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2024-2025 学年山东省日照市校际联考高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .下列各角中，与角6终边相同的角是( )
A. 13 B. 11 C. 11 19 6 6 6 D. 6
2.函数 = tan( + 3)的最小正周期为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图，在△ 中， = 2 ，则 =( )
A. 1 + 3 4 4
B. 34
+ 1 4
C. 2 1 3 + 3
D. 1 + 23 3

4. ， 为不同的平面， ， 为不同的直线，则下列判断正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
5.已知 ， 为单位向量，且|3 5 | = 7，则 与 的夹角为( )
A. 3 B.
2
3 C.

6 D.
5
6
6.若 cos( + 3 4 ) = 5， ∈ (0, 2 )，则 =( )
A. 2 B. 3 2 C. 2 3 210 10 5 D. 5
7.降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度(单位： ).气象学中把 24 小时内
的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为 20 ，底面直径为 12 ，母线长为
4 10 的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了
24 1小时的雨水，雨水的高度是桶深的2，则本次降雨的日降水量是( )
A. 29.6 B. 46.3 C. 63.5 D. 82.2
8 .如图，把画有函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, 2 < < )部分图像的纸片沿 轴折成直二面角，折叠后 ，
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4两点之间的距离为 2 3，则 ( 3 ) =( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，向量 , 如图所示，则( )
A. ⊥
B. |2 | = 5
C. (2 ) = 5
D.存在实数 ，使得 + 与 共线
10.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图像如图所示，则( )
A. = 2
B. ( ) ( 的图象关于点 4 , 0)对称
C. ( ) [ 在 12 ,

2 ]上单调递减
D.把 ( ) 的图像向左平移3个单位，所得图像对应的函数为偶函数
11.在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中，已知 ， 分别为线段 1 ， 1 1的中点，点 满足 =
1+ , ∈ [0,1], ∈ [0,1]，则( )
A. 1当 = = 2时，四棱锥 外接球半径为 3
B. + = 1 4当 时，三棱锥 的体积为3
C.若 = 2 6，则点 的轨迹长为 2
D. △ 周长的最小值为 2 3 + 2 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 1)， = (1, 2)，若 / / ，则 的值为______．
13.在△ 中，∠ = 60°， = 3， = 2，若 为 边的中点，则| | = ______．
14 .关于 的不等式( | |)sin( + 3 ) ≤ 0 在[0,2 ]上恒成立，则 sin( ) = ______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3
已知函数 ( ) = 3cos2 + 2 ( > 0), = ( )图象的相邻对称轴之间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式和单调递增区间；
(2)把 ( ) 1 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2，再把图象上的所有点向左平移12个单位，得
到 ( )的图象.若关于 的方程 ( ) = 在[ 12 , 6 ]上有两个解，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 ⊥底面 ， ， 分别为侧棱 ， 的中
点，且 = = = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求四棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
已知△ 的内解 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 = ．
(1)求证： = 2 ；
(2)若 为 上一点，且 = = 2，求△ 的面积的最大值．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，底面边长和侧棱长均为 4， ， 分别为棱 ， 1的中点，且 1 ⊥平
面 ．
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(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)设 为棱 1 1上一点(不包含端点 1， 1)，
①若 为棱 1 1的中点(如图①)，三棱柱 1 1 1被过 ， ， 三点的平面所截，求截面的面积；
②求二面角 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知 ， ， ， ∈ ，且 < < < ，定义[ , ] ∪ [ , ]的“区间长度”为 + ，函数 ( ) =
(2 )(2 + 1)( ∈ ) 3 的定义域为[ 2 , 2 ]．
(1)当 = 1 时，求关于 的不等式 ( ) ≤ 0 解集的“区间长度”；
(2) 1已知2 < < 2，设关于 的不等式 ( ) ≥ 0 解集的“区间长度”为 ．
( )若 = ，求 的值；
( )求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12
13. 192
14. 32
15.解：(1) ( ) = 3cos2 + 32
3 1 3
= 2 (1 + 2 ) + 2 2 2
3 1
= 2 2 + 2 2
= sin(2 + 3 )，( > 0)，
由题意可得 = ( )的最小正周期为 ，
2
可得2 = ，所以 = 1，
可得 ( ) = sin(2 + 3 )，
令 2 + 2 ≤ 2 +
≤ 3 2 + 2 , ∈ ，
5
则 12 + ≤ ≤ 12 + , ∈ ，
( ) 5 可得函数 的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ], ∈ ；
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(2)将 ( ) 1 图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，得到函数 = sin(4 + 3 )的图象，

