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阶段质量评价(二)　三角恒等变换
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.已知sin α=,则cos(π-2α)= (　　)
A.- B.-
C. D.
2.计算2sin 14°cos 31°+sin 17°等于 (　　)
A. B.-
C. D.-
3.若sin α+cos α=,则sin= (　　)
A. B.
C. D.
4.若tan θ=2,则7cos2θ-2sin 2θ= (　　)
A.- B.
C.-2 D.2
5.若tan α=2,π<α<,则cos 等于 (　　)
A.- B.
C.- D.
6.已知角α,β满足tan α=,sin β=2cos(α+β)sin α,则tan β= (　　)
A. B.
C.1 D.2
7.已知θ∈(0,2π),若函数f(x)=2sin xcos x-sin(2x+θ)在上无零点,则θ的值可能为 (　　)
A. B.
C. D.
8.若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β),则tan(α+β)的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.已知α,β,γ∈,sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,则下列说法正确的是 (　　)
A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=
C.β-α= D.β-α=-
10.关于函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1,下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的最大值为2
C.直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴
D.点是函数f(x)的图象的一个对称中心
11.已知a=(cos θ,sin θ),b=(cos φ,sin φ),则下列选项可能成立的是 (　　)
A.|a+b|=|a-b| 　B.|a-b|=1
C.(a+b)·(a-b)=1 　D.|4a-5b|=6
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.已知tan=,则tan α=　　　　.
13. 设f(x)=sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有m≤f(x),则实数m的取值范围是　　　　.
14.已知 sin α=,cos β=,且α,β为锐角,则α+2β=　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.)
15.(13分)化简求值:(1)sincos-sinsin ;
(2).
16.(15分)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.
(1)求f(x)的最小正周期和单调区间;
(2)若f(α)=,α∈,求cos 2α的值.
17.(15分)已知α,β为锐角,且
=3.
(1)求2sin α+cos α的值;
(2)若cos(α+β)=,求sin β的值.
18.(17分)已知cos(α+β)=,tan β=,且α,β∈.
(1)求cos 2β-sin2 β+sin βcos β的值;
(2)求2α+β的值.
19.(17分)已知函数f(x)=sin xcos x+cos 2x-.
(1)解不等式f(x)≥,其中x∈.
(2)在锐角△ABC中,A=,求f(B)+f(C)的取值范围.
阶段质量评价(二)
1．选B　cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2×2－1＝－.故选B.
2．选A　2sin 14°cos 31°＋sin 17°＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)＝sin 14°cos 31°＋
cos 14°sin 31°＝sin(31°＋14°)＝sin 45°＝.
3．选A　因为sin α＋cos α＝，所以sin＝sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)＝×＝.故选A.
4．选A　7cos2θ－2sin 2θ＝＝＝＝－.故选A.
5．选C　因为tan α＝＝2，sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.又因为π<α<，
所以cos α＝－，<<，所以cos ＝－＝－＝－.
6．选B　由sin β＝2cos(α＋β)sin α，得sin β＝sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋β)－α]，进而sin β＝sin(2α＋β)－sin β 2sin β＝sin(2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β，所以sin β(2－cos 2α)＝
sin 2αcos β tan β＝＝＝＝，故选B.
7．选D　令f(x)＝0，则sin 2x＝sin(2x＋θ)，故sin 2x＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ，则tan 2x＝tan 2xcos θ＋sin θ，故tan 2x＝在x∈无零点．因为tan 2x>0，所以≤0.因为1－cos θ>0，所以sin θ≤0.因为θ∈(0,2π)，所以θ∈[π，2π)．故选D.
8．选D　若sin(α＋β)＝cos 2αsin(α－β)，则sin[2α－(α－β)]＝cos 2αsin(α－β)，即sin 2α·cos(α－β)－sin(α－β)cos 2α＝cos 2αsin(α－β)，所以sin 2αcos(α－β)＝2cos 2αsin(α－β)，即tan 2α＝2tan(α－β)，故tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝.若使得tan(α＋β)取得最大值，不妨设tan(α－β)>0，则tan(α＋β)＝≤＝，当且仅当＝2tan(α－β)，即tan(α－β)＝时取等号．
9．选BD　由已知可得所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋
(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝.因为α，β，γ∈，所以－<β－α<，因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，所以α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.
