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2024-2025 学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
2 2
.已知椭圆 4 + 9 = 1 的两焦点分别为 1， 2，点 为椭圆上任意一点，则| 1| + | 2|的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.已知 ( ) = 2 ′(0) 3 ，则 ′(0) =( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 1
3.圆 2 + 2 + 2 + 4 = 0 的圆心到直线 + 1 = 0 的距离为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 2
4.已知{ }是公差不为 0 的等差数列， 1 = 2，若 3， 4， 6成等比数列，则 9 =( )
A. 20 B. 14 C. 16 D. 18
5
2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0)的离心率为 3，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 5
6.某兴趣小组研究光照时长 ( )和向日葵种子发芽数量 (颗)之间的关系，采集 5 组数据，如下表所示.若去
掉最后一组数据(10,2)后，下列说法正确的是( )
光照时长 ( ) 1 2 3 8 10
种子发芽数量 (颗) 4 6 5 11 2
A.相关系数 的绝对值变小 B.相关变量 ， 具有负相关关系
C.拟合误差变大 D.解释变量与响应变量的相关性变强
7.有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻.则不同排列方
式共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 48 种 D. 72 种
8.南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列
中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶
等差数列的前 4 项为：2，3，6，11，则该数列的第 28 项为( )
A. 735 B. 733 C. 731 D. 729
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次问答竞赛中，已知 组的成绩 与 组的成绩 均服从正态分布，且 (130,25)， (135,36)，
则( )
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A. ( ) = 135 B. ( < 25) = 0.5
C. ( < 110) + ( < 140) > 1 D. ( < 140) > ( > 140)
10.已知函数 ( )是 上的奇函数，且当 > 0 时， ( ) = ( 2)( + 1)2，则下列说法正确的有( )
A.函数 ( )有 3 个零点
B. = 1 是函数 ( )的极小值点
C.若 ∈ [ 2,2]，则函数 ( )的最小值为 4
D.若 ∈ ( 4, 2)，则方程 ( ) = 有 3 个实数根
11.已知抛物线 ： 2 = 8 的焦点为 ，顶点为 ，过点 作直线 1，交抛物线 于 ， 两点，点 在 轴上方，
分别过点 ， 作直线 2： = 2 的垂线，垂足分别为 1， 1，则下列说法正确的是( )
A.直线 2是抛物线 的准线 B.若直线 1的斜率为 2，则| | = 10
C. △ 面积的最小值为 4 D. | 1| + 4| 1|的最小值为 18
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在( 1)6的展开式中， 2项的系数为______．
13.经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上 1.3 处的直径)越大，树就越高.在研究树高 与胸径 之
间的关系时，某同学收集了某种树的 5 组观测数据(如表)：
胸径 / 8 9 10 11 12
树高 / 8.2 10 11 12 13.8

假设树高 与胸径 满足的经验回归方程为 = 2.2，则当胸径 = 15 时，树高 的预测值为______ .
14.如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参
观路线共有______种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的
实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，在甲、乙两个学校的高
一年级学生中各随机抽取 200 名，统计其期末考试成绩，成绩分为优秀(550 分及以上)和非优秀(550 分以
下)两个等级，以下是样本统计结果的列联表：
成绩
学校 合计
优秀非优秀
甲校 200
乙校 80
合计 130
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( )请根据以上信息，将列联表补充完整；
(Ⅱ)根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为推广新课改与成绩是否优秀有关？附： 2 =
( )2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2
> ) 0.10 0.05 0.010 0.0050
0 2.706 3.841 6.635 7.879
16.(本小题 15 分)
某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据.
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．
元件制造厂次品率提供元件的份额
甲 0.02 0.2
乙 0.01 0.7
丙 0.03 0.1
( )在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
(Ⅱ)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2 = 2 = 4， ⊥ ， ， 分别为 1， 的中点.建立
适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：
( )求证： 1 ⊥ ；
(Ⅱ)求平面 与平面 1 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个
题库中选择一个题库，并回答题库中的 3 个问题，至少答对其中 2 个问题，才能进入第二阶段，否则被淘
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汰，比赛成绩为 0 分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的 3 个问题，答对一个问
3
题得 5 分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和.已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为4，答
1
对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为2，各次答题是否正确相互独立．
( )若甲第一阶段选择诗词基础知识题库．
( )求甲通过第一阶段的概率；
( )求甲的比赛成绩为 10 分的概率；
(Ⅱ)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 2 ．
( )求曲线 = ( )在点(2, (2))处的切线方程；
