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2024-2025学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.对四组数据进行统计，获得以下散点图如图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，若与共线，则实数值为( )
A. B. C. D.
4.随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示：
则( )
A. B. C. D. 或
5.已知函数，若趋近于时，则趋近于( )
A. B. C. D.
6.已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于变量，的部分成对观测数据如下表所示
则下列结论中正确的是( )
A. 样本数据的第百分位数为
B. ，
C. ，两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值大于
D. 用上表数据得到关于的回归直线方程为，则
10.设，下列结论中正确的是( )
A. 在处的切线斜率为 B. 有极大值，没有极小值
C. 若，则 D. 与有相同的极大值
11.如图，点是棱长为的正方体表面上的一个动点，是线段的中点，则( )
A. 若点与点重合时，则异面直线与所成的角的大小为
B. 当点在侧面上运动，且满足时，则动点的轨迹长度为
C. 当在底面上运动，且满足平面时，则动点的轨迹长度为
D. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ______．
13.在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则 ______．
14.已知直线与曲线相切，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：函数
求在区间上的最大值和最小值；
令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
某校高中数学兴趣小组共人，分布如下：高一年级人含个种子选手，高二年级人含个种子选手现从数学兴趣小组的人中随机抽取人参加市级奥数选拔赛．
设事件为“抽取的人中恰有名是种子选手，且这名选手分别来自两个不同年级”，求事件发生的概率；
设随机变量为抽取的人中种子选手的人数，求的分布列及其数学期望．
17.本小题分
如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为线段，上的点，且满足：：：．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
近年来，宁德市的旅游业发展势头强劲根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到万人次，旅游总收入约达到亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了，旅游收入增长了为了探究“五一”期间游客选择我市旅游线路是否受到某款““宣传的影响，一家研究机构随机抽取了名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据单位：人的统计结果：
选择线路的游客 不选择线路的游客 合计
受““宣传影响
未受“宣传影响
合计
试计算的观测值，你有多大的把握认为受““宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选择线路有影响？
若从我市全体游客中抽取次，每次抽取名游客假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为；如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，求第二次抽到男游客的概率．
若已知样本中男游客人数为人，其中选择线路游客为人；女游客人数为人，其中选择线路游客为人以样本频率估计总体的概率若从全体游客中男、女各随机抽取名，设名男游客中选择线路人数为，名女游客中选择线路人数为，令，求的分布列．
参考公式及数据：，其中．
19.本小题分
记，为的导函数若对，，则称函数为上的“凹函数”．
请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由；
设函数．
若为上的凹函数，求实数的取值范围；
若在上有极值，求的最小整数值．
参考数据：，，，，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，
令，
解得，，
因为，故舍去，
因为当时，，当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
又因为，，；
所以在区间上的最大值为，最小值为．
解法一：在上有三个零点，
则时，解得，，
因为当时，，当时，，当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为；
又因为当趋于时，趋于，当趋于时，趋于；
所以要使在上有三个零点，则，
即，
解得，
所以实数的取值范围为；
解法二：在上有三个零点，
即在上有三个解，
设，
则时，解得，，
因为当时，，当时，，当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为；
因为当趋于时，趋于，当趋于时，趋于；
所以要使在上有三个零点，
则，
所以实数的取值范围为．
16.由题易知，事件即为高一、高二各选名种子选手，
则，
所以，事件发生的概率为；
由题易知，随机变量的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：
．
17.证明：过点作交于点，连结，
：：，
，，
：：，，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
如图，以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
，则，，，．
，，，
，
取，得，，
则是平面的一个法向量．
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.假设：受““宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的线路无影响．
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
有的把握认为受““宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的线路有影响．
从我市全体游客中抽取次，每次抽取名游客，
假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取名，
若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为，
如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，
设表示第次抽到男游客，表示第次抽到女游客，，．
则，，．
第二次抽到男游客的概率为：
．
由题知，样本中选择线路的男游客频率为，选择线路的女游客频率为．
又，，，
，，，
的所有可能取值为，，，，，
则，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：
19.在定义域上是凹函数．
理由如下：
，，
，
在定义域上是凹函数；
，
为上的凹函数，
，恒成立，
即，恒成立．
令，则，
当时，；故在上单调递增，
故，
故，
，即的取值范围为；
由，得，
函数在上有极值，即在上有变号零点，
即在上有解；
令，，则，
令，则，，
，在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
即在上单调递增，在上单调递减，
又，，，故存在，使得，且时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
由于，，
故，，
又，
，
由零点存在定理知，．
设，
在上单调递减，且，，
．
，则，
又，的最小值为．
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