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湖南省岳阳市平江县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列各数：（每两个1之间的0增加一个）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在中国传统文化中，轴对称图形是一种重要的美学元素，广泛应用于建筑、绘画、书法、剪纸、刺绣等领域．它不仅体现了和谐、平衡和稳定的美感，还与中国传统的哲学观念紧密相连．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是9
B．立方根等于它本身的数有两个，0和1
C．是49的算术平方根
D．4是16的一个平方根
5．观察图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立（ ）
A． B．
C． D．
6．有甲，乙，丙，丁四位同学准备从斑马线上的点处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是乙，理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
7．已知，下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
8．下列问题适合普查的是（ ）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全省九年级学生的视力情况
C．神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
D．了解黄河的水质情况
9．根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为；
②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
二、填空题
11．科技是国家强盛总基，创新是民族进步之魂．如图，将一架飞机抽象成几何图形，其中与构成同位角的是 ．
12．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则m的值是 ．
13．一元一次不等式组的解集是 ．
14．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ．
15．我们约定，如．那么 ．
16．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
17．为了解我校八年级200名学生期中数学考试情况，从中抽取了50名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②200名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④50名学生是总体的一个样本；⑤50名学生是样本容量．其中正确的判断有 个．
18．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（，，即8，16均为“小西数”）．
（1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为 ；
（2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．化简求值：，其中，．
21．在边长为1的正方形方格纸中，有如下图所示的（顶点都在格点上）．
(1)画出该三角形关于直线l对称的；
(2)画出将绕点逆时针旋转后的．
22．如图，已知：，垂足分别为、平分．求证：．把以下证明过程补充完整．
证明：
______________∥___________________（_________________）
_________________（_________________）
平分
_________________（_________________）
________________．
23．为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“（天岳幕阜山）、（华雅盘石洲森林花园）、（石牛寨国家地质公园）、（红莲兵寨仙侠谷）”四个景点中选择一个，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)这次问卷调查的人数是___________人．
(2)补全条形统计图．
(3)计算“”所在扇形的圆心角度数．
24．国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元．
(1)求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？
(2)该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？
25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式：___________；用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系：___________；
(2)若，求的值．
(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
26．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）．
　　　　
　　　　
(1)填空：______°；
(2)若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？
参考答案
1．D
解：：（每两个1之间的0增加一个）中，（每两个1之间的0增加一个）是无理数，共4个；
故选D．
2．A
解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形．
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
3．B
解：A．和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项正确，符合题意；
C．，故本选项错误，不符合题意；
D．，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．D
解：A、的平方根是，故原选项说法错误，不符合题意；
B、立方根等于它本身的数是0，1，，故原选项说法错误，不符合题意；
C、是49的算术平方根，故原选项说法错误，不符合题意；
D、4是16的一个平方根，故原选项说法正确，符合题意；
故选：D．
5．A
解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和，
∴，
故选：A．
6．A
解：由题意可知，最先通过马路的是乙同学，原因是垂线段最短，
故选：A．
7．D
解：当时，
A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、若，则，该选项错误；
D、，，该选项计算正确；
故选：D
8．C
解：A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；
B、了解全省九年级学生的视力情况，范围广，人数众多，不易调查，适合抽样调查，不符合题意；
C、神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，涉及安全性，事关重大，适合普查，符合题意；
D、了解黄河的水质情况，范围广，不易调查，适合抽样调查，不符合题意；
故选：C。
9．C
解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，
根据1班班长的对话，得，，
∴
∴，
解得，
故①错误，③正确；
根据2班班长的对话，得，，
∴，
∴，
∴，
故②正确，
故选：C．
10．B
解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，
∴，
当，即，解得；
当，即，解得；
当，即，解得；
综上所述，的值为或或，
故选：．
11．
解：由题意得，与构成同位角的是，
故答案为：．
12．49
解：一个正数m的平方根是和，，
，
∴
，
故答案为：49．
13．
解：，
由得，
由得，
∴一元一次不等式组的解集是，
故答案为：．
14．
解：绕点按逆时针方向旋转后得到，
，
，
，
故答案为：．
15．
解：根据题意得：．
故答案为：
16．或
解：当在和的同侧时，距离为；
当在之间时，距离为，
故答案为：或．
17．2
解：①这种调查方式是抽样调查，正确，符合题意；
②总体是我校八年级200名学生期中数学考试成绩，原说法错误，不符合题意；
③每名学生的期中考试数学成绩是个体，正确，符合题意；
④50名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意；
⑤样本容量是50，原说法错误，不符合题意；
∴正确的有2个，
故答案为：2．
18． /
解：（1），
故答案为：；
（2）设连续的两个奇数为，（n为正整数），
∴
，
∴任意的“小西数”一定是8的倍数
∵，
∴在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和，
故答案为：．
19．
解：
．
20．，3
解：原式
，
当，时，原式．
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
（1）解：如图1所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
22．；；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；
证明：
（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
平分
（角平分线的定义）
．
故答案为：；；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；．
23．(1)60人
(2)见解析
(3)
（1）解：这次问卷调查的人数是（人），
故答案为：60；
（2）解：选择C的人数为：（人），
补全条形图如图：
；
（3）解：“D”所在扇形的圆心角是．
24．(1)每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元
(2)最多购进“哪吒”纪念品70件
（1）解：设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元；
（2）解；设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为70．
答：最多购进“哪吒”纪念品70件．
25．(1)；
(2)13
(3)
（1）∵大正方形的面积为， 两个小正方形的面积为，两个小长方形的面积和为，
∴
∵大正方形的面积为， 小正方形的面积为，4个长方形的面积和为，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
26．(1)
(2)①；②6或或．
（1）解：如图1，过点G，作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）①，
，
∵，
∴，
∵
∴
∵的平分线交直线于点H，
，
∵
∴
即
②∵射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．
∴
设旋转后射线变为，变为，则即为，分三种情况：
当在下方时，，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
如图，当在直线的上方时，
由旋转可知，，，
∵
∴
∴
解得；
当在直线的下方时，
由旋转可知，，，
∵
∴
∴
解得；
故答案为：6或或．

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