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2024-2025 学年湖南省长沙市明德中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.复数 2+ =( )
A. 2 + B. 2+ C. 2 D. 2
2.下列命题是假命题的是( )
A.若 > > 0 > > ，则 > B.若 2 > 2，则 >
C.若 > > 0 < 0 > 且 ，则 2 2 D. >
1 1
若 且 > ，则 < 0
3 1 .已知 为锐角，cos( + 6 ) = 3，则 sin(2 + 3 ) =( )
A. 49 B.
4
9 C.
4 2
9 D.
4 2
9
4.已知函数 ( ) = ，则 ( )在(0, + ∞)上的零点个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.无数个
5.若将函数 ( ) = 2 + 3 2 的图象向右平移12个单位长度后，得到函数 ( )的图象，则 ( 3 ) =( )
A. 32 B. 3 C. 1 D. 2
6 1 2 3.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为2 , 3 , 4，且三人
是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为( )
A. 1 7 11 174 B. 24 C. 24 D. 24
7.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点，则点 到直线 1 的距离为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
8.一个正四棱台的上底面边长为 1，下底面边长为 2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积
为( )
A. 2 B. 2 C. 2 26 3 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.某人掷骰子 1 次，“掷出 5”与“掷出 6”是互斥事件
B.甲、乙、丙三种个体按 1：2：3 的比例分层抽样．如果抽取的甲个体数为 3，则抽取的丙个体数为 9
C.数据 4，3，4，6，8，7，8，9 的 60%分位数是 8
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D.数据 1， 2， 3， ， 的方差为 2，则数据 3 1，3 2，3 23， ，3 的方差为 9
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A.若对空间中任意一点 ，有 = 1 + 1 2 3 +
1
4
，则 、 、 、 四点共面
B.已知两个向量 = (1, , 3)， = (5, 1, )，且 // ，则 = 3
C.若 ⊥ ，且 = ( 1, 1, 1)， = ( 2, 2, 2)，则 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
D. = (0,1,1)， = (0,0, 1) 1 1，则 在 上的投影向量为(0, 2 , 2 )
11.如图，矩形 中， = 2， = 1， 为 的中点，将△ 沿 翻折成△ 1 ，得到四棱锥 1
，点 在线段 1 上，则( )
A. ⊥ 1
B.存在 ，使 //平面 1
C.不存在 ，使 ⊥平面 1
D.当四棱锥 1
6
的体积最大时，点 到平面 1 的距离是 3
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.已知 ： > 是 ：1 < < 3 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是______．
13.连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次(正方体六个面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6)，记录抛
掷结果向上的点数.设事件 ：第一次点数为 1，事件 ：两次点数之和为 ( ∈ , 2 ≤ ≤ 12)，若事件 与事
件 互斥，则 的最小值为______；若事件 与事件 相互独立，则 的值为______．
14.已知函数 ( ) = 3，若| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2|的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 = 2 ， = 3， = 4，且 ≠ ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
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16.(本小题 15 分)
是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用
的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计该校学生当日使用 的时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表)；
(2)若使用时间不小于 2 小时的用户称为“ 资深用户”，其中使用时间在[2,2.5)内的用户称为“青
铜用户”，使用时间在[2.5,3)内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解 对学习的辅助效果，该
校新闻中心采用分层抽样的方法在“ 资深用户”中抽取了 6 名学生进行问卷调查，并从这 6 名学
生中随机选择 2 名学生进行访谈，求这 2 名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 8， = 9， = 2 3，点 为线段 不在端点上的
一点，过 作 的平行线交 于 ，将矩形 翻折至与梯形 垂直，得到六面体 ．
(1)若 ⊥ ，求 的长；
(2)求异面直线 与 所成角余弦值的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) + ( ) = ，其中 ( )为奇函数， ( )为偶函数．
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(1)求 ( )的解析式并指出 ( )的单调性(无需证明)；
(2)若对于任意的实数 > 0，都有 ( 2 + 3) > ( )成立，求实数 的取值范围；
(3)若对于任意的实数 1 ∈ [0, + ∞)，总存在实数 2 ∈ [1,3]，使得 4[ ( )]21 2 ( 1) > 2 + 1 成立，求实
