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浙江省杭州市西湖区杭州市十三中教育集团（总校）2025年中考三模数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·西湖模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·西湖模拟）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》截至年月日，突破亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·西湖模拟）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·西湖模拟）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025·西湖模拟）如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·西湖模拟）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　）
A．方差为0 B．众数为75
C．中位数为77.5 D．平均数为75
7．（2025·西湖模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·西湖模拟）如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·西湖模拟）已知直线是二次函数（是实数，且）的图象的对称轴，点和点为其图象上的两点，且，（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·西湖模拟）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（　　）
A．一定等于 B．可能大于
C．不可能大于 D．不可能等于
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·西湖模拟）解方程：，则方程的解是　 　．
12．（2025·西湖模拟）分解因式：x2﹣4x=　 　．
13．（2025·西湖模拟）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则　 　．
14．（2025·西湖模拟）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是　 　．
15．（2025·西湖模拟）如图，在菱形中，，点E关于的平分线的对称点为F，点F关于的平分线的对称点为G，连接．若，，则=　 　．
16．（2025·西湖模拟）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为　 　．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2025·西湖模拟）计算：．
18．（2025·西湖模拟）解不等式组：．
19．（2025·西湖模拟）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，且，求的长．
20．（2025·西湖模拟）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数____；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
21．（2025·西湖模拟）小西和小湖两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小西全程匀速跑，5分钟后小湖才开始出发，第一次与小西相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，结果小湖比小西提前4分钟到达．小西和小湖的行程相关信息如表所示；离出发地的距离（米）与小西、小湖跑步时间（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 行程里程（米）
小西 － 不分段 5400
小湖 － 第一段（休息前） 1800
休息
第二段（休息后） 3600
（1）分别求出小西匀速和小湖第一段的跑步速度．
（2）求小湖中间休息的时间．
（3）在a分钟时两人第二次相遇，求a的值．
22．（2025·西湖模拟）先阅读，后完成：在数学复习课上，某老师出了一道题如下：
如图，已知中，．求证：，
小丽与小明思考后，有一段交流对话：
小明：这是一个假命题，因为根据三角函数的定义，图中没有直角三角形，所以结论不成立．
小丽：我可以过某一个点作出垂线段，产生直角三角形，就可以证明了．
小明：哦……我明白了！
（1）请你完成小丽的证明过程．
（2）已知，，求的面积．
23．（2025·西湖模拟）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
（1）求a的值；
（2）二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
24．（2025·西湖模拟）如图，点P在正方形的对角线延长线上，连接，过点P作交的延长线于点E，过点E作于点F．
（1）若，
①求的度数；
②设，求的长；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面观察几何体，主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是2，1，1，
故答案为：A．
【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面观察得到视图，据此得到答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，则不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，幂的乘方运算法则，逐项进行计算判断即可．
5．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与是位似图形，，
，
，
与的相似比为，
故选：A．
【分析】根据位似图形的性质，求出，进而求得，再求出与的相似比．
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
故平均数为；
方差为
75出现的次数最多，故众数为75；
第5和第6个数都是75，故中位数是75；
故选项ACD都错误，B选项正确；
故答案为：B.
【分析】根据平均数和方差计算公式计算并判断AD，根据中位数和众数的定义可判断BC.
7．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，
∴此选项不符合题意；
C.射线BO不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，
∴此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点；结合各选项所给的射线即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，有，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，故，然后根据三角形的外角性质得出，最后根据等腰三角形的判定即可求解．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：直线是二次函数，，是实数，且的图象的对称轴，
，
，
，
点，和点，为其图象上的两点，
，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
当时，有，故A，B不符合题意；
当时，有，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称轴得到，从而得，然后将点坐标代入求出的值，进而求出的值，最后结合条件进行分析即可.
