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2024-2025 学年福建省莆田四中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 满足 = |3 + 4 |，则复数 的虚部是( )
A. 1 B. C. 5 D. 5
2.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 2， ′ ′ =
′ ′ = 1，则平面图形 中对角线 的长度为( )
A. 5
B. 3
C. 2
D. 2
3.如图所示， ， 为△ 边 上的三等分点，且| | = | |则下列各式中正确的是( )
A. =
B. =
C. + = +
D. + = +
4.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 ， ， ， 分别是棱 1 1， 1 ， 1 ， 的中点，则异面直
线 与 所成的角为( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
5 .若底面半径为 ，母线长为 的圆锥的表面积与直径为 的球的表面积相等，则 =( )
A. 5 1 B. 5 12 C. 3 1 D.
3 1
2
6.欧拉公式 = + ( 为自然对数的底数， 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复

数范围内关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的两根为 1， 2，其中 1 = 2 4
，则下列结论中错误的是( )
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A.复数 3对应的点位于第二象限
B. 2 = 1
C. | + | = 2
D.若复数 满足| | = 1，则| + 1|的最大值为 2 + 1
7.在△ 中，已知( 2 + 2)sin( ) = ( 2 2)sin( + )，则△ 的形状( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
8.已知棱长为 1 的正方体 1 1 1 1，以正方体中心为球心的球 与正方体的各条棱相切，若点
在球 的正方体外部(含正方体表面)运动，则 的最大值为( )
A. 2 B. 7 3 14 C. 4 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 是空间中的两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线.下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， / / ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 ⊥
D.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 //
10.设 1， 2， 3是复数，则下列命题中的真命题是( )

A.若| 1 2| = 0，则 1 = 2 B.若 1 2 = 1 3，则 2 = 3

C. 2 = 3，则| 1 2| = | 1 3| D.若| 1| = | 2|，则 1 = 2
11 △ 1.若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 + 2 2 + 2 2 = 0，则下列结论正确的
是( )
A. 1角 一定为锐角 B. = 3
C. 2 + 2 2 2 = 0 D. 3的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,2)， = (3, 4)，则 在 方向上的投影向量坐标为______．
13.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人
称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用 3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等
边△ ，若 = 39，sin∠ = 13，则 = ______．13
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14 .在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 是菱形，边长为 2，∠ = 3，侧棱长 2 3，点 为四边
形 1 1内动点，若 1 = 7，则点 的轨迹长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，|3 | = 3．
(1)求|2 + 3 |的值；
(2)已知 2 + 3 与 3 112 的夹角的余弦值为 33 ，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， 为棱 的中点， 为棱 1中点， = 1.
(1)证明： 1//平面 1 ；
(2)证明：平面 1 1 ⊥平面 ．
17.(本小题 15 分)

在△ 中， ， ， 分别是△ 的内角 ， ， 所对的边，且 + = ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 14， = 2，求边 ．
18.(本小题 17 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且满足 = 2, + 3 = ( + ) + ．
(1)求 ；
(2)若 ， 为线段 上的两个动点，且满足∠ = 60°, △ = 3，求 △ 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
1
定义：多面体 在点 处的离散曲率为 = 1 2 (∠ 1 2 + ∠ 2 3 + … + ∠ 1 + ∠ 1)，其中
为多面体 的一个顶点， ( = 1,2, …, , ≥ 3 且 ∈ )为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 1 2，
平面 2 3，…，平面 1 和平面 1为多面体 的所有以 为公共点的面.如图，在四棱锥
中， ⊥平面 ，底面 为正方形， = 2， = 2 3．
(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 2, 4)
13.3
14.2 3
15.解：(1) ∵向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，|3 | = 3，
2
∴ |3 |2 = 9 2 6 + = 13 6 = 9，∴ = 23，
2
∴ |2 + 3 |2 = 4 2 + 12 + 9 = 48，
则|2 + 3 | = 4 3；
2
(2) ∵ (2 + 3 ) ( 3 2
) = 2 2 + (3 3) 9 2 = 4 20，
2
| 3 |2 = 22
2 3 + 9 4 =
2 2 + 9，

∴ cos (2 + 3 ), ( 3 ) = (2 +3 ) ( 3 ) = 5 = 11，
|2 +3 | | 3 | 3 2 2 +9 33
∵ > 5，∴ = 6．
16.证明：(1)连结 1 交 1于 ，连结 ，
在正三棱柱 1 1 1中， 1// 1且 1 = 1，
所以四边形 1 1 是平行四边形， 为 1 的中点，
因为 为 的中点，
所以 为△ 1 的中位线， 1// ，
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因为 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
(2)解：在正三棱柱 1 1 1中， 1// 1且 1 = 1，
= 1， 1 ⊥ ，
所以四边形 1 1是正方形，
所以 1 ⊥ 1 ，
因为 ， 分别是 ， 1的中点，所以 1// ，
又因为 1 ⊥ 1 ，所以 ⊥ 1 ，
在正三棱柱中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ 1，
在正三角形 中， 为 的中点，
所以 ⊥ ，
因为 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
因为 平面 1 1，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ 1 ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
又因为 1 平面 1 1 ，
所以平面 1 1 ⊥平面 ．
17.解：(1) △ 中， + = ，
= + 所以 ，
+
由正弦定理得， 2 2 2 = ，即 = + ，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ，
1
解得 = 2，
又因为 ∈ (0, )，

