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山东省烟台市福山区（五四制）2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．平面内点与点关于轴对称；
B．如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等；
C．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行：
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ）

A． B． C． D．
3．如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分分，小亮得分分，则小颖得分为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
6．如图，已知ab，直线与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ）
A．98° B．102° C．104° D．108°
7．如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（ ）
A． B．6或 C．或6 D．
二、填空题
11．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯．小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，则他遇到红灯的概率是 ．
12．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ．
13．中，，，．根据作图痕迹，点D是射线和直线的交点．连接，若的周长为18，则的面积为 ．
14．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的取值范围是 ．
15．水龙头关闭不紧会造成滴水，刘华同学用可以显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出容器内盛水量与滴水时间的函数关系图象（如图）．已知滴水的速度是，请结合图象解答下列问题：计算在这种滴水状态下一天滴水的总量为 ．
16．如图，BE和CE分别为的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°＋∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为 ；
三、解答题
17．（1）解方程组：；
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解．
18．在如图所示方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不要求写画法）．

(1)在图1中，请以C为端点作一条线段，使它与线段平行且相等．
(2)在图2中，请在格点上找一点E，作，使得中一个角等于．
19．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作.请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入1个小球水面升高______，放入1个大球水面升高______；
(2)如果小明想在水杯中放入大球、小球共10个，并限定水面高不超过，则至少放入多少个小球？
20．商店促销，设了有两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上的则获奖：
图1 图2
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．
小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过计算，应用概率相关知识说明理由．
21．已知：线段AB．
求作：，使得，．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵，
∴为等边三角形（ ）．（填推理的依据）
∴．
∵，
∴．
∴__________（ ）．（填推理的依据）
∴．
∴．
在中，
∴．
22．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，．
(1)求证：；
(2)若平分，求：扶手与靠背的夹角的度数．
23．甲、乙二人驾车分别从A，B两地同时出发，相向而行．下图是二人离A地的距离y（千米）与所用时间x（小时）的关系．
（1）请说明交点P所表示的实际意义： ；
（2）试求出A，B两地之间的距离；
（3）甲从A地到达B地所需的时间为多少？
24．某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套 1.65 1.4
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
25．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系，并说明理由；
(3)求证：．
参考答案
1．A
解：A、∵，∴平面内点与点关于轴对称，错误，是假命题，符合题意；
B、如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等，故原命题正确，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意，
故选：A．
2．B
解：整个图形面积，
阴影部分面积，
∴小球停在阴影区域的概率，
故选：B．
3．D
解：如下图：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
故选：D．
4．B
解：A、作图中只是截取了两条相等的线段，不能判定两直线平行，作图不正确；
B、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，作图正确；
C、由作图可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，作图正确；
D、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，作图正确．
故选：B．
5．A
解：设投中外环得分，投中内环得分，根据题意得
，
解得：，
分
即小颖得分为19分，
故选：A．
6．C
∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，
∴直线垂直平分线段AB，
∴，
∵ab，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
解：由图中可以看出，当x＜ 3时，kx+b＜2，故B正确．
故选：B．
8．C
解：根据题意得：
；
故选C．
9．C
解：如图：
平分，平分，
，，
设，，，
由外角的性质得：
， ，
，解得，
，
．
故选：C．
10．B
解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是，
依题有：，，，
①当时，，
解得：；
即点Q的运动速度为时，与全等，
②当时，，
解得：；
即点Q的运动速度为时，与全等，
综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等，
故选：B．
11．
∵该路口红灯的时间为40s，绿灯时间为60s，黄灯时间为3s，
∴小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是；
故答案为：.
12．
解：设长方体木块长、宽，桌子的高为，
由题意得，，
解得，
∴桌子的高度等于，
故答案为：．
13．15
解：如图，过点D作于点H，过点D作于点E，
根据作法得：垂直平分，平分，
∴，，
∴，
∵的周长为18，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为．
故答案为：15．
14．
根据题意可得，
∵(2m－5) 3＝3，
∴2m﹣5≤3，
解得：m≤4
故答案为．
15．
解：，
∴在这种滴水状态下一天滴水的总量为，
故答案为：．
16．①②③④⑤
CE平分，CF平分
，
即，则结论①正确
BE平分，
是等腰三角形
是AC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
垂直平分AC
，则结论②正确
是等腰三角形
，则结论③正确
又
，即，则结论④正确
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
，即
又CF平分
，则结论⑤正确
综上，结论正确的是①②③④⑤
故答案为：①②③④⑤．
17．（1）；（2），数轴见解析；，，0．
（1）解：原方程组化为，
将①代入②得，解得，
将代入①得，．
所以原方程组的解为；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
在数轴上表示如图所示：
，不等式组的解集为，
不等式组的整数解是，，0．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，线段即为所求作的线段；

（2）解：如图，即为所求作的三角形．

∵，
∴．
19．(1)，
(2)个
（1）解：放入1个小球水面升高，
放入1个大球水面升高，
故答案为：，；
（2）解：放入个小球，则
，
解得：，
∴至少放入个小球．
20．方式二获奖机会大，选方式二
解：应选择方式二，利用如下：
（“6”朝上），
（指针指向的数字为3的倍数），
∵，
∴方式二获奖机会大，
∴选方式二．
21．(1)见解析
(2)等边三角形的定义；；三角形中等边对等角
（1）解：如图：
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．
（2）证明：如图：连接AD．
∵，
∴为等边三角形（等边三角形的定义）．
∴．
∵，
∴．
∴（三角形中等边对等角）．
．
∴．
在中，
∴．
22．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：，
，
；
（2）解：∵扶手与底座都平行于地面，
，
，
，
∴，
∵平分，
，
，
．
23．（1）出发2小时二人相遇，此时距离A地240千米；（2）400千米；（3）
解：（1）结合图象，可知P点的实际意义为出发2小时后甲、乙二人相遇，此时距离A地240千米
（2）如图，
设线段AB的解析式为 ，
将代入解析式中得
解得
∴线段AB解析式为 ，
当时，，
∴A，B两地之间的距离为400千米．
（3）根据点P的坐标为得，甲的速度为 ，
∴甲从A地到达B地所需的时间为
24．(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套
(2)有4种方案，方案见解析
（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得，
，
解得，，
经检验，符合题意，
答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套；
（2）设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，
由题意得，，
∵a， b均为正整数，
∴此方程的解为：
，或，或，或，
综上所述，有4种方案：
①购进A品牌的教学设备4套，购进B品牌的教学设备20套；
②购进A品牌的教学设备8套，购进B品牌的教学设备15套；
③购进A品牌的教学设备12套，购进B品牌的教学设备10套；
④购进A品牌的教学设备16套，购进B品牌的教学设备5套．
25．(1)见解析
(2)，见解析
(3)见解析
（1）证明：∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
（3）证明：延长到，使得，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．

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