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2024-2025学年广东省深圳中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于”的概率是( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，的平均数为( )
A. B. C. D.
3.直线，互相平行的一个充分条件是( )
A. ，都平行于同一个平面 B. ，都垂直于同一个平面
C. 垂直于所在的平面 D. 平行于所在的平面
4.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为( )
A. B. C. D.
5.如图，，两类不同的元件并联成一个系统当，至少有一个正常工作时，系统正常工作已知，正常工作的概率分别为，，则系统正常工作的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6.在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.下列说法不正确的是( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 空间不重合的三个平面可以把空间分成或或或个部分
C. 三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点
D. 四面体的三条侧棱，，两两垂直，则点在平面的射影为的垂心
8.从正方体的条棱中任选条，则这两条棱所在的直线是异面直线的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
10.下列说法正确的是( )
A. 极差和标准差都可以刻画样本数据的离散程度
B. 若数据，，，的方差为，则所有的都相同
C. 如果一组数据的中位数比平均数大很多，这组数据的众数不可能和中位数相同
D. 从有个个体的总体中抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、按比例分配的分层抽样时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，则
11.正方体的棱长为，点、分别在线段D、上运动包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 正方体被经过、两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形
B. 不可能与D、都垂直
C. 有可能与正方体的六个表面所成的角都相等
D. 线段的中点所围成的区域的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______．
13.某次体检，位同学的身高单位：米分别为，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是______米．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则四轮比赛后，甲的总得分为的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点点不在的端点处，且，为的中点．
求证：平面；
求证：平面．
16.本小题分
从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频率分布表．
质量指标值分组
频数
在下表中作出这些数据的频率分布直方图；
估计这种产品质量指标的平均值及中位数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
17.本小题分
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价现设，分别以，，表示第一次排序时被排为，，的三种酒在第二次排序时的序号，，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述，若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号．
用表格形式写出第二次排序时所有可能的，，排序结果，并求出相应的值；
，，
，，
没有酒味鉴别能力的品酒师甲参加了一轮测试，记事件“甲的测试结果”，“甲的测试结果”，用集合的形式表示事件和后可以发现，请证明：对于任意的随机事件和都有：；
没有酒味鉴别能力的品酒师甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予一级品酒师称号”，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在线段上，且．
求证：平面平面；
给出二面角的平面角，并说明理由，求出二面角的余弦值；
设点在线段上，且，点，，，是否共面？如，，，四点共面，请证明：如果不共面，请说明理由．
19.本小题分
将连续正整数，，，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数例如：当时，此数为，共有个数字，则现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率．
求；
当时，求的表达式；
令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值．
参考答案
1.
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4.
5.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：Ⅰ在直三棱柱中，平面，平面，
，
，且，
平面，
Ⅱ根据Ⅰ得平面，
平面，
，
在中，，
为的中点，
连接，得，且，即四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
16.质量指标值分组在，，，，
的频率分别为，，，，，
，
质量指标值落在内的频率为，
质量指标值落在内的频率为，
因此质量指标值的中位数落在内，设中位数为，
因此，解得，
因此估计平均数为，中位数为．
17.根据题意列举第二次排序时所有可能的，，及相应的的值列表如下．
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
证明：任取样本点，所以且，即且，
所以，所以，
任取样本点，所以且，即且，
所以，所以，
因此．
由得：，，，
设甲在第一轮测试中得分为，在第二轮测试中得分为，事件表示甲在第轮被评为一级品酒师，
所以
，
所以
．
18.证明：因为平面，平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面；
因为，为中点，所以，
由的证明过程可知平面，因为平面，所以，
因为，，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角．
因为，且，所以，
所以，
因为，所以，且，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，由余弦定理得：，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为；
，，，四点共面，证明如下：
设为中点，由题意得，可得，因此，
同时，因此，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为为中点，所以，因此，
又因为，无公共点，所以，，，四点共面．
19.解：当时，那么，所以这个数字共有个数字，
其中数字的个数有个，因此恰好取得的概率；
当，该数由个位数组成，；
当，该数由个两位数，个一位数组成，；
当，该数由个三位数，个两位数，个一位数组成，；
当，该数由个四位数，个三位数，个两位数，个一位数组成，
；
综上所述，．
当时，；
当时，；
当时，，
因此，
同理可得，
因此，那么，，，，，，，，，，
当，那么，
当，，
当，，
函数关于单调递增，
当，最大值为，
又因为，因此时，最大值为．
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