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浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2025年七年级下册数学培优联考试卷
一、填空题（每题4分，共18小题，满分72分)
1．（2025七下·鄞州竞赛） 若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k =　 　.
【答案】-3
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题意得，y=-x+2，
解得
把x=0，y=2代入方程kx-(k-1)y=8中，k=-3，
故答案为：-3.
【分析】根据题意得出y=-x+2，与方程组中的第一个方程组成新的方程组，求出x、y的值，然后把x、y的值代入方程kx-(k-1)y=8中求出k的值即可.
2．（2025七下·鄞州竞赛）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小完全相同的长方形，所标注尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2.
A．57 B．55 C．53 D．51
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：
解得：
∴图中阴影部分的面积为15×(7+2×2)-6×9×2=57(cm2).
故答案为：A.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论.
3．（2025七下·鄞州竞赛）若关于x，y的方程组的解为 ，则关于x，y方程组
的解为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为 ，
∴关于x，y方程组 中，
∴关于x，y方程组 的解为：，
故答案为：.
【分析】根据题意得到：关于x，y方程组 中，进而即可求出关于x，y方程组 的解.
4．（2025七下·鄞州竞赛）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为杨辉三角. 观察杨辉三角与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，……第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律，则的值为　 　.
【答案】2
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察“杨辉三角”与右侧的等式图，
记第一个展开式中各项系数的和为C1=1+1=2；
第二个展开式中各项系数的和为C2=1+2+1=4；
第三个展开式中各项系数的和为C3=1+3+3+1=8；
第四个展开式中各项系数的和为C4=1+4+6+4+1=16，
根据前几项得规律：Cn=2n，
则C2024=22024，C2023=22023
∴
故答案为：2.
【分析】根据规律得，即可求出C2024和C2023，然后求出比值即可.
5．（2025七下·鄞州竞赛） 如果整数 x，y，z 满足 ，则代数式 的值为　 　.
【答案】-4
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：∵整数x，y，z满足，
∴，
∴
∴
∴
解得
∴
故答案为：-4.
【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则将已知条件适当变形，得到关于x，y，z的等式，并组成方程组，解方程组求得x，y，z的值，将x，y，z的值代入分式化简即可.
6．（2025七下·鄞州竞赛）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需　 　元．
【答案】7
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．
则由题意得：
，
由①②得，
于是：，
故答案为：7．
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．根据题意列方程组，运用加减消元法解方程组求出的值即可．
7．（2025七下·鄞州竞赛）试确定关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为　 　.
【答案】0
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原方程可化为：x(x2+6x+5)=y(y2-1)+2
即x(x+1)(x+5)=y(y+1)(y-1)+2，
∵等号左侧三个整数的乘积是3的倍数，而等号右侧除以3余2，不是3的倍数，
∴等式不可能成立
∴原方程无整数解
∴关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为0，
故答案为：0.
【分析】先将等号左右局部因式分解，然后根据形式可知这种情况是不存在的，所以可得到无解.
8．（2025七下·鄞州竞赛）牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供头牛吃天，可供头牛吃天，如果饲养头牛　 　天可以把牧场上的草吃完．
【答案】5
【知识点】分数除法应用题；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：假设每头牛每天的吃草量为1份，则 头牛 天的吃草量为份，头牛天的吃草量为份；
因为草每天匀速生长，所以天的总草量比天的总草量多的部分就是多生长的天的草量，可得草的生长速度为份/天；
由15头牛吃10天吃草的数量为150份，10天生长的草数量为5×10=50(份)，可得原有的草量为：150－50=100（份）.
故饲养25头牛的话，x天可以把牧场上的草吃完，则：
100+5x=25x
解得：x=5
即饲养25头牛5天可以把牧场上的草吃完
故答案为：．
【分析】本题考查了“牛吃草”问题，根据10头牛20天的吃草量－15头牛10天的吃草量可得10天中草的生长量，从而得到草的生长速度；根据15头牛10天的吃草量－10天草的生长量可得操场的原有草量，于是设饲养25头牛x天可以把牧场上的草吃完，根据“25头牛x天的吃草量=原有草量+草场x天的生长量”列出方程求解即可．
9．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为　 　.