再向左平移12个单位得 ( ) = sin[4( +

12 ) +

3 ] = sin(4 +
2
3 )的图象，
2 4
令 = 4 + 3， ∈ [ 12 , 6 ]，则 ∈ [ 3 , 3 ]，所以 ∈ [
3
2 , 1]，
所以 = ， ∈ [ , 4 3 3 ]与 = 有两个交点，
作出 = ， ∈ [ 3 ,
4
3 ]的图象如图所示，所以
3 ，
2 ≤ < 1
所以实数 的取值范围[ 32 , 1)．
16.(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，
在正方形 中， 为 的中点，又 为侧棱 的中点，
因此在△ 中， 为△ 的中位线，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
因此 //平面 ．
(2)因为 ， 分别为侧棱 ， 的中点，所以 为△ 的中位线，
1
因此 // ，且 = 2 ，
在 是正方形中， // ， = = 2，
1
因此 // ，且 = 2 = 1，
因此四边形 为梯形，
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
在 是正方形中， ⊥ ，且 平面
因此 ⊥平面 ，又 平面 ，
因此 ⊥ ，所以 ⊥ ，因此梯形 为直角梯形；
又 = = = 2， 为侧棱 的中点，
因此 = 3，且 ⊥ ，因此梯形 的面积为： = 12 × ( + ) × =
1
2 × (1 + 2) × 3 =
3 3，
2
由 ⊥平面 ，又 平面 ，
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因此 ⊥ ，因此 ⊥ ，
∩ = ，因此 ⊥平面 ，因此 ⊥平面 ，
因此 为四棱锥 的高，且 = 12 = 1，
= 13 =
1 3 3 3．
3 × 2 × 1 = 2
17.(1)证明：因为 = ，
由正弦定理可得 = ，
即 sin( ) = ，
在△ 中，可得 = 或 = ，解得 = 2 或 = (舍)，
故 B= 2 ；
(2)解：设∠ = ，∠ = ，
因为 △ =
1
2 · · ，

在△ 中，由正弦定理可得sin = sin ，①
在△ 中， = = 2， = 2 ，
2
由正弦定理可得sin( ) = sin ，即sin = sin2 ，②
由①②可得 = 4 ，
= = 在△ 中，由正弦定理可得 ∠ ( )，
2
即sin = sin3 ，
= 2 × sin3 = 2 × sin2 cos +cos2 sin 即 2sin sin = 2(2 + 2 ) = 2(1 + 2 2 )，
所以 = = 2(1 + 2 2 ) 2 = 4 2 ，
所以 1△ = 2 · · =
1
2 × 4 2 × 4 × = 2 2 × 2 2 = 2 4 ，
当 4 = 2时，即 =

8时， = 4，符合题意，此时 △ 取到最大值 2，
所以△ 的面积的最大值为 2．
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18.(1)证明：如图所示，连接 1 ，
由题意可知 1 ⊥平面 ，四边形 1 1是菱形，
平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为 为棱 的中点，△ 是正三角形，
所以 ⊥ ，又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
又因为 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1 ，
在菱形 1 1中，有 1 ⊥ 1 ，
而 ， 分别为棱 ， 1的中点，则 // 1，
所以 ⊥ 1 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ；
(2)①取 1 1的中点 1，取 1 1的中点 ，连接 1 1， ， ， ， 1，
则 1// 1且 1 = 1，又 1// 1且 1 = 1，
所以 1// 1且 1 = 1，
所以四边形 1 1是平行四边形，
所以 // 1 1且 = 1 1，
因为 ， 分别为 1 1， 1 1的中点，
1
所以 // 1 1且 = 2 1 1，所以 // ，
所以过过 ， ， 三点的截面即为四边形 ，
因为 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，所以 ⊥ ，
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故截面为直角梯形，又底面是边长为 4 的等边三角形且 1 = 4，
所以 = 32 = 2 3 = 2 ，
= 21 + 2 2 21 = (2 3) + 1 = 13，
所以截面面积为1
2 ( + ) =
1
2 (2 3 + 3) × 13 =
3 39；
2
②过 作 // 交 1 1于 ，连接 ，则 ⊥ 1 1，
因为 ⊥平面 1 1， ， 平面 1 1，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
故二面角 的平面角即为∠ ，
若 为棱 1 1上一点，且 1 = 1 1， ∈ [0,1]，
= 1因为 2 1 = 2, =
1
1 2 1 = 2 ，
所以 = 2 + 21 1 = 2 3 + 2，
2 = 21 + 1 2 2 ×
2 = 221 1 3 + 4
2 2 × 2 × 2 × ( 1 22 ) = 4 + 4 + 4，
2 2 2
所以 cos∠ = + 3 1 1 ，2 × = = 2 1 + 6 ×2 3+ 2 2+3
令 = 1 ∈ (0,1)，
cos∠ = 12 1 + 6 ×
1 1
2 2 +4 = 2 1 + 6 × 2+4，
由双勾函数的性质可得 = + 4 2 在(0,1)上单调递减，
+ 4所以 2 ∈ (3, + ∞)，
cos∠ = 1 1 + 6 × 1 ∈ ( 1 , 3所以 2 ) 2+4 2 2 ，
∠ ∈ ( 所以 6 , 3 )，

