对定义域内的任意自变量x,x+π也在定义域内,所以函数f(x)的最小正周期T=π.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.cos 2α-cos 3α化为积的形式为　　　 　　　.
解析:cos 2α-cos 3α=-2sinsin=-2sinsin=2sinsin .
2sinsin
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.sincos化为和差的结果是　　　　　　　　　　.
解析:原式=
=cos(α+β)+sin(α-β).
cos(α+β)+sin(α-β)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.=　　　　.
解析:原式===2.
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.(10分)求下列各式的值:
(1)sin 54°-sin 18°;
解:sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2·=
===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
解:cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°
=2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°)
=2××cos 26°++cos 26°
=-cos 26°++cos 26°=-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,若cos B+cos C=sin B+sin C,
试判断△ABC的形状.
解:在△ABC中,-π即-<<,
故cos的值不为0.
由cos B+cos C=sin B+sin C,
得2coscos=2sincos.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
两边同除以2cos,得sin=cos,
即tan=1.
∵0∴=.∴B+C=.∴A=.
∴△ABC为直角三角形.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
B级——重点培优
11.对任意x,y∈R,恒有sin x+cos y=2sincos,则sincos等于(　 )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由方程组
解得
∴sin cos=
==.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于　　　　.
解析:∵α,β∈(0,π),∴sin α+sin β>0.
∴cos β-cos α>0,cos β>cos α.
又在(0,π)上,y=cos x是减函数,∴β<α.
∴0<α-β<π.
由题意可知2sin·cos
=,
∴tan =.∴=.∴α-β=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(12分)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+cos 3x+cos 5x=b,求tan 3x.
(结果用a,b表示)
解:由和差化积公式得sin 5x+sin x=2sin·cos=2sin 3xcos 2x,
cos 5x+cos x=2coscos
=2cos 3xcos 2x,
则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1),
cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),
故==tan 3x,故tan 3x=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(14分)已知α,β为锐角,且α-β=,求sin αsin β的取值范围.
解:∵sin αsin β=-,
又α-β=,∴sin αsin β=-
=-.
∵α,β为锐角,且α-β=,
∴0<+β<,即0<β<.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
∴<2β+<.∴-∴0<-<.
∴sin αsin β的取值范围为.课时跟踪检测(十九)　积化和差与和差化积公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)下列等式错误的是 (　　)
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ
2.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= (　　)
A.2cos 3cos
B.2sin 3sin
C.-2sin 3sin
D.-2sin 3sin
3.2cossin= (　　)
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
4.若A+B=120°,则sin A+sin B的最大值是 (　　)
A.1 B.
C. D.
5.函数f(x)=的最小正周期是 (　　)
A. B.
C.π D.2π
6.cos 2α-cos 3α化为积的形式为　　　　　　　.
7.sincos化为和差的结果是　　　　　　　　　　.
8.=　　　　.
9.(10分)求下列各式的值:
(1)sin 54°-sin 18°;
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
10.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,若cos B+cos C=sin B+sin C,试判断△ABC的形状.
B级——重点培优
11.对任意x,y∈R,恒有sin x+cos y=2sin·cos,则sincos等于 (　　)
A. B.
C. D.
12.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于　　　　.
13.(12分)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+cos 3x+cos 5x=b,求tan 3x.(结果用a,b表示)
14.(14分)已知α,β为锐角,且α-β=,求sin αsin β的取值范围.
课时跟踪检测(十九)
1．选ABC　sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ；cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin(－θ)＝
2sin 4θsin θ；sin 3θ－sin 5θ＝－2cos 4θsin θ；cos 3θ＋cos 5θ＝2cos 4θcos θ.故选ABC.
2．选D　原式＝－2sin ·sin ＋2cos ·
sin ＝－2sin xsin 3＋2cos xsin 3＝－2sin 3(sin x－cos x)＝－2sin 3sin.
故选D.
3．选D　2cossin
＝sin－
sin
＝sin 4x－sin ＝sin 4x－，故选D.
4．选C　∵sin A＋sin B＝2sin ·cos ＝cos ≤，∴sin A＋sin B的最大值为.
5．选C　f(x)＝
＝＝＝tan 2x.由得x≠kπ＋，k∈Z，且x≠kπ＋，k∈Z，可得函数f(x)的最小正周期T＝.但是，当x＝0时，f(0)＝0，f无意义，所以T≠.又f(x＋π)＝f(x)，且对定义域内的任意自变量x，x＋π也在定义域内，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.故选C.
6．解析：cos 2α－cos 3α＝－2sin ·sin ＝－2sin sin
＝2sin sin .
答案：2sin sin
7．解析：原式＝
＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．
答案：cos(α＋β)＋sin(α－β)
8．解析：原式＝＝＝2.
答案：2
9．解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2·＝＝＝＝.
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
10．解：在△ABC中，－π即－<<，故cos 的值不为0.
由cos B＋cos C＝sin B＋sin C，
得2cos cos ＝2sin ·cos .两边同除以2cos ，
得sin ＝cos ，即tan ＝1.
∵0∴＝.∴B＋C＝.∴A＝.
∴△ABC为直角三角形．
11．选B　由方程组解得∴sin cos ＝＝＝.故选B.
12．解析：∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.
∴cos β－cos α>0，cos β>cos α.
又在(0，π)上，y＝cos x是减函数，∴β<α.
∴0<α－β<π.由题意可知2sin ·
cos ＝，
∴tan ＝.∴＝.∴α－β＝.
答案：
13．解：由和差化积公式得sin 5x＋sin x＝2sin ·cos ＝2sin 3xcos 2x，
cos 5x＋cos x＝2cos cos
＝2cos 3xcos 2x，
则sin x＋sin 3x＋sin 5x＝2sin 3xcos 2x＋sin 3x＝sin 3x(2cos 2x＋1)，
cos x＋cos 3x＋cos 5x＝2cos 3xcos 2x＋cos 3x＝cos 3x(2cos 2x＋1)，
故＝
＝tan 3x，故tan 3x＝.
14．解：∵sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，
又α－β＝，∴sin αsin β＝－＝－.
∵α，β为锐角，且α－β＝，
∴0<＋β<，即0<β<.
∴<2β＋<.
∴－∴0<－<.
∴sin αsin β的取值范围为.

展开更多......

收起↑