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2024-2025 学年广东省深圳中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于 3”的概率是( )
A. 1 B. 1 1 12 3 C. 4 D. 6
2.样本数据 5，7，13，27，38 的平均数为( )
A. 6 B. 13 C. 18 D. 20
3.直线 ， 互相平行的一个充分条件是( )
A. ， 都平行于同一个平面 B. ， 都垂直于同一个平面
C. 垂直于 所在的平面 D. 平行于 所在的平面
4.设一组样本数据 1， 2， ， 的方差为 4，则数据 2 1 1，2 2 1， ，2 1 的方差为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
5.如图， 1， 2两类不同的元件并联成一个系统.当 1， 2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 1，
2正常工作的概率分别为 0.9，0.8，则系统正常工作的概率为( )
A. 0.98
B. 0.26
C. 0.72
D. 0.02
6.在长方体 1 1 1 1中， = = 2 3， 1 = 2，则直线 1与 所成角的余弦值为( )
A. 3 B. 3 6 63 4 C. 3 D. 4
7.下列说法不正确的是( )
A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.空间不重合的三个平面可以把空间分成 4 或 6 或 7 或 8 个部分
C.三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点
D.四面体 的三条侧棱 ， ， 两两垂直，则点 在平面 的射影为△ 的垂心
8.从正方体的 12 条棱中任选 2 条，则这两条棱所在的直线是异面直线的概率为( )
A. 2 B. 4 C. 511 11 11 D.
8
11
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， ，且 ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，则下列结论正确的是( )
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A.如果 ，那么 ( ∪ ) = 0.2， ( ) = 0.5
B.如果 与 互斥，那么 ( ∪ ) = 0.7， ( ) = 0
C.如果 与 相互独立，那么 ( ∪ ) = 0.7， ( ) = 0

D.如果 与 相互独立，那么 ( ) = 0.4， ( ) = 0.4
10.下列说法正确的是( )
A.极差和标准差都可以刻画样本数据的离散程度
B.若数据 1， 2， ， 的方差为 0，则所有的 ( = 1,2, , )都相同
C.如果一组数据的中位数比平均数大很多，这组数据的众数不可能和中位数相同
D.从有 个个体的总体中抽取容量为 ( < )的样本，当选取简单随机抽样、按比例分配的分层抽样时，
总体中每个个体被抽中的概率分别为 1， 2，则 1 < 2
11.正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 、 分别在线段 1D、 上运动(包括端点)，则下列结论正确
的是( )
A.正方体被经过 、 两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形
B. 不可能与 1D、 都垂直
C. 有可能与正方体的六个表面所成的角都相等
D. 3线段 的中点 所围成的区域的面积为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为
______．
13.某次体检，10 位同学的身高(单位：米)分别为 1.57，1.59，1.62，1.64，1.65，1.66，1.68，1.70，1.72，
1.73，则这组数据的第 60 百分位数是______(米)．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片
上分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一
张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡
片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分为 2 的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = ， 、 分别是棱 、 1上的点(点 不在 的端点处)，且 ⊥
， 为 1 1的中点．
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(1)求证： ⊥平面 1 1；
(2)求证： 1 //平面 ．
16.(本小题 15 分)
从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频率分布表．
质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)
频数 6 26 38 22 8
(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标的平均值及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
17.(本小题 15 分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出 瓶外观相同但品质不同的酒让其
品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这 瓶酒，并重新按品
质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行
评价.现设 = 3，分别以 1， 2， 3表示第一次排序时被排为 1，2，3 的三种酒在第二次排序时的序号，
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{ 1, 2, 3} = {1,2,3}，并令 = | 1 1| + | 2 2| + | 3 3|，则 是对两次排序的偏离程度的一种描述，若
两轮测试都有 = 0，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有 ≤ 2，且至少有一轮测试
出现 ≠ 0，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号．
(1)用表格形式写出第二次排序时所有可能的 1， 2， 3排序结果，并求出相应的 值；
1， 2， 3
1，2，3 0
…… ……
(2)没有酒味鉴别能力的品酒师甲参加了一轮测试，记事件 =“甲的测试结果 = 0”， =“甲的测试结

果 = 2”，用集合的形式表示事件 ∪ 和 ∩ 后可以发现 ∪ = ∩ ，请证明：对于任意的随机事件

和 都有： ∪ = ∩ ；
(3)没有酒味鉴别能力的品酒师甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件 =“在这
两年中甲至少有一次被授予一级品酒师称号”，求 ( )．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 2， = 3， 为
的中点，点 在线段 1上，且 = 3．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)给出二面角 的平面角，并说明理由，求出二面角 的余弦值；
(3) 2设点 在线段 上，且 = 3，点 ， ， ， 是否共面？如 ， ， ， 四点共面，请证明：如果不共
面，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
将连续正整数 1，2，3，…， ( ∈ )从小到大排列构成一个数 123… ， ( )为这个数的位数.例如：当 = 12
时，此数为 123456789101112，共有 15 个数字，则 (12) = 15.现从这个数中随机取一个数字， ( )为恰
好取到 0 的概率．
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(1)求 (101)；
(2)当 ≤ 2025 时，求 ( )的表达式；
(3)令 ( )为这个数中数字 9 的个数， ( )为这个数中数字 0 的个数， ( ) = ( ) ( )， = { | ( ) =
1, ≤ 100, ∈ }，求当 ∈ 时 ( )的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.1.67
14.1124
15.证明：(Ⅰ)在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ 1，
∵ ⊥ ，且 ∩ 1 = ，
∴ ⊥平面 1 1，
(Ⅱ)根据(Ⅰ)得 ⊥平面 1 1，
∵ 平面 1 1，
∴ ⊥ ，
在△ 中， = ，
∴ 为 的中点，
连接 ，得 // 1，且 = 1，即四边形 1 为平行四边形，
∴ 1 // ，
∵ 平面 ， 1 平面 ，
∴ 1 //平面 ．
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16.(1)质量指标值分组在[75,85)，[85,95)，[95,105)，[105,115)，[115,125)
的频率分别为 0.06，0.26，0.38，0.22，0.08，

