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2024-2025 学年云南省丽江二中高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = { | = 2 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,3} B. {1,2} C. {2,3} D. {1,2,3}
2.若(2 1)4 = 4 4 + 33 + 2 2 + 1 + 0，则 0 + 2 + 4 =( )
A. 40 B. 40 C. 41 D. 82
3.下列命题中正确命题个数为( )
①向量 // 存在唯一的实数 ，使得向量 = ；
② 为单位向量，且向量 // ，则向量 =± | | ；
③若向量 = ，则 = ；
④若平面向量 = 0， = 0，则向量 // ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 4 5.已知 ， 均为锐角， = 5，sin( ) = 13，则 =( )
A. 16 4 33 6365 B. 13 C. 65 D. 65
5.若2 = 5 = 10 1 1，则 + =( )
A. 1 B. 7 C. 1 D. log710
6.设数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2 1 + 2， 2 +1 = 2 1， ∈ ，则满足| | ≤ 4 的 的最大值是
( )
A. 7 B. 9 C. 12 D. 14
7.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < ) 2 的最小正周期为 4 ，且 ( ) ≤ ( 3 )恒成立，则 ( )图象的
一个对称中心坐标是( )
A. ( 2 3 , 0) B. (

3 , 0) C. (
2
3 , 0) D. (
5
3 , 0)
8.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球.在四棱锥 中，
侧面 是边长为 1 的等边三角形，底面 为矩形，且平面 ⊥平面 .若四棱锥 存在一

个内切球，设此内切球的表面积为 1，该四棱锥外接球的表面积为 2，则 1 =( )2
A. 18 B.
1 1 1
12 C. 16 D. 18
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某随机变量 服从正态分布 (10,1)，则下列正确的是( )
A. ( < 10) = ( > 10) B. ( > 1) = ( < 1)
C. ( < 8) > ( > 11) D. ( < 9) < ( > 9)
10.双曲线 ： 2 2 = 4 的左右焦点分别为 1、 2，左右顶点分别为 、 ，若 是右支上一点(与 点不重
合)，如图，过点 的直线 与双曲线 的左支交于点 ，与其两条渐近线分别交于 、 两点，则下列结论中正
确的是( )
A. 到两条渐近线的距离之和为 2
B.当直线 运动时，始终有| | = | |
C.在△ 中，tan∠ + tan∠ + 2 ∠ = 0
D. △ 1 2内切圆半径取值范围为(0,1)
11 { 1 1 1 1. 为等差数列 }的前 项和，公差 > 0，若 3 5 7 = 105，且 +3 5
+ = 7，则( )5 7 3 7
A. 5 = 5
B. 9 = 90
C.对于任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 =
D.一定存在三个正整数 ， ， ，当 < < 时，2 ，2 ，2 三个数依次成等差数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知| | = 4，空间向量 为单位向量，< ， >= 2 3，则空间向量 在向量 方向上投影的模为______．
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13.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投
中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
14.将 1，2，3，4，5，6 随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰
好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 13，△ 的面积为 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0) (2,0)
6
的一个焦点为 ，离心率为 3 .过焦点 的直线 与椭圆 交于 ，
两点，线段 中点为 ， 为坐标原点，过 ， 的直线交椭圆于 ， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求四边形 面积的最大值．
17.(本小题 15 分)
定义：若函数 ( )与 ( )在公共定义域内存在 0，使得 ( 0) + ( 0) = 0，则称 ( )与 ( )为“契合函数”，
0为“契合点”．
(1)若 ( ) = 1 与 ( ) = 为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数 的取值范围；
