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2024-2025 学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（下）质检
数学试卷（7 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行四边形 中， 与 1相交于点 ，则 2
=( )
A. B. C. D.
2.已知向量 = (1,0) + ( 1,2)， ∈ ， = (2,1) + (0,1)， ∈ ，若 = ，则 + =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
3.若 = 3 ，则 3 + | |2 =( )
A. 3 3 B. 1 3 C. 3 + 3 D. 5 + 3
4.已知 = 3，则sin2 2 =( )
A. 23 B.
2 C. 3 D. 33 2 2
5.在正三棱柱 1 1 1中， 1 = 2 ，则异面直线 1 与 1 1所成角的余弦值为( )
A. 105 B.
10 5 5
10 C. 5 D. 10
6.如图(1)，函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < )的图象与 轴交于点(0, 3 )，将绘有该函数图象的纸2
片沿 轴折成直二面角，如图(2)，若折叠后 ， 两点间的距离为 11，则 (2025) =( )
A. 1 1 32 B. 2 C. 2 D.
3
2
7.已知直线 和平面 ，若 // ，则下列说法正确的是( )
A.若 ，则 // B.若 // ，则 //
C.若 // ，则 // D.若 // ， ，则 //
8.为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学和幼儿园持续推进“成语
文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动.活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成
3 5
语，已知甲每轮猜对的概率为5，乙每轮猜对的概率为6 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结
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果也互不影响.“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率为( )
A. 350 B.
5 13 9
12 C. 30 D. 25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = 2 + 为关于 的方程 2 + 5 = 0( ∈ )在复数范围内的一个根，则( )
A. | 2| = 5
B. = 4
C. 5 + 2 为纯虚数
D. 2 为关于 的方程 2 + 5 = 0 的另一个根
10.已知函数 ( ) = + ( > 0)，方程| ( )| = 2在区间[0, ]上有且仅有 4 个解，则下列说法
中错误的有( )
A. 13 17的取值范围是[ 4 , 4 )
B. ( ) 的最小正周期可能是2
C. ( )在区间(0, )上有且仅有 3 个不同的零点
D. ( ) (0, 在区间 15 )上单调递增
11.如图，四面体 中，等边△ 的边长为 2 3， ⊥ ，∠ = 6，平
面 ⊥平面 ，则下列选项正确的是( )
A.四面体 的体积为 2 3
B.直线 与直线 所成角的大小为3
C. 3直线 与平面 所成角的正弦值为4
D.点 到平面 的距离为 3
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.设非零向量 ， ， 满足( ) = ( ) ，且| | = | | = 2， = ( 1, 3).若向量 在 上的投影向量为
1 ，则向量 2 与 的夹角是______．
13.现有一组数据 4，6，3，3，2，4，6，7，4，1，则这组数据的第 70 百分位数为______，方差为______．
14 5.设 ， ， 分别为△ 的内角 ， ， 的对边.已知 = 3 , = 2, = 2 ，则 61 9
3 =______， =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知向量 = (4, 2)， = (1, )．
(1)若( ) ⊥ ( + )，求 的值；
(2)若 + 4 = (8, 10)，求向量 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，将函数 ( )的图象上所有点的
3
横坐标变为原来的2 (纵坐标不变)，再将所得函数图象向右平移6个单位长度，得到函数 ( )的图象．
(1)求函数 ( )和 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的单调递增区间和对称中心；
(3)求函数 ( )在区间[ 5 12 , 12 ]上的值域．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 3 ) 1( > 0)．
(1)若 ( )的最小正周期为 ，求 ( )的单调递增区间；
(2)若 ( ) = ( ) 1 在区间[0, ]上恰有两个零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 = ( 1, 1), = ( 2, 2).作： = ， = ，当
, 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ( , ) = | 1 2 2 1|；当 , 共线时，规定
( , ) = 0．
(1)已知 = (1,2), = (2,4)，求 ( , )；
(2)若向量 = + ( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，求证： ( , ) + ( , ) = (| | + | |) ( , )；
(3)记 = , = , = ，且满足 = + ( > 0, , ∈ ), ⊥ , | | = | | = | | = 1，求 ( , ) +
( , )的最大值．
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19.(本小题 17 分)
某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与
活动的同学做问卷调查，共收集了 1000 份问卷，并统计每个问卷的满意度得分(满分 100 分)，绘制了如下
频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)估计该满意度得分的第 80 百分位数(精确到 0.01)和总体平均数；
(3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为 1：7：2，其中大学生满意度得分的平
均数为 86，方差为 45.15；小学生满意度得分的平均数为 96，方差为 10.55.请结合频率分布直方图，估计
中学生对该活动满意度得分的平均数和方差．
参考公式：若总体划分为 3 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为
2 ( , , )，( , , 2)，( , , 2).记总体样本平均数为 ，样本方差为 2，则 2

= 1 { [ 2 + ( )21 2 3 + + 1 ] +

[ 22 + ( )2] + [ 2 23 + ( ) ]}．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 3或 3
13.5 3.2
14.60 43
15.(1) ∵ = (4, 2)， = (1, )，
∴ = (3, 2 )， + = (5, 2)，
又∵ ( ) ⊥ ( + )，
∴ ( ) ( + ) = 3 × 5 + ( 2) ( 2) = 0，
即 15 + 4 2 = 0，
∴ =± 19；
(2)因为 + 4 = (4 + 4,4 2 ) = (8, 10)，
4 + 4 = 8
所以 2 + 4 = 10，解得 = 1， = 2，
cos , =
= 4+4 4所以
| || | 2 5× 5
= 5．
16.(1) = 3 3 = 4 ( ) = = 2 由图象可知 ，4 9 18 2，解得 3，
所以 = 3， ( ) = 3 (3 + )，
4
又 ( )的图象过点( 9 , 3)，所以 3 = 3 (3 ×
4
9 + )，
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4 + = 3 所以 3 2 + 2 , ∈