10．选AD　由已知得函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin.函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以A正确；当sin＝1时，函数取得最大值f(x)max＝，所以B不正确；当x＝时，f＝sin＝1，即f不是函数f(x)的最值，所以x＝不是函数f(x)的对称轴，所以C不正确；当x＝时，f＝sin＝0，所以点是函数f(x)的图象的一个对称中心，所以D正确．故选AD.
11．选ABD　因为a＋b＝(cos θ＋cos φ，sin θ＋sin φ)，a－b＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)，所以|a＋b|2＝(cos θ＋cos φ)2＋(sin θ＋sin φ)2＝2＋2(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝2＋2cos(θ－φ)，|a－b|2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2＝2－2(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝2－2cos(θ－φ)，若θ＝φ＋，则|a＋b|2＝|a－b|2＝2，故|a＋b|＝|a－b|，A可能正确；若θ＝φ＋，则|a－b|2＝1，|a－b|＝1，B可能正确；(a＋b)·(a－b)＝(cos θ＋cos φ，sin θ＋sin φ)·(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)＝cos 2θ－
cos 2φ＋sin 2θ－sin 2φ＝(cos 2θ＋sin 2θ)－(cos 2φ＋sin 2φ)＝1－1＝0，故C一定不正确；|4a－5b|2＝(4cos θ－5cos φ)2＋(4sin θ－5sin φ)2＝16＋25－40(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝41－40cos(θ－φ)，
当cos(θ－φ)＝时，|4a－5b|2＝36，故|4a－5b|＝6，D可能正确．
12．解析：∵tan＝＝，
∴tan α＝－.
答案：－
13．解析：f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2＝2sin，
所以f(x)min＝－2，于是若对任意实数x都有m≤f(x)，则m≤－2.
答案：(－∞， －2]
14．解析：因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝.因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝.因为sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝，所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝.因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)．所以α＋2β∈，故α＋2β＝.
答案：
15．解：(1)sin cos －sin sin ＝cos cos －sin sin ＝coscos－sin sin ＝cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝.
(2)
＝
＝
＝＝tan45°＝1.
16．解：(1)由函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1＝2sin xcos x＋2cos 2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，
可得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)由f(α)＝，可得f(α)＝2sin＝，即sin ＝.
因为α∈，可得2α＋∈，可得cos ＝－，
所以cos 2α＝cos ＝cos ＋sin ＝×＋×＝.
17．解：(1)∵＝＝＝3，
∴cos α＝3sin α.
∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋9sin2α＝1.
又α为锐角，∴sin α＝，cos α＝，
∴2sin α＋cos α＝2×＋＝.
(2)由(1)可知sin α＝，cos α＝.
∵cos(α＋β)＝，且α，β为锐角，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
18．解：(1)∵tan β＝，∴cos2β－sin2β＋sin βcos β＝
＝＝＝.
(2)∵cos(α＋β)＝>0且α＋β∈(0，π)，∴α＋β∈，则sin(α＋β)＝＝，∴cos 2(α＋β)＝2cos2(α＋β)－1＝2×－1＝，sin 2(α＋β)＝2sin(α＋β)cos(α＋β)＝.
∵tan β＝，β∈，
且解得(舍负)，
∴cos(2α＋β)＝cos [2(α＋β)－β]＝cos 2(α＋β)cos β＋sin 2(α＋β)sin β＝×＋×＝.又α＋β∈，α∈，∴2α＋β∈(0，π)，∴2α＋β＝.
19．解：(1)f(x)＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin .
∵x∈，∴2x＋∈，
∵f(x)≥，即sin≥，
∴<2x＋≤，解得x∈，故不等式的解集为.
(2)由题意可得且A＝，可得∵∴sin ∈.
故f(B)＋f(C)的取值范围为.

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