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浙江省宁波市象山县文峰学校2024-2025学年八年级下学期竞赛数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（2025八下·象山竞赛）在2，5，3，7，2，6，2，1这组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．标准差 B．中位数 C．平均数 D．众数
2．（2025八下·象山竞赛）已知，，则用a，b表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·象山竞赛）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（　　）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x%
4．（2025八下·象山竞赛）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=4，将△ABC沿直线AC翻折180后与原图形在同一平面内，若点B的落点记为B'，则DB'的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·象山竞赛）当m，n是实数且满足时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．（2025八下·象山竞赛）如图，矩形ABCD中，E为边AD上一点（不为端点），交AC于点F，要求的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·象山竞赛）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为，的面积为S，则（　　）
A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3
8．（2025八下·象山竞赛）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连结AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=（k>0，x>0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（2025八下·象山竞赛）若是正整数，则整数n的最小值为　 　.
10．（2025八下·象山竞赛）已知a是方程的一个根，则的值为　 　.
11．（2025八下·象山竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是　 　
12．（2025八下·象山竞赛）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为　 　.
13．（2025八下·象山竞赛）如图所示，以的斜边BC为一边在的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连AO，如果，，那么　 　.
14．（2025八下·象山竞赛）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交的图象于点C，连接AC.若是等腰三角形，则k的值是　 　.
三、解答题（共4小题，共55分）
15．（2025八下·象山竞赛）已知方程的两个根是，，那么，，反过来，如果，，那么以，为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.
（2）已知a，b满足，，求的值.
（3）已知a，b，c均为实数，且，，求正数c的最小值.
16．（2025八下·象山竞赛）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点F（2，2），过函数常数k>0）图象上一点A（，a）作y轴的平行线交直线l：y=-x+2于点C，且AC=AF.
（1）求a的值，并写出函数的解析式；
（2）过函数图象上任意一点B，作y轴的平行线交直线l于点D，是否总有BD=BF成立？并说明理由；
（3）如图2，若P是函数图象上的动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点N，分别过点P、N作y轴的垂线交y轴于点Q、M，问：是否存在点P，使得矩形PQMN的周长取得最小值？若存在，请求出此时点P的坐标及矩形PQMN的周长；若不存在，请说明理由.
17．（2025八下·象山竞赛）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°AB=4，E是AD边上的动点，作∠BEF=60咬CD于点F，在AB上取点G使AG=AE，连结EG.
（1）求∠EGB的度数：
（2）求证：EF=BE：
（3）若P是EF的中点，当AE为何值时，△EGP是等腰三角形.
18．（2025八下·象山竞赛）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）
尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（2）
推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；
（3）
拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝ ，BC＝ ，AD＝2．求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】A、标准差会改变，因为原来有8个数据，插入一个任意数x，则现在有9个数据，所以根据标准差的求法可知改变；
B、中位数会改变，因为原来有8个数据，中位数为2.5，插入任意一个数x，则现在有9个数据，则中位数为按从小到大的顺序排列最中间的那个数，则中位数有可能是x、2、3；
C、平均数会改变，因为原来8个数的和除以8，插入数据x后，现在需要用9个数据的和除以9；
D、众数不会改变，因为原来8个数据，众数为2，插入数据x后，得到新的一组数据，众数仍然是2；
故答案为：D．
【分析】根据众数、中位数、标准差及平均数的意义，逐一进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】转化为，然后替换为a，b即可解题.
3．【答案】D
【知识点】列一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)，
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%) x%，
故选：D.
【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴.
连结.
根据折叠的性质知，，.
∴，
∴是等腰直角三角形，则.
又∵，，
∴.
故选：A.
【分析】连接 .根据折叠的性质知 是等腰直角三角形，则 又 是BD的中垂线，得到 解答即可.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设 ，
∵ 点 是 “奇异点”，
∴，
∴， 则 ，
∴，
而 ， 整理得 a2 + a - 2 = 0，
解得 ， ，
当 时， ； 当 时， ，
∴， ，
设直线 AB 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ， 解得 ，
∴ 直线 AB 与 轴的交点坐标为 ，
的面积.