(Ⅱ)证明： ∈ (0, + ∞)， ( ) < 1；
(Ⅲ) 1 1 1设 ∈ ，证明： + + + > ln( + 1)．
12+1 22+2 2+
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15
13.17.6
14.48
15.( )根据题意，补充完整的 2 × 2 列联表如下：
成绩
学校 合计
优秀非优秀
甲校 150 50 200
乙校 120 80 200
合计 270 130 400
(Ⅱ)解：零假设为 0：推广新课改与成绩是否优秀无关．
2 × 2 2 = 400×(150×80 120×50)
2
由 列联表中的数据，可得 200×200×270×130 ≈ 10.256，
因为 10.256 > 7.879 = 0.005，
所以根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为推广新课改与成绩是否优秀有关．
16.(Ⅰ)设 表示“取到的是一只次品”， 1表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”，
2表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”， 3表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”，
则 ( 1) = 0.2， ( 2) = 0.7， ( 3) = 0.1，
( | 1) = 0.02， ( | 2) = 0.01， ( | 3) = 0.03，
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由全概率公式得：
( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | 3)
= 0.2 × 0.02 + 0.7 × 0.01 + 0.1 × 0.03 = 0.014．
(Ⅱ)该元件出自甲工厂的概率为：
( | ) = ( 1 ) = ( | 1) ( 1) 0.02×0.2 21 ( ) ( ) = 0.014 = 7．
17.解：( )证明：在直三棱柱 1 1 1中，
有 1 ⊥ ， 1 ⊥ ， ⊥ ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 1所在直线为 、 、 轴建立如图所示的
空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， 1(0,0,4)，
∴ 1 = ( 2,0,4)， = (0,2,0)，
∴ 1 = 2 × 0 + 0 × 2 + 4 × 0 = 0，
∴ 1 ⊥ ，即 1 ⊥ ；
(Ⅱ)由( )得 (0,2,2)， (1,1,0)，∴ = (0,2,2)， = (1,1,0)， = ( 2,2,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 2 + 2 = 0，即 ，
= 0 + = 0
令 = 1，即 = (1, 1,1)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 0 2 + 4 = 0则 ，即
= 0 2 + 2 + 2 = 0
，
令 = 2，即 = (2,1,1)，
∴ cos < , >= 2 2| =|| | 3× 6 = 3 ，
∴平面 与平面 1 夹角的余弦值为
2．
3
18.( )( )若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为 3 或 2，
3 3 3 27
所以甲通过第一阶段的概率为 3 2 21 = ( 4 ) + 3 × (1 4 ) × ( 4 ) = 32．
( )若甲的比赛成绩为 10 分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中 2 个题目，
( ) 27由 可知，甲通过第一阶段的概率为32，甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中 2 个题目的概率为 2 =
23 × (
1
2 )
2 × (1 12 ) =
3
8，
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10 = = 27 3 81又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为 分的概率为 3 1 2 32 × 8 = 256．
(Ⅱ)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量 ，则 的所有可能取值为 0，5，10，15，
则 ( = 0) = 5 + 27 1 3 6732 32 × (1 2 ) = 256，
( = 5) = 27 1 1 1 232 × 3 × 2 × (1 2 ) =
81
256，
( = 10) = 27 2 1 2 132 × 3 × ( 2 ) × (1 2 ) =
81
256，
( = 15) = 2732 × (
1 )3 272 = 256，
( ) = 0 × 67 81 81 27 405256 + 5 × 256 + 10 × 256 + 15 × 256 = 64．
若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量 ，
则 的所有可能取值为 0，5，10，15，
1
由题意可知，甲通过第一阶段的概率为( 2 )
3 + 23 × (
1
2 )
2 × (1 12 ) =
1
2，
1 1
甲第一阶段被淘汰的概率为 1 2 = 2，
1 1 3
所以 ( = 0) = 2 + 2 × (1 4 )
3 = 65128，
( = 5) = 1 × 1 × 3 3 2 92 3 4 × (1 4 ) = 128，
( = 10) = 12 ×
2 × ( 3 23 4 ) × (1
3
4 ) =
27
128，
( = 15) = 1 × ( 3 )2 = 272 4 128，
65
所以 ( ) = 0 × 128 + 5 ×
9 + 10 × 27 27 45128 128 + 15 × 128 = 8，
因为 ( ) > ( )，所以为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库．
1
19.( ) ∵ ( ) = 2 ，
1 1 1∴ ′( ) = 2 + 2 2 = (1 +

2
2 ) ，
∴ (2) = 2 2， ′(2) = 2 2，
∴所求切线方程为 2 + 2 = (2 2)( 2)，即 = (2 2) 2 + 2．
1 1
(Ⅱ)证明：要证 ( ) = 2 < 1，等价于证 2 + 1 < 0，
1
令 = 2 ( > 0)，则 > 1，且 2 = ， = 2 ，
∴只需证 2 < 2 在 ∈ (1, + ∞)成立，
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2 < 1即证 对任意的 > 1 恒成立，
设 ( ) = 2 + 1 ，
2 2
则 ′( ) = 2 1
1 = +2 1 ( 1) 2 2 = 2 < 0 恒成立，
∴ > 1 时， ( ) = 2 + 1 单调递减，
∴ ( ) = 2 + 1 1 < (1) = 0，即 2 < ，
∴ ( ) < 1．
(Ⅲ) 1证明：由(Ⅱ)知，2 ≤ 对任意的 >Ⅰ恒成立，
∴ +1对任意的 ≠ ，有 > 1 2
+1 < +1 ，则 +1，
+1 +1 1
即 ln < +1 = ， 2+
∴ 1 + 1 + + 1 > ln 2 + ln 3 + + ln +1 = 2 1 + 3 2 + … + ln( + 1) =
12+1 22+2 2+ 1 2
ln( + 1)，
∴ 1 + 1 + + 1 > ln( + 1)，得证．
12+1 22+2 2+
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