【答案】1800
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∵x+y>0，x+2y>0，
∴x=2y.
又由题意可得x+y= 90，
解方程组
解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)，
故答案为：1800.
【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可.
10．（2025七下·鄞州竞赛） 若 ，，... 是从 0，1，2 这三个数中取值的一列数，若 （，则在 ，，... 中，取值为 2 的个数为　 　.
【答案】506
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵(m1-1)2+(m2-1)2+...+(m2024-1)2=1510，m1，m2，…，m2024是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m1，m2，…，m2024中为1的个数是2024-1510=514，
∵m1+m2+...+m2024=1526，
∴取值为2的个数为(1526-514)÷2=506.
故答案为：506.
【分析】m1，m2，…，m2024是从0，1，2这三个数中取值的一列数，(m1-1)2+(m2-1)2+...+(m2024-1)2=1510，从而m1，m2，…，m2024中为1的个数是2024-1510=514，进而即可求解.
11．（2025七下·鄞州竞赛） 已知关于x和y的方程组有正整数解，整数a的值为　 　.
【答案】1或2或4或10
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×2得：2x+2y=12③，
③-②得：
∴当a≠-2时，
∵方程组有正整数解，
∴2+a>0，
解得：a>-2
当2+a=1时，a=-1，y=12，x=-6(不合题意舍去)；
当2+a=2时，a=0，y=6，x=0(不合题意舍去)；
当2+a=3时，a=-1，y=4，x=2；
当2+a=4时，a-2，y=3，x=3；
当2+a=6时，a-4，y=2，x=4；
当2+a=12时，a=10，y=1，x=5；
∴整数a的值为1或2或4或10，
故答案为：1或2或4或10.
【分析】先解方程组，把y用含a的式子表示出来，再根据方程组有正整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，进而列出关于a的方程，解方程求出a，再求出y和x，进行判断即可.
12．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为　 　.
【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
13．（2025七下·鄞州竞赛） a2+b2 =1，c2+d2=1，且ac+bd=0，则ab+cd的值为　 　.
【答案】0
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a2+b2=1，c2+d2=1，
∴ab+cd=ab×1+cd×1
=ab(c2+d2)+ cd(a2+b2)
=abc2+abd2+cda2+cdb2
=(abc2+cdb2)+(adb2+cda2)
=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)
=(ac+bd)(bc+ad)
∵ac+bd=0，
∴原式=0.
故答案为：0.
【分析】通过将已知的等式巧妙地代入到所求的表达式中，利用因式分解和已知条件，可以简化计算过程.
14．（2025七下·鄞州竞赛） 已知实数x，y满足，的最大值为　 　.
【答案】2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵，
∴，即-2y=-2x2+7x-6，
∴x-2y=x-2x2+7x-6=-2x2+8x-6=-2(x2-4x+4)+2=-2(x-2)2+2.
又∵对于任意x的都有(x-2)2≥0，
∴-2(x-2)2≤ 0.
∴x-2y=-2(x-2)2+2≤2.
∴当x=2时，x-2y最大，最大值为2，
故答案为：2.
【分析】将y用x表示，代入x-2y中得到关于x的二次函数，再求其最大值.
15．（2025七下·鄞州竞赛） 已知质数p，q满足，则的最大值是　 　.
【答案】1
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：①若p=2，q=5，；
②若p=7，q=2，，故最大值为1，
故答案为：1.
【分析】奇数+偶数=奇数，奇数+奇数=偶数，奇数×偶数=偶数，p和q两个数中肯定有一个为2.
16．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为30cm，两邻边长分别为xcm和ycm，且满足x2-4xy+4y2=0，此长方形的面积为　 　.
【答案】50cm2
【知识点】二元一次不定方程
【解析】【解答】解：∵设两邻边长分别为xcm和ycm.
解得：
∴长方形的面积：5×10=50(cm2).
故答案为：50cm2.