故选：B.
【分析】设 利用新定义得到 再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 则可解得a和b的值， 求出点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式.从而得到直线AB与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算. 的面积.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连结DF，过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，
四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD// BC，
∴∠DAC=∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故选：C.
【分析】连接DF、过B作 于点M，过D作I 于N， 证明 得 ，由三角形的面积公式可得 和 的面积都等于 的面积，便可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过三个中点分别作六边形边的平行线，交于点M，
∴六边形DPEQFR被分成□DPEM，
□DMFR，平□EQFM，
∵DE、EF、DF分别是平行四边形的对角线，
∴S平行四边形 DPEM=2S△DEM，S平行四边形DMFR=2S△DFM，S平行四边形EQFM=2S△EFM，
：S六边形 DPEQFR=2S△DEF，
∵△DEF∽ΔABC，
∴，
∴S六边形 DPEQFR=S△ABC
∴S1： S=1： 2.
故选：C.
【分析】过三个中点分别作六边形边的平行线相交于点M，则此六边形被分割为3个平行四边形，从而得到六边形的面积等于三角形DEF面积的2倍，从而问题可解
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN//FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∵，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∴AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE// BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.即可得到，求出ON=MN=EM，得到S△FME=S△FOE，进而得到S△ABE=S△AOE，然后根据解答即可.
9．【答案】21
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵189＝21×9，
∴是整数的正整数n的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】根据算术平方根的定义，得出189n是一个正整数数的平方，结合求整数n的最小值，即可解答.
10．【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1.
【分析】求出 把分式通分，后得出 代入求出即可.
11．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：
解不等式得：
原不等式组无解
解不等式得：
故答案为：.
【分析】先解不等式组，再根据求不等式组的解集的口诀确定即可，即：同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解.
12．【答案】48cm
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作于点M.
由题意得：，
∴，
又∵，
设菱形的边长为x，则菱形的高为：，
根据菱形的面积公式得：，
解得：，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和 = 2 (AE + AH + HD + DG + GC + CF + FB + BE) = 2 (EF + FG + GH + HE) = 48cm.
故答案为：48cm.
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为 四边形ABCD面积是 可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和.
13．【答案】12
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在AC上截取CG=AB=4，连结OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°
∴∠ABO= ∠ACO，
在△BAO和△CGO中，
，(SAS)
∴△BAO≌ΔCGO，(SAS)
∴0A=OG，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°
即△AOG是等腰直角三角形，
∴∠BAO=135°
故答案为：12.
【分析】在AC上截取连接OG，根据B、A、 O、C四点共圆，推出证 推出 得出等腰直角三角形AOG，即可求得 的面积， 即可解题.
14．【答案】或
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：联立 、 并解得：点 A()，同理点 B()，点 C()，，
①当 时，，解得：（舍去负值）；
②当 时，同理可得：，解得：（舍去负值）；
故答案为：或.
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标 (用k表示)，再讨论 ， 即可解题.
15．【答案】（1）解：设的两根为，，则所求新方程的两根为，.
所以，所求的方程为，即.
（2）解：从 a， b 满足的同一种关系可知：① 当 时，a， b 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，从而
.
② 当 时，从而 .
所以 的值为 -47 或 2.
（3）解：由，，得，，因此，由给出的结论，得a、b是方程的实数根，所以，因为，所以，所以，故c的最小值为4.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)先写出方程 的两根和与两根的积，计算出新方程的两根和与两根积，再根据根与系数的关系写出新方程即可；
(2)方程结构相同，所以a、b是方程的两根.从a、b相等或者不等两个方面，分别计算要求代数式的值.
(3)把两个等式转化为以a、b为根的一元二次方程的两根和与两根积，写出方程，根据根的判别式确定c的最小值.
16．【答案】（1）解：， ，
∵，
∴，
∴点A()，
∴，
∴.
（2）解：设，则，
∴，
，
∴.
（3）解：答：存在满足题设条件的点P.
