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2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.下列命题是假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
3.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则在上的零点个数为( )
A. B. C. D. 无数个
5.若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，为棱的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 某人掷骰子次，“掷出”与“掷出”是互斥事件
B. 甲、乙、丙三种个体按：：的比例分层抽样．如果抽取的甲个体数为，则抽取的丙个体数为
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B. 已知两个向量，，且，则
C. 若，且，，则
D. ，，则在上的投影向量为
11.如图，矩形中，，，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则( )
A.
B. 存在，使平面
C. 不存在，使平面
D. 当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离是
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知：是：的必要不充分条件，则实数的取值范围是______．
13.连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次正方体六个面上的点数分别为，，，，，，记录抛掷结果向上的点数设事件：第一次点数为，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为______；若事件与事件相互独立，则的值为______．
14.已知函数，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间单位：小时，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
若使用时间不小于小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了名学生进行问卷调查，并从这名学生中随机选择名学生进行访谈，求这名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
17.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
若，求的长；
求异面直线与所成角余弦值的最小值．
18.本小题分
已知，其中为奇函数，为偶函数．
求的解析式并指出的单调性无需证明；
若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；
若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，三棱锥的体积为，二面角为锐角，为的中点，平面平面，．
证明：平面；
求二面角的正弦值；
若，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面，与所成角的正弦值为，求的值．
参考答案
1.
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4.
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10.
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13.
14.
15.因为，，，
由正弦定理得，
所以，
所以，
故．
由，
所以，
解得或，
又因为，所以．
16.根据题意可知，，，
平均值为，，
根据题意可知，抽取的名学生中，青铜用户选名，记为，，，，铂金用户选名，记为，，
样本空间，
设事件“这名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则，
抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，这是一个古典概型，
．
17.解：连接，平面平面，交线为，
由，得平面，
平面，，
，，平面，
又平面，，
此时与相似，，
设，
由，解得，．
过作的平行线交于点，连接，
由，且，
得四边形是平行四边形，，
是异面直线与所成角，
设，
，
当且仅当，即时取等号，
锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
异面直线与所成角余弦值的最小值为．
18.因为，为奇函数，为偶函数，
则，
即，
联立，得，，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上单调递增；
由得单调递增，
因为，
所以，
整理得对于任意的成立，
则，
令，
则，
当且仅当时，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围为；
由知，，，
则
，
令，
则，当时等号成立，
则原题目转化为存在，使得成立，
当，成立；
当时，
则有，
解得；
综上，，
所以实数的取值范围为
19.证明：如图，过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
因为平面，平面，所以，
又因为，所以为二面角的平面角，
由三棱锥的体积，
解得，
在中，，
所以二面角的正弦值为；
因为平面，平面，平面平面，
所以，
故与所成的角即与所成的角，
易知，
依题意，不可能为钝角，
所以有，
当点在线段上时，如图所示，
因为，
所以
，
，
在中，由正弦定理得，
解得，所以；
当点在线段的延长线上时，如图所示
则
，
在中，由正弦定理得，
解得，所以．
综上，或．
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