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2024-2025 学年陕西省榆林市绥德中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 4 < ≤ 2}， = { | = ( + 2)( 4)}，则 ∩ =( )
A. {2} B. { | 4 < ≤ 2}
C. { | 4 < ≤ 2} D. { | 2 ≤ ≤ 2}
2.若复数 = 1+ ( 为实数， 为虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 的值可以是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
3 1.已知 = 3 ( ∈ (0, ))，则 cos(
3
2 ) =( )
A. 2 2 1 2 2 13 B. 3 C. 3 D. 3
4 = 2 .函数 2 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月 4 日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项
工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一
天则不同的安排方法有( )
A. 840 种 B. 140 种 C. 420 种 D. 210 种
6 4.函数 ( ) = 2与 ( ) = ( ) 均单调递减的一个充分不必要条件是( )
A. (0,2) B. [0,1) C. [1,2) D. (1,2]
7.在△ 中， = = 6， = 3 ， = 4 ，则 =( )
A. 9 B. 32 C.
1
2 D. 24
8 + 4 1.若关于 的不等式 < 0 有且只有两个整数解，则正实数 的取值范围是( )
A. (3 3 + 1,4 2 + 4] B. [ 2 + 1,3 3 + 1)
C. ( 2 + 12 , 3 3 + 1] D. (3 2 + 1,2 3 + 3]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1 = 3 + 和 2 = 1 + ，则( )
A. | 1| = 10 B. 1 2 = 4 + 4

C. 1 = 2 D. 2在复平面对应的点在第二象限2
10.已知函数 ( )为 上的奇函数，且 (2 + 1)为偶函数，则下列说法正确的是( )
A.对任意 ∈ 都有 (2 ) = ( ) B. ( )图象关于直线 = 1 对称
C.函数 ( )的周期是 2 D. (2022) = 0
11.在平面直角坐标系中， ， 是圆 ：( 2)2 + 2 = 2 上的两个动点， 点坐标为(0,2)，则下列判断正
确的有( )
A. △ 面积的最大值为 1
B. ∠ 的取值范围为[0, 3 ]
C.若 为直径，则| + | = 2 2
D.若直线 过点 .则点 到直线 距离的最大值为 3 2
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
212 .已知双曲线 2 2 = 1( > 0)的两条渐近线的夹角为3，则 =______．
13.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 2 = (2 + ) ，
= 3 ，则 的最小值为 ．
14.在侧棱长为 2 的正三棱锥 中， ， ， 两两垂直， 、 分别
为 、 的中点，则三棱锥 的外接球的表面积为______，若 为
上的动点， 是平面 上的动点，则 + 的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为鉴定某疫苗的效力，将 400 只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫苗，然后对这 400
只实验鼠注射病原菌，其结果列于如表：
发病 没发病 合计
接种 200
没接种 40
合计 80 400
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(1)求 ， 的值，并判断是否有 95%的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关？
(2)若将(1)中的频率视为概率，从该批实验鼠中任取 3 只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠的只数为随机变
量 ，求 的期望．
参考数据：独立性检验界值表：
( 2 ≥ 0) 0.15 0.10 0.05 0.0025 0.01
0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
( )2
其中， = + + + ， 2 = ( + )( + )( + )( + ) (注：保留三位小数)．
16.(本小题 15 分)
2 , 为奇数
已知数列{ }满足 1 = 1， +1 =

．
+ 2, 为偶数
(1)记 = 2 ，求证：数列{ + 4}为等比数列；
(2)求{ }的前 2 项和 2 ．
17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， 为 的中点， // ， ⊥ ， = ， = = 2 ，
= 3 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图，已知 是抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点，过点 (4,0)的直线 与抛物线交于两个不同的点 ， ( 是第
一象限点)， 的垂直平分线交抛物线于 ， .当直线 的斜率为 2时，| | = 3．
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(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)若 > 1，求| |的最小值．
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = + 14 +
3
( ≠ 0)．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)设 ( ) = 2 2 ( = 2.718… 1为自然对数的底数)，当 = 6 时，对任意 1 ∈ [1,4]，存在 2 ∈ (1,3)，
使 ( 1) ≥ ( 2)，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 33 或 3
13.12
14.8 6+ 22
15.解：(1) = 80 40 = 40， = 400 80 200 = 120，2 × 2 列联表如下：
发病 没发病 合计
接种 40 200 240
没接种 40 120 160
合计 80 320 400
∵ 2 = 400(40×120 200×40)
2
240×160×320×80 ≈ 4.167 > 3.841，
∴有 95%的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关．
(2) 40 1由(1)的列联表可知，接种疫苗且发病的实验鼠的只数占样本总数的频率为400 = 10，
从而在抽取的实验鼠中接种疫苗且发病的概率为 0.1，
∵ ～ (3,0.1)，
∴随机变量 的期望为 ( ) = 3 × 0.1 = 0.3．
16.(1)证明：由已知得， 1 = 2 = 2 1 = 2，所以 1 + 4 = 6，
由 = 2 ，知 +1 = 2 +2 = 2 2 +1 = 2( 2 + 2) = 2 + 4，
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所以 +1 + 4 = 2( + 4)，
故数列{ + 4}是首项为 6，公比为 2 的等比数列．
(2)解：由(1)可得， = 3 × 2 4，即 2 = 3 × 2 4，
记 = 1 + 2 + + 2 = 3(2 + 2 + + 2 ) 4 = 3 × 2 +1 4 6，
1
又 2 = 2 2 1，所以 2 1 = 2 2 ，
1 1 1 3故 2 = 1 + 2 + … + 2 1 + 2 = 2 2 + 2 + 2 4 + 4 + … + 2 2 + 2 = 2 ( 2 + 4 + … + 2 ) =
3
2 = 9 × 2
6 9．
17.解：(1)证明：连接 ，在△ 中， = ，且 为 的中点，
∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ // ， ⊥ ，∴ ⊥ ，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = 2 + 4 2，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = 2 + 2，
∵ = 3 ，∴ 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2)如图，以 为坐标原点， ， 年在直线分别为 轴， 轴，过 且垂直于 的直线为 轴，建立空间直
角坐标系，
设 = 2，则 = = 4， = 2 3，由题意得 = 2 2，
则 ( 2, 0,0)， ( 2, 4,0)， ( 2, 2,0)， (0,0,4)，
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∴ = (0,4,0)， = (2 2, 2,0)， = ( 2, 4, 4)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 4 = 0
则 = 4 ，取 ，得 = (4,0, 2)， = 2 + 4 4 = 0
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 2 + 2 = 0
则 ，取 = 2 2，得 = (2 2, 4, 3)， = 2 + 4 4 = 0
设平面 与平面 的夹角为 ，
∴ |cos | = |cos < , > | = | | = |8 2 3 2| = 5 33| ， | | | 18 33 99
由图可知， 为锐角，
∴平面 与平面 所成角的余弦值为5 33．
99
18.解：(Ⅰ) 2由题意可得直线 的方程为 = 2 + 4， ( 1, 1)， 1 > 0，

