资源简介

2024-2025 学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算中正确的是( )
A. ( + 3)′ = 1 + 2 B. ( )′ = +
C. ( ) 1 1 1 ′ = 2 D. ( )′ = 2
2.对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有( )
A. 2 < 4 < 0 < 3 < 1 B. 4 < 2 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 D. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
3.已知向量 = ( 1, , 2)， = (6,3, )，若 与 共线，则实数 值为( )
A. 6 B. 6 C. 3 D. 3
4.随机变量 服从两点分布，其分布列如下表所示：
0 1
2 2
则 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 12 3 或2
( + ) ( )
5.已知函数 ( ) = ，若 趋近于 0 时，则 3 3 趋近于( )
A. 12 B.
3 2 2
2 C. 2 D. 2
6 3.已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为5，在甲题答对的情况下，乙题
7
也答对的概率为10，则甲题答对的概率为( )
A. 1 3 5 64 B. 4 C. 7 D. 7
7.若函数 ( ) = 2 2 + 在区间(1,2)上单调递增，则实数 的取值范围是( )
第 1页，共 10页
A. [ 94 , + ∞) B. ( ∞, 2] C. ( ∞,
3
2 ] D. ( ∞,
3
2 )
8.在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 = = = 4， 为 的中点， 为 的中点，若
为该三棱锥外接球上的一点，则 的最大值为( )
A. 12 + 4 3 B. 14 + 2 3 C. 10 + 2 6 D. 12 + 4 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于变量 ， 的部分成对观测数据如下表所示
1 2 3 4 5 6 7
4 6 6 8 9 11 12
则下列结论中正确的是( )
A.样本数据 的第 50 百分位数为 7

