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2024-2025学年云南省丽江二中高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题中正确命题个数为( )
向量存在唯一的实数，使得向量；
为单位向量，且向量，则向量；
若向量，则；
若平面向量，，则向量．
A. B. C. D.
4.已知，均为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.设数列满足，，，，则满足的的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最小正周期为，且恒成立，则图象的一个对称中心坐标是( )
A. B. C. D.
8.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球在四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，底面为矩形，且平面平面若四棱锥存在一个内切球，设此内切球的表面积为，该四棱锥外接球的表面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某随机变量服从正态分布，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
10.双曲线：的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，若是右支上一点与点不重合，如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于、两点，则下列结论中正确的是( )
A. 到两条渐近线的距离之和为
B. 当直线运动时，始终有
C. 在中，
D. 内切圆半径取值范围为
11.为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A.
B.
C. 对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D. 一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，空间向量为单位向量，，，则空间向量在向量方向上投影的模为______．
13.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
14.将，，，，，随机填入如图所示的三角形图形中的个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知椭圆：的一个焦点为，离心率为 过焦点的直线与椭圆交于 ，两点，线段中点为，为坐标原点，过，的直线交椭圆于， 两点．
求椭圆的方程；
求四边形面积的最大值．
17.本小题分
定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数的取值范围；
若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，．
求的取值范围；
证明：．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若函数的图象不在直线的上方，求实数的值；
若，讨论函数的零点个数．
19.本小题分
已知集合，，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集．
Ⅰ若，写出的所有子集；
Ⅱ若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
Ⅲ若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以，
又因为，所以，
所以，即．
又因为，所以；
由知，，因为的面积为，
所以，即．
由余弦定理可得，
因为，所以，
又因为，所以．
所以的周长为．
16.解：由已知可得：，
解得，，
椭圆的方程为；
当直线的斜率不存在时，
，，，．
当直线的斜率存在时，
设直线方程为，，，，
点，到直线的距离分别为，．
联立，化为，
，．
．
，
线段的中点，
直线的方程为：．
联立，解得，．
，当时，取得等号；
综上可得四边形的面积的最大值为．
17.由与为“契合函数”，得，使
，
令，依题意，方程有唯一解，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的只有个交点，
则或，
所以实数的取值范围是．
由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，，
则存在，，，使，
即有两个相异正根，，
令，
，
由，得，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则，
当从大于的方向趋近于时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以的取值范围是．
证明：由知，当时，，
令，
，
令，，
当时，，函数递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以．
18.因为的定义域为，导函数，
当时，导函数，在上单调递增；
当时，令导函数，可得，
因此当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增．
设函数，
的定义域为，导函数．
当时，恒成立，因此在上单调递增，
又因为，因此当时，，不合题意；
当时，令导函数，解得，
因此当时，；当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
因此，即．
令函数，那么导函数，
因此当时，；当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
即，因此，即．
根据题意，函数，
根据导函数，且，得为减函数，
设，所以，的最大值为
当时，，
且时，，时，，
所以函数在的两侧各有一个零点．
当时，，所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数有最大值，所以函数只有一个零点．
当时，，所以可得．
利用代入到原函数中可得，
，
设，，
容易判定是关于的增函数，所以，
所以函数的最大值为，即当时，函数无零点．
综上，当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点；当时，函数无零点．
19.解：Ⅰ当时，，
则当时，，时，，满足条件，即，
故A的所有子集有，；
Ⅱ当时，取，
，
是的子集，此时，
若，设，，，且，
根据题意，，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，与矛盾，
综上，．
Ⅲ设，，，，，
，，，，，，，，，
设的元素个数为，
若不是的的子集，
则最多能包含，，，，中的一外元素以及，，，中的元素，
令，验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的的子集，
的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则，
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
是的子集，
的最小值为．
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