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；点与圆的位置关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①如果弦是圆的直径，
∵，
∴此时的直径是8，故A、D错误；
②如果弦不是圆的直径，如图，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，
易证四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
设圆的半径为，即，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
当点在圆上时，，即，
解得：，
∴圆的直径可能等于10；
当点在圆内时，，即，
解得：，
∴圆的直径可能小于；
综上所述，圆的直径不可能大于，
故答案为：C．
【分析】分两种情况讨论：①如果弦是圆的直径，则可判断AD错误；②如果弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，易证四边形是矩形，得，根据垂径定理得，，然后设圆的半径为，利用勾股定理可求得，接下来通过讨论点在圆上或圆内，求出此时的值或取值范围，即可判断C正确，D错误.
11．【答案】
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了解一元一次方程，通过去括号，移项，系数化为1，逐步进行求解即可得到答案.
12．【答案】x（x﹣4）
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2﹣4x=x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
13．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°.根据同弧所对的圆周角相等可得，再结合直角三角形的性质，即可得到答案．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：对于，有，则y随x的增大而增大，
对于，有，则y随x的增大而减小，
对于，有，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
对于，有，则图象在一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有1种，
∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是，
故答案为：．
【分析】先根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，最后再根据概率公式求解即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，过点B作于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵点关于的平分线的对称点为，点关于的平分线的对称点为，，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点B作于，根据菱形以及平行线的性质得，，，由菱形的性质以及轴对称的性质得，从而可证是等边三角形及是等腰三角形，进而根据等边三角形的性质和等腰三角形“等边对等角”的性质可求得的长和的度数，于是得，然后求出的长，根据含30°的直角三角形的性质得的长，同时求的长，接下来利用勾股定理求出的长，根据等腰三角形“三线合一”性质得的长，根据勾股定理即可求得的长，最后求比即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】过点作于点，延长，交于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，然后结合三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出，由等腰三角形“三线合一”的性质得出，接下来证明，根据相似三角形的判定得，于是由相似三角形对应边成比例得，即可求出，利用勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例定理得，据此可求出.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值的意义进行化简，最后进行加减运算即可．
18．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为4cm.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，结合条件得，即可根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质以及平行线的性质得，进行等量代换得，于是根据等腰三角形的判定得，然后求出，结合等腰三角形的判定得出即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
20．【答案】（1）；
（2）解：在线听课的学生有：（人），
∴补全的条形统计图如下图所示：
（3）解：（人），
∴该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次调查的学生总人数：（人），
故答案为：.
【分析】（1）直接用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得本次调查的学生总人数；
（2）先用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体，将3000乘以在线阅读学生所占的百分比即可.
（1）本次调查的学生总人数：，
故答案为：；
（2）在线听课的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3）（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
21．【答案】（1）解：根据题意，得小西匀速速度为：（米/分钟），
∴小湖第一段时间为（分钟），
∴小湖第一段速度为（米/分钟）；
（2）解：由（1）得小湖第一段速度为120米/分，
∵第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，
∴小湖第二段速度为（米/分钟），
∴小湖第二段时间为（分钟），
∴小湖休息时间为（分钟）；
（3）解：∵在a分钟时两人第二次相遇，此时两人跑步累计里程相等，
∴此时小湖在跑第二段，所跑时间为（分钟），
，
解得：．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先求出小西匀速速度，从而结合函数图象得小湖第一段时间，进而得小湖第一段速度；
（2）由（1）可求出小湖第二段速度，由此可求出小湖第二段时间，即可求解；
（3）由小湖休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等得小湖在跑第二段的所跑时间，于是得关于a的方程，解方程即可求解．
（1）解：小西匀速速度：（米/分），
小湖第一段时间：（分钟），
小湖第一段速度：（米/分）；
（2）解：小湖第二段速度：（米/分），
小湖第二段时间：（分钟），
小湖休息时间：（分钟）；
（3）解：小湖休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小湖在跑第二段，所跑时间为（分钟），
，
解得．
22．【答案】（1）证明：如图，过点作，交延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，；