故二面角 的取值范围( 6 , 3 )．
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19.(1)当 = 1 时， ( ) = (2 + 1)( 2 + 1) = 1 4 2 ，
由 ( ) ≤ 0，得 1 4 2 ≤ 0，解得 ≤ 12或 ≥
1
2，
3 2 4
又函数 ( )的定义域为[ 2 , 2 ]，所以 3 ≤ ≤ 3或 3 ≤ ≤ 3，
( ) ≤ 0 ( ) + 4 2 4 所以 解集的“区间长度”为3 3 3 3 = 3；
(2)( )不等式化为(2 )(2 + 1) ≥ 0 1 1，由2 < < 2，得2 > 0 > 2 ，
所以不等式的解集为{ | ≥ 2或 ≤
1
2 }，
设 = 2的两个根为 1， 2，其中 2 < 1 < 0 < 2 <

2，且 1 + 2 = 0，
同理，设 = 12 的两个根为 3，
3
4，其中2 < 3 < < 4 < 2，且 3 + 4 = 2 ，
所以 = 2 1 + 4 3 = 2 ( 1 + 3)，又 = ，所以 1 + 3 =

2，
1 1 1其中 1 3 = 2 × ( 2 ) = 4，即 1cos( 2 1) = 4，
由诱导公式得 1 1 =
1 1
4，即 2 1 = 2，

又 2 < 1 < 0，解得 2 1 =
5 5
6或 2 1 = 6，故 1 = 12或 1 = 12，
所以 = 2 1 = 2 (

12 ) = 2 (
) = 2 cos 6 4 6 4 + 2

6 sin

4
= 2 × 3 × 22 2 + 2 ×
1 × 2 = 6+ 22 2 2 ，
或 = 2 = 2 ( 5 1 12 ) = 2
5
12 = 2 (

6 + 4 ) = 2

6 cos 4 2 6 sin 4
= 2 × 32 ×
2 2 × 1 × 2 = 6 22 2 2 2 ，
所以 = 6 2 6+ 22 或 = 2 ；
( )由( )可得 = 1，即cos21 3 4 1cos
2 3 =
1
16，
即(1 sin2 1)(1 sin2 3) = 1 sin2 1 sin2 3 + sin2 3sin2 =
1
1 16，
因为 1 < 0， 2 23 > 0，所以sin 1 + sin 3 ≥ 3 1，
当且仅当 3 + 1 = 0 时，等号成立，
所以= 1 + 2 1 3 + sin2 3sin2 ≥
1
1 16，
1 1 1
所以( 1 3 + 1)2 ≥ 16，所以 1 3 + 1 ≤ 4或 1 3 + 1 ≥ 4，
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由于 1 < 1 < 0，0 < 3 < 1，故 1 3 ∈ ( 1,1)，所以 1 3 + 1 ∈ (0,2)，
所以 11 3 + 1 ≤ 4舍去，故 1 3 + 1 ≥
1
4，
所以 cos( 1 + 3) = 1
1
3 1 3 + 1 ≤ 4 (
3
4 ) =
1
2，

因为 2 < 1 < 0，2 < 3 < ，所以 0 < 1 + 3 < ，
1
由 cos( 1 + 3) ≤ 2，可得 1 + 3 ≥ 3，
当且仅当 1 +
1
3 = 0， 1 3 = 4，即 1 = 3 , =
2
3 3时，等号成立，
所以 = 2 2( 1 + 3) ≤
4 4
3，故 I 的最大值为 3．
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