由抛物线的方程 2 = 2 ，可得焦点 ( 2 , 0)，准线方程为 = 2，
21 = 2 1
则 1 =
2
2
2
1 + 4，可得 1 = 2[6 2(
2
2 1 + 4)](
2 2
2 1 + 4)，即 3 1 10 2 1 + 16 = 0， 1 > 0，
1 + 2 = 3
4 2
可得 1 = 3 2， = 3或 1 = 2 2， = 2，
4
所以抛物线的方程为： 2 = 3 或
2 = 4 ；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 > 1 时，抛物线的方程为： 2 = 4 ，
由题意可得直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 = + 4， ( 1, 1)， 1 > 0， ( 2, 2)， ( 3, 3)，
( 4, 4)，
= + 4
联立 2 = 4 ，整理可得：
2 4 16 = 0，可得 1 + 2 = 4 ， 1 + 2 = ( 1 + 22) + 8 = 4 + 8，
所以 的中点的坐标(2 2 + 4,2 )，
1
所以 的中垂线的方程为 = ( 2 ) + 2
2 + 4，
= 1 ( 2 ) + 2
2 + 4 4
联立 ，整理可得： 2 + 8 2 24 = 0，
2 = 4
+ = 43 4 ，
2
3 4 = 8 24，
于是可得| | = 1 + 1 2 | 1 2| = 4 2
2 + 8 + 7 1 2 + 4，
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令 = 1 2，并记 ( ) = 2 + 8 +
7
+
1
2 , ( > 0)，
7 2
求得导函数 ′( ) = 2 2 3，
解得导函数零点为 = 2，而导函数在(0, + ∞)上单调递增，
因此导函数在(0,2)上恒为负，在(2, + ∞)上恒为正，
可知原函数在(0,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增，
因此 ( ) = (2) =
63
4，
因此| | = 6 7．
19.解：(1)函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
1 3 2 2+4 12 2 ( ) = + = = ( 2 )( +6 )′ 4 2 4 2 4 2 ，
①当 > 0 时，由 ′( ) > 0 得 > 2 ，即 ( )的单调递增区间是(2 , + ∞)；
由 ′( ) < 0 得 0 < < 2 ，即单调递减区间是(0,2 )．
②当 < 0 时，由 ′( ) > 0 得 > 6 ，即 ( )的单调递增区间是( 6 , + ∞)；
由 ′( ) < 0 得 0 < < 6 ，即单调递减区间是(0, 6 )．
(2) 1当 = 6 时，由(1)知，函数 ( )在( 6 , + ∞)上递增，在(0, 6 )上递减，
2
即当 = 6 = ∈ (1,3) 1 3 1 1 1时，函数取得极小值，同时也是最小值 ( ) = + 4 + = 6 + 4 + 12 =
1
6 .
若对任意 1 ∈ [1,4]，存在 2 ∈ (1,3)，使 ( 1) ≥ ( 2)，
1
即等价为 ( 1) ≥ 6 即可，
由 2 2 ≥ 16 得 2
2 16 ≥
，
2 2 16 即 ≤ ，
2 2 1 4 (2 2 1 ) 2 2+4 +1 2( 1)2+2+1
设 ( ) = 6 ，则 ′( ) = 6 6 6 ( )2 = = ，
由 ′( ) = 0，得 = 1 + 1 + 12，或 = 1 1 +

12(舍)，
即当 1 < < 1 + 1 + 12时， ′( ) > 0，函数 ( )递增，
当 1 + 1 + 12 < < 4 时， ′( ) < 0，函数 ( )递减，
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则当 = 1 + 12时， ( )取得极大值同时也是最大值，
2 6 2 1 2×4
2
∵ (1) = = 6， (4) =
6 = 32 1 4 4 6 3，
∴ (1) < (4)，
即函数 ( ) 2 1的最小值为 (1) = 6，
则 ≤ 2 1 6．
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