（2）解：由（1）得，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；解直角三角形—边角关系；余弦的概念；求正切值
【解析】【分析】（1）过点作，交延长线于点，结合三角形外角性质得，然后在和中，利用余弦的定义得，，最后在中，由正切的定义得证结论；
（2）结合（1）中的结论，解直角三角形求得的值，利用勾股定理以及正切的定义进一步求得和的值，在中，利用勾股定理求出的值，则可求出的值，最后利用三角形面积公式进行求解．
（1）证明：过点A作交延长线于点D，如图，
则，
∵．
∴，
在中，；
（2）解：由（1）得，，
∵，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
在中，，
则，
那么，的面积．
23．【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴顶点坐标为，，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；
（3）解：将代入，得，
∵，，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将两个二次函数化为顶点式，从而求得顶点坐标，进而根据两个顶点的横坐标的关系列出关于的方程，解方程即可求解；
（2）结合（1）的结论，由两个二次函数的解析式以及二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量进行求解；
（3）把点坐标代入函数解析式中得到的值，把点坐标，代入函数解析式中得到的值，整理且进行因式分解得到，于是求出的值，即可出得出结果．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：①如图，在上取一点，使，连接，
，
，
∵四边形是正方形，
，，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
，，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如图，在上取一点，使，连接，连接交于点，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，
又∵，
∴，
，
∵四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上取一点，使，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，
由（1）得四边形是平行四边形，
∴，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，即，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）①在上取一点，使，连接，证明，得，然后证明，得，于是求出即可求解；②在上取一点，使，连接，连接交于点，结合①中的结论推出四边形是平行四边形，得，根据三角形全等得，于是进行等量代换得，然后根据正方形的性质得，，，由含30°的直角三角形的性质求出的值即可求解；
（2）在上取一点，使，连接，，根据正方形的性质以及平行四边形的性质得，，，从而得，进而推出四边形是平行四边形，得，然后求出，于是得到是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的知识即可得证结论.
（1）解：①如图1，在上取一点G，使，连接，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
在和中，
∴（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴；
②，，
∴四边形是平行四边形，
，
又，
，
连结交于点，
∵四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，即，
，
．
1 / 1浙江省杭州市西湖区杭州市十三中教育集团（总校）2025年中考三模数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·西湖模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．（2025·西湖模拟）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》截至年月日，突破亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
3．（2025·西湖模拟）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面观察几何体，主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是2，1，1，
故答案为：A．
【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面观察得到视图，据此得到答案.
4．（2025·西湖模拟）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，则不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，幂的乘方运算法则，逐项进行计算判断即可．
5．（2025·西湖模拟）如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与是位似图形，，
，
，
与的相似比为，
故选：A．
【分析】根据位似图形的性质，求出，进而求得，再求出与的相似比．
6．（2025·西湖模拟）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　）
A．方差为0 B．众数为75
C．中位数为77.5 D．平均数为75
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
故平均数为；
方差为
75出现的次数最多，故众数为75；
第5和第6个数都是75，故中位数是75；
故选项ACD都错误，B选项正确；
故答案为：B.
【分析】根据平均数和方差计算公式计算并判断AD，根据中位数和众数的定义可判断BC.
7．（2025·西湖模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，
∴此选项不符合题意；
C.射线BO不是的平分线，
∴此选项不符合题意；
D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，
∴此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点；结合各选项所给的射线即可判断求解．
8．（2025·西湖模拟）如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，有，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，故，然后根据三角形的外角性质得出，最后根据等腰三角形的判定即可求解．
9．（2025·西湖模拟）已知直线是二次函数（是实数，且）的图象的对称轴，点和点为其图象上的两点，且，（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：直线是二次函数，，是实数，且的图象的对称轴，
，
，
，
点，和点，为其图象上的两点，
，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
当时，有，故A，B不符合题意；
当时，有，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称轴得到，从而得，然后将点坐标代入求出的值，进而求出的值，最后结合条件进行分析即可.