解法1：设直线l交y轴于点E，连接EF，QF，由（2）得，PF=PN，
矩形PQMN的周长=2(PN+PQ)=2 (PF+PQ)，
∵PF+PQ≥QF≥EF，
∴当且仅当P、Q、F三点共线时，矩形PQMN的周长取到最小值=2FE=4，
此时，点P的坐标为(1，2).
解法 2：设 ，
则 ，
矩形 P Q M N 的周长 ，
当 ，即 时，矩形 P Q M N 的周长取得最小值为 4 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】(1)求出AC、AF的表达式， 根据. 求出a的值，然后利用待定系数法求出a的值即可；
(2)设 则 根据勾股定理求出BF的长即可；
(3)结合(2)可知，当且仅当P、Q、F三点共线时，矩形PQMN的周长取到最小值解答即可
17．【答案】（1）解：∵∠A=60°，AG=AE，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AGE=60°
∴∠EGB=120°
（2）证明：由(1)知，∠EGB=120°
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB//CD，AB=AD，
∴∠A+∠D=180°
∵∠A=60°
∴∠D=120°
∴∠DEF+∠DFE=60°，
∴∠D=∠EGB，
∵△AGE是等边三角形，
∴AE=AG，∠AEG=60°，
∴DE=GB，
∵∠BEF=60°
∴∠DEF+∠GEB=60°
∴∠DFE= ∠GEB，
∴DFE≌ΔGEB(ASA)，
∴EF=BE：
（3）解：，
，
当时， 过E作垂足为M，设，
是等边三角形，
，，
，
∵P为EF的中点，
，
由(2)知，
，
在中，，
即，
解得，(舍去)，
即AE=
当EG=GP时，过G作GQ⊥EF，垂足为Q，过E作EM⊥AB垂足为M，连结GF，设AE=x，
∴BG=4-x，
∵△AGE是等边三角形，
∴EG=x，
∵EF=EB， ∠BEF=60°
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EFB=∠BEF=60°，EF=BE，
在Rt△EBM中，
，
，
， ，
， ，
，
∴四边形GBCF是平行四边形，
∵GF=BC=4，
∴P为EF的中点，
在Rt△EGQ和 Rt△FGQ中，
GQ2=EG2-EQ2，GQ2=FG2-FQ2，
，
，
解得，（舍去），即；
当EP=GP时，点P在EG的中垂线上，即P点AC上，
而运动期间P不可能位于线段AC上，
∴P在AC上不存在，
综上，或；即当AE为或时，是等腰三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由题意可证 是等边三角形，可得 可求解；
(2)根据菱形的性质，等边三角形的性质，利用ASA证明 可证明结论；
(3)可分三种情况：当 时； 当. 时； 当. 时分别进行计算即可求解.
18．【答案】（1）解：如图 1 所示，矩形 APBQ 即为所求
（2）证明：如图 2，连结 AC，BD
∵△AOD 与△BOC 均为等腰直角三角形，
∴OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴BD＝AC，
∴四边形 ABCD 是等线四边形
（3）解：如图 3，分别以 AD、BC 为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点 E．
于是有，EA＝ED，EC＝EB，
∵AC＝BD，
∴△AEC≌△DEB（SSS），
∴∠BDE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠AOD＝60°，
∴△AED 是等边三角形．
同理，△BCE 也是等边三角形．
∴EA＝ED＝AD＝2
∵
∴
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEC＝150°．
过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，则∠CEF＝30°
∴
由勾股定理得，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）找到A、B两点所在1×2的网格矩形（A、B为顶点，P、Q也为格点），顺次连接矩形的四个顶点即可；
（2）如图 2，连结 AC，BD，由等边三角形性质可得OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，从而得到∠AOC＝∠BOD，进而证明△AOC≌△DOB，即得出BD=AC，从而可证明结论；
（3）如图 3，分别以 AD、BC 为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点 E，则EA＝ED，EC＝EB，由等线四边形可知AC=BD，从而证出△AEC≌△DEB，由全等性质推出△AED 是等边三角形；同理可证明△BCE 是等边三角形，由等边三角形性质推出AE2+BE2=AB2，得到∠AEB＝90°，∠DEC＝150°，过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，则∠CEF＝30°，求得CF和DF的长，再利用勾股定理求出DC长即可.
