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2024-2025学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录下列剪纸作品中是中心对称图形的是
A. B. C. D.
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.一技术人员用刻度尺单位：测量某三角形部件的尺寸如图所示，已知，点为边的中点，点，对应的刻度为，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知，，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
5.如图，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.一个小组有若干人，新年互相发送条祝福信息，已知全组共发送条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有人，根据题意可列方程( )
A. B. C. D.
8.如图，在 中，平分，交于点，，，则的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，已知，，点为的中点，过点作轴，垂足为将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，将图的正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.比较大小：已知，则 ______．
12.如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数是______．
13.关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的的值______．
14.如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，若，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在中，，，点为外一点，连接、、，，，，则 ______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解．
17.本小题分
化简：，并在，，中选择一个合适的值代入求值．
18.本小题分
如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接，交于点求证：．
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
哪吒上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱，为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进，两种哪吒玩偶已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵元，玩具店用元购进种哪吒玩偶的数量是用元购进种哪吒玩偶数量的倍．
求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
因玩偶销售火爆，该玩具店决定用不超过元再次购进，两种哪吒玩偶共个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为元，每个种哪吒玩偶售价定为元，那么，两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？
21.本小题分
图是在中，，用直尺和圆规作矩形，作法是“以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点“，请判断所作的四边形是不是矩形，并说明理由．
如图，在矩形的边上任取一点，是中点，在、、上各找一点、、，使得四边形是菱形要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹
22.本小题分
“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为，且点，，，，都在格点上．
如图，的长度为______，中边上的高的长度为______．
如图，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点，，都为小正方形的顶点构造图形，所以三角形任意两边之和大于第三边因为，勾股定理，，所以．
请你参考例子中的方法，在图中构造图形，比较与的大小，并说明理由．
如图，的度数为______．
23.本小题分
定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
，
是差积方程．
方程 ______填是或不是“差积方程”；
若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则 ______．
24.本小题分
如图，正方形边长为，点在边上点与点，不重合，过点作，垂足为，与边相交于点．
求证：；
若的面积为，求的长；
在的条件下，取，的中点，，连接，请直接写出的长．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为轴上的一个动点，将绕点顺时针旋转到，连接．
点的坐标为______；
试判断线段，的关系，并说明理由；
设的中点为，直线交轴于点问：随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由．
答案和解析
1.
解：、图形是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、图形不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：．
2.
解：是乘法运算，则不符合题意，
，则不符合题意，
中等号右边不是积的形式，则不符合题意，
符合因式分解的定义，则符合题意，
故选：．
3.
解：点，对应的刻度为，，
，
在中，，点为边的中点，
则，
故选：．
4.
解：，，
故选：．
5.
解：过点作，垂足为点，
是的中点，，
，
，，射线是的平分线，
，
故选：．
6.
解：平分，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
7.
解：设这个小组有个人，
由题意得，．
故选：．
8.
解：由题意可得：，，，，
，
，
，
，
，，
在中，，即，
，
，
，
，
．
故选：．
9.
解：，点为的中点，
．
，
，
，，
点的坐标为，点坐标为，
则点坐标为
又点坐标为，
直线的函数解析式为．
将代入直线的函数解析式得，
，
，
点对应点的坐标为
故选：．
10.
解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
负值已经舍去，
故选：．
11.
解：，
，
．
故答案为：．
12.
解：多边形的边数是：，
故答案为：．
13.答案不唯一
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
符合题意．
故答案为：答案不唯一．
14.
解：由勾股定理结合正方形的面积可知，，
又，
，
，
即图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
15.
解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
，
作于，
，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
16.不等式组的解集为，整数解为，，，图见解析．
解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
不等式组的整数解为、、．
17.，当时，原式．
解：原式
，
由题意得，，
代入，原式．
18.证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌，
．
19.；
，．
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
，
，．
20.种哪吒玩偶的单价为元，种哪吒玩偶的单价为元；
种哪吒玩偶购进个，种哪吒玩偶购进个时获利最多，最大利润为元．
设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种哪吒玩偶的单价为元，种哪吒玩偶的单价为元；
设玩具店购进种玩偶个，则购进种哪吒玩偶个，
由题意得：，
解得：，
设总获利为元，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值元，
此时，，
答：种哪吒玩偶购进个，种哪吒玩偶购进个时获利最多，最大利润为元．
21.解：如图中，四边形是矩形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
四边形即为所求．

22.；； ，理由见解析； ．
由题意得，．
，且，
中边上的高的长度．
故答案为：；．
，理由如下：
构造，如图所示：
由勾股定理，得：，，，
在中，，
．
如图，作点关于的对称点，连接，，
．
由勾股定理得，，，
．
是等腰直角三角形，且．
．
．
故答案为：．
23.不是；
或；
．
解：解得：，，
，
不是“差积方程”；
故答案为：不是；
解得方，，
是“差积方程”，
，
即或，
解得或；
设的另一个根为，
，，
，，
是“差积方程”，
，
即或，
解得，
，，
；
故答案为：．
解得：，，由定义可判断不是“差积方程”；
解得方，，根据是“差积方程”，得，解得或；
设的另一个根为，可得，，即，，由是“差积方程”，有，解得，故，，即可求出．
24.证明见解答过程；
；
．
证明：四边形是正方形，且边长为，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：设，
，，
，正方形的面积为，
，，，
又的面积为，
，
，
整理得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：；
连接，并延长交于点，连接，如图所示：
在的条件下，
，
在正方形中，，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
．
25.；
且，理由见解答；
点的位置不会发生变化，．
，是正方形，
，，
又点在第四象限，
点的坐标为，
故答案为：；
且，理由如下：
如图，设与，分别交于点，．
正方形，
，，
由旋转可得，，
，
即，
≌，
，，
在和中，，，
，
；
点的位置不会发生变化．
如图，过点作，分别交直线，于点，，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
是的中点，
，
，
，
又，
≌，
，
，
即，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即点的位置不会发生变化．

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