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湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·衡阳期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝。下列航天图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是中心对称图形，A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，B符合题意；
C、图形不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义即可判断得出答案。
2．（2025七下·衡阳期末）不等式x+1>2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：将不等式x+1>2移项得x>2-1，
合并同类项得x>1，
因为不等号为“>”，即取空心圆圈，方向向右的选项，
故不等式的解在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】先解不等式，再根据不等号和解选择即可.
3．（2025七下·衡阳期末）下列等式变形正确的是（　　）
A．如果x=y，那么x+3=y-3 B．如果4x-1=0. 那么4x=-1
C．如果x2=2，那么x=1 D．如果2x=-2，那么x=-1
【答案】D
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、若x=y，等式两边应进行相同运算才能保持相等。左边加3，右边减3，运算不同，变形错误。例如x=y= 0时，左边0+3=3，右边0-3=-3，不相等，故A不符合题意；
B、若4x- 1=0，两边同时加1得4x= 1，而非4x=-1，变形错误，故B不符合题意；
C、若x2= 2，两边同时乘以2得x2=4，解得x=±2，而非x= 1，变形错误，故C不符合题意；
D：若2x= -2，两边同时除以2得x= - 1，变形正确，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】要判断算式变形是否正确，需依据等式的基本性质：等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个数(除数不为零)，等式仍然成立。
4．（2025七下·衡阳期末）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．1， 2， 3 B．2，2， 4 C．3，4，5 D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，
A、1+2=3，两边之和等于第三边，错误 ；
B、2+2=4，两边之和等于第三边，错误 ；
C、3+4>5， 3+5>4， 4+5>3，任意两边之和大于第三边，正确；
D、3+4=7<8， 两边之和小于第三边，错误.
故答案为：C.
【分析】三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据三边关系判断即可.
5．（2025七下·衡阳期末）下列正多边形地砖中，用同一种正多边形地砖不能铺满地面的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正七边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正多边形各内角度数为：(n－2)×180°÷n，
A、当n=3时，（3-2）×180°÷3=60°，而60°能整除360°，所以只用等边三角形能铺满地面，A不符合题意；
B、当n=4时，（4-2）×180°÷4=90°，而90°能整除360°，所以只用正方形能铺满地面，B不符合题意；
C、当n=6时，（6-2）×180°÷6=120°，而120°能整除360°，所以只用正六边形能铺满地面，C不符合题意；
C、当n=7时，（7-2）×180°÷7≈129°，而129°不能整除360°，所以只用正七边形不能铺满地面，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】正多边形各内角度数为：(n－2)×180°÷n，先计算正多边形的内角，再根据内角能否整除360°判断同一种正多边形地砖能否铺满地面.
6．（2025七下·衡阳期末）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A．120 B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；补角
【解析】【解答】解：直角三角板含60°角，则另一个锐角为30°.
∴∠= 180°- 30°= 150°
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为180°是解题关键.先确定三角板的内角，再利用平角的知识，通过角度关系求出∠ .
7．（2025七下·衡阳期末）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴。已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴。问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（　　）
A．10x=2×15 （70- x） B．15x=2×10 （70-x）
C．2×10x=15 （70-x） D．2×15x=10 （70-x）
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设安排x位工人生产书签，则安排(70-x)位工人生产冰箱贴，
由题意得，15x=2×10 （70-x）.
故答案为：B.
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键.设安排x位工人生产书签，由“生产厂家共有70位工人”可知安排(70-x)位工人生产冰箱贴；由“每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴”可知每天可生产15x个书签，生产10(70-x)个冰箱贴；再根据“每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴”得等量关系：书签=2×冰箱贴，再列方程即可.
8．（2025七下·衡阳期末）通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，不能平分三角形面积，故A不符合题意；
B、由作图痕迹可知，AD是△ABC的垂线，不能平分三角形面积，故B不符合题意；
C、由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，BD=CD，能平分三角形面积， 故C符合题意；
D.由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线，. AD= BD，根据所给条件不能得出BD=CD，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】判断 △ABD的面积和△ACD的面积相等只需判断BD=CD，根据作图痕迹逐项判断即可。
9．（2025七下·衡阳期末） 如图，△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC逆时针旋转α（0°<α<50°），得到△ADE.DB交AC于F.当α=40°时， 点D恰好落在BC上.此时∠DFC等于（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△ABC逆时针旋转(0°<<50°)得到△ADE，=40°，∠BAC=50°，
∴∠BAC=∠DAE=50°，∠BAD=∠CAE==40°，∠C=∠E，AB=AD.
∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD）=70°，
∵∠BAC=50°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=60°
∴∠C=∠E.
∵∠AFE= 180°-∠E-∠CAE= 180°-60°一40°= 80°，
∴ ∠DFC=∠AFE=80°
故答案为：A.
【分析】根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等及旋转角相等进行求解.