1 / 1浙江省宁波市象山县文峰学校2024-2025学年八年级下学期竞赛数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（2025八下·象山竞赛）在2，5，3，7，2，6，2，1这组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．标准差 B．中位数 C．平均数 D．众数
【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】A、标准差会改变，因为原来有8个数据，插入一个任意数x，则现在有9个数据，所以根据标准差的求法可知改变；
B、中位数会改变，因为原来有8个数据，中位数为2.5，插入任意一个数x，则现在有9个数据，则中位数为按从小到大的顺序排列最中间的那个数，则中位数有可能是x、2、3；
C、平均数会改变，因为原来8个数的和除以8，插入数据x后，现在需要用9个数据的和除以9；
D、众数不会改变，因为原来8个数据，众数为2，插入数据x后，得到新的一组数据，众数仍然是2；
故答案为：D．
【分析】根据众数、中位数、标准差及平均数的意义，逐一进行判断即可.
2．（2025八下·象山竞赛）已知，，则用a，b表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】转化为，然后替换为a，b即可解题.
3．（2025八下·象山竞赛）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（　　）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x%
【答案】D
【知识点】列一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)，
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%) x%，
故选：D.
【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题.
4．（2025八下·象山竞赛）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=4，将△ABC沿直线AC翻折180后与原图形在同一平面内，若点B的落点记为B'，则DB'的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴.
连结.
根据折叠的性质知，，.
∴，
∴是等腰直角三角形，则.
又∵，，
∴.
故选：A.
【分析】连接 .根据折叠的性质知 是等腰直角三角形，则 又 是BD的中垂线，得到 解答即可.
5．（2025八下·象山竞赛）当m，n是实数且满足时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设 ，
∵ 点 是 “奇异点”，
∴，
∴， 则 ，
∴，
而 ， 整理得 a2 + a - 2 = 0，
解得 ， ，
当 时， ； 当 时， ，
∴， ，
设直线 AB 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ， 解得 ，
∴ 直线 AB 与 轴的交点坐标为 ，
的面积.
故选：B.
【分析】设 利用新定义得到 再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 则可解得a和b的值， 求出点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式.从而得到直线AB与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算. 的面积.
6．（2025八下·象山竞赛）如图，矩形ABCD中，E为边AD上一点（不为端点），交AC于点F，要求的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连结DF，过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，
四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD// BC，
∴∠DAC=∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故选：C.
【分析】连接DF、过B作 于点M，过D作I 于N， 证明 得 ，由三角形的面积公式可得 和 的面积都等于 的面积，便可得出答案.
7．（2025八下·象山竞赛）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为，的面积为S，则（　　）
A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过三个中点分别作六边形边的平行线，交于点M，
∴六边形DPEQFR被分成□DPEM，
□DMFR，平□EQFM，
∵DE、EF、DF分别是平行四边形的对角线，
∴S平行四边形 DPEM=2S△DEM，S平行四边形DMFR=2S△DFM，S平行四边形EQFM=2S△EFM，
：S六边形 DPEQFR=2S△DEF，
∵△DEF∽ΔABC，
∴，
∴S六边形 DPEQFR=S△ABC
∴S1： S=1： 2.
故选：C.
【分析】过三个中点分别作六边形边的平行线相交于点M，则此六边形被分割为3个平行四边形，从而得到六边形的面积等于三角形DEF面积的2倍，从而问题可解
8．（2025八下·象山竞赛）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连结AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=（k>0，x>0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN//FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∵，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∴AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE// BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.即可得到，求出ON=MN=EM，得到S△FME=S△FOE，进而得到S△ABE=S△AOE，然后根据解答即可.
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（2025八下·象山竞赛）若是正整数，则整数n的最小值为　 　.
【答案】21
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵189＝21×9，
∴是整数的正整数n的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】根据算术平方根的定义，得出189n是一个正整数数的平方，结合求整数n的最小值，即可解答.
10．（2025八下·象山竞赛）已知a是方程的一个根，则的值为　 　.
【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1.
【分析】求出 把分式通分，后得出 代入求出即可.