B. = 4， = 8
C. ， 两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值大于 0

D.用上表数据得到 关于 的回归直线方程为 = 37 1928 + ，则 = 7
10.设 ( ) = ( 2)2( 5)，下列结论中正确的是( )
A. ( )在 = 1 处的切线斜率为 9 B. ( )有极大值，没有极小值
C.若 ∈ (0,1)，则 ( ) > ( 2) D. ( )与 ( 1)有相同的极大值
11.如图，点 是棱长为 3 的正方体 1 1 1 1表面上的一个动点， 是线段 1 1的中点，则( )
A. 若点 与点 1重合时，则异面直线 与 1 所成的角的大小为3
B.当点 在侧面 1 1上运动，且满足 ⊥ 1 时，则动点 的轨迹长度为 3 2
C.当 在底面 上运动，且满足 / /平面 1
3 2
1时，则动点 的轨迹长度为 2
D.当直线 与 所成的角为 45°时，点 3的轨迹长度为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)，且 ( > 1) = 0.8，则 (2 < < 3) = ______．
13.在空间直角坐标系 中，点 (2,4,1)，点 是点 (2,1,1)关于 平面的对称点，则| | = ______．
14.已知直线 = 1 与曲线 = + 相切，则 5 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知：函数 ( ) = 3 + 2 + 1
第 2页，共 10页
(1)求 ( )在区间[ 2,0]上的最大值和最小值；
(2)令 ( ) = ( ) 2 2 ，若函数 ( )在 上有三个零点，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某校高中数学兴趣小组共 8 人，分布如下：高一年级 5 人(含 2 个种子选手)，高二年级 3 人(含 1 个种子选
手).现从数学兴趣小组的 8 人中随机抽取 4 人参加市级奥数选拔赛．
(1)设事件 为“抽取的 4 人中恰有 2 名是种子选手，且这 2 名选手分别来自两个不同年级”，求事件 发
生的概率；
(2)设随机变量 为抽取的 4 人中种子选手的人数，求 的分布列及其数学期望．
17.(本小题 15 分)
如图，直四棱柱 1 1 1 1的底面是正方形， 1 = 2 = 6， ， 分别为线段 1， 1 1上的点，
且满足 1 ： 1 = 1 ： = 2：1．
(1)证明： 1 //平面 1 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
近年来，宁德市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到 352.26
万人次，旅游总收入约达到26.7 亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.
为了探究“五一”期间游客选择我市 旅游线路是否受到某款“ “宣传的影响，一家研究机构随机抽取
了 100 名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据(单位：人)的统计结果：
选择 线路的游客 不选择 线路的游客 合计
受“ “宣传影响 40 20 60
未受“ ″宣传影响 10 30 40
合计 50 50 100
第 3页，共 10页
(1)试计算 2的观测值，你有多大的把握认为受“ “宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选
择 线路有影响？
(2)若从我市全体游客中抽取 2 次，每次抽取 1 名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从
1
男、女游客中抽取 1 名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为3；如果第一次抽到女游客，
4
则第二次抽到男游客的概率为5，求第二次抽到男游客的概率．
(3)若已知样本中男游客人数为 50 人，其中选择 线路游客为 30 人；女游客人数为 50 人，其中选择 线路
游客为 20 人.以样本频率估计总体的概率.若从全体游客中男、女各随机抽取 2 名，设 2 名男游客中选择
线路人数为 ，2 名女游客中选择 线路人数为 ，令 = + ，求 的分布列．
2 = ( )
2
参考公式及数据： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ 0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(本小题 17 分)
记 ″( ) = ( ′( ))′， ′( )为 ( )的导函数.若对 ∈ ， ″( ) > 0，则称函数 = ( )为 上的“凹
函数”．
(1)请判断 ( ) = 在定义域上是否为凹函数，并说明理由；
(2)设函数 ( ) = 3 + 2 2 1．
( )若 ( )为[2, + ∞)上的凹函数，求实数 的取值范围；
( )若 ( )在(1, + ∞)上有极值，求 的最小整数值．
(参考数据： 2.6 ≈ 13.46， 2.7 ≈ 14.88， 2.8 ≈ 16.44， 2.9 ≈ 18.17， 3 ≈ 20.09)
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.3
13.5
14. 5 + 1
15.(1)由 ( ) = 3 + 2 + 1，
令 ′( ) = 3 2 + 2 1 = (3 1)( + 1) = 0，
解得 1 = 1
1
， 2 = 3，
∈ [ 2,0] = 1因为 ，故 2 3舍去，
因为当 2 < < 1 时， ′( ) > 0，当 1 < < 0 时， ′( ) < 0；
所以 ( )在( 2, 1)上单调递增， ( )在( 1,0)上单调递减；
又因为 ( 2) = 1， ( 1) = 2， (0) = 1；
所以 ( )在区间[ 2,0]上的最大值为 2，最小值为 1．
(2)解法一： ( ) = ( ) 2 2 = 3 3 + 1 在 上有三个零点，
则 ′( ) = 3 2 3 = 3( + 1)( 1) = 0 时，解得 3 = 1， 4 = 1，
因为当 < 1 时， ′( ) > 0，当 1 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0；
所以 ( )在( ∞, 1)和(1, + ∞)上单调递增，在( 1,1)上单调递减，
所以 ( )的极大值为 ( 1) = 3 ，极小值为 (1) = 1 ；
又因为当 趋于 ∞时， ( )趋于 ∞，当 趋于+∞时， ( )趋于+∞；
第 5页，共 10页
( 1) > 0
所以要使 ( )在 上有三个零点，则 (1) < 0 ，
3 > 0
即 1 < 0，
解得 1 < < 3，
所以实数 的取值范围为( 1,3)；
解法二： ( ) = ( ) 2 2 = 3 3 + 1 在 上有三个零点，
即 = 3 3 + 1 在 上有三个解，
设 ( ) = 3 3 + 1，
则 ′( ) = 3 2 3 = 3( + 1)( 1) = 0 时，解得 3 = 1， 4 = 1，
因为当 < 1 时， ′( ) > 0，当 1 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0；
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递增， ( )在( 1,1)上单调递减，
( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )的极大值为 ( 1) = 3，极小值为 (1) = 1；
因为当 趋于 ∞时， ( )趋于 ∞，当 趋于+∞时， ( )趋于+∞；
所以要使 ( )在 上有三个零点，
则 1 < < 3，
所以实数 的取值范围为( 1,3)．
16.(1)由题易知，事件 即为高一、高二各选 1 名种子选手，
1 1 2
则 ( ) = 2 1 5 = 204 70 =
2
8 7
，
0.06×0.25 2
所以，事件 发生的概率为 0.0525 = 7；
(2)由题易知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，
4
( = 0) = 5 = 5 = 1，
48 70 14
( = 1) =
1
3
3
5
4 =
30 3
8 70
= 7，
( = 2) =
2
3
2
5 = 30 = 3，
48 70 7
3 1 ( = 3) = 3 5 5 1
4
=
8 70
= 14，
随机变量 的分布列为：
第 6页，共 10页
0 1 2 3
1 3 3 1
14 7 7 14
( ) = 0 × 1 3 3 1 314 + 1 × 7+ 2 × 7 + 3 × 14 = 2．
17.(1)证明：过 点作 // 1交 1 于 点，连结 ，
∵ 1 ： 1 = 2：1，
∴ 1 = = 2 ∴ = 2 1 1 1 3， 3 1 ，
∵ 1 ： = 2
2
：1，∴ 1 = 3 1 ，
∵ 1 = 1 ， 1 // 1 ，
∴ = 1 ，且 // 1 ，
∴四边形 1是平行四边形，
∴ 1 // ，
∵ 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ 1 //平面 1 ，
(2)如图，以 为原点，分别以 ， ， 1为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设直线 与平面 1 所成角为 ，平面 1 的法向量为 = ( , , )，
第 7页，共 10页
∵ 1 = 2 = 6，则 (3,3,0)， 1(3,0,6)， (0,3,2)， (3,2,6)．
∴ 1 = (0,3, 6)， = ( 3,0,2)， = (3, 1,4)，