所以 = 3；
(2) 由正弦定理得， = = = 2 ，
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所以 = 4 2 = 2 2 × 14 = 2，解得 = 2，
所以 = 2 = 2 × 2 × sin 3 = 2 3．
18.(1)根据题意可知， + 3 = ( + ) + ，∵ + + = ，
∴ sin( + ) = sin( ) = ，
根据正弦定理可得， 2 + 3 = 2 + 2，
2 2 2
根据余弦定理 = + ，2 =
3 3
2 = 2
∵ 0 < < ，∴ = 6；
(2) 1 1根据三角形面积公式可知， △ = 2 = 4 = 3，∴ = 4 3，
∵ 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 12 = 4，∴ 2 + 2 = 16，
= 2
或 = 2 3 = 2 3 ， = 2
又∠ > ∠ = 60°，∴ > = 2，故 = 2 3， = 2，
2 3 2 3
根据正弦定理可得sin∠ = 1 sin∠ = 2 ，故∠ = 120°，∠ = 30°，
2
设∠ = ，其中 0° < < 60°，则∠ = 150° ，∠ = 90° ，
△ 在 中，根据正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，
则 = ∠ 1sin∠ = sin(150 )，

在△ 中，根据正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，
则 = ∠ 1 1sin∠ = sin(90 ) = cos ，
∴△ 1的面积 = 2 ∠ =
3
4 (150° )，
1 3 1 3
= (150° ) = (2 +
2
2 ) = 2 cos + 2
= 34 2 +
1 1 1
4 2 + 4 = 2 sin(2 + 30°) +
1，
4
∵ 0° < < 60° 1，∴ 2 < sin(2 + 30°) ≤ 1
1 3
，即2 < ≤ 4，
∴ △ ∈ [
3
3 ,
3 )．2
19.解：(1)在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为正方形， = 2， = 2 3，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
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∵ tan∠ = = 2 3

，∴ ∠ = ．
2 = 3 3
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 2，
多面体 在点 处的离散曲率为 = 1
1
2 (∠ 1 2 + ∠ 2 3 + … + ∠ 1 + ∠ 1)，
其中 为多面体 的一个顶点， ( = 1,2, …, , ≥ 3 且 ∈ )为多面体 的所有与点 相邻的顶点，
由离散曲率的定义得四棱锥 在顶点 处的离散曲率为：
= 1 1 (∠ + ∠ + ∠ ) = 1 1 ( + + ) = 1 2 2 2 2 3 3．
(2) ∵四边形 为正方形，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
设四棱锥 的表面积为 1，
则 1 = △ + △ + △ + △ + 正方形 = 2 △ + 2 △ + 正方形
= 2 × 12 × 2 × 2 3 + 2 ×
1
2 × 2 × 4 + 2
2 = 4 3 + 12．
设四棱锥 的内切球的半径为 ，
1 1则 = 3 正方形 = 3 1 ，
正方形 22∴ = = ×2 3 4 3+12 = 3 1，1
∴四棱锥 内切球的表面积为 2 = 4 2 = (16 8 3) ．
(3)如图，过 点作 // 交 于点 ，连接 ，
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，
则∠ 为直线 与平面 所成的角．
由题意知，当 与 重合时，∠ = 0，
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当 与 不重合时，设 = (0 < ≤ 2 2)，
在△ 中，由余弦定理得：
2 ∠ = 4 + 2 2 2 22 =
2 2 2 + 4，
= 4 + 2 2 2 22 =
2 2 2 + 4，
∵ // ，∴△ ∽△ ，∴ = ，∴ = =
6 ，
2
2 3 2 3 3
∴ tan2∠ = 2 2 2 2 = 2 2 2 +4 = =1 2 2+ 4 (2 2)2+1， 2 2 2
当分母( 2 2 )2 + 1最小时，tan2∠ 最大，即∠ 最大，此时 2 2 = 2 2( 与 重合)，
2 ∠ ≤ 由tan ∠ ≤ 3，得 tan∠ ≤ 3，即 3，
∴ ∠ 的最大值为3，
∴直线 与平面 所成角的取值范围为[0, 3 ]．
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