，解得 = 6 + 2 , ∈ ，

又| | < 2，所以 = 6， ( ) = 3 (3 +

6 )，
3
将函数 ( )的图象上所有点的横坐标变为原来的2，再将所得函数图象向右平移6个单位长度，得到 ( ) =
3 [2( 6 ) +

6 ] = 3 (2

6 )．
(2) 令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤ 2 + 2 ∈

， ，解得 6 + ≤ ≤

3 + ， ∈ ，

即函数 ( )的单调递增区间为[ 6 + , 3 + ]( ∈ )，
令 2 6 =

， ∈ ，解得 = 12+ 2， ∈ ，
( ) 所以函数 的对称中心为( 12+ 2 , 0)( ∈ )；
(3)当 ∈ [ 12 ,
5
12 ]时，2 6 ∈ [ 3 ,
2
3 ]，所以 sin(2
3
6 ) ∈ [ 2 , 1]，
( ) ∈ [ 3 3所以 2 , 3]，即函数 ( )
3 3
的值域为[ 2 , 3]．
17.解：(1)由题意知 ( ) = 2 ( +
3 ) 1 = 2 2 1+ 2 3
= 3 2 + 2 × 1 2 2 1 = 3 2
2 = 2 (2 6 )，
因为 ( ) 2 的最小正周期为 ，且 > 0，所以2 = ，
解得 = 1，所以 ( ) = 2 (2 6 )，
令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，

解得 6 + ≤ ≤ 3 + ， ∈ ，
即 ( ) 的单调递增区间为[ 6 + , 3 + ]( ∈ )．
(2)令 ( ) = 0，得 sin(2 16 ) = 2，
当 ∈ [0, ] 时， 6 ≤ 2

6 ≤ 2

6，
又 ( )在区间[0, ]上恰有两个零点，即 sin(2 16 ) = 2有两解，
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5 13
所以 6 ≤ 2 6 < 6 ，
1
解得2 ≤ <
7 1 7
6，即 的取值范围是[ 2 , 6 )．
18.(1)根据题意可知， = (1,2), = (2,4)，得 ( , ) = |1 × 4 2 × 2| = 0；
(2)证明：因为 = ( 1, 1), = ( 2, 2)， = + ，所以 = ( 1 + 2, 1 + 2)，
因此 ( , ) = |( 1 + 2) 1 ( 1 + 2) 1| = | || 1 2 2 1|，同理 ( , ) = | || 1 2 2 1|，
所以 ( , ) + ( , ) = (| | + | |)| 1 2 2 1| = (| | + | |) ( , )；
(3) 根据题意可知，当 , = 为锐角时， , = 2 ，
3
当 , = 为钝角时， , = 2 ，
当 , = 为锐角时， ( , ) + ( , ) = 2 12 | || |sin , + 2
1
2 | ||
|sin ,
= + sin( 2 ) = + = 2sin( +

4 )，
当 = 4时， ( , ) + ( ,
)取到最大值 2，
1 1
当 , = 为钝角时， ( , ) + ( , ) = 2 2 | || |sin , + 2 2 | ||
|sin ,
= + sin( 3 2 ) = = 2sin(

4 )，
当 3 4 = 2，即 = 4时， ( , ) + ( ,
)取得最大值 2，
故最大值 2．
19.(1)由频率分布直方图得：
0.002 × 5 + 0.01 × 5 + 0.02 × 5 + 0.02 × 5 + × 5 + 0.058 × 5 = 1，解得 = 0.09；
(2)到 90 分累计：0.01 + 0.05 + 0.1 + 0.1 = 0.26，
到 95 分累计：0.26 + 0.45 = 0.71，
到 100 分累计：0.71 + 0.29 = 1，
因 0.71 < 0.8 < 1，第 80 百分位数在 95 100 0.8 0.71组， 80 = 95 + 0.29 × 5 ≈ 96.55，
1000 份问卷的平均分可估计为：

= 72.5 × 0.01 + 77.5 × 0.05 + 82.5 × 0.1 + 87.5 × 0.1 + 92.5 × 0.45 + 97.5 × 0.29 = 91.5，
用样本估计总体，可以估计游客对该景点满意度的总体平均数为 91.5；
(3)由频率分布直方图，1000 份问卷的方差可估计为：
2 = (72.5 91.5)2 × 0.01 + (77.5 91.5)2 × 0.05 + (82.5 91.5)2 × 0.1 + (87.5 91.5)2 × 0.1 + (92.5
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91.5)2 × 0.45 + (97.5 91.5)2 × 0.29 = 34，

用样本估计总体，则所有游客满意度平均分为 = 91.5，方差为 2 = 34，

儿童游客满意度平均分为 1 = 86，方差为 21 = 45.15，

老年人游客满意度平均分为 23 = 96 方差为 3 = 10.55，

估计中青年游客对该景点满意度的平均分为 22，方差 2，

则 = 1 × 0.1 + × 0.7 + 3 × 0.2 = 86 × 0.1 + × 0.7 + 96 × 0.2 = 91.5，

所以 2 = 91， 22 = 0.1 × (45.15 + (86 91.5)2) + 0.7 × ( 2 + (91 91.5)2) + 0.2 × (10.55 + (96
91.5)2) = 34，
得 22 = 28.75，所以估计中青年游客对该景点满意度的平均分为 91，方差 28.75．
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