【分析】利用周长公式得到x和y的关系，再结合给定方程解出x和y的具体值，最后计算面积.
17．（2025七下·鄞州竞赛） 已知：多项式3x2+5x2+bx+a能被多项式x2-5x+6整除，则a+b的值为　 　.
【答案】38
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：设3x3+5x2+bx+a=(x2-5x+6)(mx+n)
=mx3+nx2-5mx2-5nx+6mx+6n
=mx3+(n-5m)x2+(6m-5n)x+6n，
∴m=3，n-5m=5，
∴n=5×3+5=20，
∴b=6m-5n=-82，
∴a=6n=120，
∴a+b=38.
故答案为：38.
【分析】因为多项式x3+5x2+bx+a能被x2-5x+6整除，所以存在一次多项式mx+n，使得3x3+5x2+bx+a=(x2-5x+6)(mx+n)，通过展开左边并比较系数，可以求出m，n，b，a的值，进而求a+b.
18．（2025七下·鄞州竞赛） 求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：
，，
若，则　 　.
【答案】-25
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴(x+2)(x-2)+(x+3)(x-3)+...+(x+n)(x-n)=3x2+m，
∴x2-4+x2-9+...+x2-n2-3x2+m，
∴n=4，m=-4-9-42=-29，
∴m+n=-29+4=-25.
故答案为：-25.
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决.
二、解答题（共3题，满分 28分)
19．（2025七下·鄞州竞赛）因式分解：
（1）6x2-5xy-6y2+2xz+23yz-20z2
（2）(2x-3y)3+ (3x-2y) 3—125 (x-y) 3
【答案】（1）解： 6x2-5xy-6y2+2xz+23yz-20z2
=(3x+2y-5z)(2x-3y+4z)
（2）解：(2x-3y)+(3x-2y)2-125(x-y)2
=-15(x- y)(2x-3y)(3x-2y)
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)把多项式视为关于x的二次式，利用求根法分解，再通过分组分解完成因式分解；
(2)利用立方和公式展开后合并同类项，发现公因式，最终完成因式分解.
20．（2025七下·鄞州竞赛）如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F，，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 时，试求出 的度数.
【答案】解：设 ，分两种情况：
，
①当点 N 在平行线 AB，CD 之间时，
，，
，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
.
②当点 N 在 CD 的下方时，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
；
综上所述， 的度数是 或 .
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【分析】设∠CFN=x，分两种情况：∠CFP=β=3x.当点N在平行线AB，CD之间时；②当点N在CD的下方时，∠PFN=∠CFP+∠CFN=4x，构建方程求解.
21．（2025七下·鄞州竞赛）用S(m)表示自然数n的各位数字之和，如S(1)=1，S(12)=3，S(516)=12，……，试问是否存在这样的自然数，使得n+S(n)=2015？请说明理由.
【答案】解：存在这样的自然数1993和2011，使得n+S(n）=2015.（1）若n是三位数，n的最大取值为999，
此时999 +S(999) = 999 +27 =1026<2015，
所以n不是三位数；(2)若n是四位数，
①假设1800设十位数字为a，个位数字为b，
则n+S(n)=1800+10a+b+9+a+b=2015，
整理得：11a+2b =226，
由于0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，
所以11a+2b≤117<226，
则n≥1900；
②若1900≤n<2000，
则1900+10α+b+10+a+b=2015，
整理得11a+2b=105，
∵0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，
∴a=9，b=3，
此时n=1993；
③若2000≤n<2015，
则n+S(n)=2000+10a+b+2+a+b=2015，
整理得11a+2b=13，
由于0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，
∴a=1，b=1；
此时n=2011：
综上，存在这样的自然数1993和2011，使得n+S(n)=2015
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】先假设n是三位数和四位数，依据n+S(n)=2015判断出n的大致范围是在1900到2015之间，设十位数字为a，个位数字为b，根据n+S(n)=2015列出关于a、b的二元一次方程，根据0≤a≤9，0≤b≤9且a、b均为非负整数可得答案.
