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2024-2025学年甘肃省甘南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.过圆：外的点作的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列为
则数学期望( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的个数为( )
根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为，若，，，则；
分类变量与的统计量越大，说明“与有关系”的可信度越小；
一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强．
A. B. C. D.
6.设是数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
7.设为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点在上，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若有且仅有两个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 常数项为 B. 各二项式系数的和为
C. 各项系数的和为 D. 各二项式系数的最大值为
10.已知函数，则( )
A. 有个零点
B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C. 点是曲线的对称中心
D. 在区间上的值域为
11.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点，分别在平面与平面内，则( )
A. 平面
B. 平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行六面体中，，，分别在棱和上，且，若，则 ______．
13.若函数为常数是上的增函数，则的取值范围是______．
14.个大小、质地、颜色完全相同的小球中有个球面标有的数字小球，此外还有个球面标有的字母小球，将这个小球随机排成一行，则在标有的小球左侧没有标号比小的数字小球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等差数列中，，．
求的通项公式；
求数列的前项和
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点为的中点．
证明：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知和为椭圆上两点．
求的方程；
点在椭圆上异于椭圆的顶点，直线交轴于点，，为椭圆的左、右焦点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：；
若对于恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
现有，两个盒子，，两盒子中各装有个黑球和个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中黑球的个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求，，，的值；
求证：是定值；
求的数学期望
参考答案
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14.
15.在等差数列中，，，
设公差为，
可得，，
解得，，
故．
由得，令，
则．
所以．
16.证明：取的中点为，连接，，
则，，
而，，故EF，，
故四边形为平行四边形，
故BF，
而平面，平面，
所以平面．
因为平面，，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
得，，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则由，可得，取，
故，
故平面与平面所成角的余弦值为．
由，平面的法向量为，
则，
即点到平面的距离为．
17.因为和为椭圆上两点，
所以，
解得，
则椭圆的方程为．
已知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
即，，
因为，，
所以，，，
所以，
则，
即，
解得．
则直线的方程为．
18.由已知得：，
，在单调递减，
，在单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增；
证明：要证，即证恒成立，
令，则．
，在单调递减，
，在单调递增，
所以，故，
即；
令，，
令，则，
由时，，所以，
当时，得，，得，满足题意，
当时，得，，
因此，则在上单调递增，
若，则，
则在上单调递增，
所以，满足题意；
若，则，，
因此在存在唯一的零点，
且，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，不合题意．
综上，的取值范围为．
19.由，两盒子中各装有个黑球和个红球，
可得取得个黑球的概率为，取得一个红球的概率为，
记盒子中黑球的个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为，
知，，，
．
证明：因为，
，
所以，
所以．
又因为，所以是常数列．
所以．
由知，
因为的可能取值是，，，
，，，
所以的分布列为
所以．
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