10．（2025七下·衡阳期末）按图中程序计算，规定：从“输入一个x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为（　　）
A．2≤x≤5 B．2≤x<5 C．1≤x【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：第一次操作后，表达式为，
由于程序进行了两次才停止，说明第一次操作的结果小于14，即：，
解这个不等式得：x<5；
第二次操作时，将第一次的结果再次代入表达式，得到：，
此时，第二次操作的结果必须大于等于14，即：，
解这个不等式得：，
结合两次操作的结果，得到x的取值范围为
故答案为：B.
【分析】根据题目描述，程序的操作流程为：输入，然后执行，判断结果是否大于等于14.如果不大于等于14，则将结果重新作为继续执行上述操作，直到结果大于等于14.
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·衡阳期末） 已知x=1是关于x的方程x+2m=7的一个解，则m的值为　 　.
【答案】3
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入关于x的方程x+2m=7，得1+2m=7，解得m=3.
故答案为：3.
【分析】把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.把x = 1代入关于x的方程x + 2m=7，得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可.
12．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a=　 　.
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
13．（2025七下·衡阳期末） 若式子3x+2与式子2（x-2）-3 的值相等，则x的值为　 　.
【答案】-9
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得3x+2=2（x-2）-3，
去括号得3x+2=2x-4-3，
移项得3x-2x=-4-3-2，
合并同类项得x=-9.
故答案为：-9.
【分析】根据3x+2与式子2（x-2）-3可得方程3x+2=2（x-2）-3，再求解方程即可
14．（2025七下·衡阳期末）如果一个正多边形的每一个外角都是40°，那么这个正多边形的边数为　 　.
【答案】9
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的每个外角度数为，
由题意得=40°，
解得n=9，
那么这个正多边形的边数为 9.
故答案为：9.
【分析】根据正多边形的外角度数：可解.
15．（2025七下·衡阳期末）不等式组的解集是x>3.则m的取值范围是　 　.
【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-4>-1得x>3，
∵ 不等式组的解集是x>3
∴m≤3（若m>3，解集为x>m）
故答案为：m≤3.
【分析】先解不等式组的每个不等式，再结合不等式组的解集建立关于m的不等式，最后解此不等式可得m的取值范围.
16．（2025七下·衡阳期末）如图，在正五边形ABCDE，以AB为一边，在内部作正方形ABMN，则∠EAN=　 　.
【答案】18°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ 多边形ABCDE是正五边形， 多边形ABMN是正方形，
∴∠EAB==108°，∠NAB=90°，
∴ ∠EAN=∠EAB-∠NAB=108°-90°=18°.
故答案为：18°.
【分析】正多边形的每个内角的度数：
17．（2025七下·衡阳期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板ABC和DEC，将三角板DEC沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在AB上的点E'处，点P为AC与E'D'的交点.图中三块阴影部分的面积之和为7，则直角三角板ABC的面积为　 　.
【答案】7
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得S△E'C'D'=S△ECD，
∴S△PCD'+S梯形E'C'CP=S△PCD'+S四边形PEDD'，
∴S梯形E'C'CP=S四边形PEDD'，
∵三块阴影部分的面积之和为7，
∴ S阴影=S四边形PEDD'+S△AE'P+S△BC'E=S梯形E'C'CP+S△AE'P+S△BC'E=S△ABC=7，
故直角三角板ABC的面积为7.
故答案为：7.
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到S△E'C'D'=S△ECD，则S梯形E'C'CP=S四边形PEDD'， 再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为7，进行求解即可.
18．（2025七下·衡阳期末）如图，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，∠PEF=75°，点P是射线EA的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处.若∠CFO=∠PFC则∠EFP=　 　.
【答案】35°或63°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：当点Q在平行线AB， CD之间时，
设∠CFQ=x，
∵∠CFQ=∠PFC，
∴∠PFC=2∠CFQ=2x，
∴∠PFQ=∠PFC-∠CFQ=x，
由折叠可得∠EFP=∠PFQ=x，
∵ABIICD，
∴∠PEF+∠CFE=∠PEF+∠PFC+∠EFP=180°，
∴75°+2x+x=180°，
解得x=35°，
∴∠EFP=35°；
当点Q在CD下方时，
设∠CFQ=x，
∵∠CFQ=∠PFC，
∴∠PFC=2∠CFQ=2x，
∴∠PFQ=∠PFC+∠CFQ=3x，
由折叠可得∠EFP=∠PFQ=3x，
∵ABIICD，
∴∠PEF+∠CFE=∠PEF+∠PFC+∠EFP=180°，
∴75°+2x+3x=180°，
解得x=21°，
∴∠EFP=3x=63°，
综上所述，∠EFP=35°或63°.
故答案为：35°或63°.
【分析】分点Q在平行线AB， CD之间和点Q在CD下方两种情况讨论，分别构建方程即可解决问题.