1 / 1浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2025年七年级下册数学培优联考试卷
一、填空题（每题4分，共18小题，满分72分)
1．（2025七下·鄞州竞赛） 若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k =　 　.
2．（2025七下·鄞州竞赛）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小完全相同的长方形，所标注尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2.
A．57 B．55 C．53 D．51
3．（2025七下·鄞州竞赛）若关于x，y的方程组的解为 ，则关于x，y方程组
的解为　 　．
4．（2025七下·鄞州竞赛）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为杨辉三角. 观察杨辉三角与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，……第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律，则的值为　 　.
5．（2025七下·鄞州竞赛） 如果整数 x，y，z 满足 ，则代数式 的值为　 　.
6．（2025七下·鄞州竞赛）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需　 　元．
7．（2025七下·鄞州竞赛）试确定关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为　 　.
8．（2025七下·鄞州竞赛）牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供头牛吃天，可供头牛吃天，如果饲养头牛　 　天可以把牧场上的草吃完．
9．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为　 　.
10．（2025七下·鄞州竞赛） 若 ，，... 是从 0，1，2 这三个数中取值的一列数，若 （，则在 ，，... 中，取值为 2 的个数为　 　.
11．（2025七下·鄞州竞赛） 已知关于x和y的方程组有正整数解，整数a的值为　 　.
12．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为　 　.
13．（2025七下·鄞州竞赛） a2+b2 =1，c2+d2=1，且ac+bd=0，则ab+cd的值为　 　.
14．（2025七下·鄞州竞赛） 已知实数x，y满足，的最大值为　 　.
15．（2025七下·鄞州竞赛） 已知质数p，q满足，则的最大值是　 　.
16．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为30cm，两邻边长分别为xcm和ycm，且满足x2-4xy+4y2=0，此长方形的面积为　 　.
17．（2025七下·鄞州竞赛） 已知：多项式3x2+5x2+bx+a能被多项式x2-5x+6整除，则a+b的值为　 　.
18．（2025七下·鄞州竞赛） 求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：
，，
若，则　 　.
二、解答题（共3题，满分 28分)
19．（2025七下·鄞州竞赛）因式分解：
（1）6x2-5xy-6y2+2xz+23yz-20z2
（2）(2x-3y)3+ (3x-2y) 3—125 (x-y) 3
20．（2025七下·鄞州竞赛）如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F，，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 时，试求出 的度数.
21．（2025七下·鄞州竞赛）用S(m)表示自然数n的各位数字之和，如S(1)=1，S(12)=3，S(516)=12，……，试问是否存在这样的自然数，使得n+S(n)=2015？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】-3
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题意得，y=-x+2，
解得
把x=0，y=2代入方程kx-(k-1)y=8中，k=-3，
故答案为：-3.
【分析】根据题意得出y=-x+2，与方程组中的第一个方程组成新的方程组，求出x、y的值，然后把x、y的值代入方程kx-(k-1)y=8中求出k的值即可.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：
解得：
∴图中阴影部分的面积为15×(7+2×2)-6×9×2=57(cm2).
故答案为：A.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论.
3．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为 ，
∴关于x，y方程组 中，
∴关于x，y方程组 的解为：，
故答案为：.
【分析】根据题意得到：关于x，y方程组 中，进而即可求出关于x，y方程组 的解.
4．【答案】2
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察“杨辉三角”与右侧的等式图，
记第一个展开式中各项系数的和为C1=1+1=2；
第二个展开式中各项系数的和为C2=1+2+1=4；
第三个展开式中各项系数的和为C3=1+3+3+1=8；
第四个展开式中各项系数的和为C4=1+4+6+4+1=16，
根据前几项得规律：Cn=2n，
则C2024=22024，C2023=22023
∴
故答案为：2.
【分析】根据规律得，即可求出C2024和C2023，然后求出比值即可.
5．【答案】-4
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：∵整数x，y，z满足，
∴，
∴
∴
∴
解得
∴
故答案为：-4.
【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则将已知条件适当变形，得到关于x，y，z的等式，并组成方程组，解方程组求得x，y，z的值，将x，y，z的值代入分式化简即可.