∴ 1 = 3 6 = 0，
= 3 + 2 = 0
取 = 2，得 = 6， = 3，
则 = (2,6,3)是平面 1 的一个法向量．

∴ = |cos < , > | = | | |2×3+6×( 1)+3×4| 6 26
|
= = ，
|| | 26×7 91
故直线 与平面 1 所成角的正弦值为
6 26．
91
18.(1)假设 0：受“ “宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的 线路无影响．
∵ 2 = 100×(40×30 20×10)
2 50
60×40×50×50 = 3 ≈ 16.667 > 10.828，
∴根据小概率值的独立性检验，推断 0不成立，
∴有 99.9%的把握认为受“ “宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的 线路有影响．
(2)从我市全体游客中抽取 2 次，每次抽取 1 名游客，
假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取 1 名，
1
若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为3，
4
如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为5，
设 表示第 次抽到男游客， 表示第 次抽到女游客， = 1，2．
则 ( 1) = (
1 1 4
1) = 2， ( 2| 1) = 3， ( 2| 1) = 5．
∴第二次抽到男游客的概率为：
( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1)
= 1 × 1 + 1 4 172 3 2 × 5 = 30．
(3) 3 2由题知，样本中选择 线路的男游客频率为5，选择 线路的女游客频率为5．
又 ( = 0) = ( 2 )2 45 = 25， ( = 1) =
1
2
3 2 = 125 5 25， ( = 2) = (
3 2 9
5 ) = 25，
( = 0) = ( 3 )2 = 95 25， ( = 1) =
1
2
2 3 = 125 5 25， ( = 2) = (
2 )25 =
4
25，
的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
则 ( = 0) = ( = 0, = 0) = 425 ×
9 36
25 = 625，
第 8页，共 10页
( = 1) = ( = 0, = 1) + ( = 1, = 0) = 4 12 12 9 15625 × 25 + 25 × 25 = 625，
( = 2) = ( = 0, = 2) + ( = 1, = 1) + ( = 2, = 0)
= 4 × 4 12 12 9 9 24125 25 + 25 × 25 + 25 × 25 = 625，
( = 3) = ( = 1, = 2) + ( = 2, = 1) = 12 × 4 + 9 1225 25 25 × 25 =
156
625，
( = 4) = ( = 2, = 2) = 4 9 3625 × 25 = 625，
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4
36 156 241 156 36
625 625 625 625 625
19.(1) ( ) = 在定义域(0, + ∞)上是凹函数．
理由如下：
∵ ∈ (0, + ∞)， ′( ) = + 1，
∴ ( ) = 1″ > 0，
∴ ( ) = 在定义域上是凹函数；
(2)( ) ( ) = 3 + 2 2 1 ′( ) = 3 2 + 4 ″( ) = 6 + 4，
∵ ( )为[2, + ∞)上的凹函数，
∴ ∈ [2, + ∞)， ″( ) = 6 + 4 > 0 恒成立，