三、解答题（（共8小题，共66分）
19．（2025七下·衡阳期末）解方程组：
【答案】解：
①-②得：y+3y=9-5
y=1
将y=1代入①得：2x+1=9
解得：x=4
原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查解二元一次方程组，可用加减消元法和代入消元法，该方程x的系数相等，可选用加减消元法.
20．（2025七下·衡阳期末）解不等式组：
【答案】解：
解①得：x≤5
解②得：x>1·
不等式组的解集为：1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
21．（2025七下·衡阳期末）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF、
（1）若∠B=70°，∠F=40°，求∠EDF的度数：
（2）若△ABC的周长为10，AD=2， 求四边形ABFD的周长、
【答案】（1）解：△ABC沿BC边向右平移得到∠DEF，∠B=70°
∴∠DEF=∠B=70°，AC//DF
∵∠F=40°
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠F=180°-70°-40°=70°
（2）解：△ABC沿BC边向右平移得到∠DEF，AD=2，
∴CF=AD=2，DF=AC
∵△ABC的周长为10
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=△ABC的周长+AD+CF
=10+2+2
=14
∴四边形ABFD的周长为14
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】(1)首先由平移的性质可知∠DEF=∠B，再由三角形的内角和为180°即可求出∠EDF的度数.
（2）由平移的性质可知，平移前后的两个图形中的对应线段相等，观察图形可知DF=AC，CF=AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可.
22．（2025七下·衡阳期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.
（1）求每副象棋和围棋的单价：
（2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？
【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得，
解得，经检验，符合题意；
答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元；
（2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，
根据题意得：30m+25（100-m）≤2700，
解得：m≤40，
∴最大整数解为40，
答：最多能购买40副象棋.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130.
(2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可.
23．（2025七下·衡阳期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经小正方形的边。
（1）画出△ABC关于直线I成轴对称的△A1B1C1：
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C，画出AA2B2C：
（3）连结AB2，四边形AB2A2C的面积为　 　.
【答案】（1）解：如下图，
（2）解：如下图
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3） 连结AB2 如下图：S四边形AB2A2C =S△AB2C+S△B2A2C = =
【分析】(1)作△ABC的三个关键点A、B、C关于直线l的对称点 A1、B1、C1，连接这三个点即可.
(2)找到△ABC的两个关键点A、B 绕点C逆时针旋转90°的对应点A2、B2，连接A2、B2、C即可.
(3)连结AB2 ，用割补法计算面积即可.
24．（2025七下·衡阳期末）已知方程组的解x为非正数，y为负数.
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，求当a为何整数时，不等式的解为？
【答案】（1）解：解方程组得，
由于x为非正数，y为负数，
可列不等式组，
解得-2（2）解：将不等式合并同类项得(2a+1)x>2a+1，
∵不等式的解为，
∴2a+1<0，
∴a<.
又∵-2∴-2∴整数a的值为-1，
故当a为-1时，不等式的解为.
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）先解方程组求出x，y，再根据x为非正数，y为负数列出关于a的不等式组，再解该不等式组 求a的取值范围 .
（2）先求解不等式，再结合不等式的解集建立关于a的不等式，解此不等式可得a的取值范围，再结合（1）中a的取值范围确定a的最终取值范围，再根据a为整数求出a值.
25．（2025七下·衡阳期末）翻折是一种常见的图形变换，请利用对称和角平分线的知识解将下列问题：
（1）如图1. 在△ABC中，点D在BC的延长线上：∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线相交于点P.
①若∠ACP=55°∠ABP=20°求∠A的度数
②如图2，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M请写出∠M与∠A的数量关系，并说明理由；
（2） 如图， ∠ABC=γ（γ<30° ）， 点D为BC上一定点， 点E为BC上一动点， F、G为BA 上两动点，当GE+EF+FD最小时，直接写出∠EFD+∠GEF的值（用含有γ的代数式表示），
【答案】（1）解：①∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，∠ACP=55°，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACD=2∠ACP=110°，
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=70°.
②∠M=90°+∠A，理由如下：
∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD
由翻折可知∠CBG=∠PBC，∠BCG=∠BCP
∵BM平分∠CBG，BM平分∠PGC，
∴∠MBC=∠GBD=∠PBC=∠ABC，∠BCM=∠BCG=∠BCP
∵∠BCP=180°∠PCD，∠PCD=∠ACD
∴∠BCM=(180°∠PCD)=90°∠PCD=90°∠ACD
∵∠M=180°∠MBC∠BCM=180°∠ABC(90°∠ACD)=90°∠ABC+∠ACD=90°+(∠ACD∠ABC)
又∵∠ACB=180°∠ACD，∠A=180°∠ACB∠ABC，
∴∠A=∠ACD∠ABC.
∴∠M=90°+∠A.
（2）解：6.
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解析】（2）作点D关于AB的对称点D’，连接DD'、BD'、FD’，作点G关于BC的对称点G'，连接EG’、BG'， 当G'，E，F， D'四点在同一直线上，且D'G'⊥B'G'时，GE+EF+FD的值最小.
