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专项突破2　追及与相遇问题的三种处理方法
方法1　情境分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图。
汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0=7 m处正以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a=2 m/s2。从此刻开始计时。
(1)求A追上B前，A、B间的最远距离。
(2)求经过多长时间A追上B。
思维导航 　　汽车A和B的运动过程如图所示。
方法2　图像分析法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题。
甲、乙两小车分别在两个平直的车道上行驶，它们运动的v-t图像如图所示，其中甲为半圆弧，乙为直线，则下列说法正确的是 (　　)
A.t=6 s时，甲车的加速度小于乙车的加速度
B.t=16 s时，甲、乙两车相遇
C.在0~16 s时间内，甲、乙两车的平均速度大小相等，但方向相反
D.在0~16 s时间内，甲、乙两车的加速度始终不为零
方法3　函数分析法
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况。
函数判断法求解追击和相遇问题思路有二：
1.先根据运动学规律，求出任意时刻t两物体之间的距离x=f(t)，若对任意时刻t，均存在x=f(t)>0，则两物体不能相遇；若存在某个时刻t，使得x=f(t)=0，则两物体在t时刻相遇。
2.设在t时刻两物体相遇，利用运动学规律，列出方程，得出关于t的方程。若方程没有实数解，则说明两物体不相遇；若方程存在实数解，则说明两物体相遇。
在水平笔直路面上，A车和B车相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而同时B车做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，则A车的初速度v0应满足什么条件
核心归纳 追及与相遇问题中的“一、二、三”
随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图1所示，一辆出租车在平直公路上以v0=20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0=63.5 m处有一辆电动车正以v1=6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图2所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，求出租车前进的距离是多少。
(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会被撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
练创新试题·知命题导向
1.A、B两玩具汽车在平直路面上做直线运动， 两车行驶的位置—时间图像如图所示， 下列说法正确的是 (　　)
A.A车先做加速运动， 后做减速运动
B.B车先做匀加速运动后做匀速运动
C.t=1 s时，A、B两车的速度相同
D.在0~6 s内， A、B两车相遇两次
2.在平直公路上，相距28 m的A、B两处分别停着甲、乙两辆汽车， 乙车在前， 甲车在后， 两车先后都从静止开始做匀加速直线运动，自甲车启动开始计时，两车加速度随时间变化的图像如图所示， 下列说法正确的是 (　　)
A.两车第一次相遇在乙车启动前
B.两车第一次相遇的地点与A处的距离为54 m
C.两车第二次相遇的地点与A处的距离为100 m
D.两车两次相遇的时刻分别为第2 s末和第6 s末
参考答案
例1　解答　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，有v=vB-at=vA，解得t=3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m。
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA'=vAt1=20 m
此时相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故A追上B所用时间t总=t1+t2=8 s。
例2　A　解析　v-t图像中直线或曲线某处切线的斜率表示加速度，由图像知t=6 s时甲车的加速度小于乙车的加速度，A项正确；在0~16 s时间内两车运动的位移相同，但不知两车的初位置情况，故不能判断两车在t=16 s时是否相遇，B项错误；在0~16 s时间内，两车的平均速度大小相等，方向相同，C项错误；0~16 s时间内，乙车的加速度始终不为零且不变，甲车的加速度先减小到零再反向增大，D项错误。
例3　解答　解法1(情境分析法)
对A车有sA=v0t+×(-2a)×t2
vA=v0+(-2a)×t
对B车有sB=at2，vB=at
对两车有s=sA-sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立解得v0=
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
解法2(函数判断法)
利用判别式求解，由解法1可知sA=s+sB
即v0t+×(-2a)×t2=s+at2
整理得3at2-2v0t+2s=0
当根的判别式Δ=(-2v0)2-4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
解法3(图像分析法)
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，
设经过t'时间两车速度大小相等，则对A车有vA=v'=v0-2at'
对B车有vB=v'=at'
联立解得t'=
经t'时间两车发生的位移大小之差可用图中的阴影面积表示，由图像可知Δs=v0·t'=v0·=
要使两车不相撞，应有Δs例4　解答　(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1=3.5 s，然后在反应时间t2=0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3=4.0 s直至停止，总位移x=v0(t1+t2)+v0t3=120 m。
(2)由题图2可知，出租车做匀减速直线运动的加速度大小a==5 m/s2
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，则有v0-aΔt=v1，解得Δt=2.8 s
此时出租车的位移x1=v0(t1+t2)+(v0+v1)Δt=116.4 m
电动车的位移x2=v1(t1+t2+Δt)=40.8 m
因为x1-x2=75.6 m>63.5 m，故两车会相撞
设两车经过时间t'相撞，则有
v0(t1+t2)+v0t'-at'2=x0+v1(t1+t2+t')
代入数据解得t'=0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
