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湖北省孝感市云梦县2024-2025学年八年级下学期期末学情调研数学试题
一、单选题
1．若自然数能使为整数，则可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．以长度分别为下列各组数的线段为边，可以组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13 C． D．9，16，25
4．直线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各曲线中，不能表示是的函数是（ ）
A． B． C． D．
6．平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．某鞋店记录了一段时间内某种女鞋不同尺码的销售量如下表：
尺码（cm） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量 1 2 3 7 4 2 1
如果每双鞋的利润相同，你认为该店主最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
9．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
E．
10．如图，在菱形中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，连接，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简： ．
12．一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：63，52，72，58，67（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 ．
13．已知点和点均在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
14．我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺．
15．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，然后向左扭动框架，得到新的四边形（点在BC的上方），若在扭动后四边形面积减少了32，点和分别为矩形和四边形对角线的交点，则PQ的长 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，，平分，且交于点，过作，交于点，求证：四边形是菱形．
18．如图，池塘边有两点、，点是与方向成直角的方向上一点，测得的中点到点的距离米，米，求两点间的距离是多少米？（要求：结果精确到0.1米，参考数据：．）
19．某校为了进一步倡导文明健康、绿色环保的生活方式，提高学生节能、绿色、环保、低碳意识，特举办了“低碳生活，绿色出行”知识竞赛．赛后从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且得分不少于90分者为优秀）进行如下收集、整理、分析：
【数据收集】
七年级 80 85 90 96 97 90 90 100 99 93
八年级 87 89 92 95 92 92 85 92 96 100
【数据分析】
年级 众数 中位数 平均数 方差
七 a 91.5 92 36
八 92 b c 17.2
【数据应用】
(1)根据以上信息，填空：______，_____，_____；
(2)若该校七年级学生人数为180人，请你根据以上数据，估计这次知识竞赛中，七年级成绩优秀的学生有多少人？
(3)结合以上数据中平均数与方差这两个统计量，你认为此次知识竞赛这两个年级哪个年级成绩相对较好？并说明理由．
20．已知一次函数的图象经过点，
(1)求的值；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；
(3)当时，根据函数图象，求的取值范围．
21．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
22．如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备沿相同路线给相距的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小强行走的时间为（分钟），他们离开超市的距离为（米）．
(1)求和的值；
(2)两人在送货过程中能否相遇？若能，求出此时小强行走的时间，若不能，请说明理由．
(3)若小明送货过程中恰好与小强相距100米，直接写出此时小强行走的时间是多少分钟．
23．在长方形中，，将长方形绕点顺时针旋转一定角度（不超过），得到长方形．
(1)如图1，分别连接，当时，求的度数；
(2)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求证：；
(3)如图3，当点落在线段上时，与交于点，求的面积．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点且经过点，点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在线段上找一点，使得与的面积相等，求出点的坐标；
(3)轴上有一动点，直线上有一动点，若是以线段为斜边的等腰直角三角形，求出点的坐标．
参考答案
1．D
解：A.当时，，不符合题意；
B.当时，，不符合题意；
C.当时，，不符合题意；
D.当时，，符合题意；
故选：D
2．B
解：A. ，结果不等于12，故A错误，不符合题意；
B. ，计算正确，故B正确，符合题意；
C. 与不是同类二次根式，无法直接相加，且，故C错误，不符合题意；
D. ，故D错误，不符合题意．
故选：B．
3．B
A选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：，所以能构成直角三角形，符合题意；
C选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
D选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
4．A
解：对于，令 ，
得，
∴直线与y轴的交点坐标是．
故选：A．
5．C
解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数， A选项不符合题意；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，B选项不符合题意；