由轴对称的性质可知，∠DBA=∠ABC=∠CBG'=，∠FD'D=∠FDD'，∠G'EG=2∠BEG=2∠BEG'，∠D'OB=90°，
∵D'G'⊥B'G'
∴∠BD'G'=90°-∠DBA-∠ABC-∠CBG'=90°-3，
∠BEG'=90°-∠CBG'=90°-，
∴∠G'EG=2∠BEG'=180°-2，
∴∠GEF=180°-∠G'EG=2，
∵∠D'OB=90°，
∴∠BD'O=90°-∠D'BA=90°-，
∵∠BD'G'=90°-3，
∴∠FD'D=∠FDD'=∠BD'O-∠BD'G'=2，
∵∠D'FD=180°-∠FD'D-∠FDD'=180°-4，
∴∠EFD=180°-∠D'FD=4，
∴ ∠EFD+∠GEF=4+2=6.
【分析】（1）①通过角平分线的性质求出∠ABC、∠ACD的度数，再根据平角、三角形的内角和求出∠A的度数.
②由①可知求∠A与∠ACD、∠ABC有关系，通过等量代换可得∠A=∠ACD∠ABC，而由翻折、角平分线的性质可将∠M用∠ACD、∠ABC表示，再用∠A替换∠ACD、∠ABC.
(2)作点G关于BC的对称点G'，连接EG’， 作点D关于AB的对称点D’，连接FD’，当G'，E，F， D'四点在同一直线上，且D'G'⊥B'G'时，GE+ EF+ FD的值最小，据此利用轴对称的性质以及三角形内角和定理求解即可.
26．（2025七下·衡阳期末）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ//MN，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°
（1）若三角板如图1摆放时，则∠PDE=　 　.
（2）如图2，固定三角形ABC的位置不变，将三角形DEF沿AC方向平移，使得E点恰好落在PQ上， DF与直线 PQ交于点G.点H在∠AFG内部且在直线PO、MN之间； ∠FGH=2∠HGQ，∠FAH=2∠HAN，求∠H的值：
（3）如图3，两个三角板如题（2）中的位置摆放，将△DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，同时△ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，边ED与射线BP重合时两个三角形停止转动，当DF与△ABC的一条边平行时，直接写出符合条件的t的值..
【答案】（1）15°
（2）解：过点H作HO∥PQ，
∵PQ∥MN
∴HO∥PQ∥MN
∴∠HGQ=∠GHO，∠OHA=∠HAN
∴∠H=∠GHO+∠OHA=∠HGQ+∠HAN
∵四边形AHGF的内角和为360°，∠FGH=2∠HGQ，∠FAH=2∠HAN，
∴∠AFG+∠FGH+∠FAH+∠H=∠AFG+2∠HGQ +2∠HAN +∠H =∠AFG+2(∠HGQ +∠HAN)+∠H =∠AFG+2∠H+∠H =∠AFG+3∠H =360°，
∵∠AFG=180°-∠DFE=180°-30°=150°，
∴∠H=（360°-∠AFG）÷3=70°.
（3）解：6秒或15秒或24秒或42秒或51秒.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；猪蹄模型；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解析】解：（1）∵PQ∥MN∴∠PDE+∠BAC=∠E∴∠PDE=∠E-∠BAC=15°
（3）
解：∵PQ∥MN
∴∠QEF=∠BAC=45°，
∴∠QEF=∠DEF-∠QEF=15°，
∵边ED与射线EP重合时两个三角形停止转动
又=55s
∴t≤55s
1 ：DF∥AC：
如图1所示，∠DEF=15+3t，∠DOP=90-(15+3t)=75-3×t，∠CAM=45+2t，
∵PQ∥MN
∴∠DOP=∠DRM
当75-3t=45+2t时，∠DOP=∠CAM
则∠DRM=∠CAM
∴DF∥AC
故当t=6时，DF∥AC
如图2所示，∠DEF=15+3t，
则DF与PQ的夹角为3t-75，∠CAN=135-2t，
当3×t-75=135-2t时，同理可得DF∥AC，解得t=42
2： DF∥BC，
由平行线的性质可得方程2t-45=75-3t，解得t=24
3： DF∥AB
由平行线的性质可得方程2t=75-3t，解得t=15
由平行线的性质可得方程180-2t=3t-75，解得t=51
综上所述，符合条件的t值有6秒或15秒或24秒或42秒或51秒.
【分析】（1）根据"猪蹄模型"和三角板的角的度数解答即可.
（2）根据平行线的性质、题目的条件、四边形的内角和解答即可.
（3）当DF与PQ的夹角等于△ABC的一条边与MN的夹角时，DF与△ABC的该条边平行，分DF∥AC，DF∥BC，DF∥AB三种情况讨论即可.