(2)若 ( ) = 与 ( ) = 1 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” 1， 2．
①求 的取值范围；
②证明： 1 2 < 1．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln(2 + 1) + 2 ， ( ) = 1．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若函数 ( )的图象不在直线 = + 1 的上方，求实数 的值；
(3)若 > 0，讨论函数 ( ) = ( ) 4 ( )的零点个数．
19.(本小题 17 分)
已知集合 = {1,2,3, …, }( ∈ ， ≥ 3)， ，若 中元素的个数为 ( ≥ 2)，且存在 ， ∈ ( ≠ )，
使得 + = 2 ( ∈ )，则称 是 的 ( )子集．
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(Ⅰ)若 = 4，写出 的所有 (3)子集；
(Ⅱ)若 为 的 ( )子集，且对任意的 ， ∈ ( ≠ )，存在 ∈ ，使得 + = 2 ，求 的值；
(Ⅲ)若 = 20，且 的任意一个元素个数为 的子集都是 的 ( )子集，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. 81125
14. 130
15.(1)因为 3 = 0，
所以 3 = 0，
又因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 3 = 0，即 = 3．
又因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2)由(1) 知， = 3，因为△ 的面积为 3，
1
所以2 = 3，即 = 4．
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
因为 = 13，所以 13 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
又因为 = 4，所以 + = 5．
所以△ 的周长为 5 + 13．
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= 2
16.解：( ) 6由已知可得： = 3 ，
2 = 2 + 2
解得 2 = 6， 2 = 2，
2 2∴ 椭圆 的方程为 6 + 2 = 1；
( )当直线 的斜率不存在时，
(2, 63 )， (2,
6 1
3 )，| | = 2 6， = 2 | || | = 4．
当直线 的斜率存在时，
设直线 方程为 = ( 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 3, 3).
点 ， 到直线 的距离分别为 1， 2．
2 2
6 +
= 1
联立 2 ，化为(1 + 3 2) 2 12 2 + 12 2 6 = 0，
= ( 2)
12 2∴ + = 12
2 6
1 2 1+3 2， 1 2 = 1+3 2 ．
2 2 2
| | = (1 + 2)[( 1 + )2 4 ] = (1 + 2)[(
12 2 4×(12 6) 2 6(1+ )
2 1 2 1+3 2 ) 1+3 2 ] = 1+3 2 ．
1 + 2 = (
4
1 + 2 4) = 1+3 2，
6 2∴ 2 线段 的中点 ( 1+3 2 , 1+3 2 )，
∴直线 的方程为： + 3 = 0( ≠ 0)．
+ 3 = 0 2
联立 2 + 3 2 = 6，解得
2
3 = 1+3 2， 3 = 3 3．
1 1 2 6(1+ 2) | 3 3 2 | | 3 + 3 2 | 四边形 = 2 | |( 1 + 2) = 2 × × ( + )1+ 3 2 1+ 2 1+ 2
6 1+ 2|2 3 2 3|=
1+ 3 2
2 6 1+ 2| 3 2 3 = 3
|
1+ 3 2
= 4 3
2+3 = 4 1 + 21+3 2 1+3 2 ≤ 4 3，当 = 0 时，取得等号；
综上可得四边形 的面积的最大值为 4 3．
17.(1)由 ( ) = 1 与 ( ) = 为“契合函数”，得 ∈ (0, + ∞)，使 ( ) + ( ) = 0
1 + = 0 = +1 ，
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( ) = +1令 ，依题意，方程 = ( )有唯一解，
( ) = 则 ′ 2 ，
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
则 ( ) = (1) = 1，
当 > 1 1 时， ( ) > 0， < 时， ( ) < 0， (
1
) = 0，
又 ( )和 ( )只有一个“契合点”，则直线 = 与函数 = ( )的只有 1 个交点，
则 ≤ 0 或 = 1，
所以实数 的取值范围是( ∞,0] ∪ {1}．
(2)①由 ( ) = 与 ( ) = 1 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” 1， 2，
则存在 1， 2 ∈ (0, + ∞)， 1 ≠ 2，使 + 1 = 0，

