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山东省烟台市经开区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是　　
A．是它的一个根 B．一次项系数是3
C．常数项是1 D．是它的一个根
3．（3分）已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）关于的一元二次方程的根的情况　　
A．有两个不相等的同号实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
5．（3分）若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（3分）小明的作业本上完成了四道题：①；②；③；④．他做对的题数　　
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　
A． B． C．1 D．0
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△和△是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，的坐标分别为，，若点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
9．（3分）如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点，求叶柄的长度，设，则符合题意的方程是　　
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为　　
A．8 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）等式成立的条件是　 　．
12．（3分）写出一个两根分别和1的一元二次方程 　　 ．
13．（3分）已知是关于的一元二次方程的一个根，则　　 ．
14．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 　　．
15．（3分）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　．
16．（3分）如图，△与△位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 　　．
三、解答题（本大题共8个题，满分72分）
17．（6分）阅读下列材料：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是　　 ，的小数部分是　　 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
18．（7分）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求的值．
19．（8分）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆的高度．
20．（8分）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
（1）若，则求出的周长；
（2）当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长．
21．（10分）随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
22．（11分）如图，为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，求的值．
23．（11分）在△中，动点在边上从点向终点运动，同时点在边上从点向终点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．
【特例初探】
（1）如图1，若△为等边三角形，点和点以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为 　　 ；
【类比探究】
（2）如图2，若△为等腰直角三角形，斜边为，点的速度为1，点的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由；
【总结提升】
（3）如图3，若△为等腰三角形，底边为，且，，点的速度为，点的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有，，的代数式表示的度数．
24．（11分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，，将正比例函数图象向上平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限分别交于点，，与轴，轴分别交于点，，且满足，过点作轴，垂足为，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的值及△的面积．
山东省烟台市经开区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B D A B A A B
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故不符合题意；
是最简二次根式，故符合题意；
故选：．
2．（3分）一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是　　
A．是它的一个根 B．一次项系数是3
C．常数项是1 D．是它的一个根
【解答】解：将化为一般式可得．
二次项是，一次项系数是，常数项是1，
．当时，，说法正确；
．一次项系数是3，说法不正确；
．常数项是1，说法正确；
．当时，，说法正确．
故选：．
3．（3分）已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：反比例函数的图象在二、四象限，而，
点，在第二象限反比例函数的图象上，， 在第四象限反比例函数的图象上，
，
，
故选：．
4．（3分）关于的一元二次方程的根的情况　　
A．有两个不相等的同号实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【解答】解：△，
，
△，
方程有两个不相等的实数根；
又两根之积等于，
方程有两个异号实数根，
所以原方程有两个不相等的异号实数根．
故选：．
5．（3分）若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，即，
故选：．
6．（3分）小明的作业本上完成了四道题：①；②；③；④．他做对的题数　　
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：，所以①正确；
，所以②正确；
，所以③正确；
，所以④错误．
故选：．
7．（3分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　
A． B． C．1 D．0
【解答】解：把代入方程得：，即，
由根与系数的关系得：，
则原式
．
故选：．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△和△是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，的坐标分别为，，若点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：△和△是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，的坐标分别为，，
△与△的相似比为，
点的坐标为，，
点的坐标，，即，
故选：．
9．（3分）如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点，求叶柄的长度，设，则符合题意的方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：为的黄金分割点，
，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为　　
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：如图，作轴，垂足为，
四边形是菱形，，
，，
设，则，，
根据反比例函数图象上点的坐标特征可得：．
解得，
由勾股定理得，
，，
．
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）等式成立的条件是　　．
【解答】解：由题意可得，
，
解得．
12．（3分）写出一个两根分别和1的一元二次方程 　　 ．
【解答】解：两根分别为和1的一元二次方程是，即，
故答案为：．
13．（3分）已知是关于的一元二次方程的一个根，则　1　 ．
【解答】解：把代入得：，
解得：，
，
，
，
故答案为：1．
14．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 　3　．
【解答】解：，且是最简二次根式，
当时，最简二次根式与是同类二次根式，
解得，
故答案为：3．
15．（3分）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　．
【解答】解：（1）当时，，解得：；
（2）当时，此方程是一元二次方程，
关于方程有实根，
△，解得，
由（1）和（2）得，的取值范围是．
故答案为：．
16．（3分）如图，△与△位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 　　．
【解答】解：过点作轴，垂足为，
，，，，
，，
在△中，即，
，
在△中，即，，
，即，
，
点，，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个题，满分72分）
17．（6分）阅读下列材料：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是　5　 ，的小数部分是　　 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【解答】解：（1），即，
的整数部分为5；
，即，
的小数部分是；
故答案为：5，；
（2），，
的小数部分为，的整数部分为4，
的小数部分为，的整数部分为，
，，
．
18．（7分）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求的值．
【解答】（1）证明：由一元二次方程得，
△
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，即，
解得：，．
方程的两个根为不相等的正整数，
或3．
19．（8分）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆的高度．
【解答】解：由题意得，，
所以，，
所以，，
即①，
同理，
所以，，
即②，
联立①②解得，，
答：路灯杆的高度5.95米．
20．（8分）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
（1）若，则求出的周长；
（2）当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长．
【解答】解：（1）把代入原方程，得：，
解得：．
的周长为：．
（2）四边形是菱形，
．
又、的长是关于的方程的两个实数根，
△，
．
当为1时，四边形是菱形．
当时，原方程为，
解得：，
菱形的边长是．
21．（10分）随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设6月份后10天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：2.125+10y≤2.5×（1+25%），
解得：y≤0.1，
答：6月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
22．（11分）如图，为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，求的值．
【解答】解：作轴，垂足为，作轴，垂足为，
为反比例函数图象上的一点，在反比例函数图象上，
，，
90，
，，
．
，
，．
△△．
，
．
23．（11分）在△中，动点在边上从点向终点运动，同时点在边上从点向终点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．
【特例初探】
（1）如图1，若△为等边三角形，点和点以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为 　　 ；
【类比探究】
（2）如图2，若△为等腰直角三角形，斜边为，点的速度为1，点的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由；
【总结提升】
（3）如图3，若△为等腰三角形，底边为，且，，点的速度为，点的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有，，的代数式表示的度数．
【解答】解：（1）△为等边三角形，
，，
点和点以同样的速度运动，
，
△△，
，
，
故答案为：；
（2）在等腰直角三角形中，，
，，
，
，由题知，
，
△△；
，
，
；
（3），
，
点的速度为，点的速度为，
，
，
，
△△，
，
．
24．（11分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，，将正比例函数图象向上平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限分别交于点，，与轴，轴分别交于点，，且满足，过点作轴，垂足为，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的值及△的面积．
【解答】解：（1）由题意，点为和的交点，
．
．
反比例函数的表达式为．
（2）由题意，设直线的表达式为，，
过点作轴，垂足为，
．
．
△△．
，即．
，
．
．
．
又将，代入，
．
或（含去）．
．
直线的表达式为，点的坐标为，点的坐标为．，点的坐标为，点的坐标为，
直线与关于线轴对称，
点的坐标为．
．

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