1 / 1湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·衡阳期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝。下列航天图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·衡阳期末）不等式x+1>2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·衡阳期末）下列等式变形正确的是（　　）
A．如果x=y，那么x+3=y-3 B．如果4x-1=0. 那么4x=-1
C．如果x2=2，那么x=1 D．如果2x=-2，那么x=-1
4．（2025七下·衡阳期末）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．1， 2， 3 B．2，2， 4 C．3，4，5 D．3，4，8
5．（2025七下·衡阳期末）下列正多边形地砖中，用同一种正多边形地砖不能铺满地面的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正七边形
6．（2025七下·衡阳期末）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A．120 B．130° C．140° D．150°
7．（2025七下·衡阳期末）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴。已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴。问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（　　）
A．10x=2×15 （70- x） B．15x=2×10 （70-x）
C．2×10x=15 （70-x） D．2×15x=10 （70-x）
8．（2025七下·衡阳期末）通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·衡阳期末） 如图，△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC逆时针旋转α（0°<α<50°），得到△ADE.DB交AC于F.当α=40°时， 点D恰好落在BC上.此时∠DFC等于（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
10．（2025七下·衡阳期末）按图中程序计算，规定：从“输入一个x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为（　　）
A．2≤x≤5 B．2≤x<5 C．1≤x二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·衡阳期末） 已知x=1是关于x的方程x+2m=7的一个解，则m的值为　 　.
12．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a=　 　.
13．（2025七下·衡阳期末） 若式子3x+2与式子2（x-2）-3 的值相等，则x的值为　 　.
14．（2025七下·衡阳期末）如果一个正多边形的每一个外角都是40°，那么这个正多边形的边数为　 　.
15．（2025七下·衡阳期末）不等式组的解集是x>3.则m的取值范围是　 　.
16．（2025七下·衡阳期末）如图，在正五边形ABCDE，以AB为一边，在内部作正方形ABMN，则∠EAN=　 　.
17．（2025七下·衡阳期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板ABC和DEC，将三角板DEC沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在AB上的点E'处，点P为AC与E'D'的交点.图中三块阴影部分的面积之和为7，则直角三角板ABC的面积为　 　.
18．（2025七下·衡阳期末）如图，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，∠PEF=75°，点P是射线EA的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处.若∠CFO=∠PFC则∠EFP=　 　.
三、解答题（（共8小题，共66分）
19．（2025七下·衡阳期末）解方程组：
20．（2025七下·衡阳期末）解不等式组：
21．（2025七下·衡阳期末）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF、
（1）若∠B=70°，∠F=40°，求∠EDF的度数：
（2）若△ABC的周长为10，AD=2， 求四边形ABFD的周长、
22．（2025七下·衡阳期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.
（1）求每副象棋和围棋的单价：
（2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？
23．（2025七下·衡阳期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经小正方形的边。
（1）画出△ABC关于直线I成轴对称的△A1B1C1：
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C，画出AA2B2C：
（3）连结AB2，四边形AB2A2C的面积为　 　.
24．（2025七下·衡阳期末）已知方程组的解x为非正数，y为负数.
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，求当a为何整数时，不等式的解为？
25．（2025七下·衡阳期末）翻折是一种常见的图形变换，请利用对称和角平分线的知识解将下列问题：
（1）如图1. 在△ABC中，点D在BC的延长线上：∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线相交于点P.
①若∠ACP=55°∠ABP=20°求∠A的度数
②如图2，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M请写出∠M与∠A的数量关系，并说明理由；
（2） 如图， ∠ABC=γ（γ<30° ）， 点D为BC上一定点， 点E为BC上一动点， F、G为BA 上两动点，当GE+EF+FD最小时，直接写出∠EFD+∠GEF的值（用含有γ的代数式表示），
26．（2025七下·衡阳期末）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ//MN，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°
（1）若三角板如图1摆放时，则∠PDE=　 　.
（2）如图2，固定三角形ABC的位置不变，将三角形DEF沿AC方向平移，使得E点恰好落在PQ上， DF与直线 PQ交于点G.点H在∠AFG内部且在直线PO、MN之间； ∠FGH=2∠HGQ，∠FAH=2∠HAN，求∠H的值：
（3）如图3，两个三角板如题（2）中的位置摆放，将△DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，同时△ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，边ED与射线BP重合时两个三角形停止转动，当DF与△ABC的一条边平行时，直接写出符合条件的t的值..
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是中心对称图形，A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，B符合题意；
C、图形不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义即可判断得出答案。
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：将不等式x+1>2移项得x>2-1，
合并同类项得x>1，
因为不等号为“>”，即取空心圆圈，方向向右的选项，
故不等式的解在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】先解不等式，再根据不等号和解选择即可.