练创新试题
1.D　解析　位置—时间图像的斜率表示速度，A车先做减速运动，后做加速运动，B车先做匀速运动后静止，A、B两项错误；位置—时间图像的交点表示两车相遇，且此时两车的速度方向相反，C项错误；从题图可知图线相交两次，则两车相遇两次，D项正确。
2.C　解析　甲车运动t0=4 s时的位移x0=a1=16 m<28 m，尚未追上乙车，A项错误。设乙车启动后经过时间t，甲、乙两辆汽车相遇，则a1(t0+t)2=a2t2+xAB，代入数据，解得t=2 s或t=6 s，则两次相遇的时刻分别为第6 s末和第10 s末，D项错误。当乙车启动t=2 s后，两车第一次相遇，与A的距离x1=a1(t0+t)2=36 m；当乙车启动t=6 s后，两车第二次相遇，与A的距离x2=a1(t0+t)2=100 m，B项错误，C项正确。(共22张PPT)
专项突破2 追及与相遇问题的
三种处理方法
方法1 情境分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘
题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图。
例1 汽车以 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距
处正以的速度同向运动的汽车 开始匀减速刹车直
到静止后保持不动，其刹车的加速度大小 。从此刻开始计时。
（1）求追上前，、 间的最远距离。
解答 当、 两汽车速度相等时，两车间的距离最远，有
，解得
此时汽车的位移
汽车的位移
故最远距离 。
（2）求经过多长时间追上 。
[答案] 汽车从开始减速直到静止经历的时间
运动的位移
汽车在时间内运动的位移
此时相距
汽车需再运动的时间
故追上所用时间 。
思维导航
汽车和 的运动过程如图所示。
方法2 图像分析法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像
中，然后利用图像分析求解相关问题。
例2 甲、乙两小车分别在两个平直的车道上
行驶，它们运动的 图像如图所示，其中甲为半
圆弧，乙为直线，则下列说法正确的是( )
A
A. 时，甲车的加速度小于乙车的加速度
B. 时，甲、乙两车相遇
C.在 时间内，甲、乙两车的平均速度大小相等，但方向相反
D.在 时间内，甲、乙两车的加速度始终不为零
[解析] 图像中直线或曲线某处切线的斜率表示加速度，由图像知
时甲车的加速度小于乙车的加速度，A项正确;在 时间内
两车运动的位移相同，但不知两车的初位置情况，故不能判断两车在
时是否相遇，B项错误;在 时间内，两车的平均速度大小
相等，方向相同，C项错误; 时间内，乙车的加速度始终不为零
且不变，甲车的加速度先减小到零再反向增大，D项错误。
方法3 函数分析法
设相遇时间为，根据条件列方程，得到关于位移与时间 的函数
关系，由此判断两物体追及或相遇情况。
函数判断法求解追击和相遇问题思路有二：
1.先根据运动学规律，求出任意时刻两物体之间的距离 ，若对
任意时刻，均存在 ，则两物体不能相遇；若存在某个时刻
，使得，则两物体在 时刻相遇。
2.设在时刻两物体相遇，利用运动学规律，列出方程，得出关于 的方
程。若方程没有实数解，则说明两物体不相遇；若方程存在实数解，则
说明两物体相遇。
例3 在水平笔直路面上，车和车相距，车在后面做初速度为 、
加速度大小为的匀减速直线运动，而同时 车做初速度为零、加速度
为的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，则 车的
初速度 应满足什么条件？
解答 解法1（情境分析法）
对车有
对车有，
对两车有
追上时，两车不相撞的临界条件是
联立解得
故要使两车不相撞，车的初速度应满足的条件是 。
解法2（函数判断法）
利用判别式求解，由解法1可知
即
整理得
当根的判别式时， 无实数解，即两车不
相撞，所以要使两车不相撞，车的初速度 应满足的条件是
。
解法3（图像分析法）
利用速度—时间图像求解，先作、 两车的速度—时间图像，
其图像如图所示，
设经过时间两车速度大小相等，则对 车有
对车有
联立解得
经 时间两车发生的位移大小之差可用图中的阴影面积表示，
由图像可知
要使两车不相撞，应有，可得车的初速度 应满足的条件是
。
核心归纳
追及与相遇问题中的“一、二、三”
例4 随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手
机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图
1所示，一辆出租车在平直公路上以 的速度匀速行驶，此时
车的正前方处有一辆电动车正以 的速度匀速行驶，
而出租车司机此时开始低头看手机，后才发现危险，司机经 反
应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租
车的速度—时间图像如图2所示，重力加速度取 。
（1）若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停
止运动的这段时间内，求出租车前进的距离是多少。
解答 根据题意可知，出租车先匀速行驶 ，然后在反应时间
内继续匀速行驶，再匀减速行驶 直至停止，总位移
。
（2）通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最
小距离；若会被撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
[答案] 由题图2可知，出租车做匀减速直线运动的加速度大小
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为，则有 ，解得
此时出租车的位移
电动车的位移
因为 ，故两车会相撞
设两车经过时间 相撞，则有
代入数据解得 （另一解不符合题意，舍去）。
练创新试题 知命题导向
1. 、 两玩具汽车在平直路面上做
直线运动，两车行驶的位置—时间图像如图所
示，下列说法正确的是( )
D
A. 车先做加速运动，后做减速运动
B. 车先做匀加速运动后做匀速运动
C.时，、 两车的速度相同
D.在内，、 两车相遇两次
[解析] 位置—时间图像的斜率表示速度, 车先做减速运动,后做加速运
动, 车先做匀速运动后静止,A、B两项错误;位置—时间图像的交点表示
两车相遇,且此时两车的速度方向相反，C项错误;从题图可知图线相交两
次,则两车相遇两次,D项正确。
2. 在平直公路上，相距的、 两处分别停着甲、乙两
辆汽车，乙车在前，甲车在后，两车先后都从静止开始做匀加速直线运
动，自甲车启动开始计时，两车加速度随时间变化的图像如图所示，下
列说法正确的是( )
C
A.两车第一次相遇在乙车启动前
B.两车第一次相遇的地点与处的距离为
C.两车第二次相遇的地点与处的距离为
D.两车两次相遇的时刻分别为第末和第 末
[解析] 甲车运动时的位移 ,尚未追上
乙车,A项错误。设乙车启动后经过时间 ,甲、乙两辆汽车相遇,则
,代入数据,解得或 ,则两次相遇
的时刻分别为第末和第末,D项错误。当乙车启动 后,两车第
一次相遇，与的距离;当乙车启动 后,两
车第二次相遇，与的距离 ，B项错误,C项正确。

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