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2024-2025学年河南省濮阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.年月日，长征二号丁运载火箭一次性将颗太空计算卫星成功送入预定轨道若各卫星从星箭分离至入轨所需时间单位：秒按升序排列为，，，，，，，，，，，，则这组数据的中位数为( )
A. B. C. D.
4.“函数的定义域为”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
8.高一某班有名男生和名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为，若男生分数的方差为，全班分数的方差为，则女生分数的方差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为点
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
10.如图，在中，为边上的一个三等分点靠近点，，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 是在上的投影向量
11.一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立现从袋中随机摸取一个球，设事件为“摸到红球”，事件为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是( )
A. 事件与事件互斥
B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为
C.
D. 若连续摸球两次有放回，则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ______．
13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，若一个球与该正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，则该球的体积为______．
14.在平面四边形中，，分别是边和的中点，四边形所在平面内一点满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的坐标；
若，求的坐标以及与的夹角．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求的单调递减区间；
求在区间上的值域．
17.本小题分
为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长单位：分均分布在区间内，现将这个飞行时长数据按，，，，，分成组并整理，得到如下频率分布直方图．
求图中的值；
该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为分钟，判断该无人机能否被检测到；
若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取架，再从这架中随机抽取架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率．
18.本小题分
设锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，求的面积的取值范围；
若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，与交于点．
证明：平面平面；
若是棱的中点，求二面角的正切值；
若，分别是线段，上的点，且，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值．
参考答案
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14.
15.向量，设，
又，，
故的坐标为或．
设，则，
故，
由已知条件得，即，
化简得，
将式代入，得，解得．
将代入式，得，
即或，
设与的夹角为，则，
所以，即与的夹角为．
16.由题意得的最大值为，
的周期满足，解得，所以，
根据，函数取得最大值，可得，
结合，解得，所以；
令，解得，
所以的单调递减区间为；
当时，，
所以当时，取到最小值，
当时，取到最大值，可得，
所以，即在区间上的值域为．
17.由题意知，解得．
按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机，即求分位数．
在频率分布直方图中，前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以分位数位于内，设为，
则，解得．
因为，属于前，故能被检测到．
正常飞行时长在，内的频率分别为，，
则抽取架时，内的应分别抽取架、架．
设在内的架分别为，，，，在内的架分别为，，
在和内各抽取一架为事件，
则该试验的样本空间为，，，，，
，，，，，，
，，，，，
，，，，
，，，，，
所以．
18.利用正弦定理化简已知等式可得，
，
，
又，
可得，
，
；
由，得，
由正弦定理，
又为锐角三角形，
可得，
则，即，
，于是的面积；
设的外接圆半径为，内切圆半径为，
由如，，
，即，
整理可得，
，可得当且仅当时，等号成立，
，
当且仅当时，等号成立，
显然此时为等边三角形，满足题意，
故内切圆半径的最大值为．
19.证明：平面，平面，，
底面是正方形，，
，，平面，平面，
又平面，平面平面．
解：分别取的中点，的中点，连接，，，如图．
易得，又平面，平面，，．
，，，又，平面，
又，平面，，，
是二面角的平面角．
设，则，
，即二面角的正切值为．
解：作，与交于点，连接，如图．
，．
又，，．
由可得，，则，，且，
，
当时，取得最大值为．
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