3．【答案】D
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、若x=y，等式两边应进行相同运算才能保持相等。左边加3，右边减3，运算不同，变形错误。例如x=y= 0时，左边0+3=3，右边0-3=-3，不相等，故A不符合题意；
B、若4x- 1=0，两边同时加1得4x= 1，而非4x=-1，变形错误，故B不符合题意；
C、若x2= 2，两边同时乘以2得x2=4，解得x=±2，而非x= 1，变形错误，故C不符合题意；
D：若2x= -2，两边同时除以2得x= - 1，变形正确，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】要判断算式变形是否正确，需依据等式的基本性质：等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个数(除数不为零)，等式仍然成立。
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，
A、1+2=3，两边之和等于第三边，错误 ；
B、2+2=4，两边之和等于第三边，错误 ；
C、3+4>5， 3+5>4， 4+5>3，任意两边之和大于第三边，正确；
D、3+4=7<8， 两边之和小于第三边，错误.
故答案为：C.
【分析】三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据三边关系判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正多边形各内角度数为：(n－2)×180°÷n，
A、当n=3时，（3-2）×180°÷3=60°，而60°能整除360°，所以只用等边三角形能铺满地面，A不符合题意；
B、当n=4时，（4-2）×180°÷4=90°，而90°能整除360°，所以只用正方形能铺满地面，B不符合题意；
C、当n=6时，（6-2）×180°÷6=120°，而120°能整除360°，所以只用正六边形能铺满地面，C不符合题意；
C、当n=7时，（7-2）×180°÷7≈129°，而129°不能整除360°，所以只用正七边形不能铺满地面，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】正多边形各内角度数为：(n－2)×180°÷n，先计算正多边形的内角，再根据内角能否整除360°判断同一种正多边形地砖能否铺满地面.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；补角
【解析】【解答】解：直角三角板含60°角，则另一个锐角为30°.
∴∠= 180°- 30°= 150°
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为180°是解题关键.先确定三角板的内角，再利用平角的知识，通过角度关系求出∠ .
7．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设安排x位工人生产书签，则安排(70-x)位工人生产冰箱贴，
由题意得，15x=2×10 （70-x）.
故答案为：B.
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键.设安排x位工人生产书签，由“生产厂家共有70位工人”可知安排(70-x)位工人生产冰箱贴；由“每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴”可知每天可生产15x个书签，生产10(70-x)个冰箱贴；再根据“每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴”得等量关系：书签=2×冰箱贴，再列方程即可.
8．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，不能平分三角形面积，故A不符合题意；
B、由作图痕迹可知，AD是△ABC的垂线，不能平分三角形面积，故B不符合题意；
C、由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，BD=CD，能平分三角形面积， 故C符合题意；
D.由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线，. AD= BD，根据所给条件不能得出BD=CD，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】判断 △ABD的面积和△ACD的面积相等只需判断BD=CD，根据作图痕迹逐项判断即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△ABC逆时针旋转(0°<<50°)得到△ADE，=40°，∠BAC=50°，
∴∠BAC=∠DAE=50°，∠BAD=∠CAE==40°，∠C=∠E，AB=AD.
∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD）=70°，
∵∠BAC=50°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=60°
∴∠C=∠E.
∵∠AFE= 180°-∠E-∠CAE= 180°-60°一40°= 80°，
∴ ∠DFC=∠AFE=80°
故答案为：A.
【分析】根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等及旋转角相等进行求解.
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：第一次操作后，表达式为，
由于程序进行了两次才停止，说明第一次操作的结果小于14，即：，
解这个不等式得：x<5；
第二次操作时，将第一次的结果再次代入表达式，得到：，
此时，第二次操作的结果必须大于等于14，即：，
解这个不等式得：，
结合两次操作的结果，得到x的取值范围为
故答案为：B.
【分析】根据题目描述，程序的操作流程为：输入，然后执行，判断结果是否大于等于14.如果不大于等于14，则将结果重新作为继续执行上述操作，直到结果大于等于14.
11．【答案】3
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入关于x的方程x+2m=7，得1+2m=7，解得m=3.
故答案为：3.
【分析】把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.把x = 1代入关于x的方程x + 2m=7，得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可.
12．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
13．【答案】-9
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得3x+2=2（x-2）-3，
去括号得3x+2=2x-4-3，
移项得3x-2x=-4-3-2，
合并同类项得x=-9.
故答案为：-9.
【分析】根据3x+2与式子2（x-2）-3可得方程3x+2=2（x-2）-3，再求解方程即可
14．【答案】9
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的每个外角度数为，
由题意得=40°，
解得n=9，
那么这个正多边形的边数为 9.
故答案为：9.
【分析】根据正多边形的外角度数：可解.
15．【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-4>-1得x>3，
∵ 不等式组的解集是x>3
∴m≤3（若m>3，解集为x>m）
故答案为：m≤3.
【分析】先解不等式组的每个不等式，再结合不等式组的解集建立关于m的不等式，最后解此不等式可得m的取值范围.