10．（2025·西湖模拟）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（　　）
A．一定等于 B．可能大于
C．不可能大于 D．不可能等于
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；点与圆的位置关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①如果弦是圆的直径，
∵，
∴此时的直径是8，故A、D错误；
②如果弦不是圆的直径，如图，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，
易证四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
设圆的半径为，即，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
当点在圆上时，，即，
解得：，
∴圆的直径可能等于10；
当点在圆内时，，即，
解得：，
∴圆的直径可能小于；
综上所述，圆的直径不可能大于，
故答案为：C．
【分析】分两种情况讨论：①如果弦是圆的直径，则可判断AD错误；②如果弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，易证四边形是矩形，得，根据垂径定理得，，然后设圆的半径为，利用勾股定理可求得，接下来通过讨论点在圆上或圆内，求出此时的值或取值范围，即可判断C正确，D错误.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·西湖模拟）解方程：，则方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了解一元一次方程，通过去括号，移项，系数化为1，逐步进行求解即可得到答案.
12．（2025·西湖模拟）分解因式：x2﹣4x=　 　．
【答案】x（x﹣4）
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2﹣4x=x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
13．（2025·西湖模拟）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°.根据同弧所对的圆周角相等可得，再结合直角三角形的性质，即可得到答案．
14．（2025·西湖模拟）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：对于，有，则y随x的增大而增大，
对于，有，则y随x的增大而减小，
对于，有，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
对于，有，则图象在一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有1种，
∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是，
故答案为：．
【分析】先根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，最后再根据概率公式求解即可．
15．（2025·西湖模拟）如图，在菱形中，，点E关于的平分线的对称点为F，点F关于的平分线的对称点为G，连接．若，，则=　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，过点B作于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵点关于的平分线的对称点为，点关于的平分线的对称点为，，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点B作于，根据菱形以及平行线的性质得，，，由菱形的性质以及轴对称的性质得，从而可证是等边三角形及是等腰三角形，进而根据等边三角形的性质和等腰三角形“等边对等角”的性质可求得的长和的度数，于是得，然后求出的长，根据含30°的直角三角形的性质得的长，同时求的长，接下来利用勾股定理求出的长，根据等腰三角形“三线合一”性质得的长，根据勾股定理即可求得的长，最后求比即可.
16．（2025·西湖模拟）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】过点作于点，延长，交于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，然后结合三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出，由等腰三角形“三线合一”的性质得出，接下来证明，根据相似三角形的判定得，于是由相似三角形对应边成比例得，即可求出，利用勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例定理得，据此可求出.
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2025·西湖模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值的意义进行化简，最后进行加减运算即可．
18．（2025·西湖模拟）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
19．（2025·西湖模拟）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，且，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为4cm.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，结合条件得，即可根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质以及平行线的性质得，进行等量代换得，于是根据等腰三角形的判定得，然后求出，结合等腰三角形的判定得出即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
20．（2025·西湖模拟）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数____；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
【答案】（1）；
（2）解：在线听课的学生有：（人），
∴补全的条形统计图如下图所示：
（3）解：（人），
∴该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次调查的学生总人数：（人），
故答案为：.
【分析】（1）直接用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得本次调查的学生总人数；
（2）先用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体，将3000乘以在线阅读学生所占的百分比即可.
