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2024-2025学年辽宁省重点高中联合体高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.记的内角，，的对边分别为，，，且，，，则和的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知某扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知直线族：与曲线在区间内的图象共有个交点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于斜二测画法，下列命题为真命题的有( )
A. 平行关系在直观图与原图中保持不变
B. 斜二测画法不会改变边长比例
C. 斜二测画法会改变直角关系
D. 通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等
10.已知复数，是方程的两个根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
11.已知，则的取值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知边长为的菱形的一个内角为，则______．
14.如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
若，求的值；
若，且与的夹角为锐角，求的取值范围．
16.本小题分
如图，已知正四面体，，，，分别是棱，，，的中点．
证明：四边形为菱形；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
在中，是锐角，且．
求；
设是所在平面内的一点，，位于直线两侧，若，且，求四边形的面积．
18.本小题分
已知函数．
若，求的最小正周期；
若在区间上有定义．
求的最大值；
(ⅱ)若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围．
19.本小题分
斜圆锥，顾名思义，即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变，将顶点位置改变后，所得到的锥体即为斜圆锥．
祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．
如图，已知圆柱的上底面圆心为，下底面圆心为，圆锥的顶点为，底面与圆柱的下底面相同是圆柱的上底面圆周上一点，将与圆柱下底面圆周上的点相连，记构成的封闭几何体为斜圆锥是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，，是圆柱下底面圆周上的两点，，．
证明：；
证明：截所得的图形为圆面；
已知斜圆锥的底面半径为，底面中心与顶点的连线长度为，且其与底面所成的角为，求该斜圆锥的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.因为，所以，所以，
所以；
时，，，
与的夹角为锐角，
所以，
解得，
且与不同向共线，即，即，
综上，的取值范围是且．
16.证明：正四面体，，，，分别是棱，，，的中点，
为的中位线，
，且，
同理可得，且，
，且，四边形为平行四边形，
同理有，
在正四面体中，，，
四边形为菱形．
，即为异面直线，所成的角，
设正四面体的棱长为，则，，
由余弦定理得，，
异面直线与所成角的余弦值为．
17.依题意得，故，
在中，，，，
所以，
所以，故；
由知，，因为，
所以，且点为的外接圆的圆心，圆的半径为，
由正弦定理得，，解得，
因为，所以，
故，
故的面积为，
的面积为，
所以四边形的面积为．
18.当时，，
则；
当时，，，
若在上有定义，则，
解得，故的最大值为；
令，，
解得，，
则在区间上至少有两解，
故至少存在两个值使，
故至少有，两个取值，
所以，
综上，的范围为．
19.由题意圆柱的上底面圆心为，下底面圆心为，圆锥的顶点为，底面与圆柱的下底面相同．是圆柱的上底面圆周上一点，
是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，
可知平面平面，且平面平面又因为，，即平面，所以．
由于平行线分线段成比例，所以，即．
如图，
连接，记，连，，
因为，，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，于是有，
同理可得，又，
所以，
由于，是圆柱下底面圆周上的任意两点，故结论具有一般性，所以截所得的图形是以为圆心的圆面．
不妨去除斜圆锥的顶点在圆柱上底面圆周的限制，保留在圆柱上底面所在平面内，
则即为中所述的斜圆锥．
记，圆柱的高为则与类似可得，
令，根据相似可得平面截圆锥所得的圆的半径为，
又，所以在圆锥中，截所得的圆的半径同样为．
由于在区间，上可以任意取值，
故不同高度的平面截所得的圆其面积始终等于截所得的圆的面积，
又斜圆锥与圆锥的高度均为，
根据祖暅原理可知：斜圆锥与圆锥的体积相等．
由于圆锥的体积为，其中是顶点到底面的距离，且，
故，所以斜圆锥的体积为．
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