16．【答案】18°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ 多边形ABCDE是正五边形， 多边形ABMN是正方形，
∴∠EAB==108°，∠NAB=90°，
∴ ∠EAN=∠EAB-∠NAB=108°-90°=18°.
故答案为：18°.
【分析】正多边形的每个内角的度数：
17．【答案】7
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得S△E'C'D'=S△ECD，
∴S△PCD'+S梯形E'C'CP=S△PCD'+S四边形PEDD'，
∴S梯形E'C'CP=S四边形PEDD'，
∵三块阴影部分的面积之和为7，
∴ S阴影=S四边形PEDD'+S△AE'P+S△BC'E=S梯形E'C'CP+S△AE'P+S△BC'E=S△ABC=7，
故直角三角板ABC的面积为7.
故答案为：7.
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到S△E'C'D'=S△ECD，则S梯形E'C'CP=S四边形PEDD'， 再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为7，进行求解即可.
18．【答案】35°或63°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：当点Q在平行线AB， CD之间时，
设∠CFQ=x，
∵∠CFQ=∠PFC，
∴∠PFC=2∠CFQ=2x，
∴∠PFQ=∠PFC-∠CFQ=x，
由折叠可得∠EFP=∠PFQ=x，
∵ABIICD，
∴∠PEF+∠CFE=∠PEF+∠PFC+∠EFP=180°，
∴75°+2x+x=180°，
解得x=35°，
∴∠EFP=35°；
当点Q在CD下方时，
设∠CFQ=x，
∵∠CFQ=∠PFC，
∴∠PFC=2∠CFQ=2x，
∴∠PFQ=∠PFC+∠CFQ=3x，
由折叠可得∠EFP=∠PFQ=3x，
∵ABIICD，
∴∠PEF+∠CFE=∠PEF+∠PFC+∠EFP=180°，
∴75°+2x+3x=180°，
解得x=21°，
∴∠EFP=3x=63°，
综上所述，∠EFP=35°或63°.
故答案为：35°或63°.
【分析】分点Q在平行线AB， CD之间和点Q在CD下方两种情况讨论，分别构建方程即可解决问题.
19．【答案】解：
①-②得：y+3y=9-5
y=1
将y=1代入①得：2x+1=9
解得：x=4
原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查解二元一次方程组，可用加减消元法和代入消元法，该方程x的系数相等，可选用加减消元法.
20．【答案】解：
解①得：x≤5
解②得：x>1·
不等式组的解集为：1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
21．【答案】（1）解：△ABC沿BC边向右平移得到∠DEF，∠B=70°
∴∠DEF=∠B=70°，AC//DF
∵∠F=40°
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠F=180°-70°-40°=70°
（2）解：△ABC沿BC边向右平移得到∠DEF，AD=2，
∴CF=AD=2，DF=AC
∵△ABC的周长为10
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=△ABC的周长+AD+CF
=10+2+2
=14
∴四边形ABFD的周长为14
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】(1)首先由平移的性质可知∠DEF=∠B，再由三角形的内角和为180°即可求出∠EDF的度数.
（2）由平移的性质可知，平移前后的两个图形中的对应线段相等，观察图形可知DF=AC，CF=AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可.
22．【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得，
解得，经检验，符合题意；
答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元；
（2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，
根据题意得：30m+25（100-m）≤2700，
解得：m≤40，
∴最大整数解为40，
答：最多能购买40副象棋.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130.
(2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可.
23．【答案】（1）解：如下图，
（2）解：如下图
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3） 连结AB2 如下图：S四边形AB2A2C =S△AB2C+S△B2A2C = =
【分析】(1)作△ABC的三个关键点A、B、C关于直线l的对称点 A1、B1、C1，连接这三个点即可.
(2)找到△ABC的两个关键点A、B 绕点C逆时针旋转90°的对应点A2、B2，连接A2、B2、C即可.
(3)连结AB2 ，用割补法计算面积即可.
24．【答案】（1）解：解方程组得，
由于x为非正数，y为负数，
可列不等式组，
解得-2（2）解：将不等式合并同类项得(2a+1)x>2a+1，
∵不等式的解为，
∴2a+1<0，
∴a<.
又∵-2∴-2∴整数a的值为-1，
故当a为-1时，不等式的解为.
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）先解方程组求出x，y，再根据x为非正数，y为负数列出关于a的不等式组，再解该不等式组 求a的取值范围 .
（2）先求解不等式，再结合不等式的解集建立关于a的不等式，解此不等式可得a的取值范围，再结合（1）中a的取值范围确定a的最终取值范围，再根据a为整数求出a值.
25．【答案】（1）解：①∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，∠ACP=55°，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACD=2∠ACP=110°，
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=70°.