即 ∈ [2, + ∞)，6 < +4 恒成立．

令 ( ) = +4 ( ) = 4 = ( 1) 4 ，则 ′ 2 2 ，
≥ 2 ( ) > 0 ( ) = +4当 时， ′ ；故 在[2, + ∞)上单调递增，
2+4
故 ( ) = (2) = 2 ，
2
故 6 < +42 ，
2 2
∴ < +4 +412 ，即 的取值范围为( ∞, 12 )；
( )由 ( ) = 3 + 2 2 1，得 ′( ) = 3 2 + 4 ，
函数 = ( )在(1, + ∞)上有极值，即 ′( ) = 3 2 + 4 在(1, + ∞)上有变号零点，

即 3 = +4 2 在(1, + ∞)上有解；
第 9页，共 10页
( ) =
+4 2
令 2 ， ∈ (1, + ∞)，则 ′( ) =
( +4) 2 ( +4 ) ( 2) 4
4 = 3 ，
令 ( ) = ( 2) 4 ，则 ′( ) = ( 1) 4， ∈ (1, + ∞)，
∵ ″( ) = > 0，∴ ′( )在(1, + ∞)上单调递增，
又 ′(1) = 4 < 0， ′(2) = 2 4 > 0，
∴故存在 0 ∈ (1,2)，使得 ′( 0) = 0，
即 ( ) = ( 2) 4 在( 0, + ∞)上单调递增，在(1, 0)上单调递减，
又∵ (1) = 4 < 0， (2) = 8 < 0， (3) = 3 12 > 0，故存在 1 ∈ (2,3)，使得 ( 1) = 0，且 > 1
时， ( ) > 0，1 < < 1时， ( ) < 0，
故 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在(1, 1)上单调递减，
1
故 ( ) = (
+4 1
1) = ， 21
由于 ( ) = 1 1( 1 2) 4 1 = 0，∴ 1 =
4 1
1 2
，
4 1
+4
故 ( ) = 1 2
1
= 4( 1 1) 2 ( 2)， 1 ∈ (2,3)， 1 1 1
又 (2.7) = 2.7(2.7 2) 4 × 2.7 = 0.384 < 0，
(2.8) = 2.8(2.8 2) 4 × 2.8 = 1.952 > 0，
由零点存在定理知， 1 ∈ (2.7,2.8)．
设 ( ) = 4( 1) 4 ( 2) = ，( 1) 1 1
∵ ( )在 ∈ (2,3)上单调递减，且 (2.7) ≈ 3.598， (2.8) ≈ 3.214，
∴ ( ) = ( 1) ∈ (3.214,3.598)．
∵ 3 > ( ) > ( )1 ，则 13 ∈ (1.071,1.199)，
又 ∈ ，∴ 的最小值为 2．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