6．【答案】7
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．
则由题意得：
，
由①②得，
于是：，
故答案为：7．
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．根据题意列方程组，运用加减消元法解方程组求出的值即可．
7．【答案】0
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原方程可化为：x(x2+6x+5)=y(y2-1)+2
即x(x+1)(x+5)=y(y+1)(y-1)+2，
∵等号左侧三个整数的乘积是3的倍数，而等号右侧除以3余2，不是3的倍数，
∴等式不可能成立
∴原方程无整数解
∴关于x，y的方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解的个数为0，
故答案为：0.
【分析】先将等号左右局部因式分解，然后根据形式可知这种情况是不存在的，所以可得到无解.
8．【答案】5
【知识点】分数除法应用题；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：假设每头牛每天的吃草量为1份，则 头牛 天的吃草量为份，头牛天的吃草量为份；
因为草每天匀速生长，所以天的总草量比天的总草量多的部分就是多生长的天的草量，可得草的生长速度为份/天；
由15头牛吃10天吃草的数量为150份，10天生长的草数量为5×10=50(份)，可得原有的草量为：150－50=100（份）.
故饲养25头牛的话，x天可以把牧场上的草吃完，则：
100+5x=25x
解得：x=5
即饲养25头牛5天可以把牧场上的草吃完
故答案为：．
【分析】本题考查了“牛吃草”问题，根据10头牛20天的吃草量－15头牛10天的吃草量可得10天中草的生长量，从而得到草的生长速度；根据15头牛10天的吃草量－10天草的生长量可得操场的原有草量，于是设饲养25头牛x天可以把牧场上的草吃完，根据“25头牛x天的吃草量=原有草量+草场x天的生长量”列出方程求解即可．
9．【答案】1800
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∵x+y>0，x+2y>0，
∴x=2y.
又由题意可得x+y= 90，
解方程组
解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)，
故答案为：1800.
【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可.
10．【答案】506
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵(m1-1)2+(m2-1)2+...+(m2024-1)2=1510，m1，m2，…，m2024是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m1，m2，…，m2024中为1的个数是2024-1510=514，
∵m1+m2+...+m2024=1526，
∴取值为2的个数为(1526-514)÷2=506.
故答案为：506.
【分析】m1，m2，…，m2024是从0，1，2这三个数中取值的一列数，(m1-1)2+(m2-1)2+...+(m2024-1)2=1510，从而m1，m2，…，m2024中为1的个数是2024-1510=514，进而即可求解.
11．【答案】1或2或4或10
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×2得：2x+2y=12③，
③-②得：
∴当a≠-2时，
∵方程组有正整数解，
∴2+a>0，
解得：a>-2
当2+a=1时，a=-1，y=12，x=-6(不合题意舍去)；
当2+a=2时，a=0，y=6，x=0(不合题意舍去)；
当2+a=3时，a=-1，y=4，x=2；
当2+a=4时，a-2，y=3，x=3；
当2+a=6时，a-4，y=2，x=4；
当2+a=12时，a=10，y=1，x=5；
∴整数a的值为1或2或4或10，
故答案为：1或2或4或10.
【分析】先解方程组，把y用含a的式子表示出来，再根据方程组有正整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，进而列出关于a的方程，解方程求出a，再求出y和x，进行判断即可.
12．【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
13．【答案】0
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a2+b2=1，c2+d2=1，
∴ab+cd=ab×1+cd×1
=ab(c2+d2)+ cd(a2+b2)
=abc2+abd2+cda2+cdb2
=(abc2+cdb2)+(adb2+cda2)
=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)
=(ac+bd)(bc+ad)
∵ac+bd=0，
∴原式=0.
故答案为：0.
【分析】通过将已知的等式巧妙地代入到所求的表达式中，利用因式分解和已知条件，可以简化计算过程.
14．【答案】2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵，
∴，即-2y=-2x2+7x-6，
∴x-2y=x-2x2+7x-6=-2x2+8x-6=-2(x2-4x+4)+2=-2(x-2)2+2.
