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2024-2025学年山东省日照市校际联考高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各角中，与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.，为不同的平面，，为不同的直线，则下列判断正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知，为单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度单位：气象学中把小时内的降水量叫做日降水量某学生用上口直径为，底面直径为，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量某次降雨过程中用此桶接了小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是( )
A. B. C. D.
8.如图，把画有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，折叠后，
两点之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，向量如图所示，则( )
A.
B.
C.
D. 存在实数，使得与共线
10.已知函数的部分图像如图所示，则( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数
11.在棱长为的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，则( )
A. 当时，四棱锥外接球半径为
B. 当时，三棱锥的体积为
C. 若，则点的轨迹长为
D. 周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则的值为______．
13.在中，，，，若为边的中点，则 ______．
14.关于的不等式在上恒成立，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为．
求的解析式和单调递增区间；
把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为侧棱，的中点，且．
求证：平面；
求四棱锥的体积．
17.本小题分
已知的内解，，所对的边分别为，，，满足．
求证：；
若为上一点，且，求的面积的最大值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为，，分别为棱，的中点，且平面．
求证：平面；
设为棱上一点不包含端点，，
若为棱的中点如图，三棱柱被过，，三点的平面所截，求截面的面积；
求二面角的取值范围．
19.本小题分
已知，，，，且，定义的“区间长度”为，函数的定义域为．
当时，求关于的不等式解集的“区间长度”；
已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为．
若，求的值；
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
，，
由题意可得的最小正周期为，
可得，所以，
可得，
令，
则，
可得函数的单调递增区间为；
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，
再向左平移个单位得的图象，
令，，则，所以，
所以，与有两个交点，
作出，的图象如图所示，所以，
所以实数的取值范围．
16.证明：连接，交于点，连接，
在正方形中，为的中点，又为侧棱的中点，
因此在中，为的中位线，所以，
因为平面，平面，
因此平面．
因为，分别为侧棱，的中点，所以为的中位线，
因此，且，
在是正方形中，，，
因此，且，
因此四边形为梯形，
又平面平面，且平面平面，
在是正方形中，，且平面
因此平面，又平面，
因此，所以，因此梯形为直角梯形；
又，为侧棱的中点，
因此，且，因此梯形的面积为：，
由平面，又平面，
因此，因此，
，因此平面，因此平面，
因此为四棱锥的高，且，
．
17.证明：因为，
由正弦定理可得，
即，
在中，可得或，解得或舍，
故B；
解：设，，
因为，
在中，由正弦定理可得，
在中，，，
由正弦定理可得，即，
由可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
即，
所以，
所以，
当时，即时，，符合题意，此时取到最大值，
所以的面积的最大值为．
18.证明：如图所示，连接，
由题意可知平面，四边形是菱形，
平面，所以，
又因为为棱的中点，是正三角形，
所以，又，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在菱形中，有，
而，分别为棱，的中点，则，
所以，
因为，，平面，
所以平面；
取的中点，取的中点，连接，，，，，
则且，又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且，
因为，分别为，的中点，
所以且，所以，
所以过过，，三点的截面即为四边形，
因为平面，平面，所以，
故截面为直角梯形，又底面是边长为的等边三角形且，
所以，
，
所以截面面积为；
过作交于，连接，则，
因为平面，，平面，
所以，，
故二面角的平面角即为，
若为棱上一点，且，，
因为，
所以，
，
所以，
令，
，
由双勾函数的性质可得在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
故二面角的取值范围．
19.当时，，
由，得，解得或，
又函数的定义域为，所以或，
所以解集的“区间长度”为；
不等式化为，由，得，
所以不等式的解集为或，
设的两个根为，，其中，且，
同理，设的两个根为，，其中，且，
所以，又，所以，
其中，即，
由诱导公式得，即，
又，解得或，故或，
所以
，
或
，
所以或；
由可得，即，
即，
因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，所以或，
由于，，故，所以，
所以舍去，故，
所以，
因为，，所以，
由，可得，
当且仅当，，即时，等号成立，
所以，故I的最大值为．
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