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2024-2025学年山东省滨州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知某人射击每次击中目标的概率都是，现在用随机模拟的方法估计此人次射击至少次击中目标的概率：先由计算器产生到之间的整数值的随机数，指定，，，，表示击中目标，，，，，表示未击中目标．每个随机数为一组，代表次射击的结果．经随机模拟产生了组随机数：
据此估计，其次射击至少次击中目标的概率约为( )
A. B. C. D.
4.如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量与满足，且，则为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.设一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，，，，，的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.在三棱锥中，，为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若与相互独立，则
D. 若发生时一定发生，则
11.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______．
13.一艘货船从处出发，沿北偏西的方向以海里每小时的速度直线航行，分钟后到达处，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是 海里．
14.在锐角中，角，，的对边分别为，，若，，则周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点请用几何法求解下列问题：
证明：平面；
设，求直线与平面所成角的正切值．
16.本小题分
某学校随机抽取名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成组：，，，，，，并整理得到如图频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
估计这次测试成绩的第百分位数；
用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于和内的学生中抽取了人，再从这人中随机抽取人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件“抽取的两人的测试成绩分别位于和内”，求事件的概率．
17.本小题分
在某高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过已知李明答对每道题的概率都是，张志答对每道题的概率都是，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．
求李明第二次答题通过面试的概率；
求张志通过面试的概率；
求李明和张志至少有一人通过面试的概率．
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
已知为边上的一点，且．
若，，求；
求的取值范围．
19.本小题分
在直角梯形中，，，，如图，把沿翻折，使得平面，连接，，分别是和的中点如图请用几何法求解下列问题：
证明：平面；
当平面平面时，求二面角的正弦值；
若，分别在线段，上，且如图，令与所成的角为，与所成的角为，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：证明：在四棱锥中，连接，连接，
由为正方形，得是的中点，而为的中点，
则，而平面，平面，
所以平面；
取中点，连接，，由为的中点，得，
而平面，则平面，
所以是直线与平面所成的角，
，，
在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
16.由频率分布直方图的性质，可得，解得；
因为大于第百分位数的频率为，测试成绩位于的频率，
位于的频率，故第百分位数位于，设为，
则，解得，即第百分位数为；
测试成绩位于的频率，
位于的频率，因为：：，所以确定的人中成绩在内的有人，分别记为，，，，
成绩在内的有人，分别记为，，
从人中随机抽取人的样本空间：，，，，，
，，，，
，，，，，
共有个样本点，其中，，，，，
，，，即，所以概率为．
17.根据题意，若李明第二次答题通过面试，即李明第一次答错抽到的题目，而第二次答对抽到的题目，
则要求概率；
根据题意，设“张志通过面试”，则“张志没有通过面试”，即张志两次都没有答对抽到的题目，
则，
故；
根据题意，设“李明通过面试”，易得，
则，
则李明和张志至少有一人通过面试的概率．
18.在中，因为，
所以由正弦定理得：，
所以，因为，所以，
又因为，所以；
在中，因为，，
所以由余弦定理得：，
所以，所以，
因为，所以，，
所以；
在中，由正弦定理，得，
在中，，所以，
即，
因为，所以，且，
因此
，
因为，所以，
所以，即的取值范围是．
19.证明：在直角梯形中，，，，
所以，，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
因为点是的中点，所以，
所以，
由，点是的中点，得，
又，，平面，
所以平面．
解：由知，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取的中点，连接，，则，
由，得，
所以，
所以为二面角的平面角，
在中，，所以，
所以，
故二面角的正弦值为．
解：在线段上取点，使得，则，，
所以，，
由知平面，
因为平面，所以，
所以，即，
所以，
所以，，
所以，
故的取值范围是．
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