又∵对于任意x的都有(x-2)2≥0，
∴-2(x-2)2≤ 0.
∴x-2y=-2(x-2)2+2≤2.
∴当x=2时，x-2y最大，最大值为2，
故答案为：2.
【分析】将y用x表示，代入x-2y中得到关于x的二次函数，再求其最大值.
15．【答案】1
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：①若p=2，q=5，；
②若p=7，q=2，，故最大值为1，
故答案为：1.
【分析】奇数+偶数=奇数，奇数+奇数=偶数，奇数×偶数=偶数，p和q两个数中肯定有一个为2.
16．【答案】50cm2
【知识点】二元一次不定方程
【解析】【解答】解：∵设两邻边长分别为xcm和ycm.
解得：
∴长方形的面积：5×10=50(cm2).
故答案为：50cm2.
【分析】利用周长公式得到x和y的关系，再结合给定方程解出x和y的具体值，最后计算面积.
17．【答案】38
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：设3x3+5x2+bx+a=(x2-5x+6)(mx+n)
=mx3+nx2-5mx2-5nx+6mx+6n
=mx3+(n-5m)x2+(6m-5n)x+6n，
∴m=3，n-5m=5，
∴n=5×3+5=20，
∴b=6m-5n=-82，
∴a=6n=120，
∴a+b=38.
故答案为：38.
【分析】因为多项式x3+5x2+bx+a能被x2-5x+6整除，所以存在一次多项式mx+n，使得3x3+5x2+bx+a=(x2-5x+6)(mx+n)，通过展开左边并比较系数，可以求出m，n，b，a的值，进而求a+b.
18．【答案】-25
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴(x+2)(x-2)+(x+3)(x-3)+...+(x+n)(x-n)=3x2+m，
∴x2-4+x2-9+...+x2-n2-3x2+m，
∴n=4，m=-4-9-42=-29，
∴m+n=-29+4=-25.
故答案为：-25.
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决.
19．【答案】（1）解： 6x2-5xy-6y2+2xz+23yz-20z2
=(3x+2y-5z)(2x-3y+4z)
（2）解：(2x-3y)+(3x-2y)2-125(x-y)2
=-15(x- y)(2x-3y)(3x-2y)
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)把多项式视为关于x的二次式，利用求根法分解，再通过分组分解完成因式分解；
(2)利用立方和公式展开后合并同类项，发现公因式，最终完成因式分解.
20．【答案】解：设 ，分两种情况：
，
①当点 N 在平行线 AB，CD 之间时，
，，
，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
.
②当点 N 在 CD 的下方时，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
；
综上所述， 的度数是 或 .
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【分析】设∠CFN=x，分两种情况：∠CFP=β=3x.当点N在平行线AB，CD之间时；②当点N在CD的下方时，∠PFN=∠CFP+∠CFN=4x，构建方程求解.
21．【答案】解：存在这样的自然数1993和2011，使得n+S(n）=2015.（1）若n是三位数，n的最大取值为999，
此时999 +S(999) = 999 +27 =1026<2015，
所以n不是三位数；(2)若n是四位数，
①假设1800设十位数字为a，个位数字为b，
则n+S(n)=1800+10a+b+9+a+b=2015，
整理得：11a+2b =226，
由于0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，
所以11a+2b≤117<226，
则n≥1900；
②若1900≤n<2000，
则1900+10α+b+10+a+b=2015，
整理得11a+2b=105，
∵0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，
∴a=9，b=3，
此时n=1993；
③若2000≤n<2015，
则n+S(n)=2000+10a+b+2+a+b=2015，
整理得11a+2b=13，
由于0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，
∴a=1，b=1；
此时n=2011：
综上，存在这样的自然数1993和2011，使得n+S(n)=2015
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】先假设n是三位数和四位数，依据n+S(n)=2015判断出n的大致范围是在1900到2015之间，设十位数字为a，个位数字为b，根据n+S(n)=2015列出关于a、b的二元一次方程，根据0≤a≤9，0≤b≤9且a、b均为非负整数可得答案.
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