11．（2025八下·象山竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：
解不等式得：
原不等式组无解
解不等式得：
故答案为：.
【分析】先解不等式组，再根据求不等式组的解集的口诀确定即可，即：同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解.
12．（2025八下·象山竞赛）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为　 　.
【答案】48cm
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作于点M.
由题意得：，
∴，
又∵，
设菱形的边长为x，则菱形的高为：，
根据菱形的面积公式得：，
解得：，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和 = 2 (AE + AH + HD + DG + GC + CF + FB + BE) = 2 (EF + FG + GH + HE) = 48cm.
故答案为：48cm.
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为 四边形ABCD面积是 可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和.
13．（2025八下·象山竞赛）如图所示，以的斜边BC为一边在的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连AO，如果，，那么　 　.
【答案】12
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在AC上截取CG=AB=4，连结OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°
∴∠ABO= ∠ACO，
在△BAO和△CGO中，
，(SAS)
∴△BAO≌ΔCGO，(SAS)
∴0A=OG，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°
即△AOG是等腰直角三角形，
∴∠BAO=135°
故答案为：12.
【分析】在AC上截取连接OG，根据B、A、 O、C四点共圆，推出证 推出 得出等腰直角三角形AOG，即可求得 的面积， 即可解题.
14．（2025八下·象山竞赛）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交的图象于点C，连接AC.若是等腰三角形，则k的值是　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：联立 、 并解得：点 A()，同理点 B()，点 C()，，
①当 时，，解得：（舍去负值）；
②当 时，同理可得：，解得：（舍去负值）；
故答案为：或.
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标 (用k表示)，再讨论 ， 即可解题.
三、解答题（共4小题，共55分）
15．（2025八下·象山竞赛）已知方程的两个根是，，那么，，反过来，如果，，那么以，为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.
（2）已知a，b满足，，求的值.
（3）已知a，b，c均为实数，且，，求正数c的最小值.
【答案】（1）解：设的两根为，，则所求新方程的两根为，.
所以，所求的方程为，即.
（2）解：从 a， b 满足的同一种关系可知：① 当 时，a， b 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，从而
.
② 当 时，从而 .
所以 的值为 -47 或 2.
（3）解：由，，得，，因此，由给出的结论，得a、b是方程的实数根，所以，因为，所以，所以，故c的最小值为4.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)先写出方程 的两根和与两根的积，计算出新方程的两根和与两根积，再根据根与系数的关系写出新方程即可；
(2)方程结构相同，所以a、b是方程的两根.从a、b相等或者不等两个方面，分别计算要求代数式的值.
(3)把两个等式转化为以a、b为根的一元二次方程的两根和与两根积，写出方程，根据根的判别式确定c的最小值.
16．（2025八下·象山竞赛）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点F（2，2），过函数常数k>0）图象上一点A（，a）作y轴的平行线交直线l：y=-x+2于点C，且AC=AF.
（1）求a的值，并写出函数的解析式；
（2）过函数图象上任意一点B，作y轴的平行线交直线l于点D，是否总有BD=BF成立？并说明理由；
（3）如图2，若P是函数图象上的动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点N，分别过点P、N作y轴的垂线交y轴于点Q、M，问：是否存在点P，使得矩形PQMN的周长取得最小值？若存在，请求出此时点P的坐标及矩形PQMN的周长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：， ，
∵，
∴，
∴点A()，
∴，
∴.
（2）解：设，则，
∴，
，
∴.
（3）解：答：存在满足题设条件的点P.
解法1：设直线l交y轴于点E，连接EF，QF，由（2）得，PF=PN，
矩形PQMN的周长=2(PN+PQ)=2 (PF+PQ)，
∵PF+PQ≥QF≥EF，
∴当且仅当P、Q、F三点共线时，矩形PQMN的周长取到最小值=2FE=4，
此时，点P的坐标为(1，2).