即 = + 1 有两个相异正根 1， 2，

令 ( ) = + 1 ，
( ) = 1 ( 1)
( 1)(1 )
′ 2 2 = 2 ，
由 > 0，得 1 < 0，
故当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
则 ( ) = (1) = 1 ，
当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( ) → ∞；当 →+∞时， ( ) → ∞，
因此当 < 1 时，直线 = 与函数 = ( )的图象有两个不同交点，
所以 的取值范围是( ∞,1 )．
②证明：由(1)知，当 1 < 2时，0 < 1 < 1 < 2，
1
令 ( ) = ( ) ( ), 0 < < 1，
1 1 1
1 1 ( 1)(1 ) 1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 ( ) = +
)
′ ′( ) + 2 ′( ) = 2 +

2 (1)2
= 2 ，

1 1
令 ( ) = 1 + , 0 < < 1， ′( ) = 1 + 1 ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )递减， ( ) > (1) = 0， ′( ) < 0，
函数 ( )在(0,1)上单调递减， ( ) > (1) = 0，因此当 0 < < 1 1时， ( ) > ( )，
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而 0 < 1 < 1，则 ( 1) > (
1
)，又 (
1
1) = ( 2)，于是 ( 2) > ( )，1 1
1
又 2 > 1, > 1，函数 ( )在(1, + ∞) <
1
上递减，则 2 ，1 1
所以 1 2 < 1．
18.(1)因为 ( ) 1 2的定义域为( 2 , + ∞)，导函数 ′( ) = 2 +1 + 2 ，
当 ≥ 0 时，导函数 ′( ) > 0， ( )在( 12 , + ∞)上单调递增；
1 1
当 < 0 时，令导函数 ′( ) = 0，可得 = 2 2 ，
1 1 1 1 1
因此当 ∈ ( 2 2 , + ∞)时， ′( ) < 0，当 ∈ ( 2 , 2 2 )时， ′( ) > 0，
因此 ( )在( 1 12 2 , + ∞)上单调递减，在(
1 , 12 2
1
2 )上单调递增．
(2)设函数 ( ) = ( ) ( + 1) = + ，
( )的定义域为 ，导函数 ′( ) = 1 + ．
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，因此 ( )在 上单调递增，
又因为 (0) = 0，因此当 > 0 时， ( ) > 0，不合题意；
当 < 0 时，令导函数 ′( ) = 0，解得 = ln( )，
因此当 ∈ ( ln( ), + ∞)时， ′( ) < 0；当 ∈ ( ∞, ln( ))时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在( ln( ), + ∞)上单调递减，在( ∞, ln( ))上单调递增，
因此 ( ) = ( ln( )) = ln( ) + [ ln( ) 1] = ln( ) 1 ，
因此 ln( ) 1 ≤ 0，即 ln( ) + 1 + ≥ 0．
令函数 ( ) = ln( ) + 1 + ( < 0) ( ) = 1 + 1 = +1，那么导函数 ′ ，
因此当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0；当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在( 1,0)上单调递减，在( ∞, 1)上单调递增，
因此 ( ) = ( 1) = 1 + 1 1 = 0，
即 ln( ) + 1 + ≤ 0，因此 ( ) = 0，即 = 1．
(3)根据题意，函数 ( ) = ( ) 4 ( ) = ln(2 + 1) + 2 4 + 4，
根据导函数 ′( ) = 22 +1+ 2 4
，且 > 0，得 ′( )为减函数，
设 ′( 0) = 0
2
，所以 + 2 4 02 +1 = 0， ( )的最大值为 ( 0).0
①当 0 < < 1 时， ( 0) ≥ (0) = 4 4 > 0，
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→ 1且 2时， ( ) → ∞， →+∞时， ( ) → ∞，
所以函数 ( )在 0的两侧各有一个零点．
1
②当 = 1 时， ′(0) = 0，所以当 ∈ ( 2 , 0)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
所以函数 ( )有最大值 (0) = 0，所以函数 ( )只有一个零点．
③当 > 1 1时， ′(0) = 2 2 < 0，所以可得 0 ∈ ( 2 , 0)．
2
利用 02 +1 + 2 4 = 0 代入到原函数中可得，0
( 0) = ln(2 0 + 1) + 2 0 4 0 + 4 = ln(2
2
0 + 1) + 2 0 2 +1 2 + 4，0
设 ( 0) = ln(2 0 + 1) + 2
2 1
0 2 +1 2 + 4， 0 ∈ ( 2 , 0)，0
容易判定 ( 0)是关于 0的增函数，所以 ( 0) ≤ (0) = 2 2 < 0，
所以函数 ( )的最大值为 ( 0) < 0，即当 > 1 时，函数 ( )无零点．
综上，当 0 < < 1 时，函数 ( )有两个零点；
当 = 1 时，函数 ( )有一个零点；当 > 1 时，函数 ( )无零点．
19.解：(Ⅰ)当 = 4 时， = {1,2,3,4}，
则当 = 1 时， = 3， = 2 时，，满足条件 1 + 3 = 22，即{1,3} ，
故 A 的所有 (3)子集有{1,2,3}，{1,3,4}；
(Ⅱ)当 ≥ 3 时，取 = {1,3}，
∵ 1 + 3 = 22，
∴ 是 的 (2)子集，此时 = 2，
若 ≥ 3，设 1， 2， 3 ∈ ，且 1 ≤ 1 < 2 < 3，
根据题意 1 + 2 = 2 1， 1 + = 2 3 2， 2 + = 2 3 3，
∴ 1 < 2 < 3，
∵ 1， 2， 3 ∈ ，
∴ 3 ≥ 2 + 1，
∴ 2( 1 + 2 + 3) = 2 1 + 2 2 + 2 3，
∴ + + = 11 2 3 2 (2
1 + 2 2 + 2 3)，
∴ 11 = 2 (2
1 + 2 2 + 2 3) 2 3 = 12 (2
1 + 2 2 + 2 3)，
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∵ 2 1 + 2 2 < 2 2 + 2 2 = 2 2+1 ≤ 2 3，
∴ 2 1 + 2 2 2 3 < 0，
∴ 1 < 0，与 1 ≥ 1 矛盾，
综上， = 2．
(Ⅲ)设 1 = {20,12}， 2 = {19,13}， 3 = {18,14}， 4 = {17,15}， 5 = {11,5}，
6 = 10，6， 7 = 9，7， 8 = {1,3}， 1 = {2}， 2 = {4}， 3 = {8}， 4 = {16}，
设 的元素个数为 ，
若 不是 的 ( )的子集，
则 最多能包含 1， 2， 3，···， 8中的一外元素以及 1， 2， 3， 4中的元素，
令 0 = {20,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2}，验证 0不是 的 (12)子集，
当 ≤ 12 时， 0的任意一个元素个数为 的子集都不是 的的 ( )子集，
∴ 的任意一个元素个数为 的子集都是 的 ( )子集，则 ≥ 13，
当 ≥ 13 时，存在 ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8}，使得 中必有两个元素属于 ，
同时 中两个元素之和为 2 的某个正整数指数幂，
∴ 是 的 ( )子集，
∴ 的最小值为 13．
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