（1）本次调查的学生总人数：，
故答案为：；
（2）在线听课的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3）（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
21．（2025·西湖模拟）小西和小湖两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小西全程匀速跑，5分钟后小湖才开始出发，第一次与小西相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，结果小湖比小西提前4分钟到达．小西和小湖的行程相关信息如表所示；离出发地的距离（米）与小西、小湖跑步时间（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 行程里程（米）
小西 － 不分段 5400
小湖 － 第一段（休息前） 1800
休息
第二段（休息后） 3600
（1）分别求出小西匀速和小湖第一段的跑步速度．
（2）求小湖中间休息的时间．
（3）在a分钟时两人第二次相遇，求a的值．
【答案】（1）解：根据题意，得小西匀速速度为：（米/分钟），
∴小湖第一段时间为（分钟），
∴小湖第一段速度为（米/分钟）；
（2）解：由（1）得小湖第一段速度为120米/分，
∵第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，
∴小湖第二段速度为（米/分钟），
∴小湖第二段时间为（分钟），
∴小湖休息时间为（分钟）；
（3）解：∵在a分钟时两人第二次相遇，此时两人跑步累计里程相等，
∴此时小湖在跑第二段，所跑时间为（分钟），
，
解得：．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先求出小西匀速速度，从而结合函数图象得小湖第一段时间，进而得小湖第一段速度；
（2）由（1）可求出小湖第二段速度，由此可求出小湖第二段时间，即可求解；
（3）由小湖休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等得小湖在跑第二段的所跑时间，于是得关于a的方程，解方程即可求解．
（1）解：小西匀速速度：（米/分），
小湖第一段时间：（分钟），
小湖第一段速度：（米/分）；
（2）解：小湖第二段速度：（米/分），
小湖第二段时间：（分钟），
小湖休息时间：（分钟）；
（3）解：小湖休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小湖在跑第二段，所跑时间为（分钟），
，
解得．
22．（2025·西湖模拟）先阅读，后完成：在数学复习课上，某老师出了一道题如下：
如图，已知中，．求证：，
小丽与小明思考后，有一段交流对话：
小明：这是一个假命题，因为根据三角函数的定义，图中没有直角三角形，所以结论不成立．
小丽：我可以过某一个点作出垂线段，产生直角三角形，就可以证明了．
小明：哦……我明白了！
（1）请你完成小丽的证明过程．
（2）已知，，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点作，交延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，；
（2）解：由（1）得，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；解直角三角形—边角关系；余弦的概念；求正切值
【解析】【分析】（1）过点作，交延长线于点，结合三角形外角性质得，然后在和中，利用余弦的定义得，，最后在中，由正切的定义得证结论；
（2）结合（1）中的结论，解直角三角形求得的值，利用勾股定理以及正切的定义进一步求得和的值，在中，利用勾股定理求出的值，则可求出的值，最后利用三角形面积公式进行求解．
（1）证明：过点A作交延长线于点D，如图，
则，
∵．
∴，
在中，；
（2）解：由（1）得，，
∵，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
在中，，
则，
那么，的面积．
23．（2025·西湖模拟）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
（1）求a的值；
（2）二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴顶点坐标为，，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；
（3）解：将代入，得，
∵，，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将两个二次函数化为顶点式，从而求得顶点坐标，进而根据两个顶点的横坐标的关系列出关于的方程，解方程即可求解；
（2）结合（1）的结论，由两个二次函数的解析式以及二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量进行求解；
（3）把点坐标代入函数解析式中得到的值，把点坐标，代入函数解析式中得到的值，整理且进行因式分解得到，于是求出的值，即可出得出结果．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·西湖模拟）如图，点P在正方形的对角线延长线上，连接，过点P作交的延长线于点E，过点E作于点F．
（1）若，
①求的度数；
②设，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：①如图，在上取一点，使，连接，
，
，
∵四边形是正方形，
，，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
，，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如图，在上取一点，使，连接，连接交于点，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，
又∵，
∴，
，
∵四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上取一点，使，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，
由（1）得四边形是平行四边形，
∴，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，即，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）①在上取一点，使，连接，证明，得，然后证明，得，于是求出即可求解；②在上取一点，使，连接，连接交于点，结合①中的结论推出四边形是平行四边形，得，根据三角形全等得，于是进行等量代换得，然后根据正方形的性质得，，，由含30°的直角三角形的性质求出的值即可求解；
（2）在上取一点，使，连接，，根据正方形的性质以及平行四边形的性质得，，，从而得，进而推出四边形是平行四边形，得，然后求出，于是得到是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的知识即可得证结论.
（1）解：①如图1，在上取一点G，使，连接，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
在和中，
∴（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴；
②，，
∴四边形是平行四边形，
，
又，
，
连结交于点，
∵四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，即，
，
．
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