数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2
如图，三棱锥 的体积为3，二面角 为锐角， 为 的中点，平面 ⊥平面 ， =
, = 2 = 2, = 5．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)若 ， 分别是直线 ， 上一点，且 //平面 ，记平面 ∩平面 = ， 与 所成角的正弦
5
值为 3 ，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ | ≤ 1}
13.8 7
14.2
15.(1)因为 = 2 = 2 ， = 3， = 4，
由正弦定理得 = 2 ，
4 2
所以 = 2 = 2×3 = 3，
所以 = 53 ，
故 = = 5 2 ．
2 2+ 2(2) = =
2 2+16 9 2+7
由 3 2 = 2 4 = 8 ，
所以 3 2 16 + 21 = 0，
= 7解得 3或 = 3，
又因为 ≠ = 3，所以 = 73．
16.(1)根据题意可知，0.5 × 0.2 + 0.5 × 0.48 + 0.5 + 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.2 = 1，∴ = 0.72，
平均值为，0.75 × 0.1 + 1.25 × 0.24 + 1.75 × 0.36 + 2.25 × 0.2 + 2.75 × 0.1 = 1.73，
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(2)根据题意可知，抽取的 6 名学生中，青铜用户选 4 名，记为 ， ， ， ，铂金用户选 2 名，记为 ， ，
样本空间 = { , , , , , , , , , , , , , , }，
设事件 =“这 2 名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则 = { , , , , , , , }，
∵抽中样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，∴这是一个古典概型，
∴ ( ) = 815．
17.解：(1)连接 ，平面 ⊥平面 ，交线为 ，
由 ⊥ ，得 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，
此时△ 与△ 相似，∴ = 2，
设 = (0 < < 8)，
由(9 )(8 ) = 12，解得 = 5，∴ = 5．
(2)过 作 的平行线交 于点 ，连接 ，
由 // // ，且 = = ，
得四边形 是平行四边形，∴ // ，
∴ ∠ 是异面直线 与 所成角，
设 = (0 < < 8)，
tan∠ = tan(∠ ∠ ) = tan∠ tan∠ 1+tan∠ ∠
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9 8
= = 1 ≤ 1 = 1，
1+9
8
2( +
36) 17 2×2 36 17 7
36
当且仅当 = ，即 = 6 时取等号，
∴ 1锐角∠ 正切值的最大值为 7 27，此时余弦值有最小值 ，10
∴异面直线 与 所成角余弦值的最小值为7 2．
10
18.(1)因为 ( ) + ( ) = ①， ( )为奇函数， ( )为偶函数，
则 ( ) + ( ) = ，
即 ( ) + ( ) = ②，
+
联立①②，得 ( ) = 2 ， ( ) = 2 ，
=

因为函数 2、 =

2 在 上均为增函数，
故函数 ( )在 上单调递增；
(2)由(1)得 ( )单调递增，
因为 ( 2 + 3) > ( )，
所以 2 + 3 > ，
2+3
整理得 < +1对于任意的 > 0 成立，
2
则 < ( +3 +1 ) ，
令 = + 1 ∈ (1, + ∞)，
2+3 2= 2 +4 4 4则 +1 = + 2 ≥ 2 2 = 2，
当且仅当 = 4 时，即 = 2 时取等号，
所以 < 2，
所以实数 的取值范围为( ∞,2)；
+ (3)由(1)知， ( ) = 2 ， ( ) = 2 ，
则 4[ ( 21)] 2 ( 21) = ( 1 + 1) ( 1 1) = 2 1 + 2 1 ( 1 1) + 2
= ( 1 1)2 2( 1 1) + 4，
令 = 1 1 ∈ (0, + ∞)，
1 15 15 1
则 4[ ( 21)] 2 ( 1) = 2 + 4 = ( )22 + 4 ≥ 4，当 = 2时等号成立，
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则原题目转化为存在 2 ∈ [1,3]，使得 2 <
11
4成立，
当 ≤ 0，成立；
当 > 0 时，
则有( 2)
11
= < 4，
解得 0 < < 114；
11
综上， < 4，
所以实数 11的取值范围为( ∞, 4 ).
19.(1)证明：如图，过点 作 ⊥ 于点 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角，
由三棱锥 1的体积 = 3 △ =
1
3
1
2 =
1
6 × 2 × 5 =
2
3，
2 5
解得 = 5 ，
在 △ 中，sin∠ = 2 5 = 5 ，
2 5
所以二面角 的正弦值为 5 ；
(3)因为 / /平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 / / ，
故 与 所成的角即 与 所成的角，
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易知 = = 6，
依题意，∠ 不可能为钝角，
所以有 sin∠ = 53 , cos∠ =
2
3，
①当点 在线段 上时，如图所示，
sin∠ = 30因为 6 , cos∠ =
6
6 ，
所以 sin∠ = sin( ∠ ∠ ) = sin(∠ + ∠ )
= sin∠ ∠ + cos∠ ∠ ，
= 30 × 2+ 6 × 56 3 6 3
= 306 ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
= 2 6 1解得 3 ，所以 = 2；
②当点 在线段 的延长线上时，如图所示
则 sin∠ = sin(∠ ∠ ) = sin∠ ∠ cos∠ ∠
= 30 2 6 56 × 3 6 × 3
= 3018 ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
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= 2 6 = 3解得 ，所以 2．
1 3
综上， = 2或2．
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