C、满足对于大于零的x的每一个取值，y都有两个确定的值与之对应关系，故y不是x的函数， C选项符合题意；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，D选项不符合题意；
故选：C．
6．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
7．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵， E是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．D
解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选D．
9．B
解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点，
故选：．
10．C
解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴；
故选：C．
11．
解：．
故答案为：．
12．63千米/时
解：将这组数据重新排列分别是：52，58，63，67，72（单位：千米/时）．
所以这组数据的中位数为63千米/时．
故答案为：63千米/时．
13．
解：∵点和点都在一次函数图象上，
∴随的增大而减小，
又∵
∴，
故答案为：．
14．
解：设这个秋千的绳索，

则，
，
，
∵，，
，
，
∴这个秋千的绳索有尺．
故答案为：．
15．
解：连接、、，
∵点和分别为四边形和四边形对角线的交点，
∴过点过点，
∴点是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
在矩形框架中，，
∴矩形的面积为，
由题意得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵扭动后四边形面积减少了32，
∴四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
故答案为：．
16．
解：
．
17．证明见解析
证明：，即，且
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
18．两点间的距离约为56.6米
解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴（米），
答：两点间的距离约为56.6米．
19．(1)90，92，92
(2)144人
(3)八年级成绩相对较好，理由见解析
（1）解：∵七年级中90出现3次，出现的次数最多，
∴七年级10名学生测试成绩的众数是90，即，
把八年级10名学生测试成绩从小到大排列，第5个数和第6个数分别是92，92，
故八年级10名学生测试成绩的中位数是，即，
根据八年级10名学生的数据得出八年级10名学生的平均数，即，
（2）解：（人），
答：估计参加知识竞赛的七年级180名学生中成绩为优秀的学生有144人．
（3）解：八年级成绩较好，
理由如下：八年级的平均数与七年级的平均数相同，
而八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级成绩比较稳定，
∴八年级成绩较好．
20．(1)1
(2)见解析
(3)
（1）解： 一次函数的图象经过点，
，
解得，即的值为1；
（2）解：由（1）知，，
，
当时，，当时，，
该一次函数的图象如图所示；
（3）解：当时，，得，
当时，，得，
由图象可得，当时，的取值范围是．
21．(1)见解析
(2)12
（1）证明：平分平分，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
（2）解：过点D作，垂足为，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，而
．
在直角中，
的面积．
22．(1)和的值分别为16，20
(2)能相遇，12分钟
(3)或
（1）解：小明原来的速度为（米/分），
小明后来的速度为（米/分），
，
的值为16．
小强的速度为（米/分），
（分），
（2）解：设小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
代入得，，
解得：，
小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
∵小明先以原速度40（米/分） 行驶，出发一段时间后速度提高到原来的倍，即提速后的速度60（米/分） ．
∴当时，小明行走的时间是分钟，
∴小明的路程函数为 ；
当时，小明在前分钟走了120米，之后以60米/分的速度行驶，行驶时间是分钟，
所以路程，
化简可得 ．
∵时，通过图象和计算可知两人距离逐渐拉大，不会相遇，
两人相遇即他们离开超市的距离相等，联立小强和小明在 阶段的路程函数：
，
将代入，得
．
解得 ．
综上，两人在送货过程中能相遇，此时小强行走的时间是12分钟．
（3）解：∵小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
当时，，
此时小明和小强的距离为（米），
，
当时，小明和小强不能相距100米；
当时，小明和小强的距离为（米），
小明与小强相距100米，
，
解得：或；
综上所述，小强行走的时间是或分钟．
23．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：四边形是矩形
，
，
又由旋转得：，
为等边三角形
；
（2）证明：由旋转可得：四边形和全等矩形
，
，
，
而，
，
即．
（3）解：如图，连接，依题可知：，
，
又
，
∵矩形中，，
，
设，则，
∵在直角三角形中，
，
解得，
．
．
24．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
（1）解：∵直线：与轴交于点且经过点，点，
当，，
∴，
令，，解得，
∴，
设直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：由平行线间距离相等可知，当时，与的面积相等，
如图1，过点作交于，则点为所求，
又∵直线的表达式为，
∴直线的表达式为，
联立方程组，解得，
∴．
（3）解：①当点在上方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，如图：
设点的坐标为，点的坐标为，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，解得，
∴点的坐标为；
②当点在下方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，如图：
设点的坐标为，点的坐标为，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．

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