(2) = 80 × 0.06 + 90 × 0.26 + 100 × 0.38 + 110 × 0.22 + 120 × 0.08 = 100，
质量指标值落在[75,95)内的频率为 0.06 + 0.26 = 0.32 < 0.5，
质量指标值落在[75,105)内的频率为 0.06 + 0.26 + 0.38 = 0.70 > 0.5，
因此质量指标值的中位数落在[95,105)内，设中位数为 95 + ，
因此 0.32 + 0.038 = 0.5，解得 ≈ 4.74，
因此估计平均数为 100.00，中位数为 99.74．
17.(1)根据题意列举第二次排序时所有可能的 1， 2， 3及相应的 的值列表如下．
1， 2， 3
1，2，3 0
1，3，2 2
2，1，3 2
2，3，1 4
3，1，2 4
3，2，1 4

(2)证明：任取样本点 ∈ ∪ ，所以 且 ，即 ∈ 且 ∈ ，

所以 ∈ ∩ ，所以 ∪ ∩ ，

任取样本点 ∈ ∩ ，所以 且 ，即 ∈ 且 ∈ ，
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所以 ∈ ∪ ，所以 ∩ ∪ ，

因此 ∪ = ∩ ．
(3) 1由(1)得： ( = 0) = 6， ( = 2) =
1
3， ( = 4) =
1
2，
设甲在第一轮测试中得分为 1，在第二轮测试中得分为 2，事件 表示甲在第 轮被评为一级品酒师( = 1,2)，
所以 ( 1) = ( 2) = ( 1 = 0, 2 = 2) + ( 1 = 2, 2 = 0) + ( 1 = 2, 2 = 2)
= ( 1 = 0) ( 2 = 2) + ( 1 = 2) ( 2 = 0) + ( 1 = 2) ( 2 = 2)
= 16 ×
1
3 +
1 1 1 1 2
6 × 3 + 3 × 3 = 9，

所以 ( ) = ( 1 ∪ 2) = 1 ( 1 ∪ 2)

= 1 ( 1∩ 2) = 1 (
7
1) ( 2) = 1 9 ×
7 = 329 81．
18.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)因为 = ， 为 中点，所以 ⊥ ，
由(1)的证明过程可知 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角．
因为 = = 2，且 ⊥ ，所以 = 2 + 2 = 2 2，
所以 = 2 + 2 = 2 3，
1 2 3 1
因为 = 3，所以 = 3 ，且 = 2 = 2，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 cos∠ = 2 2 6 = 2 3 = 3 ，
△ 2在 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3，
所以 = 63 ，
2 2 2 2+2 4
所以 cos∠ = + 3 3 32 = = ，2× 2× 6 33
3
所以二面角 的余弦值为 3 ；
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(3) ， ， ， 四点共面，证明如下：
2设 为 中点，由题意得 = = 3，可得 // ，因此 // ，
2
同时 = 3 = 2，因此 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
因为 为 中点，所以 // ，因此 // ，
又因为 ， 无公共点，所以 ， ， ， 四点共面．
19.解：(1)当 = 101 时，那么 (101) = 9 + 90 × 2 + 3 × 2 = 195，所以这个数字共有 195 个数字，
0 12 0 (101) = 12 = 4其中数字 的个数有 个，因此恰好取得 的概率 195 65；
(2)当 1 ≤ ≤ 9，该数由 个 1 位数组成， ( ) = ；
当 10 ≤ ≤ 99，该数由 9 个两位数，9 个一位数组成， ( ) = 2 9；
当 100 ≤ ≤ 999，该数由 99 个三位数，90 个两位数，9 个一位数组成， ( ) = 3 108；
当 1000 ≤ ≤ 2025，该数由 999 个四位数，900 个三位数，90 个两位数，9 个一位数组成，
( ) = 4 1107；
, 1 ≤ ≤ 9
( ) = 2 9,10 ≤ ≤ 99综上所述， 3 108,100 ≤ ≤ 999 ．
4 1107,1000 ≤ ≤ 2025
(3)当 = (1 ≤ ≤ 9, ∈ )时， ( ) = 0；
当 = 100 时， ( ) = 11；
当 = 10 + (1 ≤ ≤ 9,1 ≤ ≤ 9, ∈ , ∈ )时， ( ) = ，
0,1 ≤ ≤ 9
因此 ( ) = , = 10 + (1 ≤ ≤ 9,1 ≤ ≤ 9, ∈ , ∈ )，
11, = 100
0,1 ≤ ≤ 8
, = 10 + 1(1 ≤ ≤ 8,1 ≤ ≤ 9, ∈ , ∈ )
同理可得 ( ) = 80,89 ≤ ≤ 98 ，
20, = {99,100}
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因此 ( ) = ( ) ( ) = 1，那么 = 9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
当 ≤ 100，那么 = {9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}，
当 = 90， (90) = 9 1171 = 19，
当 = 10 + 9(1 ≤ ≤ 8, ∈ ) ( ) ， ( ) = ( ) = 2 9 = 20 +9，
函数 = 1 9 120 +9 = 20 20 × 20 +9关于 单调递增，
当 = 10 + 9(1 ≤ ≤ 8, ∈ )， ( )最大值为 (89) = 8169，
8 1 1
又因为169 < 19，因此 ∈ 时， ( )最大值为19．
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