②∠M=90°+∠A，理由如下：
∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD
由翻折可知∠CBG=∠PBC，∠BCG=∠BCP
∵BM平分∠CBG，BM平分∠PGC，
∴∠MBC=∠GBD=∠PBC=∠ABC，∠BCM=∠BCG=∠BCP
∵∠BCP=180°∠PCD，∠PCD=∠ACD
∴∠BCM=(180°∠PCD)=90°∠PCD=90°∠ACD
∵∠M=180°∠MBC∠BCM=180°∠ABC(90°∠ACD)=90°∠ABC+∠ACD=90°+(∠ACD∠ABC)
又∵∠ACB=180°∠ACD，∠A=180°∠ACB∠ABC，
∴∠A=∠ACD∠ABC.
∴∠M=90°+∠A.
（2）解：6.
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解析】（2）作点D关于AB的对称点D’，连接DD'、BD'、FD’，作点G关于BC的对称点G'，连接EG’、BG'， 当G'，E，F， D'四点在同一直线上，且D'G'⊥B'G'时，GE+EF+FD的值最小.
由轴对称的性质可知，∠DBA=∠ABC=∠CBG'=，∠FD'D=∠FDD'，∠G'EG=2∠BEG=2∠BEG'，∠D'OB=90°，
∵D'G'⊥B'G'
∴∠BD'G'=90°-∠DBA-∠ABC-∠CBG'=90°-3，
∠BEG'=90°-∠CBG'=90°-，
∴∠G'EG=2∠BEG'=180°-2，
∴∠GEF=180°-∠G'EG=2，
∵∠D'OB=90°，
∴∠BD'O=90°-∠D'BA=90°-，
∵∠BD'G'=90°-3，
∴∠FD'D=∠FDD'=∠BD'O-∠BD'G'=2，
∵∠D'FD=180°-∠FD'D-∠FDD'=180°-4，
∴∠EFD=180°-∠D'FD=4，
∴ ∠EFD+∠GEF=4+2=6.
【分析】（1）①通过角平分线的性质求出∠ABC、∠ACD的度数，再根据平角、三角形的内角和求出∠A的度数.
②由①可知求∠A与∠ACD、∠ABC有关系，通过等量代换可得∠A=∠ACD∠ABC，而由翻折、角平分线的性质可将∠M用∠ACD、∠ABC表示，再用∠A替换∠ACD、∠ABC.
(2)作点G关于BC的对称点G'，连接EG’， 作点D关于AB的对称点D’，连接FD’，当G'，E，F， D'四点在同一直线上，且D'G'⊥B'G'时，GE+ EF+ FD的值最小，据此利用轴对称的性质以及三角形内角和定理求解即可.
26．【答案】（1）15°
（2）解：过点H作HO∥PQ，
∵PQ∥MN
∴HO∥PQ∥MN
∴∠HGQ=∠GHO，∠OHA=∠HAN
∴∠H=∠GHO+∠OHA=∠HGQ+∠HAN
∵四边形AHGF的内角和为360°，∠FGH=2∠HGQ，∠FAH=2∠HAN，
∴∠AFG+∠FGH+∠FAH+∠H=∠AFG+2∠HGQ +2∠HAN +∠H =∠AFG+2(∠HGQ +∠HAN)+∠H =∠AFG+2∠H+∠H =∠AFG+3∠H =360°，
∵∠AFG=180°-∠DFE=180°-30°=150°，
∴∠H=（360°-∠AFG）÷3=70°.
（3）解：6秒或15秒或24秒或42秒或51秒.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；猪蹄模型；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解析】解：（1）∵PQ∥MN∴∠PDE+∠BAC=∠E∴∠PDE=∠E-∠BAC=15°
（3）
解：∵PQ∥MN
∴∠QEF=∠BAC=45°，
∴∠QEF=∠DEF-∠QEF=15°，
∵边ED与射线EP重合时两个三角形停止转动
又=55s
∴t≤55s
1 ：DF∥AC：
如图1所示，∠DEF=15+3t，∠DOP=90-(15+3t)=75-3×t，∠CAM=45+2t，
∵PQ∥MN
∴∠DOP=∠DRM
当75-3t=45+2t时，∠DOP=∠CAM
则∠DRM=∠CAM
∴DF∥AC
故当t=6时，DF∥AC
如图2所示，∠DEF=15+3t，
则DF与PQ的夹角为3t-75，∠CAN=135-2t，
当3×t-75=135-2t时，同理可得DF∥AC，解得t=42
2： DF∥BC，
由平行线的性质可得方程2t-45=75-3t，解得t=24
3： DF∥AB
由平行线的性质可得方程2t=75-3t，解得t=15
由平行线的性质可得方程180-2t=3t-75，解得t=51
综上所述，符合条件的t值有6秒或15秒或24秒或42秒或51秒.
【分析】（1）根据"猪蹄模型"和三角板的角的度数解答即可.
（2）根据平行线的性质、题目的条件、四边形的内角和解答即可.
（3）当DF与PQ的夹角等于△ABC的一条边与MN的夹角时，DF与△ABC的该条边平行，分DF∥AC，DF∥BC，DF∥AB三种情况讨论即可.
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