解法 2：设 ，
则 ，
矩形 P Q M N 的周长 ，
当 ，即 时，矩形 P Q M N 的周长取得最小值为 4 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】(1)求出AC、AF的表达式， 根据. 求出a的值，然后利用待定系数法求出a的值即可；
(2)设 则 根据勾股定理求出BF的长即可；
(3)结合(2)可知，当且仅当P、Q、F三点共线时，矩形PQMN的周长取到最小值解答即可
17．（2025八下·象山竞赛）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°AB=4，E是AD边上的动点，作∠BEF=60咬CD于点F，在AB上取点G使AG=AE，连结EG.
（1）求∠EGB的度数：
（2）求证：EF=BE：
（3）若P是EF的中点，当AE为何值时，△EGP是等腰三角形.
【答案】（1）解：∵∠A=60°，AG=AE，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AGE=60°
∴∠EGB=120°
（2）证明：由(1)知，∠EGB=120°
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB//CD，AB=AD，
∴∠A+∠D=180°
∵∠A=60°
∴∠D=120°
∴∠DEF+∠DFE=60°，
∴∠D=∠EGB，
∵△AGE是等边三角形，
∴AE=AG，∠AEG=60°，
∴DE=GB，
∵∠BEF=60°
∴∠DEF+∠GEB=60°
∴∠DFE= ∠GEB，
∴DFE≌ΔGEB(ASA)，
∴EF=BE：
（3）解：，
，
当时， 过E作垂足为M，设，
是等边三角形，
，，
，
∵P为EF的中点，
，
由(2)知，
，
在中，，
即，
解得，(舍去)，
即AE=
当EG=GP时，过G作GQ⊥EF，垂足为Q，过E作EM⊥AB垂足为M，连结GF，设AE=x，
∴BG=4-x，
∵△AGE是等边三角形，
∴EG=x，
∵EF=EB， ∠BEF=60°
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EFB=∠BEF=60°，EF=BE，
在Rt△EBM中，
，
，
， ，
， ，
，
∴四边形GBCF是平行四边形，
∵GF=BC=4，
∴P为EF的中点，
在Rt△EGQ和 Rt△FGQ中，
GQ2=EG2-EQ2，GQ2=FG2-FQ2，
，
，
解得，（舍去），即；
当EP=GP时，点P在EG的中垂线上，即P点AC上，
而运动期间P不可能位于线段AC上，
∴P在AC上不存在，
综上，或；即当AE为或时，是等腰三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由题意可证 是等边三角形，可得 可求解；
(2)根据菱形的性质，等边三角形的性质，利用ASA证明 可证明结论；
(3)可分三种情况：当 时； 当. 时； 当. 时分别进行计算即可求解.
18．（2025八下·象山竞赛）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）
尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（2）
推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；
（3）
拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝ ，BC＝ ，AD＝2．求CD的长．
【答案】（1）解：如图 1 所示，矩形 APBQ 即为所求
（2）证明：如图 2，连结 AC，BD
∵△AOD 与△BOC 均为等腰直角三角形，
∴OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴BD＝AC，
∴四边形 ABCD 是等线四边形
（3）解：如图 3，分别以 AD、BC 为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点 E．
于是有，EA＝ED，EC＝EB，
∵AC＝BD，
∴△AEC≌△DEB（SSS），
∴∠BDE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠AOD＝60°，
∴△AED 是等边三角形．
同理，△BCE 也是等边三角形．
∴EA＝ED＝AD＝2
∵
∴
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEC＝150°．
过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，则∠CEF＝30°
∴
由勾股定理得，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）找到A、B两点所在1×2的网格矩形（A、B为顶点，P、Q也为格点），顺次连接矩形的四个顶点即可；
（2）如图 2，连结 AC，BD，由等边三角形性质可得OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，从而得到∠AOC＝∠BOD，进而证明△AOC≌△DOB，即得出BD=AC，从而可证明结论；
（3）如图 3，分别以 AD、BC 为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点 E，则EA＝ED，EC＝EB，由等线四边形可知AC=BD，从而证出△AEC≌△DEB，由全等性质推出△AED 是等边三角形；同理可证明△BCE 是等边三角形，由等边三角形性质推出AE2+BE2=AB2，得到∠AEB＝90°，∠DEC＝150°，过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，则∠CEF＝30°，求得CF和DF的长，再利用勾股定理求出DC长即可.
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